2025年中考数学一轮复习提高讲义：平行线的性质及其应用（含答案）

平行线的性质及其应用

知识梳理

1.平行线的性质

(1)两直线平行，同位角相等；

⑵两直线平行，内错角相等；

(3)两直线平行，同旁内角互补.

2.平移

一个图形沿某个方向，在移动过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动

叫作图形的平移.

性质：平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同

一直线上)且相等.

典型例题

例1

如图15-1所示，已知ABZ/CD,ZECD=125°,ZBEC=20°,^ZABE的度数.

分析过点E作EF平行于CD,利用平行线性质进行解题.遇到类似于如图15-2(a)(b)(c)鼎品勺血形时，过转折

点添加已知直线的平行线，是常用的辅助线.

图15-2

解如图15-3所示过点E作EF平行于CD,所以/ECD+/CEF=180。,

而/ECD=125°,

所以乙CEF=180°-125°=55°,

所以.NBEF=Z.BEC+乙CEF=20°+55°=75°,

因为AB〃CD,

图15-3

所以AB〃EF,

所以NABE=NBEF=75°.

例2

如图15-4(a)(b)(c)(d)所示，已知AB〃CD,分别探讨下列四个图形中.乙4PC和NPAB,/PCD的关系.(只要求直

接写出)，并请你从所得四个关系中任意选出一个并说明理由.

图15-4

分析本题主要考查对平行线的性质、平行公理及推论、三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能灵活运

用性质进行推理是解此题的关键.如图15-5(a)(b)所示，过点P作EFII4B,根据平行公理的推论得到AB〃CD〃EF,

根据平行线的性质即可得到答案；如图55(c)所示,根据平行线的性质得到/PEB/PCD,根据三角形的外角性

质即可得到答案；如图15-5(d)所示，设PA交CD于点E,由AB〃CD狷至U/PAB=NAED,根据NAED=NPCD+NAP

C,即可得到答案.

图15-5

如图15-5(a)所示,NAPC+/PAB+NPCD=360。.

如图15-5(b)所示,/APC=NPAB+/PCD.

如图15-5(c)所示,/APC=NPCD-NPAB.

如图15-5(d)所示,/APC=NPAB-NPCD,理由是:设PA交CD于点E,因为AB〃CD,

所以NPAB=NPED,

因为NPED=NPCD+/APC,

所以NAPC=/PAB-NPCD.

例3

如图15-6所小,已知直线liIIB，直线bL分别与.父于点B,F,以及点A,E,而点

P是直线13上一动点(不与点B,F重合)，设NBAP=N1,NPEF=N2,/APE=N3.

(1)当点P在B.F两点之间运动时,试确定之间的关系，并给出证明；

(2)当点P在B,F两点外侧运动时,试探究之间的关系，画出图形，给出结

论，不必证明.

分析⑴如图57(a)所示，首先过点P作PC|h交AE于点C,由直线卬|以可得CP\\h

图15-6

眄，然后由两直线平行，同位角相等，求得答案；

⑵有两种情况

①当点P在BF的延长线上运动时(如图15-7(b)所示),/3+/2=/1.

②当点P在FB的延长线上运动时(如图15-7(c)所示),/3+/1=/2.

解⑴N1+/2=N3.

证明:如图15-7(a)所示，过点P作.PC%,交AE于点C,

则N1=/APC,

Za=Zp,

因为匕||，2,

所以Na=/%

所以N|3=/%

因为CP〃EF,

所以/2=NCPE,

所以Nl+N2=/APC+NCPE=NAPEX|]/l+N2=/3;

(2)有两种情况；

①当点P在BF的延长线上运动时(如图15-7(b)所示),/3+/2=/1.

过点P作CP〃k,

因为liII12,

所以CP\\h\\l2l

所以/APC=Z1,ZEPC=Z2,

所以N3=/ACP-/ECP=/l-/2,

所以/3+/2=/l.

②当点P在FB的延长线上运动时(如图15-7(c)所示),N3+/l=/2.

双基训练

1.如图15-8所示，直线2〃卜/1=70。,那么/2的度数是（）.

A.50°B.60°C.70°D.80°

2如图15-9所示，直线a〃b,AABC是直角三角形,NA=9（T,NABF=25。厕NACE等于（）.

