充要条件与其他内容的综合（6题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学二轮复习专项提升

热点02充要条件与其他内容的综合

明考情.知方向

三年考情分析2025考向预测

2022年，第6题，考察充分必要条件与数列的结合该内容仍是北京卷的必考内容，多与其他知识结合

2023年，第8题，考察充分必要条件的判断（含不等式、函数的概念与性质、基本初等函数、三

2024年，第5题，考察充分必要条件与平面向量的结合角函数、数列、平面向量、立体几何等），以选择题

的形式呈现，难度简单或中等・

热点题型解读

充分、必要条件的判断方法：

（1）命题判断法

①如果命题："若"，则9"为真命题，那么?是q的充分条件，同时q是P的必要条件；

②如果命题："若夕，则9"为假命题，那么?不是q的充分条件，同时q也不是夕的必要条件.

（2）集合法：（小集合可以推出大集合）若夕对应的集合为A,9对应的集合为B,

若止B,则P是4的充分条件；若则。是q的必要条件.

根据充分、必要条件求参数：

根据定理、有关性、图像等等将问题转化为最值、恒成立等，得到关于参数的方程或不等式组可解的

题型1充分必要与不等式

1.（2024•北京门头沟•一模）设。＞0,6＞0,则“电。?+6）＞0”是“坨（仍）＞0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】因为lg(a+b)>O0lg(a+b)〉lgl=a+b>l,又。>01>0,

所以Q+622V^>1，当且仅当Q=6时取等号，即

又lg>0olg(ab)>1g1oab>1,

所以油>：不能推出必>1,所以lg(a+6)>0是lg(")>0的不充分条件；

又ab>lnab>：,所以lg(a+6)>0是lg(H)>0的必要条件，

所以lg(a+6)>0是lg(a6)>0的必要不充分条件.

故选：B.

2.(2024•北京通州•三模)己知a>0,b>0,则“。2+/>2”是“。+6>2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【详解】不妨设。=1.5,6=0.4,止匕时满足/+62=2.25+016>2,

但不满足。+6>2,充分性不成立，

a+b>2两边平方得a2+2ab+b2>4,由基本不等式得2ab<a2+b2,

当且仅当。=6时，等号成立，

故。2+/>4-2加24-(/+/)，解得/+/>2,必要性成立，

故d+/>2”是“a+b>2”的必要不充分条件.

故选：B

3.(2024•北京西城•二模)已知aeR,beR.贝广仍>1”是“/+/>2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】当。6>1时，则帅>2,当且仅当。=6时取等，所以充分性成立，

取“=_4,6=1,满足/+尸>2,但仍<1,故必要性不成立，

所以“ab>1”是“a2+b2>2”的充分不必要条件.

故选：A.

x-l,x<0

4.(2024•北京顺义・二模)若函数〃x)=，0,x=0,则“再+%>0”是“〃尤|)+〃尤2)>0”的()

x+l,x>0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】由题意可知：的定义域为R,且=

若x>0,贝!J-x<0,可知/(》)+/(-苫)=(》+1)+(-X-1)=0,

若x<0,同理可得〃x)+〃f)=O,所以〃尤)为奇函数，

作出函数/'(x)的图象，如图所示，

由图象可知〃x)在R上单调递增，

若占+%>0,等价于国>一々，等价于/(占)>/(一马)=一了(%)，等价于/(占)+/(%)>0,

所以“再+々>0”是“〃再)+/(9)>0”的充要条件.

故选：C.

5.(2024•北京房山一模)"0<x<l”是“|x(x-l)|=x(l-x)”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由|x(xT)l=Ml-x)可得：x(x-l)<0,

解得：0<x<l,

所以"0<x<1"能推出“|x(xT)|=尤(1一x)”,

但“Ix(x-1)1=x(l-X)”推不出"0<X<1"，

所以"0<X<1”是“Ix(x-1)|=X。-X)”的充分不必要条件.

故选：A.

