尺规作图+补全证明过程（解析版）-2025年重庆中考数学复习专项训练

专题09尺规作图+补全证明过程

(5类基本尺规作图50道)

目录

【题型1作已知线段相等线段1.....................................................................................................1

【题型2角平分线】............................................................................16

【题型3垂直平分线】..........................................................................31

【题型4过点作已知直线的垂线】...............................................................48

【题型5作已知角相等角】.....................................................................63

【题型1作已知线段相等线段】

1.如图，AD||BC,47平分NB4D,请完成下面的作图和填空.

(1)用尺规完成以下基本作图：在线段BC上截取BE=4。，连接DE,交4c于点F；

(2)已知：AB+NBED=180。，求证：=ZC.请将下面的证明过程补充完整：

证明：•.明IBC,

•••z.2=z■①,

•••AC平分NBA。，

•••②.

•••zl=zC.

•••NB+NBED=180°,

•••③.

・•・Z1=4④.

Z.CFE=Z.C.

【答案】①见解析

⑵见解析

【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定与性质是解答

本题的关键.

（1）根据已知线段作线段即可；

（2）根据平行线的判定和性质求解即可.

【详解】（1）解：如图所示即为所求；

•••z.2=Z.C,

•・・4C平分NB40,

z.2=zl.

•••zl=Z.C.

•・•乙B+(BED=180°,

ABWED.

Z1=乙CFE.

Z.CFE=Z.C.

2.如图，DE、4”分别平分NADC、乙BAD,^EDC=36°,AB\\CD.

（1）尺规作图：在射线力B上作4F=4D,并连接HF；（不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，已知乙4HF=36。，

求证:ADWHF.

证明：•••DE平分NADC,NEDC=36。，（已知）

■■^ADC=①=72。（角平分线的定义），

■.■ABWCD,（己知）

：.^ADC=^BAD(②),

又•.•力”平分NBA。，（已知）

••・③（角平分线的定义）

又：乙针/尸二36。，（已知）

••.（4）（等量代换）

.-.ADWHF（⑤）.

【答案】（1）见解析

（2）①2/EDC；②两直线平行，内错角相等；③④乙DAH=UHF；⑤内错角相

等，两直线平行

【分析】（1）以A为圆心，以4。的长为半径画弧交4B于F,连接HF即可得到答案；

（2）先由角平分线的定义得到乙WC=72。，再由平行线的性质得到N4DC=乙BAD=72。，即可利用角平分

线的定义得到N£MH=36。，进一步证明=即可证明4D||HF.

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）证明：•••DE平分N&DC,Z.EDC=36°,（已知）

.•2DC=2NEDC=72°（角平分线的定义），

■：AB\\CD,（已知）

.•.乙40C=4艮4。=72。（两直线平行，内错角相等），

又,••4”平分NBAD,（已知）

1

.•2£MH=5®D=36°（角平分线的定义）

又•.24HF=36。，（己知）

.-.ADAH=AAHF（等量代换）

.•.4。旧尸（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：①2NEDC；②两直线平行，内错角相等；③ND4H=184。=36。；④4DAH=UHF；⑤

内错角相等，两直线平行.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，线段的尺规作图，画线段等等，灵活运用所学知识是解题

的关键.

3.如图，在△4BC中，4D是△4BC的角平分线，E为4B边上一点，连接DE.

⑴尺规作图：作线段CF使CF=C4交4D延长线于点E（保留作图痕迹，不写作法及结论）

（2）在（1）问的条件下，若乙4CB+/CDE=180。，Z.FCB=Z5=40°,^CFA=30°,求NBDE的度数.请补

全下面解答过程.

解：•••ZFCB=Z.B（己知）

•••CFII—①—（内错角相等，两直线平行）

.-./.FAB=/-CFA（_②_）

■.■^CFA=30°（已知）

.•2兄48=30。（等量代换）

•./D是△A8C的角平分线（已知）

■■^CAB=—③—=60。（角平分线的定义）

■:^ACB+/.CDE=180°（已知）

.-.ACWDE（_®_）

••2DEB=Na4B=60。（两直线平行，同位角相等）

在△BDE中，=40。（已知），Z.DEB=60°（已证）

乙B+乙BDE+乙DEB=180°（_⑤_）.

"BDE=180。-NB—NDEB=80°（等式的性质）

【答案】（1）见解析

两直线平行，内错角相等；2乙FAB；同旁内角互补，两直线平行；三角形的内角和为180。

【分析】（1）延长2。，以点C为圆心，的长度为半径画弧，交4。的延长于「贝。CF为所求的线段；

（2）由题意可得CFIIAB,则有=凡4,从而可求得4cAB=2NF4B=60。，再由同旁内角互补，两

直线平行得4CIIDE,有NDEB=NC4B=60。，贝U可求NBDE的度数.