A.25°B.55°C.65°D.75°

3.把一把直尺与一块三角板按如图15-10所示的方式放置，若/1=45。,则N2的度数为（）.

A.115°B.120°C.145°D.1350

4.如图15-11所示，已知AB〃CD,BC平分/ABE,/C=34。厕/BED的度数是（）.

A.17°B.34°C.56°D.68°

5如图15-12所示，已知直线2〃0/1=40°,/2=60。厕/3等于（）.

A.100°B.60°C,40°D.20°

6.如图15-13所示，直线L,N分别截过/A的两边，且L〃N根据图中标示的角，判断下列各角的度数关

系，哪个正确?（）.

A.Z2+Z5>180°B.Z2+Z3<180°

C.Zl+Z6>180°D.Z3+Z4<180°

7.如图15-14所示，已知直线AB〃CD,Nl=50。厕/2=.

8如图15-15所示直线2〃卜点B在直线b上,且AB，BC,/2=59。厕/1=.

9.一大门的栏杆如图15-16所示,BA垂直于地面AE于A,CD平行于地面AE,则NABC+/BCD=.

C

1

A.CD

2

I.\八3

S15-15图15-16图15-17

10.如图15-17所示,a〃b,/l=70。,N2=35。,贝！|/3=.

11.如图15-18所示,AB〃CD,AC_LBC,垂足为点C,/BAC=67。,则NBCD=

12.如图15-19(a)所示，有一张四边形纸片ABCD,其中NB=130o,ND=50。.若将其右下角向内折叠得到△PCR,恰

使CP〃AB,RC〃AD,如图15-19(b)所示，则/C=.

13.如图15-20所示,已知点D,G在直线AB上点E,F分别在直线AC,BC上,DE||BC,Z.EDC=180°-MFC,GF

与DC平行吗？为什么？

图15-20

14.如图15-21所示,4B||CD,,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EG平分AAEF,Z1=40。,求N2的度数.

15.如图15-22所示,€^平分,乙4。8,“7||。8..求证:41=Z.3.

A

P.

M

图15-22

16.如图15-23所示,481|CD,,点P是BC上的一个动点，设.4CDP=/A,乙CPD=N2,请猜想41,42与之间的

关系，并说明理由.

17.如图15-24所示,.4B||CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,直线FG交AB于点G,若N1=42,,试说明:FG平

18.如图15-25所示，已知AB〃DE,BF,EF分别平分/ABC与/CED,若NBCE=140。,求/BFE的度数.

19如图15-26所示，直线AC〃MN〃OB.直线MN上一点P到直线AC,AO,OB的距离相等，即PE=PF=PH.直线

AC与MN的距离和直线OB与MN的距离相等吗？请说明理由.

AEC

图15-26

20.如图15-27所示把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，/EFG=50。,求WEG和/BGM的大小.

图15-27

能力提升

21.如图15-28所示，直线h|®AB与直线人垂直，垂足为点B,若/ABC=37。,贝U/EFC的度数为().

A.127°B.133°C.137°D.143°

22如图15-29所示:AB〃CD,Nl=100。,N2=120。,则a的度数为().

A.60°B.40°C.100°D.900

23如图15-30所示,AB〃CD,CE交AB于点A,AD_LAC于点A若Nl=48。,则/2=.

24.如图15-31所示，已知AB〃CD〃EF,BC〃AD,AC平分/BAD,那么图中与NAGE相等的角有个.

25.如图15-32所示,AB〃CD,NCGF=35。,/AHF=60。,则NF的度数为.

26.如图15-33所示，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角/A是105。，第二次

27.(1)如图15-34(a)所示，已知直线m平行于直线n折线ABC是夹在m与n之间的一条折线，则Z,1,42,乙3的

度数之间有什么关系?为什么？

(2)如图15-34(b)所示，直线m依然平行于直线n,则此时.Nl,N2,43,N4之间有什么关系?(只需写出结果)

28.三角形三个内角和是180。,,如图535(a)所示,AC,BD交于O点形成的两个三角形中的角存在以下关系：

①NDOC=乙4OB,②ND+NC=NA+NB.试探究下面的问题：

已知NB4D的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点E,

⑴如图535(b)所示，若481|CD,=30。»=40。,则4E=.

