第七章 随机变量及其分布（知识归纳题型突破）（11题型清单）

第七章随机变量及其分布(n题型清单)

01思维导图

02知识速记

1：条件概率

P(AB}

(1)一般地，设4,5为两个随机事件，且P(A)>0,我们称P(3|A)=T77s为在事件A发生的条件

下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

2：乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与6,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)-P(3|A).我们称上式为

概率的乘法公式.

3：事件的相互独立性

(1)事件A与事件B相互独立：对任意的两个事件4与8,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与

事件6相互独立，简称为独立.

(2)性质：若事件A与事件8相互独立，则A与耳，•与耳与耳也都相互独立，P(B\A)=P(B),

P(A|B)=P(A).

4：全概率公式

(1)一般地，设A，A,,4…4是一组两两互斥的事件，AU4U&-U4=O^P(4)>O,

，=1,2,3,4…凡则对任意的事件3口。，有p(3)=汽P(A)P(BI4)，我们称此公式为全概率公式.

i=l

5：两点分布

对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，

1,A发生

了表示“失败"，定义x=<

0,破生

如果P(A)=P，则尸(a=l-p,那么X的分布列如下所示:

X01

P1-PP

我们称X服从两点分布或者0-1分布.

6：离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的概率分布为:

X%Xn

PPiPlPiP"

则称E(X)=xxpx+x2p2+---+xnpn=£x“p”为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical

i=l

expectation),数学期望简称期望.

2

称D(X)=&-E(X))2A+---+U,-E(X))22+•••+(%-E(X))2pn=£(x;-E(X))Pi

Z=1

为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称cr(X)=《D(X)为随机变量X的标准差.

7：二项分布

一般地，在“重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为P(0<。<1),用X表示事件A发

生的次数，则X的分布列为尸(X=A)左=1,2,3,

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作x~5(〃,p).

8：超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有〃件次品，从N件产品中随机抽取"件(不放回)，用X表示抽

^~ik^~m—k

取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=M：M,k=m,m+l,m+2,---,r.

其中心N,A/eN*,M<N,n<N,m=max{O,n-N+M},r=vnin{n,M}.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

9：正态分布

若随机变量X的概率密度函数为/(%)=—占)刀L，(xwH,其中4£尺，。＞0为参数)，称随机变

量X服从正态分布，记为X〜N(〃Q2).

03题型归纳

题型一计算条件概率

例题1：(2025•河南郑州•一模)将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有1〜8八

个数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X,¥表示第一次和第二次抛掷的点数，则

P(max(X,y)=8|min(X,y)=4)=()

【答案】B

【知识点】计算条件概率

【分析】设事件A为：min(X,7)=4,事件8为：max(X,y)=8,用列举法写出事件事件A3和事件A的

各种情况，计数后由条件概率公式计算.

【详解】设事件A为：min（X,¥）=4.

当min（X,¥）=4时，

分两种情况：

第一次掷出4,第二次掷出大于等于4的数，即第二次可以是4,5,6,7,8,共5种情况；

第二次掷出4,第一次掷出大于等于4的数，即第一次可以是4,5,6,7,8,共5种情况，

两种情况都有第一次和第二次都掷出4,共1种情况，

所以事件A包含的基本事件数为5+5-1=9.

设事件8为：max（X,¥）=8,

则事件A8为：max（X,丫）=8且min（X,丫）=4,

有X=4,y=8和X=8,y=4两种情况.

由条件概率公式：

w）=巴竺型二

11）P（A）/i（A）9'

故选：B.

例题2：（2425高三上•天津・期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深

厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将

234

采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为门丁每道工序的加工都相

互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加

工合格的前提下，杀青加工合格的概率为一

597

【答案】

6013

【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式

【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式求解第一空，利用条件概率公式求解第二空.

【详解】解：设事件A表示“茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格”，则事件彳表示“茶叶加工中三道工

序都不合格”,

2459

所以尸（A）=l一尸（可=1一1x1-1x1

35j~60f

设事件B表示“绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格”，事件C表示“杀青加工合格”,

23223413

贝4尸（3）=§、1、1-1+—xq+ix—x———,

334530

U4+幺2347

P（BC）=ix—=—，

3453530

7

所以P©B)=*=晋=工

13

30

597

故答案为：E

例题3：（2425高三上•上海杨浦•期末）某校高二有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人

报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为.