题型2充分必要与平面向量

1.523五京港正二^)三正标看面而鬲个靠尾向量,彘还艺游是啥容号］「施河

丘+忘|=|2|+|与|''的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【详解】若£〃人则存在唯一的实数必30,使得£=〃孔

故|£+涵=1应+41=|〃+㈤⑻，

而|£+二H应I+1"1=(I〃I+121)⑸，

存在;Iwo使得|〃+XH川+|㈤成立,

所以‘％〃I”是“存在八o,使得|£+疝|=|21+1范，的充分条件，

若彳N0且|a+刀|=|a|+|龙|,则々与与方向相同，

故此时£〃几所以“2〃百'是“存在存在文/0,使得|2+4|=0+|与的必要条件，

故"2〃r'是"存在2^0,使得IZ+忘HzI+14「'的充分必要条件.

故选：C.

2.(2024•北京•高考真题)设a，否是向量，则煦+B)仅-B)=0”是“]/或£=k的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】因为卜+孙心-今=容-庐=0,可得/=口即同=可，

可知,+孙(々-3=0等价于同=忖，

若Z=B或£=/,可得同=|可，即W+B)•，-3=0,可知必要性成立；

若收+孙,一3=0,即同=W，无法得出IB或£=/,

例如1=(1,o)&=(0,1),满足同=|可，但Z”且可知充分性不成立；

综上所述，“卜+3.(3—3=0”是“ZHB且Z*—少'的必要不充分条件.

故选：B.

3.(2024•北京东城・二模)已知平面向量e2,e3,是单位向量，且q_Le2，贝！q-63=e2-e1,”是

呢£=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】因为平面向量,，e2,e3,e1,是单位向量，且1_L晟，

不妨设q=(l,0),e2=(0,1),

也也)

k--―-/工［上―'7Z7Z\->

右G•%=64,例如％=|可，3，Q=T'Tr

满足ex-e3=e2-e4=，但6q=1w0,即充分性不成立;

V2⑥

若q•0=0,例如％=一

T^r4=122

7J

i^/iLe3-e4=0,iS.eI-e3=-^~,e2-e4=^~>即q-63He2-64,即必要性不成立;

综上所述：“£[-e3=e2-e4e3-64=0”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

4.（2024•北京•模拟预测）已知扇B为不共线的两个单位向量，尢〃为非零实数，设2=然+痴，贝

是“仅用=伍3”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】已知为不共线的两个单位向量，4〃为非零实数，设1=2万+痴，

则此时…。…品」='十

向

而向量夹角范围是［0,兀］,当6e［0,同时，cos。严格单调递减,

从而cos（5,c^=cos{b,c\=（%己）=（B,3）,

综上所述，在题设条件下“2=〃”是“值,己〉=”的充要条件.

故选：C.

ab

5.（2023•北京大兴三模）设£,否是非零向量，“口=利”是3=3”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

ab__

【详解】由尸1=由表示单位向量相等，则。力同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出

H\b\

一__ab

由Z=B表示同向且模相等，则］=同，

ab

所以“口=利”是“Z=3”的必要而不充分条件.

故选：B

-MM-■■・

题型3充分必要与空间线面关系

7."百京五景逋河横放施万三访二一凝丽蔡置房;蔡77夫丽'用百：语定Z三/7一小瓦-

ad,a//l,则“。与6异面”是“直线6与/相交”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】当“。与6异面”，若直线6与/不相交，由于4/u",则6〃/,

又。/〃，则。//,这与〃和6异面相矛盾,故直线6与/相交，

故与b异面”是“直线6与/相交”的充分条件；

当“直线6与/相交”，若。与6不异面，则。与b平行或相交，

若。与6平行，又。〃/,则〃力,这与直线b和/相交相矛盾；

若。与6相交，设=则Zee且"e",得/e/,

即/为直线的公共点，这与M//相矛盾；

综上所述：。与b异面，即“。与b异面”是“直线6与/相交，的必要条件；

所以“0与6异面，，是“直线b与I相交”的充分必要条件.

故选：C.

