尺规作图+补全证明过程（原卷版）-2025年重庆中考数学复习专项训练

专题09尺规作图+补全证明过程

(5类基本尺规作图50道)

目录

【题型1作已知线段相等线段1.....................................................................................................1

【题型2角平分线】.............................................................................7

【题型3垂直平分线】..........................................................................14

【题型4过点作已知直线的垂线】...............................................................22

【题型5作已知角相等角】.....................................................................28

【题型1作已知线段相等线段】

1.如图，AD||BC,47平分NB4D,请完成下面的作图和填空.

(1)用尺规完成以下基本作图：在线段BC上截取BE=4。，连接DE,交4c于点F；

(2)已知：AB+NBED=180。，求证：=ZC.请将下面的证明过程补充完整:

证明：•.明IBC,

•••z.2=z■①,

•••AC平分NBA。，

•••②.

•••zl=zC.

•••NB+NBED=180°,

•••③.

・•・Z1=4④.

Z.CFE=Z.C.

2.如图，DE、分另IJ平分N/WC、乙BAD,NEDC=36°,AB\\CD.

AB

（1）尺规作图：在射线力B上作AF=4D,并连接HF；（不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，已知乙4HF=36。，

求证：ADWHF.

证明：「DE平分NADC,乙EDC=36。,（已知）

■■^ADC=_Q_=72。（角平分线的定义），

■.■ABWCD,（已知）

.-.AADC=/.BAD（②）,

又•.///平分NBA。,（已知）

③（角平分线的定义）

又•.•N4"F=36。，（已知）

.•・⑷（等量代换）

.-.ADWHF（⑤）.

3.如图，在△4BC中，4D是△ABC的角平分线，E为边上一点，连接DE.

⑴尺规作图：作线段CF使CF=C4交4D延长线于点尸.（保留作图痕迹，不写作法及结论）

⑵在（1）间的条件下，若N2C8+NCDE=180。，Z.FCB=Z.B=40°,^CFA=30°,求N8DE的度数.请补

全下面解答过程.

解：•••ZFCB=Z.B（己知）

■.CFW—①—（内错角相等，两直线平行）

：.^FAB=^CFA(_②_)

vzCFX=30°(已知)

."45=30。（等量代换）

•./D是△ABC的角平分线（已知）

■■^CAB=—③—=60。（角平分线的定义）

■.■^ACB+^CDE=180°（已知）

.-.ACWDE（_®_）

.•.NDEB=NSB=60。（两直线平行，同位角相等）

在aBDE中，vzB=40°（已知），乙DEB=60。（已证）

ZB+LBDE+乙DEB=180°（_⑤_）.

;/BDE=1800-AB-ADEB=80°（等式的性质）

4.如图，点D、E、F分别是线段BC、AC.AB上的点，连接DE、EF.

⑴尺规作图：在射线2F上作4G=ED,并连接DG.（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，^AB||ED,4AEF=KBDG,乙DEF=LB,求证：CA||DG.

证明：SB||ED（内错角相等，两直线平行）

"DEF=①（两直线平行,内错角相等）

又“DEF=LB（已知）

：.^AFE=Z.B（等量代换）

：.EF||CB（（2））

:.^AEF=ZC（⑶）

又•：乙AEF=ABDG（已知）

•・2。=皿_（等量代换）

.■.CA||DG（同位角相等，两直线平行）.

5.如图，在四边形4BCD中，AD||BC,BE14C于点E.

⑴尺规作图：在边4。上截取4F=BC,过点F作对角线4C的垂线，交4C于点G.(要求：保留作图痕迹，不

写做法)

(2)连接CF,证明△力BE三4OFG.将下面的过程补充完整.

证明：•••(1),AF=BC

四边形48CF是平行四边形

AB||CF,(2)_______________

(3)

•••BE1AC,FG1AC

：./.AEB=ZCGF=90°

在△ABE和△CFG中

(4)

4BAE=乙FCG

.AB=CF

ABE三△CFG(AAS)

6.如图，ABWCD,射线4E与CD交于点F,射线CG与4E交于点H.若AD是NBHE的角平分线，且

N£ME+NAHG=180°.