4

【答案】y/0.8

【知识点】计算条件概率

【分析】记事件A:某人报足球俱乐部，记事件3:某人报乒乓球俱乐部，根据题意求出"（An®的值，再利

用条件概率公式可求得尸（网A）的值.

【详解】记事件A:某人报足球俱乐部，记事件8:某人报乒乓球俱乐部,

因为〃（AUB）=〃（A）+〃（3）—即50+60—“（4n3）=70,解得心|"|3）=40,

则尸（刎二%

4

故答案为：—.

巩固训练

1.（2425高三上•江苏•期末）第15届中国国际航空航天博览会于2024年II月12日至17日在珠海举行.本

届航展规模空前，首次打造“空、海、陆''一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量.航展共开辟

了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区.甲、乙、丙、丁四人相约去

参观，每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到

同一观展区的概率为（）

5_

A.BD.

6-I5

【答案】A

【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率

【分析】记事件A:甲参观珠海国际航展中心，事件3:甲与乙不到同一观展区，求出尸（A）、尸（AB）的值,

利用条件概率公式可求得所P（B|A）的值，即为所求.

【详解】记事件A:甲参观珠海国际航展中心，事件3:甲与乙不到同一观展区，贝”（A）=g,

因为每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区，

则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个展区，

基本事件的总数为“（Q）=C；A；=36,

若事件A、8同时发生，若参观珠海国际航展中心有2人，则另外一人为丙或丁，

此时，不同的参观情况种数为2A；=4,

若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区,

此时，不同的参观情况种数为C；A；=6种，

因此,

z.\P（AB\55

由条件概率公式可得尸（叫4）=尤/=行'3=%.

故选：A.

2.（2324高三下•河北•阶段练习）甲、乙、丙、丁4位同学报名参加学校举办的数学建模、物理探究、英

语演讲、劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学

所报活动各不相同的概率为（）

A.±B,AC.2D.§

183299

【答案】C

【知识点】计算条件概率

【分析】设4="甲同学报的活动其他同学不报"，3=”4位同学所报活动各不相同”，根据条件概率公式分

别计算出积事件AB所含的基本事件数和事件A所含的基本事件数，代入公式尸（叫力=尢司2计算即得.

【详解】设4="甲同学报的活动其他同学不报"，3=”4位同学所报活动各不相同”，

由题得〃（A）=4x3x3x3,n（AB）=4x3x2xl,

所以P（则=嚅4x3x2xl2

4x3x3x3-9

故选：C.

2—38

3.（2425高三上•湖北•期末）对于随机事件A,3,若尸（81A）=g,P（N⑶=g,P（B）=—P（A）=________.

3o15

【答案】1/0.5

【知识点】计算条件概率

【分析】利用条件概率计算即可求解.

_P（AB）3,、8

【详解】解：P（A|B）=4—=且*8）=”,

815

P（AB）=JP（A|B）-P（B）=1,

P(AB)2

P网A)=＞、：一

P(A)3

则P(A)=(

故答案为：—■

题型二乘法公式应用

例题1：(2024高三.全国.专题练习)一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球.若第

一次摸出红球的概率为!■,在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为:，则第一次摸出红球

且第二次摸出黄球的概率为()

A.±B.1C.2D.』

10555

【答案】B

【知识点】条件概率性质的应用

【分析】记事件A="第一次摸出红球”，事件8="第二次黄球"，由条件概率公式求解即可.

21

【详解】记事件A="第一次摸出红球”，事件3="第二次黄球”，则尸(A)=g,P(B\A)=~,

由条件概率公式得P(B\A)=与黑,则P(AB)=P(B|A)x尸(A)==

255

故选：B.

例题2：(2324高二下•江苏常州•期中)已知随机事件48,尸(4)=2(而4)=3，尸(8)=(则P(A2)=.

P(A|B)=.

13

【答案】-/0.25-/0.375

48

【知识点】条件概率性质的应用、计算条件概率

【分析】求出P(月)和尸(A豆)，由概率的乘法公式和条件概率公式，可得结果.