2.（2023-24高三上•北京海淀•期末）设华£,7是三个不同平面,且a□/=/，?口/=小，则“〃/加”是

“a〃尸”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】B

【详解】若4//月，«nr=/,^n/=7«,则由平面平行的性质定理：得/〃加；

但当"/加，arV=/,〃n7=加时，可能有a//〃，也可能有a,£相交，

如/,加是三棱柱的两条侧棱所在直线，7是/，加确定的平面，

另两个侧面所在平面分别为a,£，此时符合条件，而久£相交，

所以“〃/加”是“a/6”的必要不充分条件.

故选：B

3.（2024•北京朝阳•二模）已知见力是两个互相垂直的平面，/,%是两条直线，ac尸=/,则是

“M7_Le”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由题意知，aS=l,

若％_L/,当加u£时，有加J_a；当加时，加与。可能相交、平行、垂直.

若加J_tz,由/ua,得机

故"相±/”是"mla”是必要不充分条件.

故选：B

4.(2024•北京昌平•二模)设加，"是两条不同的直线，/£是两个不同的平面，且〃/7,贝产〃

是“附J.W”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【详解】因为a//Q,当“1"时，又mua,所以附L”，即〃，〃可以推出，…加，

如图，在正方体中，取平面/BCD为夕平面，平面431GA为£平面，直线8c为直线加，直线GA为直线

n

显然有加U<7,a〃6，nlm,但"U「，即〃_L加推不出〃12，

所以16”是Lm”的充分不必要条件，

5.(2024•北京海淀•一模)设4〃是两个不同的平面，/,加是两条直线，且加uc,/_La.则“，尸”是

“加///”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】11/3,且/La,所以a//£,又mua,所以加〃力，充分性满足，

如图：满足加〃?，7〃ua,/，a,但/，尸不成立，故必要性不满足，

所以“/，尸”是“mU/3”的充分而不必要条件.

故选：A.

m

a

题型4充分必要与数列

7."(2024既色稹)工1孤办|扁1^)1暝Giii^>cos3,-Tin5>cosC,-7iiiC>cos7；曲(")

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】充分性：

因为△ABC为锐角三角形，

所以/+2>色，即火>/>四一8>0,

222

所以sinN>sin一台J=cosB,

同理可得sin8〉cosC,sinC>cosA,

故充分性得证；

必要性：

因为sin4〉cosB,所以sin4〉sin(]—5；

因为0<8<兀，所以一百<四—5〈工，

222

若/>7T£则/+8>7三T

22

若/vg,则/>与一8,所以/+8>W，

222

TV

综上，4+B>,

TTTT

同理8+C>—,/+(?>—,

22

所以AABC为锐角三角形，

必要性得证，

综上所述，为充分必要条件.

故选：C.

2.(2024•北京延庆•一模)"sin28>0”是“6为第一或第三象限角”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

[sin61>01sin6<0

【详解】因为sm2e=2smecos6>>0o{0或1n,

[cos6l>0[cos0<0

所以“sin26>0”是“。为第一或第三象限角”的充分必要条件.

故选：C.

3.(2023•北京西城・二模)已知函数〃x)=si城x+夕).则=是“"X)为偶函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】当/(-1)=/(1),即sin(-l+0)=sin(l+°)

贝Usin(pcos1—cos夕sin1=sin(pcos1+cos夕sin1,

JI

化简为cosesinl=0,^(p=—+kn,keZ,

当0=]+2hi,后eZ时，/(x)=cosx,为偶函数，

当夕=]+(2左+1)兀，左eZ时，〃x)=-cosx,为偶函数，

所以〃T)=/(1)，能推出函数〃x)是偶函数

反过来,若函数/(x)是偶函数,则有=/⑴，

所以“/(T)=/⑴”是"/(x)为偶函数”的充分必要条件.

故选：C

4.(2023•北京东城•二模)"cos6=0”是“函数/(x)=sin(x+6)+cosx为偶函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

TTIT

【详解】若cos9=0,得至“夕二万+也,左£Z,所以/(%)=5亩(1+夕)+005%=5亩(1+5+E)+85%,

当左=2加+1,加EZ时，/(x)=0,当左=2加，加EZ时，/(%)=2cosx,

即/(%)=0或/(')=2馍5%,

当/(x)=0时,恒有/(一%)=/(%),当/(x)=2cosx时，f(-x)=2cos(-x)=2cosx=/(x),

所以，若cos6=0,则〃幻为偶函数，

若/W为偶函数，则/(一x)=/(x),所以sin(—x+8)+cos(-x)=sin(x+9)+cosx,化简得sinxcos6=0,所

以cos9=0,

故选：c.