⑴尺规作图：在射线AB上作AM=AD,并连接DM(不写作法，保留作图痕迹);

(2)试说明NZME=NC,请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由.

证明：•；ABWCD(已知)

NBAD=(两直线平行，内错角相等)

•••4D是NB4E的角平分线(已知)

ZS4D=乙DAE（）

1=（等量代换）

•••乙DAE+Z.AHG=180°（已知）

（同旁内角互补，两直线平行）

Z.C—/-D（）

^.DAE=ZC（等量代换）

7.在学习旋形的判定时，小明思考怎么在平行四边形4BCDQ4D>AB）里面剪出一个菱形，小明的思路是:

先作NBCD的角平分线CE交力。于E,在CB上截取CF=CD,然后连接EF.通过邻边相等的平行四边形得菱

形EFCD,请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

⑴用尺规完成以下基本作图：作NBCD的角平分线CE交于点E,在CB上截取CF=CD.（保留作图痕迹,

不写作法、结论）

（2）证明：•.•四边形2BCD为平行四边形，

■■.Z-FCE=/.DEC,

•.£E平分NBCD,

.■./.DEC=Z.DCE,

■.■CF=CD,

二四边形EFCD是平行四边形；

又.；_，

四边形EFCD是菱形.

8.如图，N1=N2,点F在射线CB上.

D.

1E

FBC

⑴尺规作图：在射线C8上作=并连接D4；（不写作法，保留作图痕迹）

⑵在（1）的条件下，已知=

求证：4ADB=LE.

证明：Zl=Z2（已知），

■.BD||CE（①）

N3=②（③）

又,：乙DAB=LEBC（已知）

BE||AD（④）

z3=⑤（⑥）

AADB=Z.E（等量代换）

9.如图，在平行四边形4BCD中，AB<BC.

⑴用尺规完成以下基本作图：作NBA。的平分线交BC于点E,在上截取。尸，使DF=CE（保留作图痕迹,

不写作法）；

（2）在（1）所作的图形中，连接EF,求证：四边形ABEF是菱形.请补全下面的证明过程.

证明：••・四边形A8CD为平行四边形，.以加8。且AD=BC,

■.■DF=CE,.-.AD-DF=BC-CE,

二四边形2BEF是平行四边形，

'.'AD||BC,.

•••AE平分・・.,

：./-BEA=Z.BAE.

.­•一••四边形2BEF是菱形.

10.在平行四边形4BCD中，AD>AB,

⑴用尺规完成以下基本作图：在4D上截取使得4E=AB,连接BE；过C作BE的垂线C”,垂足为

〃；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)经过学习小组讨论发现平分乙BCD,并给出以下证明，请你补充完整：

证明：•■•4E=aB

.-./-ABE=_________

••・四边形ABCD为平行四边形

：.AD\\BC,ABWCD

：.Z-AEB=/.CBE

■■■/.ABE=_________

■,■CH1BE

：./.CHB=90°

：ZCBE+乙BCH=90°

■：ABWCD

即：/.ABE+乙CBE+乙BCH+ZDCH=180°

:./-ABE+乙DCH=90°

又•:乙CBE+乙BCH=90°且"BE=乙CBE

：.CH平分4BCD

【题型2角平分线】

11.已知：如图，△力8c中，ZBXC=90°,AB=AC,。为AC中点，F为BC上一点，AFIBD^E.

E

ft

⑴尺规作图：作ABAC的角平分线交BD于G.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）中所作的图形中，求证：AG=CF.补全下列证明过程：

证明：­■•ABAC=90°,AB^AC,

■：4G平分NBAC,

1

£.BAG=-Z-BAC=^°,

AF1BD,

A.AEB=90°=^BAC,

・•・^FAD+^.BAE=90°,/.DBA+ABAE=90°,

・•.AACF=ABAG(),

・•.AG=CF.

12.如图，在△ABC中，ZC=9O°,点。在边AB上，BD=BC.

（1）作NB的平分线，交AC于点E（尺规作图，保留痕迹，不写作法）;

⑵在（1）的条件下，连接CD,DE.求证：BE垂直平分CD.