［详解】由概率的乘法公式得P(AB)=P(B|A)P(A)=|xl=l,

_21—1

因为尸(万)=1一尸(2)=：,P(AB)=-,则尸(AB)=P(A)-尸(AB)=1,

344

1

RA4-3

B)----

所以由条件概率公式得P(⑷B)p(28

B)-

3

i3

故答案为：—;—

例题3：（2425高三・上海•课堂例题）已知尸（A|B）=；,则P（Ac3）=.

【答案】

0

【知识点】条件概率性质的应用

【分析】由条件概率公式求解.

【详解】a（/n6）=P（AB）=P⑻P（AI⑻=gX：=J,

'，326

故答案为：—

6

巩固训练

1.（2021高二下•山东青岛•期中）某机场某时降雨的概率为（，在降雨的情况下飞机准点的概率为则

某时降雨且飞机准点的概率为（）

A.—•B.—C.—D.—

242550

【答案】D

【知识点】条件概率性质的应用

【分析】根据条件概率计算公式求解概率即可得出答案.

【详解】记事件A="飞机准点”，记事件B="机场降雨”

根据题意，尸（8）=:，在降雨的情况下飞机准点的概率为：尸（加3）=，

P（AB）

根据条件概率计算公式，P（A\B）=^^-

所以某时降雨且飞机准点的概率为，P（AB）=P（B）-P（A|B）=|x^=^

选项ABC错误，选项D正确

故选：D.

2.（2024・浙江.模拟预测）己知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出

第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为01；第一问做出的情况下，第二问做不出的概

率为06用频率估计概率，则此题得满分的概率是；得0分的概率是.

69

【答案】0.24/—0.36/—

【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、条件概率性质的应用

【分析】设相应事件，由题意可得P（A），P（8I矶尸仅IA）,根据对立事件结合条件概率公式分析求解.

【详解】设“第一问做出”为事件4“第二问做出”为事件3，

由题意可得：P（A）=0.6,P（洌A）=0.1,P（B|A）=0.6,

则P（A）=0.4,IA）=0.9,P（B|A）=0.4,

所以P（AB）=P（A）P（B|A）=0.24,即此题得满分的概率是0.24；

所以尸（另豆）=P（A）P（B|A）=0.36,即止匕题得满分的概率是0.36.

故答案为：0.24；0.36.

2

3.（2324高二下.黑龙江哈尔滨•期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率为石，已知下雨的条件下，

刮风的概率为三，则既刮风又下雨的概率为_______.

12

【答案】得

【知识点】条件概率性质的应用

【分析】先设事件A为下雨，事件B为刮风，由概率乘法公式尸（4?）=P（A）-P（8|A）计算可得.

【详解】设事件A为下雨，事件B为刮风，

由题意得，P（A）=-,P（B|A）=^,又尸仍|A）=4/

755

所以P（AB）=P（A）.尸（B|A）==x不=去.

UiZ/o

故答案为：.

7o

题型三全概率公式

例题1：（2425高三上•山东潍坊•期末）盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色

后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（）

A.—B.-C.-D.4

10782

【答案】C

【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率

【分析】设第一次取到黑球为事件4第二次取到黑球为事件B,根据题意可得P（A）,P（A）,P（B|A）,P（B|A）,

结合全概率公式运算求解.

【详解】设第一次取到黑球为事件4第二次取到黑球为事件2,

则/⑷=>0）=M（B|A）磊尸但可得，

所以尸（8）=尸（B|A）P⑷+咐可「㈤亮*|+»亲|.

故选：c.

例题2：（2425高三上•安徽宿州•期末）两批同种规格的产品，第一批占25%,次品率为5%；第二批占75%,

次品率为4%,将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品为次品的概率为.

17

【答案】一/0.0425

400

【知识点】利用全概率公式求概率

【分析】由全概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件4：所取的一件产品来自第八i=l,2）批，记事件3:所取的一件产品为次品，

1Q11

则尸⑷尸（4）="尸（叫4）=］，尸（固4）=不，

IIQI17

由全概率公式可得P（B）=P（A）P（B|A）+P（4）PM4）=/^+/X=旃・

17

故答案为：旃.

例题3：（2425高三上•天津静海•阶段练习）有三台车床加工同一型号的零件，第一台为旧车床加工的次品

率为10%,第二，三台为新车床加工的次品率均为5%,三台车床加工出来的零件混放在一起.已知一，二，

三台车床加工的零件数分别占总数的20%,40%,40%.任取一个零件，计算它是次品的概率为.