5.（2023•北京丰台•二模）已知45是△4BC的内角，“A4BC为锐角三角形"是"sin/>cos8”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为△/BC为锐角三角形，所以且N+所以/>g-8,

V2J22

其中；

因为y=sinx在上单独递增，所以sin/>sin（5-B）=cosB,充分性成立,

TTTV

若sin/>cos5,不妨设/==满足sin/>cosB,但△45。为直角三角形，故必要性不成立.

故选：A

题型5充分必要与直线、圆

1.（2024•河南新乡•三模）已知直线4：2x+my-l=0,/2:（/M+1）X+3J；+1=0,则“加=2”是“/J//?”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】C

【详解】当机=2时，直线I:2x+2y-l=0,/2:3x+3y+1=0,则〃/加

当"儿时，；=解得加=2,

加+131

所以“m=2”是“〃〃2”的充要条件.

故选：C

2.（2024•江西新余•二模）已知直线》一到=0交圆C：x2+y2-2^x-2y=0M,N两点，贝产ZXMCN为

正三角形”是“。=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由。/+/-2氐-2y=0可得其圆心为C（百,1）,半径「=2,

|^3—<?|

圆心到直线x-即=0的距离d=

V1W

若△MCN为正三角形，则有［=』!「，即怛=1=6,

271W

即/+60=0,解得。=0或.=-6,

故“△〃（亚为正三角形”是“。=0”的必要不充分条件.

故选：B.

3.（2023•北京•模拟预测）已知圆。:。-3）2+"-2）2=1,直线/过点（1,3）且倾斜角为a,则“直线/与圆C

相切”是“a=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】当直线/没有斜率时，e=90。,与圆不相切.

当直线/有斜率时，设直线方程为>-3=左（工-1）,;.依-了-"+3=0,

|3左一2—1+3|_|2米+1|4

由题得1,k=0或者左=—§,

y]k2+\J-+1

4

所以a=0或者tana=--.

所以“直线/与圆C相切”成立，贝『匕=0”不一定成立；“a=0”成立，则“直线/与圆C相切”成立.

所以“直线/与圆C相切”是“a=0”的必要不充分条件.

故选：B

4.（2024・北京大兴・三模）己知直线/：昨船+1与圆C:（X+1）2+/=/G>0）,贝卜直线/与圆C

有公共点”是“厂>亚”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】易知圆。《+1）2+/=/（7>0）的圆心为c（T,0）,半径为r,

当V4wR,直线/与圆C有公共点时，|1一4Wr恒成立,即（/一1）/+2左+/_120恒成立，

则/一1>0且A=4-4（产-Ip40,解得产一1。1，即或厂4-四（舍去）

所以“V丘R,直线/与圆C有公共点”是。>也”的必要不充分条件，

故选：B.

5.（2024•北京海淀•三模）已知直线/：Ax-y+l-左=0和圆oaV+ru/GoO）,贝/>=也”是“存在唯一

先使得直线/与。。相切''的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】r=拒时,/:日一y+1—左=0至1]QO：X2+y2=2的距离为=V2,

故1一2"公=2+2-,解得人=7,

满足存在唯一先使得直线/与。。相切”，充分性成立，

l:kx—y+1—k=0经过定点

若r=l,QO:x2+y2=],若左=0,此时直线/：y=l,

直线/:>=1与。。相切，另一条切线斜率不存在，

故满足存在唯一k使得直线I与OO相切”，

当在OO:x2+y2=r2（r>0）±,满足存在唯一k使得直线/与。O相切,

故户=1+1=2,

又r>0,解得r=也，必要性不成立，

故。=也”是“存在唯一k使得直线I与。。相切”的充分不必要条件.