证明：ME为乙4BC的平分线，

•••Z-CBE=,

•；BD=BC,BE=BE,

在aBDE和△BCE中

（BD=BC

\BE=BE

.*.△BDE=△BCE（）,

两点都在CD的垂直平分线上,

•••BE垂直平分CD.

13.如图，在△ABC中，AB=AC,AD1BC,垂足为点D,点E在AD的延长线上.

⑴尺规作图：作N4CB的平分线交4。于点F(按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹);

⑵填空：在(1)的条件下，若2乙EBD=KABC,试说明DE=。凡

证明：•./B=AC,ADLBC,

：.BD=乙ABC=

•：2乙EBD=Z.ABC,

.•.2乙EBD=

又・・£F平分乙4CB,

.•.2_=Z-ACB,

：.Z.EBD=

(Z-EBD=Z.FCD

在△BED和△CFD中，［BD=CD

JBDE=4CDF

△BED=△CRD(ASA)，

：.DE=DF.

14.尺规作图并完成证明.如图，点。、点厂在△ABC外，连接4尸、AD.BD,且4FIIBC,

⑴用尺规完成以下基本作图:

作乙48c的平分线BE交融于点E,连接CE（保留作图痕迹，不写作法）;

⑵根据（1）中作图，求证：AD=CE；请完善下面的证明过程.

证明：・・・BE平分乙4BC,

:/CBE=

-AFWBC.

"CBE=

"ABE=Z-AEB.

在△ACE和△8。/中，

(AE=AB

\z-ABD=/-CAF

t()

△ACE三△BD4.

15.我们知道，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.证明

这种文字性命题一般思路为：画草图，写出已知求证并证明.按以上思路完成下面的作图与填空.

--------------1c

已知：如图，“4E是△力BC的外角，4。平分NG4E,AD||BC.

求证：AB=AC.

证明：用直尺和圆规作NC4E的平分线4D.（只保留作图痕迹）

■:AD||BC,

•MD平分NCAE,

.-.AB=AC().

16.如图，AABC^p,^BAC=90°,AB=AC,。为AC中点，F为BC上一点，力F1BD于E.

⑴使用尺规完成作图：作N84C的角平分线交BD于G.（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

（2）填空：求证：AG=CF.

证明：ABAC=90°,AB=AC

.-.AABC==_@Q

•./G平分NBAC

1

4c=45。

：.Z-BAG=Z-C

,：AF1BD

:•乙AEB=90°=4—②

...41+/BAE=90。,Z2+ABAE=90°

③

△ACF^_@

：.AG=CF

17.学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究.她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线

所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分.其解决思路是

通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，作NCB。的平分线，交4C于点E（只保留作图痕迹）

己知：如图，在口ABCD中，AC,BD交于点。，DE平分N&DB交AC于点£,BF平分NC8D交4C于点尸.

求证：OE=OF.

证明：••・四边形4BCD是平行四边形,

.-.ADWBC,。£>=①，

：.Z-ADB=Z-CBD.

又・・・DE平分BF平分乙CBD,

."EDO=^ADB,⑵=/CBD.

：.Z-EDO=Z-FBO.

又•"。£>=⑶,OD=OB,

AEOD=AFOB（ASA）.

：.0E=OF.

小庆再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所

得的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题：

过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段⑷.

18.在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究.如图，在口ABC。中，点E是BC上的一点,

B.AB=BE.

⑴作乙48c的平分线BF交4。于点R连接EF（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

⑵根据（1）中作图，小西猜测四边形力BEF是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把

证明过程补充完整.

证明：汨平分乙48C,

・・•①.

•.•在口4BCD中，ADWBC,

：.Z.ABF=Z.AFB,

,：AB—BE,

・・・⑷.

-BEWAF,

・•.四边形ZBEF是平行四边形，

又MB=BE,

四边形4BEF是菱形.

小西和小北经过进一步探究发现，4E与BF互相垂直，并且与口480）的内角无关.

请你依照题意完成下面的命题：

平行四边形的任意一组内角的平分线⑤.

