第七章 随机变量及其分布（知识归纳题型突破）（11题型清单）（原卷版）

第七章随机变量及其分布(n题型清单)

01思维导图

02知识速记

1：条件概率

P(AB}

(1)一般地，设4,5为两个随机事件，且P(A)>0,我们称P(3|A)=T77s为在事件A发生的条件

下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

2：乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与6,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)-P(3|A).我们称上式为

概率的乘法公式.

3：事件的相互独立性

(1)事件A与事件B相互独立：对任意的两个事件4与8,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与

事件6相互独立，简称为独立.

(2)性质：若事件A与事件8相互独立，则A与耳，•与耳与耳也都相互独立，P(B\A)=P(B),

P(A|B)=P(A).

4：全概率公式

(1)一般地，设A，4，44是一组两两互斥的事件，4AA4=。，且P(4)〉O,

，=1,2,3,4n,则对任意的事件3口。，有P(B)=汽P(A,.)P(B\4)，我们称此公式为全概率公式.

i=l

5：两点分布

对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，

1,A发生

了表示“失败"，定义x=＜

0,破生

如果P(A)=P，则尸(a=l-p,那么X的分布列如下所示:

X01

P1-pp

我们称X服从两点分布或者0-1分布.

6：离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的概率分布为:

X%Xn

pPiPlPiP"

则称E(X)=X]P1+x2P2++x,,Pn=WXP”为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical

«=1

expectation),数学期望简称期望.

称。(X)=(X「E(X))20++(X,—E(X))2R++(x“—E(X))2p.=£(N-E(X))2R

Z=1

为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称cr(X)=《D(X)为随机变量X的标准差.

7：二项分布

一般地，在“重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为P(0＜。＜1),用X表示事件A发

生的次数，则X的分布列为尸(X=A)左=1,2,3,.,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作xB(n,p).

8：超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有〃件次品，从N件产品中随机抽取"件(不放回)，用X表示抽

^~ik^~m—k

取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=M,k=m,m+l,m+2,,r.

其中2N,A/wN*,MSN,n<N,m=max{O,〃—N+M},r=min{n,M}.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

9：正态分布

若随机变量X的概率密度函数为/(%)=—占)后L，(xwH,其中4£尺，。>0为参数)，称随机变

量X服从正态分布，记为XN(〃,/).

03题型归纳

题型一计算条件概率

例题1：(2025•河南郑州•一模)将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有18八

个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X,¥表示第一次和第二次抛掷的点数，则

P(max(X,y)=8|min(X,y)=4)=()

例题2：(2425高三上•天津・期末)中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深

厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将

采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为］，［，J，每道工序的加工都相

345

互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为;在绿茶的三道工序中恰有两道工序加

工合格的前提下，杀青加工合格的概率为.

例题3：（2425高三上•上海杨浦•期末）某校高二有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人

报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为.

巩固训练

1.（2425高三上•江苏•期末）第15届中国国际航空航天博览会于2024年H月12日至17日在珠海举行.本

届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量.航展共开辟

了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区.甲、乙、丙、丁四人相约去

参观，每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到

同一观展区的概率为（）

A,-B,-C,-D.1

6432

2.（2324高三下•河北•阶段练习）甲、乙、丙、丁4位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英

语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学

所报活动各不相同的概率为（）

1c3八8

A.—B.—C.—D.一

183299

3.（2425高三上•湖北・期末）对于随机事件A,3,若P（8|A）=;，尸（XIB）=,P（B）=—尸（A）=________.

3o15

题型二乘法公式应用

例题1：（2024高三・全国・专题练习）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球.若第

一次摸出红球的概率为自，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为:，则第一次摸出红球

且第二次摸出黄球的概率为（）

例题2：（2324高二下.江苏常州•期中）已知随机事件AB,P（A）=P（B|A）=g,P（B）=g,则尸（A2）=.

P（A|B）=.

例题3：（2425高三.上海.课堂例题）已知尸（A|B）=；,则P（Ac3）=.

巩固训练

1.（2021高二下•山东青岛•期中）某机场某时降雨的概率为（，在降雨的情况下飞机准点的概率为£,则

某时降雨且飞机准点的概率为（）

2.（2024.浙江.模拟预测）己知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出

第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为01；第一问做出的情况下，第二问做不出的概

率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是；得。分的概率是.

2

3.（2324高二下•黑龙江哈尔滨•期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率为石，已知下雨的条件下，

刮风的概率为则既刮风又下雨的概率为.