(2)如图15-35(c)所示，若AB与CD不平行,乙D=30°,Z5=50。,则乙E=.

(3)在总结前两问的基础上，如图15-35(c)所示，试探究NE与ND,NB之间是否存在某种等量关系?若存在，请

说明理由；若不存在，请举例说明.

图15-35

29.如图15-36所示AB||CD||EF,点M,N,P分别在AB,CD,EF±,NQ平分乙MNP.

(1)若乙AMN=60°,/-EPN=80。,分别求NMNP/DNQ的度数；

⑵探求乙DNQ与乙4MN,NEPN的数量关系.

30如图15-37所示,4B||CD,,点。为CD上一点,OE平分^AOD.FO1E。,若〃=56。,求/AOF的度数.

图15-37

拓展资源

31.实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.

(1)如图15-38所示，一束光线m射到平面镜a上，被a镜反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b反射出

的光线n与光线m平行，且N1=50。,则N2=,/3=;

(2)在(I)中,若/1=55。,则/3=，若/1=40。,贝[]/3=;

⑶由上述⑴⑵两题的结果，请猜想：当两平面镜a,b的夹角/3=—时，可以使任何射到平面镜a上的光

线m，经过平面镜a,b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由./

:Im

3

图15-38

32.如图15-39所示，射线BC与射线AD互相平行，一动点P从点A出发，沿如图所示的圆弧形曲线途经

B,C两点向终点D运动，在运动过程中，我们研究所形成的三个角：NBPA/CBP/D4P的关系.

⑴当点P从点A向点B运动的过程中.求证:Z-BPA+乙CBP+LDAP=360°;

(2)点P从点B向点C运动的过程中,.NBPA,NCBP,ND2P三个角之间有怎样的等量关系？

(3)点P从点C向点D运动的过程中,NBP4NCBP,ND4P三个角之间有怎样的等量关系？

33.如图15-40所示，已知AB\\CD.

⑴请说明NB+NG+ND=NE+NF;

(2)如图15-41所示：若将图15-40变形成图15-41,上面的关系式是否仍成立？写出你的结论并说明理由.

34.如图15-42所示，直线AC〃:BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定：线

上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连接PA,PB,构成/PAC,ZAPB,NPBD三个角.(提示：有

公共端点的两条重合的射线所组成的角是0。角)

(1)如图542(a)所示,当动点P落在第①部分时,求证:=APAC+4PBD;

(2)如图15-42(b)所示,当动点P落在第②部分时，乙4PB=APAC+NPBD是否成立?(直接回答成立或不成立)

(3)如图15-42(c)所示.当动点P落在第③部分时，全面探究.NP4C,乙4PB,NPBD之间的关系，并写出动点P的具

体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.

图15-42

35.如图15-43所示，已知直线以反,且%和h,b分别交于A,B两点，点P在直线AB上.

图15-43

⑴试找出N1/2/3之间的等式关系，并证明.

⑵应用⑴的结论解答下列问题：

①如图15-44所示点A在B处的北偏东40。方向上，点A在C处的北偏西45。方向上，求NB4C的度数

②如图15-45所示中，小刀的上、下刀片是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（梯形的下底挖去一小半圆），求

N1+N2的度数.

图15-44图15-45

1.C2.C3.D4.D5.A6.A7.5008.31°9.270°10.75°11.23°12.90°

13.GF〃DC.理由如下：

因为DE/7BC,

所以NEDC=NDCF俩直线平行，内错角相等）,

又因为.4EDC=180°-ZGFC,

所以ZEDC+ZGFC=180°,

所以ZDCF+ZGFC=180°,

所以GF〃DC（同旁内角互补，两直线平行）.

14.100°.

15.因为OP平分/AOB,（已知）

所以N1=N2（角平分线定义）

因为MN〃OB（已知）

所以N2=N3（两直线平行，内错角相等）

所以N1=N3（等量代换）.

16.ZB=Z1+Z2.

理由:如答图15-1所示，过点P作PQ〃AB.