19.学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究.她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线

所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分.其解决思路是

通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，作NCBD的平分线，交4C于点足（只保留作图痕迹）

已知：如图，在中，力交于点。，DE平分乙4DB交4C于点E,BF平分NC8D交4C于点尸

求证：OE=OF

证明：••・四边形ABC。是平行四边形

.-.ADWBC,。。=①一

.,.Z.ADB=Z.CBD

又・・・DE平分乙BF平分乙CBD

:/EDO=^ADB,②一=jzCBD

"EDO=Z.FBO

又•"。。=③OD=OB,

△EOD=△FOB(ASA)，

：.OE=OF.

20.如图，在四边形4BCD中，ADWBC,ABAC=90°,点E为BC的中点.

（1）尺规作图：作“EC的平分线EF,与4。交于点F,连接CF.

(2)求证：四边形AECF是菱形，请根据以下思路完成填空.

•••EF平分NAEC,

・•・①_，

■.■ADWBC,

：.Z-AFE=Z-CEF,

•••②一，

：.AE=AF.

•.2847=90°,点E是8c中点，

.-.AE=^BC,CE=^BC,

.,.AE=CE,

：.AF=CE,

-AF||CE,

又・.・ZE=CE,

QAECF是菱形(④_).

【题型3垂直平分线】

21.如图，在△4BC中，CD为△ABC的角平分线.

（1）（1）用尺规完成以下基本作图：作线段CD的垂直平分线EF,分别交AC、BC于点E、F,垂足为0.连接

DE、DF.（保留作图痕迹）

⑵小明利用（1）所作的图形，证明四边形DECF是菱形.请根据他的思路完成下面的填空.

证明：•.££）平分N4C8,

•・•①___________

..NF垂直平分CD,

•••②___________

：.Z-ACD=Z-EDC,

③,

.-.DE||BC,

•.•同理,DFWAC,

・・•④，

■.■EC=ED

二平行四边形。ECF是菱形

小明通过探究，发现任意三角形的一条角平分线到对边的交点，同该角平分线的垂直平分线与该角两边的

交点，和这个角顶点都能围成一个四边形，那么⑤.

22.如图，在△4BC中，AB=AC,。为BC的中点，连接2D.

(1)请用直尺和圆规完成基本作图：作2。的垂直平分线EF交力。于点。，交AB于点E,交AC于点F,连接DE、

DF；(保留作图痕迹，不写作法，不下结论)

(2)求证：AE=DF.(请补全下面的证明过程).

证明：-：AB=AC,。为BC中点，

•••Z.1=.

・・•EF为的垂直平分线，

・・・44。£*=44。尸=90。，AF=DF

又•・•zl+/LAOE+AAEF=180°,Z2+^AOF+AAFE=180°,

Z.AEF=.

•••AE=,

••・AE=DF.()

23.如图，在△ABC中，AB=AC>BC.

（1）求作力B边的垂直平分线DE,交力B于点E,交AC于点D,连接BD.（要求：尺规作图，不写作法，保留作

痕迹）

⑵若4D=BC,求乙4的度数，请根据以下的思路完成下列填空.

解：•.•AB=ac,

・•.①一（等边对等角）

又•••DE是4B的垂直平分线

.•・②一（中垂线的性质）

：./-A=乙DBA

■：AD=BC

③一（等量代换）

/.zC=Z-BDC

-Z-BDC=Z-A+Z.DBA=

=（ABC=2乙4

.•24+NC+④_=5乙4=180°（三角形的内角和为180。）

••2=36°

由上述证明可得：在等腰三角形（腰长大于底边长）中，作一条腰的中垂线交另一腰于一点，当此点与此

等腰三角形顶点的距离与底边长度相等时，则这个等腰三角形的顶角为⑤一度，人们称具有此特征的等腰三

角形为“黄金三角形

24.已知：如图，在矩形4BCD中，连接AC.

（1）尺规作图：作4C的垂直平分线，交CD于点E,交力B于点R交力C于点。，连接4E,CF（只保留作图痕

迹）；

（2）在（1）的条件下，为了证明四边形AECF为菱形，小南同学的想法为：先证明△AOF三△COE,再利用

菱形的判定，得到结论.请根据小南同学的想法完成下面填空.