【详解】（1）解：延长4。，以点。为圆心，乙4的长度为半径画弧，交4。的延长于尸，贝UCF为所求的线段,

如图所示：

CF即为所求；

⑵,:乙FCB=LB（已知），

.-.CFWAB（内错角相等，两直线平行），

乙FAB=4CFA（两直线平行，内错角相等），

•••ZCFX-30°（已知），

.•Z凡4B=30°（等量代换），

・・/D是△ABC的角平分线（已知），

.•288=24凡43=60。（角平分线的定义），

■.■/LACB+/.CDE=180°（已知），

.■.ACWDE（同旁内角互补，两直线平行），

.•2DEB=Na4B=60。（两直线平行，同位角相等），

在△BDE中，

•.28=40。（已知），4DEB=6。。（已证），

乙B+乙BDE+乙DEB=180°（三角形的内角和为180。），

：/BDE=18O°-ZB-ZDEB=80°（等式的性质）.

故答案为：AB；两直线平行，内错角相等；2ZFXB；同旁内角互补，两直线平行；三角形的内角和为

180°.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角与

各边的关系.

4.如图，点。、E、尸分别是线段BC、AC,AB上的点，连接DE、EF.

A

⑴尺规作图：在射线4F上作4G=ED,并连接DG.（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，^AB||ED,AAEF=A.BDG,乙DEF=^B,求证：CA||DG.

证明：MB||ED（内错角相等，两直线平行）

"DEF=①（两直线平行,内错角相等）

又“DEF=LB（已知）

.•.乙4FE=NB（等量代换）

：.EF||CB（②）

:.^AEF=ZC（③）

又•：乙AEF=ABDG（已知）

.•.ZC=@（等量代换）

■■CA||DG（同位角相等，两直线平行）.

【答案】⑴见解析

（2）乙4FE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；乙BDG

【分析】（1）以4为圆心，ED长为半径画弧，交力B于G,连接DG,即可得到答案；

（2）根据平行线的性质和等量代换得到NC=4BDG,再根据平行线的判定即可推出。IIIDG.

【详解】（1）解：根据题意画出图如图所示：

（2）证明：•MB||ED（内错角相等，两直线平行）,

••ZDEF=N4FE（两直线平行，内错角相等），

又MDEF=KB（已知），

...乙AFE=4B（等量代换），

■■EF||CB（同位角相等，两直线平行），

.•Z4EF=NC(两直线平行，同位角相等),

又.：4AEF=4BDG(已知)，

：.乙C=ABDG(等量代换)，

■■CA||DG(同位角相等，两直线平行)，

故答案为：乙4FE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；4BDG.

【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

5.如图，在四边形ABCD中，AD||BC,BE1AC于点E.

⑴尺规作图：在边4。上截取4F=BC,过点F作对角线4C的垂线，交4c于点G.(要求：保留作图痕迹，不

写做法)

⑵连接CF,证明△4BE三△CFG.将下面的过程补充完整.

证明：•••(1),AF=BC

•••四边形2BCF是平行四边形

AB||CF,(2)_______________

(3)_______________

BE1AC,FG1AC

：./.AEB=乙CGF=90°

AXSWACFG43

((4)________

乙BAE=乙FCG

IAB=CF

.•.△ABE三△CFG(AAS)

【答案】(1)见解析

(2)AD||BC-乙BAE=AFCG；4BAE=4FCG,乙AEB=LCGF

【分析】(1)先在线段AD上截取4F=BC,再利用垂线的尺规作图方法作出FGL4C于G即可；

(2)先证明四边形4BCF是平行四边形，得到AB||CF,4B=CF,再根据垂直的定义得到N4EB=NCGF=90。,

由此可利用AAS证明△ABE^△CFG.

【详解】（1）解：如图所示，即为所求;

（2）证明：•••AD||BC,AF=BC,

•••四边形4BCF是平行四边形，

：.AB||CF,AB=CF,

Z.BAE=Z.FCG,

vBEVAC,FGVAC,

Z-AEB=乙CGF=90°,

在△/BE和△CFG中

（乙AEB=乙CGF

（^BAE=ZFCG,

（AB=CF

・•.△ABE=△CFG（AAS），

故答案为：AD||BC；AB=CF-^BAE=Z.FCG,Z.AEB=Z.CGF.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，尺规作图一一作线段和作垂

线等等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

6.如图，ABWCD,射线4E与CD交于点尸，射线CG与4E交于点H.若力。是4B4E的角平分线，且

+NAHG=180°.

⑴尺规作图：在射线2B上作=并连接DM（不写作法，保留作图痕迹）;

⑵试说明=请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由.

证明：ABWCD（已知）

4BAD=（两直线平行，内错角相等）

•••力D是NB4E的角平分线（已知）

.­.ZSXD=^DAE（）

KD=（等量代换）

•••4DAE+UHG：=180°（已知）

（同旁内角互补，两直线平行）

ZC—zD（）

^DAE=ZC（等量代换）

【答案】（1）见解析

⑵ND；角平分线的定义；Z.DAE,ADWCG；两直线平行，内错角相等

【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与

灵活运用.

（1）根据题意作出图形即可；

（2）根据角平分线的定义、平行线的判定与性质等进行作答即可.