故选：A

题型6充分必要与三角函数

；石拓3原茜:於函京转药砺『｛肃覆五二:"）,贝『也｝为递得袤亦真“@｝

为递增数列''的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必

要条件

【答案】D

【详解】｛。“｝为递增数列时，有么=。用-。“>0,不能得到®/为递增数列，充分性不成立；

｛4J为递增数列时，不一定有4>o,即不能得到｛%｝为递增数列，必要性不成立.

所以“｛与｝为递增数列”是“｛4,｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

2.（2023•北京海淀•一模）已知等比数列｛七｝的公比为q且4片1,记<=%的…%（〃=123,...）、贝广％>0且

4>1”是“｛4｝为递增数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由题设｝=。.=。闻e且〃N2,要化｝为递增数列，只需％尸>1在心2上恒成立，

4-1

当4<0,不论q取何值，总存在％4力<0,不满足要求;

当0<q<1,

%<0,则%qi<0,不满足要求；

%>0,总存在0<。©1<1,不满足要求;

当“1,

%<o,则M<o,不满足;

0<%<1,若为=；,4=2,显然44<1,即5<7],不满足；

%N1,则>1在“22上恒成立,满足.

所以｛北｝为递增数列有％21且g>1.

综上，“％>。且1>1”是“｛北｝为递增数列”的必要不充分条件.

故选：B

3.（2024•北京东城•一模）设等差数列｛%｝的公差为贝『0<%<夕'是"｛"｝为递增数列”的（）

n

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由等差数列｛七｝的公差为4,得+则?=

当0</<d时，%-4<0,而工>々，贝IJ纥4<幺二2,因此玄<乌却，｛2｝为递增数列；

当｛绘｝为递增数列时，则%<4言，即有幺二4〈亘二£,整理得％<4,不能推出0<%<工

nnn+inn+l

所以"0<%<d”是“｛2｝为递增数列”的充分不必要条件.

n

故选：A

4.（2023•北京通州•三模）等比数列｛（｝的首项为4,公比为分前"项和为S"，则“％>0”是“｛S“｝是递增

数列”的（）

A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】在等比数列｛七｝中，取q=l,q=-i,

此时。“=（-1产，｛%｝为摆动数列，，E=I>S2=。,故充分性不成立；

若等比数列｛6｝的公比为4,且｛SJ是递增数列，.”"巾…二5-九〉。

>0,出=%4>。吗>0,则%>0,所以，数列｛S“｝为递增数列时，％>0成立，故必

要性成立.

所以，“％>0”是“数列｛Sj为递增数列”的必要而非充分条件.

故选：B.

5.（2023•北京丰台•三模）设数列｛6｝的前〃项的和为5，若｛6｝是首项为正数、公比为4的等比数列，则

F22”是“对任意的“eN*,都有S,<%”的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【详解】依题意4>o,q>o,若q=i,则s"="%,

此时不满足对任意的“eN*,都有3,<。用，所以则S“=业S,

若对任意的〃eN*,都有S"<a"+i，则％=&<%=%4，所以<?>1，

则S-叱即2S“<S用，

所以,贝1J2（1-即4用一24"+1>0,

\-q\-q

所以2-依题意，任意的〃EN*,2—q<二,

因为函数y=（工21）在［1,+勾）单调递减，值域是,,；，

因此2-q<0,解得q22,所以qe［2,+co）,

故”2是“对任意的〃eN*,者B有,<一”的充分且必要条件.

故选：C

限时提升练

1.（2023•北京石景山•一模）设x>0,1>0,则“x+y=2”是“xyWl”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为x>0,y>0,则中<［亨］=1,当且仅当x=y=l时等号成立，故充分性成立；

若x=3/满足中41,但x+yw2,故必要性不成立，

所以“x+V=2”是“孙41”的充分而不必要条件.

故选：A.