证明：•••四边形4BCD是矩形，

•'./.OAF=Z.OCE.

・・・EF垂直平分/C,

1AC,OA=OC.

在△AOF与△C0E中,

Z.OAF=Z.OCE

/.AOF=乙COE

△AOF=ACOE(ASA).

又MFIICE,

.•.四边形4ECF是平行四边形.

■:EF1AC,

・•.平行四边形力ECF是菱形（）.

25.如图，在△2BC中，AB=AC,。为BC延长线上一点.

（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段8。的垂直平分线，与边4C,BC分别交于点E,F,在线段4B上

截取4H,使得=连接EH；（保留作图痕迹，不写作法和结论）

⑵在（1）所作图形中，连接BE,DE,求证：HE=CD.（请补全下面的证明过程）

证明：-.-AB=AC,AH=AE,

■,AB-AH=AC-AE,

••・①•

•••EF是BD的垂直平分线，

二②_____

：.Z.EBD=Z-EDC.

-AB=AC,

・・・③.

在△ECD中，乙CED=LACB—乙EDC,乙HBE=LABC-乙EBD,

：.7.CED=乙HBE.

(BH=EC(已证)

在△EBH和△£>£1(?中，\④

(BE=ED(已证)

△EBH=△DFC(SAS).

.-.HE=CD.

26.如图，四边形4BCD是平行四边形，AC是对角线.

(1)用尺规完成以下基本作图：作4C的垂直平分线/,分别交AD、BC、AC于点E、F、。.(保留作图痕迹，不

写作法)

(2)在(1)所作的图形中，连接CE,AF,猜想四边形力ECF的形状，并证明你的结论.

解：猜想四边形4ECF的形状为菱形，证明如下：

・•,EF是4C的垂直平分线，

■.AO=CO,AE=CE,①,

又四边形4BCD是平行四边形，

②，

•••Z-EAC=Z.FCA.

(^EAC=Z.FCA

在△AOE和△COF中，［AO=CO

V^LAOE=乙COF

・••△AOEwZ\COR(ASA)，

③，

：.AE=EC=CF=FA,

•.四边形AECF是菱形.

结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④.

27.在△A8C中，4。是NB2C的角平分线，作线段AD的垂直平分线，分别交4B、AD,4C于点£、。、F,

连接DE、DF,证明四边形4EDF是菱形.

⑴尺规作图：作线段4。的垂直平分线，分别交48、AD,4c于点£、0、F,连接。E、DF（用基本作图,

保留作图痕迹，不写作法、结论）

（2）证明：四边形2EDF是菱形.

证明：•"£）平分MAC,

EF是线段力。的垂直平分线,

••ZOE=N4OF=90°,

AE=DE,AF=DF,

在△ZOE与△ZOF中，

(Z.EAO=Z.FAO

]AO=AO

・..△EAO=AFAOf

・•.AE=AF,

・•・四边形ZEDF是菱形.（）

28.如图，在口ZBCO中，是对角线.

⑴尺规作图：作线段8。的垂直平分线EF,分别交B。、AD,BC于点0、E、F,连接BE和DF（用尺规作图,

并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，求证四边形EBFD是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号

后）.

证明：・・・EF垂直平分BD,

••.BO=D0.

又•・・四边形/BCD是平行四边形，

•・•①________

：.Z.0BF=乙ODE.

在△B0F和△DOE中，

（Z.OBF=Z.ODE

IOB=0D

②________

△BOF=△DOE（ASA），

・・•③________

•・•£尸垂直平分8D,

■.BE=DE,④

：.BE=ED=DF=FB,

四边形EBFD是菱形.

29.已知，如图，RtA?15CzXBC=90o.

A

⑴用尺规完成以下基本作图，作线段BC的垂直平分线，交BC于D,交4C于E,连接BE（不说明理由，不下

结论，只保留作图痕迹）.

(2)在(1)所作的图形中，求证：AE=EC.

涵涵的思路是这样：由垂直平分线的性质得到EB=EC,从而得至ljNEBC=NECB,再证明=

从而得到R4=EB,最后由等量代换可得瓦4=EC.请根据这个思路补全下面的证明过程.