【详解】（1）解：DM如图所示，

（2）证明：•MB||（已知）

.-.ABAD=Z.D（两直线平行，内错角相等）

・"1。是NB4E的角平分线（已知）

.-.^BAD=^DAE（角平分线的定义）

••ZD=ACME（等量代换）

■,■Z.DAE+AAHG=180°（已知）

.■.ADWCG（同旁内角互补，两直线平行）

：/C=4D（两直线平行，内错角相等）

.-.^DAE-ZC（等量代换）

故答案为：乙D；角平分线的定义；ADAE；ADWCG；两直线平行，内错角相等.

7.在学习旋形的判定时，小明思考怎么在平行四边形4BCDQ4D>AB）里面剪出一个菱形，小明的思路是:

先作NBCD的角平分线CE交2D于E,在CB上截取CF=CD,然后连接EF.通过邻边相等的平行四边形得菱

形EFCD,请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

⑴用尺规完成以下基本作图：作NBCD的角平分线CE交4D于点£,在CB上截取CF=CD.（保留作图痕迹,

不写作法、结论）

（2）证明：•.•四边形2BCD为平行四边形，

■■.Z-FCE=/.DEC,

•••CE平分NBCD,

"DEC=Z.DCE,

•:CF=CD,

四边形EFCD是平行四边形；

又,；_，

••・四边形EFCD是菱形.

【答案】⑴见详解；

（2）见详解

【分析】本题考查尺规作角平分线，作相等线段，平行四边形的性质，菱形的判定：

（1）利用尺规作图作角平分线，根据圆的半径相等作线段即可得到答案；

（2）根据平行四边形的性质得到4DIIBC,从而得到NFCE=NDEC,结合角平分线得到/DEC=ADCE,从

而得到DE=OC,即可得到=进而即可得到证明

【详解】（1）解：由题意可得，如图所示，

以点C为圆心画圆弧交两边于两点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接C与该点交力。于一点即为E

点，以C为圆心CD为半径画圆弧交BC于一点即为F点,

(2)证明：・••四边形48CD为平行四边形,

.-.AD||BC,

:/FCE=乙DEC,

•；CE平分乙BCD,

：.Z-FCE=Z.DCE,

"DEC=乙DCE,

.,.DE=DC,

•・・CF=CD,

.-.DE=CF,

••・四边形EFCD是平行四边形；

又•:DE=DC,

••・四边形EFCD是菱形.

8.如图，N1=N2,点F在射线CB上.

D

⑴尺规作图：在射线C8上作=并连接D4；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，已知=

求证：4ADB=LE.

证明：zl=Z2(已知)，

■.BD||CE(①)

N3=②(③)

XVZ-DAB=Z-EBC（已知）

BE||AD（④）

z.3=⑤（⑥）

^ADB=ZE（等量代换）

【答案】⑴见解析

⑵内错角相等，两直线平行；乙E,两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；乙4DB,两直线平

行，内错角相等

【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

（1）根据题意进行作图即可；

（2）根据平行线的判定和性质补全证明过程即可.

【详解】（1）解：如图，

D

Z3=ZE（两直线平行，内错角相等）

X•••Z.DAB=Z.EBC（已知）

BE||AD（同位角相等，两直线平行）

Z3=AADB（两直线平行，内错角相等）

/.ADB=ZF（等量代换）

故答案为：内错角相等，两直线平行；乙E,两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；UDB,

两直线平行，内错角相等.

9.如图，在平行四边形ABCD中，AB<BC.

⑴用尺规完成以下基本作图：作NB4D的平分线交BC于点E,在04上截取OF,使DF=CE（保留作图痕迹,

不写作法）；

⑵在（1）所作的图形中，连接EF,求证：四边形力BEF是菱形.请补全下面的证明过程.

证明：••・四边形48C。为平行四边形，.MDIIBC且AD=BC,

■.-DF=CE,.-.AD-DF=BC-CE,

四边形2BEF是平行四边形，

••,HE平分NB/IF,,

：./-BEA=Z-BAE.

・・.,二四边形4BEF是菱形.

【答案】⑴见解析

（2）BE=AF；匕BEA=Z.EAF；Z-BAE=Z.EAF；AB=BE

【分析】（1）根据尺规作图作出角平分线，以及线段，即可;

（2）根据平行四边形的性质以及菱形的判定方法求证即可.

【详解】（1）解：如图所示：

(2)证明「•四边形为平行四边形，MDUBC且=

-DF=CE,

・・・AD-DF=BC-CE,

：,BE=AF.

・•.四边形是平行四边形,

-ADWBC,=/.EAF.

'：AE^^Z.BAFf：.Z-BAE=Z.EAF,

：»Z.BEA=Z.BAE.

=.・•四边形4BEF是菱形.

BE,C

A1~~D

故答案为：BE=AF；NB£;4=NEAF；/.BAE/.EAF-,AB=BE

【点睛】此题考查了尺规作图一角平分线、线段，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌

握平行四边形的性质以及菱形的判定方法.