因为PQ〃AB,AB〃CD,

所以PQ〃AB〃CD,

所以N1=NDPQ（两直线平行，内错角相等）

/B=NQPC（两直线平行同位角相等）答图15-1

又因为/DPQ+/2=NQPC

所以NB=/1+N2（等量代换）.

17.因为AB〃CD,所以/DFG=N2,因为N1=N2,所以N1=NDFG,即FG平分NDFE.

18.如答图15-2所示，过点C作CP〃AB,则NBCP=NABC,NECP=NCED,

所以ZABC+ZCED=ZBCP+ZECP=ZBCE=140°;

又因为BF,EF分别平分/ABC/CED,

所以乙ABF=jzXBC,^DEF=jzDEC;

所以^ABF+乙DEF=|（ZX5C+乙DEC）=70°,

再过点F作FM〃DE,则/BFM=NABF,NMFE=/DEF,

所以NBFE=NBFM+/MFE=NABF+/DEF=70。.

19相等，理由略.

20.因为AD〃BC,NEFG=50。，

所以乙EFC=180°-4EFG=130°,

由折叠的性质可知,/NFE=/EFC,/MEF=/DEF,

所以NDEG=100。，

所以.NEGC=180°-100°=80°,

贝乙BGM=NEGC=80。（对顶角相等）.

21.A22.B23.42°24.525.25°

26.如答图15-3所示，过点B作直线BE//CD.

因为CD〃AF,

所以BE〃CD〃AF.

所以NA=NABE=105。.

所以NCBE=NABC-/ABE=30。.

又因为BE//CD,

所以NCBE+/C=180。.

所以NC=150。.

27.（1）如答图54（a）所示，过点B作DE〃m.

因为DE〃m（已知），

所以/gNABE（两直线平行，内错角相等）.

因为m〃n，且DE〃m（已知），

所以DE〃n（平行于同一条直线的两条直线互相平行）,

所以/3=/EBC（两直线平行，内错角相等），

因为Z2=ZABE+ZEBC,

所以/2=/1+/3（等量代换）.

⑵如答图15-4（b）所示,Nl+/3=N2+/4.

1

28.⑴NE=+NB)=35°,

(2)NE=|(ND+NB)=40

(3)ZD+ZB=2ZE.

理曲因为CE平分NBCD,AE平分/BAD

所以乙ECD=乙ECB=三4BCD,乙EAD=/.EAB=‘BAD,因为ND+NECD=NE+NEAD,NB+NEAB=/E+/

ECB,所以/D+/ECD+/B+NEAB=NE+/EAD+/E+/ECB所以/D+NB=2/E.

29.(l)ZMNP=140°,ZDNQ=10°.

⑵乙DNQ=4MNQ-乙MND=|(乙AMN+乙EPN)-乙AMN=|(乙EPN-乙AMN).

30.ZAOF=28°

31.(1)100°,90°.

⑵90°,90°.

⑶90°.

理由:如答图15-5所示因为/3=90。,所以N4+/5=90。,又由题意知/1=/4,/5=/6,/

所以z2+Z7=180°-(z5+46)+180°-(zl+z4)/m

=360°-2z4-2z5=360°-2(z4+z5)=180°.

所以m〃n(同旁内角互补，两直线平行)./\

32.(1)如答图56(a)所示，过点P作PE〃AD,\

因为AD〃BC,

所以PE〃AD〃BC,淤堂一

所以NCBP+/l=180°,N2+/PAD=180°.竺国相.

所以NBPA+/CBP+/DAP=360°.

⑵如答图56(b)所示，当点P从点B向点C运动的过程中，/L.BPA=NZMP-NCBP理由略.

⑶如答图15-6⑹所示，当点P从点C向点D运动的过程中，/4BPA=4CBP+ND4P理由略.

答图15-6

33.(1)证明如答图15-7所示:分别过点E,G,F作AB的平行线,

因为AB〃CD,

所以AB〃EH〃:IG〃FK〃CD,

所以NB=/2,N3=N4,N5=/6,N7=/D,

所以NB+/4+N5+ND=N2+N3+N7+N6.

因为N2+N3=NE,N4+N5=NG,/6+N7=NF.

所以NB+NG+/D=NE+NF;

答图15-7