3

【答案】0.06/-

【知识点】利用全概率公式求概率

【分析】根据全概率公式求解即可.

【详解】设3="任取一个零件为次品"，4="零件为第后车床加工”（，=1,2,3）,

则。=4口4口&,且A，4,4两两互斥，

根据题意得P（A）=0.2,）=0.4,p（A,）=0.4,

P（B|4）=0.1,P（B|4）=P（B|4）=0.05,

由全概率公式得

P（B）=P（4）P（B|A）+尸（4）P（j?l4）+尸（A）尸（困4）=0.2X0.1+0.4X0.05+0.4X0.05=0.06.

故任取一个零件，它是次品的概率为0.06.

故答案为：0.06.

巩固训练

1.（2425高二上•黑龙江哈尔滨•期末）某地市场上供应一种玩具电动车，其中甲厂产品占乙厂产品占;，

丙厂产品占;，甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是90%,丙厂产品的合格率是80%,若从该

地市场上买到一个电动车，此电动车是次品的概率是（）

A.0.08B.0.15C.0.1D.0.9

【答案】C

【知识点】利用全概率公式求概率

【分析】根据全概率公式，即可求解.

【详解】设电动车为甲厂生产为事件A,电动车为乙厂生产为事件8,电动车为丙厂生产为事件C,电动

车为次品为事件M，

则尸（A）=g,p（3）=p（c）=；,且尸他⑷=1-95%=0.05,=1-90%=0.1,

P（M|C）=l-80%=0.2

则P（Af）=P（A）尸他同+尸（B）P（M⑻+P（C）P（M|C）

=-xO.O5+-xO.l+-xO.2=O.l.

244

故选：C

2.（2425高三上.云南昆明.期中）若尸（引力=|,P（B|A）=|,P（A）=；，贝1」尸（3）=.

【答案】1/0.625

O

【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用全概率公式求概率

【分析】根据全概率公式以及对立事件的概率公式求解即可.

【详解】因为尸"）=：,所以尸（可=1一2网=1-；=；,

所以尸（2）=尸（BA）+P（函）=尸（冏4）・尸（A）+P（同N）•尸（X）=gx：+gx；=g

故答案为：—.

O

3.（2324高二下.湖南邵阳•期末）有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，其中甲厂生产的占40%,甲厂

生产的次品率为2%，乙厂生产的占60%，乙厂生产的次品率为3%,从中任取一件产品是次品的概率是

13

【答案】0.026/—

【知识点】利用全概率公式求概率

【分析】利用全概率公式，即可求解.

【详解】设A，&为甲，乙两厂生产的产品，B表示取得次品，

p（4）=0.4,尸（4）=0.6,P（B⑷=0.02,P（B|4）=0.03,

所以尸（8）=尸（A）尸（用4）+尸（4）P（网&）,

=0.4x0.02+0.6x0.03=0.026.

所以任取1件产品的概率为0.026.

故答案为：0.026

题型四贝叶斯公式

例题1：（2324高二下•广东广州•期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社

团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生,

则他来自高三（1）班的概率是（）

A.—B.-C.-D.-

40984

【答案】B

【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率

【分析】设事件后根据题干得到P（A）,P（B）,P（C|A）,P（C|B）,由全概率公式求得尸（C）,由乘法公式

得到尸（AC）,由条件概率公式得到P（A|C）.

【详解】设事件A为“抽到的学生来自高三（1）班”，事件B为“抽到的学生来自高三（2）班”，事件C为“抽

到的学生参加数学兴趣社团，，，

则尸（A）=g,P（C|A）=^=|）P（C|8）=U，

由全概率公式得尸（C）=P（A）尸（C|A）+P（B）尸（C|3）=gx；+；xg=[,

由乘法公式得尸（AC）=P（A）P（C|A）=|x|=|,

24o

1

8-5

由条件概率公式得P（A|C）=粤2=--

99-

1

40

故选：B.

例题2：（2324高二下•福建泉州•期末）某学校有A2两家餐厅，王同学第1天选择B餐厅就餐的概率是g,

4

若第1天选择A餐厅，则第2天选择A餐厅的概率为彳；若第1天选择3餐厅就餐，则第2天选择A餐厅

3

的概率为已知王同学第2天是去A餐厅就餐，则第1天去A餐厅就餐的概率为（）

•3「8一1一1

A.—B.—C.—D.一

111153

【答案】B

【知识点】计算条件概率、乘法公式、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率

【分析】利用互斥事件的概率加法公式、积事件的乘法公式进行计算求解.