证明：•••直线DE是线段BC的垂直平分线

BE=①,

/-EBC—②,

vzXBC=90°,

乙4+“=90°,

③+ZX=90°,

:乙EBC+AABE=90°,

•••/.ABE=④,

BE—AE,

•••BE=⑤,

•••EA=EC.

30.如图，在△4BC中，/LABC=90°.

⑴尺规作图：作4c的垂直平分线交AC于点E,交BC于点。，连接力，(保留作图痕迹，不写作法，不用下

结论)；

(2)在(1)的条件下，若4D平分NC4B,求证：AB=^AC.

证明：•••DE为47的垂直平分线，AC,

又•"BC=90。，.••4B1BC,

又，.弘。平分,

在RtZkABD与RtZkZED中：

AABD=RtAAED()

又・・・DE为4C的垂直平分线，

：.AE=.

■■.AB=^AC.

【题型4过点作已知直线的垂线】

31.如图，在平行四边形4BCD中，CELBD交BD于点、E.

⑴用尺规完成以下基本作图：过点/作BD的垂线交BD于点足连结相交8。于点O.(保留作图痕迹，不写

作法，不下结论)

⑵在(1)所作的图中，求证：。F=。瓦请将下列证明过程补充完整：

•.•四边形ABCD是平行四边形，

■■.AB=CD,①,

：.Z.ABF=Z.CDE.

-CEVBD,②,

：.Z.AFB=MED=90°.

在和△CEO中，

(/.ABF=乙CDE

{/.AFB=Z.CED

(AB=CD

△AFB=△CED(AAS)

•.•四边形ABC。是平行四边形，

，④.

.-.OB-BF=OD-DE,

：.0F=OE.

32.如图，四边形ABCD是菱形，AE1BC,垂足为点E.

⑴用尺规完成基本作图：过点a作CD的垂线力F,垂足为点尸（只保留作图痕迹）.

（2）在（1）所作的图形中，求证：CF=CE.

证明：••・四边形4BCD是菱形，

•••AE1BC,AF1CD,

在△4BE和△4DF中，

由①②③得A4BE三△2DF,

■：BC=CD,

：.CE=CF.

33.在学习平行四边形时，小刚同学遇到这样一个问题：如图，在口4BCD中，连接对角线AGDEIAC于点

E,过点3作4C的垂线BF,垂足为尸，试证明线段BF与DE相等.小刚的思路是证三角形全等解决问题.请

根据小刚的思路完成下面作图和解答：

用直尺和圆规，完成基本作图：过点3作4C的垂线，垂足为点尸（保留作图痕迹，不写作法）.

证明：•••四边形48C。是平行四边形，

①，AD||BC.

ADAE=Z.BCF.(②)

•••DE1AC,BF1AC,

•••③.

:AADEmACBF.

：.DE=BF.

于是小刚同学得到结论：平行四边形中，一组对角顶点到④相等.

34.如图，在四边形48CD中，AB=^CD,DC\\AB,连接。B,乙DBC=9。。.

（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线交CD于点E,交BC于F,连接BE（不写作法，保留作图痕迹）;

⑵在（1）所作图中，证明四边形ABED为菱形，完成下列填空.

证明：rEF垂直平分BC,

________①•

•••Z-EBC=Z.C,

vzD5C=90°,

Z.EBC+Z.EBD=90°,4C+乙EDB=90。,

•••乙EBD=Z.EDB,

DE=BE,

DE=②，即

■：AB=^CD,

DE—AB,

•・•AB||DE,

四边形ABED是③，

...DE=④,

四边形ABED为菱形.

35.如图，四边形48CD是平行四边形，E为AD边上一点,连接BE.

（1）用尺规完成以下基本作图：过点/作BE的垂线，垂足为点。，交BC于点尸.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接EF,若=求证：四边形ABFE为菱形.

证明：如图•・•四边形/BCD是平行四边形

.,.Z.EAO=Z.BFO

又•••△ABE中，AE=AB,AF18E于点。

在△AOE和aFOB中

（Z.EAO=Z-BFO

\z-AOE=^FOB

IOE=OB

.••△AOEzAFOB,

X-ADWBC,

.•.四边形力BFE为平行四边形

又J

・•.平行四边形4BFE为菱形.