题型三全概率公式

例题1：（2425高三上•山东潍坊•期末）盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色

后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（）

A.—B.-C.-D.1

10782

例题2：（2425高三上•安徽宿州•期末）两批同种规格的产品，第一批占25%,次品率为5%；第二批占75%,

次品率为4%,将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品为次品的概率为.

例题3：（2425高三上•天津静海•阶段练习）有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床加工的次品

率为10%,第二，三台为新车床加工的次品率均为5%,三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一，二，

三台车床加工的零件数分别占总数的20%,40%,40%.任取一个零件，计算它是次品的概率为.

巩固训练

1.（2425高二上•黑龙江哈尔滨•期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占得,乙厂产品占;，

丙厂产品占;，甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,丙厂产品的合格率是80%,若从该

地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（）

A.0.08B.0.15C.0.1D.0.9

2.（2425高三上.云南昆明.期中）若P（B|A）=|,P（A）=；,则P（3）=.

3.（2324高二下•湖南邵阳•期末）有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占40%,甲厂

生产的次品率为2%，乙厂生产的占60%，乙厂生产的次品率为3%,从中任取一件产品是次品的概率是

题型四贝叶斯公式

例题1：（2324高二下•广东广州•期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社

团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，

则他来自高三（1）班的概率是（）

例题2：（2324高二下•福建泉州•期末）某学校有A,2两家餐厅，王同学第1天选择B餐厅就餐的概率是g,

4

若第1天选择A餐厅，则第2天选择A餐厅的概率为不；若第1天选择3餐厅就餐，则第2天选择A餐厅

3

的概率为g;已知王同学第2天是去A餐厅就餐，则第1天去A餐厅就餐的概率为（）

A.AB,1C,1D,1

111153

例题3：（2025高三•全国・专题练习）一个大型电子设备制造厂有A和B两条生产线负责生产电子元件.已知

生产线A的产品合格率为95%,生产线8的产品合格率为90%,且该工厂生产的电子元件中60%来自生产

线A,40%来自生产线瓦现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合

格的条件下来自生产线A的概率是.

巩固训练

1.（2324高二下.江苏扬州•阶段练习）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现

从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取

出的也是2个红球的概率为（）

A.AB.更C—D.』

137585

2.（2324高二下•广东佛山•阶段练习）若某地区一种疾病的患病率是0.05,现有一种试剂可以检验被检者

是否患病.已知该试剂的准确率为95%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；

该试剂的误报率为0.5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机

抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）

,495c995〃10C21

A.------B.------C.—D.—

100010001122

3.（2526高三上•上海•单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、

丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为［、］、上.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任

101418

意取出一个产品.若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是.

题型五利用离散型随机变量的性质求参数或概率

例题1：（2324高二下•江苏•单元测试）已知随机变量X的分布列为尸（X=i）=：（i=l,2,3,4）,则

P（2<X<4）=（）

A.IB.3c.LD.2

251010

例题2：（2024高三•全国•专题练习）随机变量V的概率分布如下：

Y123456

P0.1X0.350.10.150.2

则尸（y>3）=.

例题3：（2024高三.全国.专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为:

X123

31

Pm

510

则P(X42)=

巩固训练

1.（2324高二下.河北沧州•期中）已知离散型随机变量X的分布列为P（X="）=—"=1,2,3），

n\n+Y\

则。二（）

•3「4-2

A.—B.—C.-D.一

4332

k

2.（2324高二下•宁夏石嘴山•期中）设随机变量X的概率分布为尸（X=左）=五（1WXW4,kcZ）,则

P（2<X<4）=.

3.（2324高二下.江苏无锡.期中）若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

则当尸（x<a）=Q5时，实数。的取值范围是,

题型六离散型随机变量的的分布列，均值

例题1：（2425高三上•天津北辰・期末）某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考

试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参

加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5,0.6,0.7,且每次考试是否通过相互独立，则小王在一

年内领到资格证书的概率为;他在一年内参加考试次数的数学期望为.

例题2：（2425高三上•广西河池•期末）新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回

馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相

同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.

⑴求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率；

(2)若某位消费者购买了300元(折扣前)的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为X,求X的分布

列及数学期望E(X).

例题3：(2425高三上•贵州黔南•期末)某同学参加射击俱乐部射击比赛，每人最多有三次射击机会，射击

靶由内环和外环组成，若击中内环得10分，击中外环得5分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率

为;，击中内环的概率为：，击中外环的概率为每次射击结果相互独立，只有前一发中靶，才能继续

射击，否则结束比赛.