【详解】设4="王同学第i天去从餐厅就餐”，瓦="王同学第，天去2餐厅就餐"，i=l，2,

143?

依题意,「（4户屋P（4I4）=M，尸（41片）=寸则尸（4）=屋

由尸(4IA)=9")=g有:P(&A)=A

JJID

因为4=AAUB出,所以尸(&)=尸耳4)=P(A4)+P(耳4)

241311

=^(A)mi4)+JP(s1)P(AIB1)=jx-+-x-=-,

8

n

故选：B.

例题3：（2025高三•全国・专题练习）一个大型电子设备制造厂有A和3两条生产线负责生产电子元件.已知

生产线A的产品合格率为95%,生产线2的产品合格率为90%,且该工厂生产的电子元件中60%来自生产

线A,40%来自生产线反现从该工厂生产的电子元件中随机抽取一个进行检测，则该电子元件在检测不合

格的条件下来自生产线A的概率是.

【答案】|

【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率

【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答.

【详解】随机抽取一个电子元件，设。="抽取的电子元件不合格”，£="抽取的电子元件来自生产线A”,

尸="抽取的电子元件来自生产线8"，则P（E）=0.6,P（F）=0.4,

P（0E）=0.05,P（Z）|F）=0.1.

由全概率公式得尸（。）=尸（E）尸（。3）+尸（尸）尸（必尸）=0.6x005+0.4x0.1=0.07

p（£）p（r）|E）0.6x0.05_3

故尸(E[£>)=

P（D）0.07"7'

3

故答案为：—■

巩固训练

1.（2324高二下.江苏扬州•阶段练习）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现

从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取

出的也是2个红球的概率为（）

163

ADD.

-E755

【答案】C

【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率

【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式计算可得.

【详解】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为4,事件A,的概率为P（A）,

从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为8,事件B的概率为尸（3）,由题意:

C2co2

①尸(4)=皆1P⑶4)=^cc°1

=5f"15

4r2ro

②尸(4)=罟Ue_31

=5；

2c2c0

③尸(4)『c°cJ.p(引4)=皆_2

二于=5；

所以p(3)=尸(4)尸(印4)+尸(A)尸(5|A)+P(4)P(3|4)

11311216

=—x------F—X—H--X—=

515555575

12

所以…卜端—x—

二553

168

75

3

即已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为?.

8

故选：C.

2.（2324高二下•广东佛山•阶段练习）若某地区一种疾病的患病率是0.05,现有一种试剂可以检验被检者

是否患病.已知该试剂的准确率为95%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；

该试剂的误报率为0.5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机

抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）

、495八995〃10「21

A.------B.------C.—D.—

100010001122

【答案】C

【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率

【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到P（AB）,P（A）,使用贝叶斯公式即可得解.

【详解】设检验结果呈现阳性为事件A,此人患病为事件8,

P(AB)=P(B)P(A|B)=0.05x95%=4.75%,

P(A)=P(AB)+P(AB)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)

=4.75%+(1-0.05)x0.5%=5.225%,

则尸国A）=零4,75%_10

5.225%-H

故选：C

3.（2526高三上・上海・单元测试）某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、

丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为上、二、4现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任

意取出一个产品.若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是.

45

【答案】而

【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率

【分析】记事件"取得一个产品是次品”，片=“取得的一箱是甲厂的“，为="取得的一箱是乙厂的“，鸟=

“取得的一箱是丙厂的“，先由已知条件结合全概率公式求得P（A）,再由贝叶斯公式

尸㈤IA）=尸4即可得解.