36.如图，四边形4BCD为平行四边形，对角线力C,BD相交于点。，过点/作4E1BD,垂足为E.

⑴用尺规完成以下基本作图：过点C作CFLBO,垂足为尸；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

（2）在（1）问所作的图形中，连接AKCE,求证：四边形4FCE为平行四边形.（完成下面的证明过程）.

证明：•••四边形4BCD是平行四边形，

・・・__①一.

_②_,CFA.BO,

.-.^AEO=ZCFO=90°,

：.AE\\CF.

在△AE。和△FC。中,

Z.AEO=乙CFO,

—③一

OA=OC,

・•.△AEO=△CFO(AAS)，

•••—④—.

又••一⑤—，

四边形MCE为平行四边形.

37.如图，点C在线段4B上，AD||BE,AC=BE,AD=BC,DE交4B于点G.

⑴尺规作图：过点/做线段DE的垂线交DE于点?(基本作图，保留作图痕迹，不写做法，不下结论)

(2)求证DF=FG.

证明："DIIBE

•••①

在△ACD和△BEC中，

(AC=BE

^DAC=乙CBE

IAD=BC

△ACD=△BEC

N2DC=②，CD=CE

•,­@=/.CED

_Z.ADC+Z,CDE=乙BCE+乙CED

_Z.ADG=匕AGD

••・④

vAF1DG

・•.DF=FG.

38.如图，在平行四边形ABCD中，AE1CD,垂足为点E.

⑴尺规作图：过点4作AF1BC,垂足为点F；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若4F=4E,求证：平行四边形4BCD是菱形.

证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

Z.B=①.

X-：AELCD,AFLBC,

AAFB=②=90。.

在△ABF和△4DE中，

（Z.B=zD

4AFB=乙AED

I③

三△ADE（AAS）.

•••④.

平行四边形ZBCD是菱形（⑤—）.

39.学习了四边形后，小麦同学想继续探索邻边相等的四边形特征，请根据他的思路完成以下作图与填空:

⑴用直尺和圆规，过点C作CN14B交4B于点N,过点C作CM14D交AD于点跖（只保留作图痕迹）

⑵在（1）所作图形中，四边形4BCD,DC=BC,ABAD+/.BCD=180°,连接2C,求证：AC平分ABAD,

■:CMLAD,CNLAB,

:.4CMD=ACNB=9Q°,

■,■ABAD+乙BCD=180°,

在四边形力BCD中，乙8+N4DC=180。，

又"DC+乙CDM=180°,

•­.Cl),

■.■CD=CB,

△CDM^△CBN（②）,

.-.CM=CN,

：.^BAC=ADAC（依据：③）

小麦同学进一步研究发现，四边形中满足邻边相等，且对角互补，均有以上特征，请你依照题意完成下面

命题：若四边形邻边相等，对角互补，则⑷.

40.如图，在平行四边形力BCD中，连接对角线BD,4E1BC交BC于点E,交BD于点G.

⑴用尺规完成以下基本作图：过点C作2D的垂线，交4。于点£交BD于点、H；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图形中，求证：BG=DH.（请补全下面的证明过程）

证明：•••四边形4BCD是平行四边形，

■.ADWBC,AD=BC,

■■.Z.ADB=①,

■,­CFLAD,

."FC=90°,

*：AE1BC,

.・zZEC=90。，

,・,②,

:.^GAD=^AEC=90°,/.HCB=^AFC=90°,

即③，

△BCH=△IMG（ASA），

.®，

=DG-GH,

：.BG=DH.

【题型5作已知角相等角】

41.如图，已知正方形4BCD,点E在边BC上，连接4E.

(1)尺规作图：在正方形内部作乙使乙4DF=NE4E,边。尸交线段4E于点G,交4B边于点F(不写作法,

保留作图痕迹)；

(2)要探究4E,DF的位置关系和数量关系，请将下列过程补充完整.

解：AB=DE,AE1DF,理由如下.