(1)在该同学最终得分为10分的情况下，求该同学射击了2次的概率；

(2)设该同学最终得分为X,求X的分布列和数学期望E(X).

巩固训练

1.(2425高三下•安徽•开学考试)甲、乙两人进行电子竞技比赛，已知每局比赛甲赢的概率为A(O<A<1),

乙赢的概率为P2,且Pi+Pz=l.规定：比赛中先赢三局者获胜，比赛结束.若每局比赛结果相互独

立，记比赛共进行了X局，则X的数学期望的最大值为一.

2.(2425高三上•河北唐山•阶段练习)某大学社团共有8名大学生，其中男生4人，女生4人，从这8名

大学生中任选4人参加比赛.

⑴设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求同；

（2）设所选的4人中男生和女生的人数分别为。*，记X=|a-4,求随机变量X的分布列和数学期望.

3.（2425高三上•湖南长沙•期末）甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始,

每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假

设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7,

（1）求甲同学到第三天才预约成功的概率；

（2）记X为甲同学预约门票的天数，求X的分布列和期望E（X）.

题型七均值的性质

例题1：（2324高二下.山东枣庄.期末）某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有

奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则E（5X+1）为（）

A.4B.5C.6D.7

例题2：（2425高二下•全国•课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多

彩.某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共

有10张质地均匀的卡片，其中5张卡片图案是粽子，另外5张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随

机抽取5张卡片，如果5张卡片图案相同，则获得100元的购物卡；如果5张卡片中有4张图案相同，则获得

50元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励.设X是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则

E1X+2〉一.

例题3：（2024•四川南充•一模）某一随机变量X的分布列如下表，且〃-根=0.2,则E1（3X+2）=.

X0123

P0.1m0.2n

巩固训练

1.（2425高三上・云南楚雄・期末）已知随机变量X的分布列为

X123

J_5

Pm

612

下列结论正确的是（）

50

A.m=—B.E（X）=-

12

E（X+2）q

C.D.E（2X）=9

2.（2324高二下•黑龙江齐齐哈尔•期末）袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个

7

球，至少得到一个白球的概率是J现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,则

E（2X-1）=.

3.（2024高二下•全国•专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为

X101

j_]_

Pa

~26

设y=6x+L则y的数学期望E（y）=.

题型八方差的性质

例题1：（2324高二下•黑龙江牡丹江•阶段练习）已知随机变量x满足E（2X+3）=7,D（2X+3）=16,则下

列选项正确的是（）

713

A.…产即万B.E（X）=2,£＞（X）=4

7

C.E（X）=2,£＞（X）=8D.E（X）=/,D（X）=8

例题2：（多选）（2324高二下.新疆•期中）已知E（X）=3,D（2X—1）=8,贝ij（）

A.E（2X-1）=5B.E（2X-1）=6

C.£＞（X）=2D.D（X）=4

例题3：（多选）（2324高二下.广东广州•期末）设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量

y满足y=2x-1.则下列结论正确的是（）

X0i23

Pq0.20.10.2

A.E（X）=1.2B.£"）=1

C.D（X）=1.4D.D（y）=28

巩固训练

1.（2324高二下.福建福州•期中）随机变量X的分布列如下，且E（X）=：,则呜X卜（）

X012

P0.2PiPi

A.0.64B.0.32C.0.16D.0.08

2.（2324高二下•安徽安庆•期末）已知两个离散型随机变量〃，满足〃=3&+1,其中J的分布列如下:

123

J_

pab

6

其中。，6为非负数.若=D（^）=|,贝ij（）

i2

A.a=-B.b=-C.E（〃）=5D.O（〃）=5

3.（多选）（2324高二下.安徽合肥.期末）设离散型随机变量X的分布列为:

X0i234

Pq0.40.10.20.2

若离散型随机变量y满足y=2x+i,则（）

A.q=0.1B.D（X）=L8

c.E(Y)=2D,r»(r)=3.6

题型九二项分布

例题1：(2425高二上•河南南阳•期末)甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、

乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7,0.2,0.1,乙击中8

环、9环、10环的概率分别为0.6,0.2,0.2,且甲、乙两人射击相互独立.

(1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；

(2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与

数学期望.

例题2：(2425高三上•山东淄博・期末)某地为弘扬我国传统文化，举办知识竞赛活动，每位参赛者从以下

两种方式中选择一种参赛：

①活动共设有3个问题，能正确回答问题者才能进入下一个问题，否则即被淘汰，3个问题都回答正确即

获得“智慧星”称号；

②活动需参赛者回答5个问题，至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号；甲乙两人参加此次竞赛活动，

321

甲选择第一种方式，他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为乙选择第二种方式，他能正

确回答每一个问题的概率均为;.两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响，两人彼此之间也互不影

响.