【详解】记事件A="取得一个产品是次品”，与="取得的一箱是甲厂的“，

与="取得的一箱是乙厂的“，鸟="取得的一箱是丙厂的”,

则由题P（旦）=《=；,=尸色）=[=",

12212512o

尸（加4）=（，尸（AI层）=（，P（A出）=（，

所以由全概率公式得尸（A）=P（4）尸（AI4）+P（B2）尸（4四）+64）尸（川四）

111111111157

—___y_______I______________I_____X_____—_______I_________I_________—__________

-2103146182042108—1890’

所以由贝叶斯公式若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是

11

一x—.―

网与）川用男）314_45

P(B?|A)=

P⑷157157,

1890

45

故答案为：记亍

题型五利用离散型随机变量的性质求参数或概率

例题1：（2324高二下.江苏.单元测试）已知随机变量X的分布列为尸（X=i）=t（i=123,4）,则

P（2<X<4）=（）

137c

A.士B.-C.—D.-

25ior

【答案】A

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率

【分析】运用概率分布列的性质求出a=10,再求尸（2WX<4）即可.

【详解】依题意，分布列概率之和为1,则一1+2—+33+—4=1,解得a=10.

aaaa

即P(X=i)=自(i=1,2,3,4),所以尸(24X<4)=P(X=2)+P(X=3)4+1J

故选：A.

例题2：(2024高三.全国•专题练习)随机变量¥的概率分布如下:

Y123456

P0.1X0.350.10.150.2

则尸(y>3)=.

9

【答案】0.45/—

20

【知识点】由随机变量的分布列求概率

【分析】利用随机变量分布列的性质即可求解.

【详解】P(r>3)=P(y=4)+P(y=5)+P(y=6)=0.1+0.15+0.2=0.45.

故答案为：0.45.

例题3：(2024高三.全国.专题练习)已知离散型随机变量X的分布列为:

X123

31

Pm

510

则P(X42)=.

9

【答案】—/0.9

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率

313

【分析】根据题意知£+加+本=1，求出根=木，然后可求解.

313

【详解】由离散型随机变量x的分布列的性质，可得:+加+木=1,解得加=5，

339

所以P(X<2)=尸(X=l)+尸侬=2)=M+而=亿

9

故答案为:伍.

巩固训练

1.(2324高二下.河北沧州•期中)已知离散型随机变量X的分布列为尸(X=")=L^(九=1,2,3),

nln+i]

则〃二()

3423

A.-B.-C.-D.一

4332

【答案】B

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题

【分析】利用离散型随机变量X的分布列的概率之和为1,代入计算即可.

【详解】因为尸(X=l)+P(x=2)+尸(X=3)=l,

Qaa[11111

所以---+----+----=〃1--1------1-----=1,

1x22x33x4(22334

4

所以〃=

故选：B.

2.(2324高二下.宁夏石嘴山•期中)设随机变量X的概率分布为P(X=A)=((1WXW4,keZ),则

P(2<X<4)=.

7

【答案】0.7/—

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率

【分析】根据概率和为1求。，再求概率.

【详解】由题意可知，[=1，则。=5,

2a

所以尸(x=0=L

347

所以P(2<XW4)=尸(X=3)+P(X=4)=而+历=历=07

故答案为：0.7

3.(2324高二下•江苏无锡・期中)若随机变量X的分布列为

X-2-10123

P0.10.20.20.30.10.1

则当尸(x<a)=Q5时，实数”的取值范围是.

【答案】(0,1

【知识点】利用随机变量分布列的性质解题

【分析】根据给定的分布列，求出尸(*<0),尸(无<D即可求出。的取值范围.

【详解】由分布列知，P(x<0)=P(X=-2)+P(X=-1)=0.3<0.5,

P(x<l)=P(X=-2)+P(X=-l)+P(X=0)=0.5,[fnP{x<a)=0.5,

所以

故答案为：(0,1]

题型六离散型随机变量的的分布列，均值

例题1：(2425高三上•天津北辰・期末)某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考

试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参

加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.5,0.6,0.7,且每次考试是否通过相互独立，则小王在一

年内领到资格证书的概率为;他在一年内参加考试次数的数学期望为.

【答案】0.941.7

【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值

【分析】利用概率的乘法与加法，根据数学期望的计算公式，可得答案.

【详解】0.5+(1-0.5)x0.6+(1-0.5)x(1-0.6)x0.7=0.94,

设一年内参加考试次数为X,则X的可能取值为1,2,3,

尸(X=1)=0.5,P(X=2)=(l-0.5)x0.6=0.3,

p(X=3)=(1-0.5)x(1-0.6)=0.2,

所以数学期望E(X)=1XO.5+2XO.3+3XO.2=L7.

故答案为：0.94；1.7.

例