10.在平行四边形48a>中，AD>AB,

⑴用尺规完成以下基本作图：在上截取使得4E=4B,连接3E；过C作2E的垂线CH,垂足为

H；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)经过学习小组讨论发现平分乙88,并给出以下证明，请你补充完整：

证明：•./E=4B

・•/ABE=_________

,・,四边形ABCD为平行四边形

：.AD\\BCfABWCD

：.Z-AEB=Z.CBE

"ABE=_________

-CH1BE

"CHB=90°

"CBE+Z-BCH=90°

-ABWCD

即：乙ABE+Z,CBE+乙BCH+乙DCH=180°

+乙DCH=90°

又“BE+乙BCH=90。且Z71BE=乙CBE

:・CH平分乙BCD

【答案】⑴见解析

⑵乙CEB,UBC+乙BCD=180°,乙DCH二乙BCH,

【分析】(1)如图，以点4为圆心，的长为半径画弧，交AD于点、E,连接BE,以点。为圆心，适当

的长为半径画弧，交射线BE于点点N,分别以点点N为圆心，以大于长的一半为半径画弧,

两弧交于点尸，作射线。尸，交射线于点则点7/即为所求；

(2)根据=可得乙ABE=UEB,再由平行四边形的性质可得乙=4。£比再根据可

得4+=然后根据ZBIICO,可得乙4BE+NOCH=90。，从而得到乙DC4二4BC7/,即可求证.

【详解】(1)解：如图，ZE和S即为所求；

(2)证明：ME=48,

.\Z-ABE=UEB,

•・•四边形/5CQ为平行四边形，

：.AD\\BC,AB\\CDf

：.Z-AEB=乙CBE,

：.Z.ABE=乙CEB,

-CH1BE,

"CHB=90°,

.-.ZCBE+ZBCH=9O°,

-ABWCD,

.-.zS4^C+z5CD=180°,

即：Z.ABE+乙CBE+乙BCH+乙DCH=180°,

：.Z.ABE+乙DCH=90°,

又MCBE+乙BCH=90°且NABE=乙CBE,

■■.ADCH=ABCH,

;.CH平分4BCD.

【题型2角平分线】

11.已知：如图，△力8c中，Z.BAC=90°,AB=AC,。为AC中点，F为BC上一点,AFIBD^E.

⑴尺规作图：作N84C的角平分线交BD于G.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)中所作的图形中，求证：AG=CF.补全下列证明过程：

证明：­■•ABAC=90。，AB=AC,

•••4G平分NB4C,

zS4G=|zBXC=45°,

,

AF1BD,

・•.AAEB=90°=ABAC,

・•.ZFXD+ZBT4E=90°,+=

・•.AACF=ABAG(),

・•.AG=CF.

【答案】①作图见解析

(2)N4BC=/C=45。；^BAG=zC；AFAD=ADBA；ASA.

【分析】(1)根据角平分线的画法作图即可；

(2)根据题意完成证明过程即可；

本题考查了角平分线的画法和性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正确

画出图形是解题的关键.

【详解】(1)解：如图所示，射线4G即为所求；

(2)证明：•••ZFXC=9O°,AB=AC,

：.乙4BC=NC=45°,

•••AG平分NBAC,

NB4G=/B4C=45。，

乙BAG=Z-C,

AF1BD,

・•・AAEB=90°=ABAC,

・•・乙凡40+乙&4E=90。，ND区4+乙44£=90。,

・♦・乙FAD=Z-DBA,

・•・AACF^ABAG(ASA),

・•.AG=CF.

故答案为：Z^C=ZC=45°；/.BAG=ZC；Z-FAD=/.DBA；ASA.

12.如图，在△ABC中，ZC=9O°,点。在边AB上，BD=BC.

（1）作NB的平分线，交AC于点E（尺规作图，保留痕迹，不写作法）;

⑵在（1）的条件下，连接CD,DE.求证：BE垂直平分CD.

证明：ME为乙4BC的平分线，

•••Z-CBE=,

vBD=BC,BE=BE,

在△8DE和△BCE中

BD=BC

BE=BE

BDE=ABCE(),

两点都在CD的垂直平分线上，

・•.BE垂直平分CD.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）根据角的平分线的基本作图，规范解答即可；

（2）根据三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定界点值即可.

本题考查了角的平分线基本作图，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握作图，三

角形全等的证明是解题的关键.

【详解】（1）解：根据题意，作图如下：

则点E即为所求.

(2)证明：•••BE为N4BC的平分线，

•••乙CBE=Z-DBE,

,:BD=BC,BE=BE,

在和△BCE中

(BD=BC

Z.DBE=Z.CBE

IBE=BE

・•・△BDE=△BCE(SAS)，

・•.ED=EC.

:・B、E两点都在CD的垂直平分线上，

・•.BE垂直平分CD.

故答案为：4DBE,乙DBE=SAS,ED=EC,B、E.

13.如图，在△ABC中，AB=AC,ADLBC,垂足为点D,点E在4D的延长线上.