(1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率；

(2)求乙获得“智慧星”称号的概率.

⑶记事件”="乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个“，求事件M发生的概率.

例题3：(2425高二上•江西南昌•期末)南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，

从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况.

(1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为第二件作品在第一件是精品的前提下的精

品率为:，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为,，求该新匠人第二件作品是精品的概率；

o9

（2）某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为:，若常规品每件盈利100元,

O

精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望.

巩固训练

1.（2025・甘肃白银•模拟预测）已知X〜3（”,0.8）,记K=P（X=k）,%=0,l,2,,n,若巴是唯一的最大值，

则E（2X+1）的值为.

2.（2425高三下•湖南长沙•阶段练习）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投

篮游戏.游戏的规则如下:每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分.

已知甲投篮的命中率为且每次投篮的结果相互独立.

（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X的分布列与期望；

⑵若参与者连续玩2n（neN*）局投篮游戏获得的分数的平均值大于2,即可获得一份大奖.现有〃=3和"=4

两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择?请说明理由.

3.（2425高三上•陕西西安•期末）蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明

的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客

先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉

祥，，“安康”“和顺，，中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖.已知顾客

从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为g,且顾客取出小球的结果相互独

立.

(1)求顾客中奖的概率；

(2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望.

题型十超几何分布

例题1：(2425高三上•江苏•期末)某新能源汽车公司对其销售的A,8两款汽车向消费者进行满意度调查，

从购买这两款汽车消费者中各随机抽取10名进行评分调查(满分100分)，评分结果如下：

数据I(A型车＞67,81,73,80,81,77,86,85,90,90；

数据n(2型车):61,76,81,67,72,87,86,95,93,90.

(1)求数据I的25百分位数；

(2)该公司规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取3人沟通不满意的原因及改

进建议，设被抽到的3人中购买2型车的消费者人数为X,求X的概率分布及数学期望.

例题2：(2425高三上・江苏南京•期中)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学

习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它

时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%,当出现语法错误时，它的回答被采

纳的概率为40%.

(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表

示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；

（2）设输入的问题出现语法错误的概率为0,若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%,求p的值.

例题3：（2425高三上•北京•阶段练习）某市A,8两所中学的学生组队参加信息联赛，A中学推荐了3名

男生、2名女生.6中学推荐了3名男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相

当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（2）设X表示A中学参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望；

⑶已知3名男生的比赛成绩分别为76,80,84,3名女生的比赛成绩分别为77,a（aeN*）,81,若3名

男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出。的取值范围（不要求过程）.

巩固训练

1.（多选）（2024高三.全国•专题练习）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量

相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3

件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X,

员工2抽取到的3件产品中次品数量为匕k=Q,1,2,3.则下列判断正确的是（）

A.随机变量X服从二项分布B.随机变量y服从超几何分布

C.P（X=k）<P（Y=k）D.E（X）=E（y）

2.（2425高三上・江苏扬州•期末）已知给定两个集合A={l,2,3,4},3={a,6,c},从两个集合中各随机取出

两个元素合并成一个集合C.

（1）若AC3={1},求集合C中恰有三个元素的概率；

（2）若A3={1,3},设集合C中元素的个数为X,求随机变量X的分布列与期望.

3.（2425高二上・江西南昌•期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从

中随机取出3个球.

⑴求取出的3个球中有2个白球的概率；

（2）设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望.

题型十一正态分布

例题1：（2425高二上•吉林・期末）某学校高二年级数学联考成绩XN（80,625）,如果规定大于或等于105

分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（）

（提示：若贝!|P（〃-b<X<〃+b）=0.6827,P（〃—2b<X<〃+2cr）=0.9545,

尸(〃—3b<Xv〃+3b)=0.9973)=0,9973)

A.0.0455B.0.15865C.0.3173D.0.34135

例题2：(多选)(2425高三上•安徽•期末)已知随机变量X服从正态分布Nj,4)。>。)，则下列结论正

确的是()

A,若P(〃<X<〃+cr)=7〃，贝I]P(X>〃-b)="z+g

B.P(/J-3cr<X<〃+2cr)=尸(〃-2a<X</J+3<r)

C.若〃=%则P(X>-b)=P(X<2b)

D.2P(X>〃-2cr)>尸(X>〃-3cr)+P(X>〃-cr