2.(2024•北京通州二模)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，则“邑-2%<0”是“码M>(〃+1)"，的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】设等差数列｛七｝的公差为4,

由S2—2%<0得：％—2%=%—%——d<0,/.>0,

/\/\n(n+l),(Jn(n—\\]

L

•二〃S〃+i+=〃(〃+l)%+—-----d+na｛+—-------d

：.nSn+l>(/i+l)5„,BPS2-2a2<0^>nSn+l>(n+1)5„,充分性成立;

由〃S“+i“得：邑>2$],$2-5>百，即g>。1，

/.S?-2%=%+%-2az=Q]—a2<0,

即nSll+i>(w+l)Sn=>S2-2/<0,必要性成立；

二.“邑-2a2<0”是“码+i〉("+l)Sj的充分必要条件.

故选：C.

一，3

2x+ax—«,xW1

3.(2023•北京房山•二模)已知函数/'(X)、2则“。40”是"/(x)在R上单调递减”的(

lax1+x,x>1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

'23

【详解】若〃X)=<2x+ctx—2',xW1在R上单调递减，

2ax2+x,x>1

-->1

4

a<0

则1，解得a<-4.

4。

3

2+Q—22〃+1

I2

所以“。<0”是"/(幻在R上单调递减”的必要而不充分条件.

故选：B

4.（2024•北京海淀•二模）设｛%｝是公比为式4*-1）的无穷等比数列，S”为其前〃项和，6>0,则

“4>0”是“其存在最小值”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若4>0,由％>0,贝iJS,+i-S“=。什1=%/'>0,

故s“必有最小值E=%,故“4>0”是“邑存在最小值”的充分条件；

2_2

当时’有s，

3-i

则S"有最小值邑=|一=；,

故%>0”不是“S”存在最小直，的必要条件；

即“q>0，，是“S”存在最小值，，的充分而不必要条件.

故选：A.

5.（2023•北京西城•三模）已知㈤｝为无穷等差数列，贝「存在且使得。,+勺=0”是“存在上22

且4wN*,使得勺=。”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】“存在》eN*且八N使得。,+勺=0”,不能推出“存在后22且左eN*,使得久=0”,

例如。“=3-2”,则％=lg=T,即i=L/=2,满足q+%.=。］+g=0,

但令&=3—2A•=（）,则无=:3比N*,故不存在存在上22且4wN*,使得以=0，

故“存在"eN*且i刁，使得生+%=0”是，存在后22且上eN*,使得知=0”的不充分条件;

若“存在后22且后eN*,使得%=0”,贝|取，="一121"="+1,

贝ijo,.+aj=ak_x+aM=1ak=0,

故“存在i,jeN*且W,使得at+叫=0”是“存在左22且，eN*,使得%=。”的必要条件；

综上所述：“存在，eN*且踪儿使得生+%=0”是“存在Q2且左eN*,使得&=0”的必要不充分条件.

故选：B.

6.（2024•北京丰台•二模）已知等差数列｛4｝的公差为4,首项那么““=无”是"集合

S=｛无卜=5吊％,”©1^1恰有两个元素”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】对于充分性，已知等差数列｛%｝的公差为♦，首项%

当，d=兀”时，集合S=｛xk=sin%,“eN1恰有两个元素S=｛sina],-sinaJ,

故充分性成立，对于必要性，当"=3兀时，

“集合S=卜卜=sina",〃eN*｝也恰有两个元素”，故必要性不成立，

故“d=兀”是“集合S=,卜=sin%,”eN1恰有两个元素”的充分而不必要条件.

故选：A

7.(2023•北京延庆•一模)若meR,则“加=1”是“复数z=/(i+i)+o(i_i)是纯虚数,，的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详角星】z="/(1+i)+机(i-1)=("/-机)+("/+m)i,

当加=1时，复数z=2i,是纯虚数；

YY^—YY^—0

2人，解得W=1.

｛m~+m^0

则“加=1”是“复数z=〃/(1+。+加。-1)是纯虚数”的充分必要条件.

故选：C

8.(2024•北京朝阳一模)己知awR,则“0<a<1”是“函数=0-4)无⑶在R上单调递增”的(

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】对于函数

当a=l时，/(x)=。，为常数函数，

当a>l时,l-a<0,函数/(x)=(l-a)无3在R上单调递减，

当。<1时，l-a>0,函数/(x)=(l-a)x3在R上单调递增，

所以"0<a<「受"函数/(x)=(l-a)Y在R上单调递增”的充分而不必要条件

故选：A.