•••四边形4BCD是正方形，

•­•①，/.DAF=ZB=90°,

在△IMF和△4BE中

(ADAF=4B

DA^AB

•••△D4F三△ABE,

•••—③

N8AE+N£MG=90°,ABAE=AADF,

•••—④

AAGD=90°

•••—⑤，

：.AE=DF,AE1DF.

42.如图，四边形4BCD为矩形，2C为矩形的一条对角线.

(1)用尺规完成以下基本作图：在的左侧作NE4B=N4CD,射线4E与CB的延长线交于点E.连接OE与4B

交于点F；(保留作图痕迹，不写作法，不下结论)；

(2)小亮判断点F为线段DE的中点.他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明△4EC为等腰三角形，从而

得到点B为EC的中点，再利用三角形全等，得到点F为DE的中点.请根据小亮的思路完成下面的填空：

证明：••・四边形4BCD为矩形，

•••AD=BC,/.ABC=A.BAD=90°,AB||DC,

­：AB||DC,.•.①,

■■/.EAB=Z.ACD,

Z-EAB=Z-BAC,

•••zXBC=90°,

・••乙48E=90。，

/.ABAC+^ACB=90°fZ,EAB+AAEB=90°,

②—，

AE=AC,

•••ZT4BC=90°,

・•・AB1BC,

•••③—，

•••AD=BC,

AD=BE,

vABAD=/-ABE=90°,乙AFD=^BFE,

•・.④，(AAS)

：.EF=FD,

•••点F为E。的中点.

(1)尺规作图：在2D右侧，作乙4DE等于NZMF,N/1DE的边DE交力C于点E(保留作图痕迹，不写作法);

(2)在(1)所作图形中，若4E=ED,S.ABFD=2^ADE,求证；四边形4FDE是菱形.

证明：vAE=ED

；・①一

•••Z-ADE=Z-DAF

Z.ADE—Z.DAE=Z-DAF

/.Z.BAC=Z.DAF+^DAE=2(ADE

Z-BFD=2/.ADE

•••②—

・•.DF\\AC

•••Z-ADE=Z-DAF

••・③—

AE—ED

二平行四边形4FDE是菱形

44.学习了图形的旋转等相关知识后，小李同学进行了一次拓展性研究.他发现，若一个四边形有一组对

角均为90。且这组对角中有一个直角的两边相等，则连接这组对角的顶点，此对角线平分另一个直角.他的

解决思路是通过作一个角等于已知角等知识证明两个三角形全等得出的结论.请根据他的思路完成以下作

图与填空：

⑴用直尺和圆规作图：如图，以4。为边在四边形4BCD外部作=AC=AE,连接DE.(保留作

图痕迹)

(2)已知：如图，AC是四边形力BCD的对角线，AB=AD,NB4D=NBCD=90。，AC=AE,^BAC=^DAE.

求证：Z-ACB=Z-ACD.

证明：-ABAD=ABCD=90°

・ZBC+_=180°,

-AB=AD,ABAC=^DAE,AC=AE,

△ABC=△ADE(SAS)

：.Z-ACB—Z-AED,Z.ABC—_

：._Z.ADC=180°

.•.点C,D,£三点共线.

又AC=AE,

■■.Z.ACD=Z.AED=Z.ACB.

即N4CB=N4CD.

小李再进一步研究发现，线段CD,DE,2E存在一定的数量关系，请你根据以上信息，直接写出CD,DE,

4E三者之间的数量关系

45.小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在△ABC中，点

D、E分别为45、4C的中点，连接OE,过点C在AC的右边作乙4CF,使得“CF=NB4C,延长OE交CF于点

F,然后通过证明△4DE三△CFE和平行四边形BCFD来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空.

⑴用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在力C的右侧作N4CF=NB4C,延长OE,交CF于点尸；（保留作

图痕迹，不写作法，不下结论）

⑵求证：BC=2DE,BC\\DE.

证明：•••点E为ac的中点，

.■.AE=CE,

^■：/.ACF=4BAC,

在△4DE和中，

ZDAE=乙FCE

AE=CE

：.AADE=ACFEf

.,.③DE=FE,

•・•点。为AB的中点，

.,.AD=BD,

•・.④一，

四边形DBCF是平行四边形,

：