A

⑴尺规作图：作NACB的平分线交4。于点F（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）；

⑵填空：在（1）的条件下，若2乙EBD=cABC,试说明OE=D尺

证明：-AB=AC,ADLBC,

;.BD=Z-ABC=

・：2（EBD=乙ABC,

：2乙EBD=

又・・・CF平分乙4CB,

/.2_=Z-ACB,

"EBD=

（乙EBD=Z.FCD

在△BED和中，\BD=CD,

i^BDE=乙CDF

△BED=△CFD（ASA），

：.DE=DF.

【答案】⑴作图见解析

⑵见解析

【分析】（1）以点C为圆心，以小于BC为半径画弧，交BC于点M,交AC于点、N,再分别以点M,N为圆

心，以大于为半径画弧，两弧交于点P,作射线CP,交4D于点厂；

（2）先根据等腰三角形的性质得BD=CD,AABC=AACB,结合已知条件得24EBD=4CB,再根据角平

分线定义可得NEB。=40CF,然后根据"ASA"证明△BED三△CFD,最后根据全等三角形的性质得出答案.

【详解】（1）解：如图所示.

A

(2)-AB=AC,ADLBC,

;.BD=CD,Z-ABC=Z-ACB.

•；2乙EBD=乙ABC,

工2乙EBD=Z-ACB.

・・・CF平分NZCB,

：.2/-BCF=乙ACB,

.,.Z.EBD=Z-DCF.

在△BEO和△CF。中，

(乙EBD=乙DCF

]BD=CD,

JBDE=乙CDF

ABED=△CFD(ASA),

・•,DE=DF.

【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定

义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等.

14.尺规作图并完成证明.如图，点。、点尸在△4BC外，连接4F、AD,BD,且AFUBC,

⑴用尺规完成以下基本作图：

作乙4BC的平分线BE交力F于点£,连接CE(保留作图痕迹，不写作法);

（2）根据（1）中作图，求证：AD=CE-请完善下面的证明过程.

证明：母平分N4BC,

"CBE=,

-AFWBC.

"CBE=.

.'.Z-ABE=Z-AEB.

在和△8D4中，

(AE=AB

^LABD=Z.CAF

.'.AACE=ABDA.

【答案】（1）画图见解析

⑵见解析

【分析】（1）根据基本作图作已知角平分线的作法作出BE,再连接CE即可；

（2）先由角平分线定义与平行线的性质证得NABE=ZTIEB,从而得到48=AE,然后利用SAS证

△2CE三△BD4则全等三角形的性质即可得出结论.

Z.CBE=Z.ABE.

•・•AFWBC.

•••Z.CBE=Z-AEB.

Z.ABE=Z.AEB.

••・AB=AE.

在△?!(?£1和△8ZM中,

(AE=AB

乙ABD=ACAF

(AC=BD

■.AACE^ABDA.

AD-CE.

【点睛】本是考查尺规基本作图-作已知角的平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判

定与性质，证得4B=4E是解题的关键.

15.我们知道，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.证明

这种文字性命题一般思路为：画草图，写出已知求证并证明.按以上思路完成下面的作图与填空.

已矢口：如图，NCAE是△ABC的夕卜角，4D平分NG4E,AD\\BC.

求证：AB=AC.

证明：用直尺和圆规作NC4E的平分线4D.(只保留作图痕迹)

■:AD||BC,

•MD平分NC4E,

.-.AB=AC(_).

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，先根据角

平分线的尺规作图方法作图，再由平行线的性质得到NB=NE4D,4：=乙CAD,进而根据角平分线的定义

推出乙8="，即可证明=

【详解】证明：用直尺和圆规作NC4E的平分线4D.(只保留作图痕迹)

­■AD||BC,

.,.Z.B=Z-EAD,Z-C=Z-CAD,

•・・/D平分4C4E,

.\Z-EAD=Z.CAD,

:/B=zC,

•.AB=AC（等角对等边）.

⑴使用尺规完成作图：作ABAC的角平分线交BD于G.（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

（2）填空：求证：AG=CF.

证明：ZSXC=9O°,AB=AC

.-.^ABC=ZC=一①。

•MG平分NBAC

1

・"AG="BAC=45。

：.z_BAG=Z-C

,：AF1BD

・•・乙AEB=90°=

.・21+NB/E=90。，Z2+^BAE=90°

•••一③

△ACF^_@

：.AG=CF

【答案】（1）见解析

（2）①45；②BAC；③N1=N2；（4）ABAG

【分析】本题考查了尺规作图一作角平分线，全等三角形的判定和性质.

（1）根据尺规作图一作角平分线的方法和步骤进行作图即可；

（2）通过证明AACFmaBaG,即可求证AG=CF.

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）证明：^BAC=90°,AB=AC,

.•23。="=45。，

•••AG平分NBAC,

1

・"4G=#B4C=45。，

：.Z-BAG=Z-C,

•：AFLBD,

・•.Z.AEB=90°=乙BAC,

/.Zl+Z.^E=90°,42+N8AE=90。,

.,.zl=z2,

:AACF三ABAG,

"G=CF.