9.(2024•北京西城一模)在等比数列｛6｝中，”>0.贝『“。>%1”是“"+1>纵+3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】设等比数列｛%｝的公比为0*0,

当时,>%+i时，即有册。〉…％,又％。>°,故夕<1且尸0,

当4<-1时,有用+3=g”+i>%。+1,故不能得到“现+1>”〃o+3，

即“%。>%+1”不是乜。+1>〃“。+3”的充分条件；

当%+1>%+3时，即有aw+3=4X,+i<a”o+i，即/<1且#0,

则以+1=4・%,当qe（T,。）时，由%。>0,故故旬,>%。+1,

当qe（O,l）时，ano+i=q-ano<a„o,亦可得a%>.一

故"%。>%。+1”是“"附+i>。徇+3”的必要条件；

综上所述，“%>乐。+1”是“%0+1>%.+3”的必要不充分条件.

故选：B.

10.（2022•北京东城・三模）已知&,B是两个非零向量，贝产存在实数2,使得5=几7'是“产+4=4-W的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】解：当存在实数彳，使得%疝B+*|（I+X问+响邛|第=（1_彳）同,显然11+明与

（1-彳）时不一定相等，故充分性不成立；

反之，当B+*同-W时，213=-2同W，所以cos仅弓=-1,即a,B共线反向，故“存在实数2,使得

b=Aa，故必要性成立.

故“存在实数2,使得％花”是平++同-忖的必要而不充分条件

故选：B

11.（2024•北京丰台•一模）已知函数/'（x）=sin12x+3,贝『匕=>桁（左eZ）”是“/（x+tz）是偶函数，且

〃x-a）是奇函数”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】因为/(x)=sin]2x+(J,则/(x+a)=sin[2x+2a+：J,

/(x-tz)=sin[2x-2a+：],

若/(x-a)是奇函数，则一2々+(=匕71,勺€2,解得a=1-4水茂％,

若/(x+a)是偶函数，则2a+；=]+治兀，心eZ,解得1=1+卓,优eZ,

所以若/(x+&)是偶函数且/(x-a)是奇函数，贝Ua=J+"#eZ,

o2

所以由£=J+®/eZ)推得出〃x+a)是偶函数，且〃x-a)是奇函数，故充分性成立；

由〃x+a)是偶函数，且〃x-e)是奇函数推不出a=?+配住eZ),故必要性不成立，

O

所以“々=弓+航(左eZ)”是，〃x+a)是偶函数，且〃x-a)是奇函数”的充分不必要条件.

8

故选：A

12.(2023-24高三下•北京•开学考试)在无穷项等比数列｛%｝中，邑为其前"项的和，贝广｛对｝既有最大值,

又有最小值”是“｛$“｝既有最大值，又有最小值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【详解】设公比为4(420),当q>0,0>1时，an=a｛q"^>0,

止匕时％+i-a.=%q"一a""T=%qi(q_l)>0,

故%+i>%>0,所以｛%｝为单调递增数列，此时｛%｝无最大值，

电｝无最大值,

当％>0,0<q<]时，an->0,

止匕时a“+i-a.==%0"7何_1)<0,

故0<4用<a”，所以｛%｝为单调递减数列，此时｛%｝无最小值，

｛5｝无最大值，

1

当为<0时，g>l时，an=a.q"-<0,

1

止匕时an+l-an=a@-=a^(^-l)<0,

故a用<a,<0,所以｛6｝为单调递减数列，此时｛%｝无最小值，

电｝无最小值，

当为<0时，0<g<l时，a,=<0,

此时%+i-a.=%q"-a""—=%qi(q_l)>0,

故0>.用>%，所以｛%｝为单调递增数列，此时｛%｝无最大值,

｛SJ无最小值,

当-1<”0时，｛4｝为摆动数列，

且1%H。」=kIM"-同I尸=同a""（Mt）<。，

故同+1|<|%|，所以随着”的增大，趋向于0,

故｛%｝有最大值，也有最小值，