17.学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究.她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线

所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分.其解决思路是

通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，作NCB。的平分线，交AC于点足（只保留作图痕迹）

己知：如图，在口4BCD中，AC,BD交于点O,DE平分NADB交4C于点E,BF平分NCBD交"于点尸.

求证：0E=0F.

AD

E

证明：••・四边形4BCD是平行四边形，

:.AD\\BC,。£)=①，

：.Z-ADB=Z-CBD.

又・・・DE平分BF平分乙CBD,

"EDO=^ADB,⑵=g乙CBD.

：.Z.EDO=Z.FBO.

又MEOD=⑶,0D=0B,

AEOD=AFOB(ASA).

.-.OE=OF.

小庆再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所

得的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题：

过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段⑷.

【答案】①。8,②乙FBO,③NF08

【分析】本题考查尺规作图以及全等三角形的性质.根据要求做出图形，证明△EOD=△FOB,推出。E=OF

即可得出答案.

【详解】解：图形如图所示：

证明：,•・四边形4BCD是平行四边形，

:.AD||BC.OD=①0B,

：.Z-ADB=Z-CBD,

又・・・0E平分NADB,BF平分乙CBD,

"EDO=^ADB,@AFBO=jzCBD.

"EDO=Z-FBO.

又•"。。=③NFOB,OD=OB

/\EOD=^FOB{ASA）,

：.OE=OF.

故答案为：①。8,②乙FBO,③4FOB.

18.在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究.如图，在口48。£）中，点E是BC上的一点,

且力B=BE.

（1）作N4BC的平分线BF交2。于点R连接EF（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

⑵根据（1）中作图，小西猜测四边形力BEF是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把

证明过程补充完整.

证明：「BF平分乙4BC,

・••①.

•.•在口4BCD中，ADWBC,

•••②，

：.Z-ABF=Z.AFB,

'：AB=BE,

■,■BEWAF,

四边形A8EF是平行四边形，

又vAB=BE,

.•・四边形4BEF是菱形.

小西和小北经过进一步探究发现，4E与8尸互相垂直，并且与CMBCD的内角无关.

请你依照题意完成下面的命题：

平行四边形的任意一组内角的平分线X5I.

【答案】（1）图见解析

（2）①乙4BF=NEBF；②4EBF=4AFB；（3）AB=AF；@BE=AF；⑤互相垂直

【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识点，熟练掌

握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键.

(1)根据画角平分线的方法即可；

(2)根据角平分线的定义得乙4BF=NEBF,平行四边形的性质和平行线的性质可得2DIIBC,由

UBF=UFB得4EBF=N4FB可得4B=AF,进而得到BE=AF,然后根据一组对边平行且相等的四边形

是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步证明结论.

【详解】(1)解：如图：即为所求；

(2)证明：•••BF平分乙4BC,

■■.Z-ABF=Z.EBF.

•.•在口中，ADWBC,

.-.Z.EBF=Z.AFB,

:./.ABF=/.AFB,

:.AB^AF.

■.■AB=BE,

：.BE=AF.

■:BE\\AF,

四边形4BEF是平行四边形，

又「AB=BE,

四边形ABEF是菱形.

平行四边形的任意一组邻角的平分线：相互垂直,

理由如下：

■.■aABCD,

：.AD\\BC,

:./.ABC+Z.BAD=180°,

•••BF平分入4BC,2E平分NBA。,

11

.•ZABF=^LBAE=-ABAD,

1

■■/.ABF+乙BAE=-(ABAD+AABC)=90°,

■■.AE1BF,即平行四边形的任意一组邻角的平分线相互垂直.

故答案为：①N4BF=/EBF；②乙EBF=AAFB；(3)AB=AF；@BE=AF；⑤互相垂直.

19.学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究.她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线

所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分.其解决思路是

通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，作NCBD的平分线，交4c于点F(只保留作图痕迹)

己知：如图，在口4BCD中，4&BD交于点O,DE平分乙4DB交4c于点E,BF平分NCBD交力C于点尸

求证：OE=OF

证明：•••四边形ABCD是平行四边形

■.ADWBC,OD=

：.Z.ADB=Z-CBD

又・・・DE平分“DB,BF平分乙CBD

:.乙EDO=W^ADB,②="CBD

22

"EDO=Z-FBO

又;NEOD=③OD=OB,

△EOD=△FOB(ASA)，

：.OE=OF.

【答案】图形见解析；①。出②乙FBO；③NBOF

【分析】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据要求画出图形,

证明△EOD三/XFOB,可得结论.

【详解】解：如图，8F即为所求；

AD

E

…c

•••四边形/BCD是平行四边形

：.AD\\BCfOD=OB,

：.Z.ADB=Z-CBD,

又・・・0E平分乙408,BF平分乙CBD

1i

-.AEDO=^ADB,乙FBO=万乙CBD

"EDO=Z-FBO

又♦：乙E0D=幺B0F,0D=0B,

△E0D=△FOB(ASA)，

：,OE=OF.

20.如图，在四边形力BCD中，AD\\BC92BZC=90°,点E为BC的中点.

(1)尺规作图：作“EC的平分线EF,与力D交于点F,连接CF.

⑵求证：四边形2ECF是菱形，请根据以下思路完成填空.

•••EF平分N4EC,

•••①一，

vADWBC,

：.Z-AFE=乙CEF,

•••②一，

：.AE=AF.

•••ABAC=90°,点E是8C中点，

：.AE=^BC,CE=^BC,

：.AE=CE,

：.AF=CE,

­：AF||CE,

.,.③

又raE=CE,

.,.CZMECF是菱形（④_）.

【答案】（1）见解析

（2）①N4EF=NCEF；②N4EF=2FE；③四边形力ECF为平行四边形；④一组邻边相等的平行四边形是

菱形

【分析】本题主要考查了菱形的判定，作一个角平分线，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形

的判定方法.

（1）按照作一个内角平分线的方法，进行作图即可；

（2）先证明=得出力E=4F,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出力E=?BC,

CE=^BC,得出4E=CE,证明4F=CE,得出四边形4ECF为平行四边形，再证明口AECF是菱形.

【详解】（1）解：如图，EF即为所求作的角平分线.

(2)证明：rEF平分N4EC,

①乙4EF=NCEF,

■：AD\\BC,

：.Z-AFE=Z.CEF,

.-.@^AEF=AAFE,

：.AE=AF,

•■•ZFXC=9O°,点E是BC中点,

：.AE=|fiC,CE=迦,

：.AE=CE,

：.AF=CE,

­：AF||CE,

.•.③四边形AECF为平行四边形，

又以入CE,

.•.□4ECF是菱形（④一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

【题型3垂直平分线】

21.如图，在△力BC中，CD为△NBC的角平分线.

（1）（1）用尺规完成以下基本作图：作线段CD的垂直平分线EF,分别交AC、BC于点E、F,垂足为。.连接

DE、DF.（保留作图痕迹）

⑵小明利用（1）所作的图形，证明四边形DECF是菱形.请根据他的思路完成下面的填空.

证明：「CD平分乙4CB,

•・・①，

•••EF垂直平分CD,

.••②，

：.Z-ACD=乙EDC,

二，

：.DE||BC,

•・•同理，DFWAC,

•・•④,

■:EC=ED

二平行四边形。ECF是菱形

小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边的

交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么⑤.

【答案】①见解析

（2）^ACD=ABCD；EC=ED-Z-BCD=AEDC-四边形DECF为平行四边形；这个四边形是菱形

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；

（2）根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形

的判定可得答案.

【详解】（1）解：所作图形如图所示.

(2)证明：TCD平分

•••Z-ACD=Z.BCD,

・・,EF垂直平分CD,

EC=ED,

•••Z-ACD=乙EDC,

Z-BCD=乙EDC,

・・.DE||BC,

・・・同理,DFWAC,

四边形DECF为平行四边形，

■：EC=ED,

二平行四边形OECF是菱形.

小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边的

交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么这个四边形是菱形.

故答案为：乙ACD=4BCD；EC=ED；乙BCD=LEDC；四边形DECF为平行四边形；这个四边形是菱形.

【点睛】本题考查作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定、

菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

22.如图，在△力BC中，AB=AC,。为BC的中点，连接2D.

⑴请用直尺和圆规完成基本作图：作力。的垂直平分线EF交2D于点。，交于点E,交AC于点F,连接DE、

DF；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

⑵求证：AE=DF.（请补全下面的证明过程）.

证明：•••AB=4C,。为BC中点，

•••Z.1=.

・・・EF为/。的垂直平分线，

^AOE=AAOF=90°,AF=DF

又•・•Zl+^AOE+/-AEF=180°,z2+^AOF+Z.AFE=180°,

/.Z.AEF=.

AE=,

AE=DF,()

【答案】(1)见详解

(2)Z2,Z.AFE,DF

【分析】(1)根据角平分线的尺规作图求解即可；

(2)根据线段垂直平分线的性质和等量代换求解即可.

【详解】(1)解：直线EF即为所求，

(2)证明：如图,

BDC-.-AB=AC,D为BC中点,

・•.z.1=Z2,

•・・EF为的垂直平分线，

・・・44。£=4/。9=90。，AF=DF.

又vzl+Z.AOE+Z.AEF=180°,z2+Z,AOF+/.AFE=180°,

AZ.AEF=Z-AFE,

:.AE=AF,

：.AE=DF.

故答案为：42,^AFE,DF.

【点睛】本题主要考查作图一基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定.

23.如图，在△ABC中，AB=AC>BC.

⑴求作ZB边的垂直平分线DE,交2B于点E,交4c于点D,连接BD.（要求：尺规作图，不写作法，保留作

痕迹）

⑵若4D=BC,求NA的度数，请根据以下的思路完成下列填空.

解：•.FB=4C,

・•・①_（等边对等角）

又「DE是4B的垂直平分线

.•.②_（中垂线的性质）

.,•乙4=乙DBA

-AD=BC

二③一（等量代换）

.*.Z.C=Z.BDC

•叱BDC=+乙DBA=244

.,.Z.C=Z-ABC=2/.A

“A+NC+④_=5乙4=180°（三角形的内角和为180。）

.•.乙4=36°

由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的中垂线交另一腰于一点，当此点与此

等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为⑤一度，人们称具有此特征的等腰三

角形为“黄金三角形

【答案】（1）见解析

（2）ZC=^ABC；AD=BD；BC=BD；4ABC；36

【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定

理等知识，熟练掌握尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质是解题的关键.

（1）根据尺规作线段垂直平分线的作法，作出力8边的垂直平分线DE,交AB于点E,交4C于点。，连接8。

即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质、等边对等角，推出NC=N4BC=2N4结合三角形内角和为180。，得出

4力+NC+乙48c=5乙4=180。，求出乙4的度数，根据证明得出结论即可.

【详解】（1）解：如图，即为所求，

（2）解：•••4B=4C,

.-.ZC=/.ABC（等边对等角），

又「DE是的垂直平分线，

：.AD=BD（中垂线的性质），

■■-Z-A=4DBA,

■.■AD=BC,

：.BC=BD（等量代换），

.-.Z.C—Z.BDC,

•:乙BDC=z.A+/.DBA=2Z.A,

:.乙C=乙ABC=2z.X,

：./-A+NC+乙ABC=5zX=180°（三角形的内角和为180。），

=36。，

由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的中垂线交另一腰于一点，当此点与此

等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为36度，人们称具有此特征的等腰三

角形为“黄金三角形

故答案为：NC="BC；AD=BD；BC=BD；N4BC；36.

24.已知：如图，在矩形4BCD中，连接AC.

（1）尺规作图：作4C的垂直平分线，交CD于点、E,交力B于点尸，交4C于点0,连接AE,CF（只保留作图痕

迹）；

⑵在（1）的条件下，为了证明四边形2ECF为菱形，小南同学的想法为：先证明aa。尸三△C0E,再利用

菱形的判定，得到结论.请根据小南同学的想法完成下面填空.

证明：••・四边形4BCD是矩形，

：.Z.0AF=Z.0CE.

・・・EF垂直平分/C,

：.EF1AC,OA=OC.

在△A0F与△C0E中,

^OAF=乙OCE

^AOF=乙COE

△A0F=△COE(ASA).

又・.・ZF||CE,

.•.四边形AECF是平行四边形.

■：EF1AC,

二平行四边形4ECF是菱形（）.

【答案】（1）见详解

（2）AD||BC,OA=OC,AF=CE,对角线垂直的平行四边形是菱形

【分析】（1）分别以力、C为圆心，以大于4C一半的长度画圆弧，两弧分别交于两点，再作过这两个交点

的直线，直线交CD于点交AB于点P,交4C于点。，问题随之得解；

（2）按照题干思路，利用菱形的判定定理判断作答即可.

【详解】(1)解：作图如下:

(2)证明：•・•四边形/BCD是矩形,

.-.AD||BC.

：.Z-OAF=Z.OCE.

・・・EF垂直平分/C,

.,.EFLAC,0A=0C.

在440?与△C0E中,

^OAF=AOCE

OA=OC

^AOF=乙COE

AAOF=△COE(ASA).

：,AF=CE

又•:AF||CE,

.•.四边形AECF是平行四边形.

■：EF1AC,

・•・平行四边形4ECF是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).

故答案为：AD||BC,0A-OC,AF-CE,对角线垂直的平行四边形是菱形.

【点睛】本题考查了垂直平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定

与性质等知识，正确作出图形，是解答本题的关键.

25.如图，在△4BC中，AB=AC,D为BC延长线上一点.

⑴用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段8。的垂直平分线，与边4C,BC分别交于点E,F,在线段4B上

截取4H,使得=连接EH；（保留作图痕迹，不写作法和结论）

⑵在（1）所作图形中，连接BE,DE,求证：HE=CD.（请补全下面的证明过程）

证明：---AB^AC,AH=AE,

■,AB-AH=AC-AE,

・・・①.

•••EF是BD的垂直平分线，

;/EBD=Z.EDC.

-AB=AC,

•・・③.

在△EC。中，/.CED=Z-ACB-Z.EDC,/.HBE=/.ABC-/.EBD,

."CED=AHBE.

（BH=EC（已证）

在△EBH和△DEC中，\⑷

（BE=ED（已证）

△EBH=△DFC（SAS）.

.-.HE=CD.

【答案】①作图见解析

（2）BH=CE；BE=DE；乙48C=乙4CB；NHBE=NCED（已证）

【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法可得直线EF,再以点力为圆心，AE的长为半径画弧，交4B于

点H,连接EH即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质填空即可.

【详解】⑴解：如图所示.

：.BH=CE.

・・,ER是BO的垂直平分线，

：.BE=DE,

"EBD=Z.EDC.

-AB=AC,

：.Z-ABC=Z-ACB.

在△E