导数与不等式综合应用（6题型+高分技法+限时提升练）原卷版-2025年高考数学复习专练（新高考）

重难点2-5导数与不等式综合应用

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向预测

近三年高考中，本节内容涉及选择题、填空题和解预计2025年在题型上不会有大的变动。内容上重点

答题，其中解答题常作为压轴题出现，难度较大。考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，进

常与函数的单调性、极值、最值等结合考查.而解决不等式的恒成立、能成立问题.还需多留意

双变量问题、函数与数列不等式综合证明问题、导

数新定义的不等式证明问题等.

重难点题型解读

题型［根据不等式恒成立问题求参题型4双变量不等式的证明

题型2根据不等式能成立问题求参<:—导数与不等式综合应用题型5对称化构造解决极值点偏移

题型3单变量不等式的证明〜题型6比值代换法解决极值点偏移

题型1根据不等式恒成立求参

aaoe

1、利用导数求解参数范围的两种方法

(1)分离参数法：将参数和自变量分离开，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关

系，求解出参数范围；

(2)分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别解出满足题意的参数范围

最后取并集。

2、不等式恒成立问题转化：

(1)VxeD,m4f(x)omWf(x^n

(2)VxeD,m>

1.(24-25高三上•宁夏银川・期末)已知函数/(X)=(X+〃-1)/-依-储+〃，当%>1时，〃%)>。恒成立,

则。的取值范围是()

A.(-00,e]B.[l,e]C.[e,+co)D.[0,e]

2.(23-24高三下•江西上饶•考前全真模拟)己知不等式xsinx+cosxZ-。对任意xe[0,对恒成立，则实数a

的最小值为()

兀

A.--B.1C.0D.-1

2

x

3.(24-25高三上•山东青岛•期末)已知a>0,若不等式P一Nln(ax)对任意x>0恒成立，则〃的最大值是()

A.2eB.eC.y/e，D.—

e

4.(23-24高三下.河南焦作.四模)已知函数/z(x)=ln(2ex-e),g(x)=2ax-2aMwR,/(x)=Mx)-g(X).

⑴若曲线y=/(x)在⑴)处的切线与直线％-y+l=O平行，求函数/(力的极值；

(2)若+〃恒成立，求实数。的取值范围.

题型2根据不等式恒成立求参

.............记.................；

1、形如/(X)2g(x)有解问题的求解策略

⑴构造函数法：令/(X)=/(%)—g(x),利用导数求得函数b(%)的单调性与最小值，只需/(X)max»0

恒成立即可.

(2)参数分离法：转化为。之0(%)或a<0(x)恒成立，即a20(x)n而或aW0(x)nMx恒成立，只需利；

用导数求的函数的单调性与最值即可.

2、单变量不等式能成立问题转化

(1)3xeD,m<f(x)<^m<f(x)max

(2)BxeD,加之/(x)-加之/(x/n・

3、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数y=/(九),可，y=g(x),x«Gd]

(1)若V%司,W%e[c,d],总有成立,故〃力2<8(超).；

(2)若V%G[«,/?],叫e[c/],有/(&)<g(崂成立,故/(“而<8(%)而；

若三玉^[a,b]

(3)9叫e[c,d],有/&)<g(x2)成立，故y(411Vg(%)a；

(4)若V%G[«,/?],Bx2e[c,d],有/(xj=g(x2),则的值域是g(x)值域的子集.

1.(24-25高三上•广东深圳・期末)函数/(力=欣-如+1，若存在工£(0,也)，使/(%)之0有解，则加的取

值范围为()

A.B.(-co,2]C.[l,+oo)D.[2,-boo)

若存在尤e(O,y),使得/-14”产成立，则实数”的最小值为()

2.(24-25高三上・甘肃白银・期末)

A.-B.1C.2D.e

e

已知函数〃x)=xeT,g(元)=；x2_]nx+a,若玉"?e[l,2],使得

3.(24-25高三上•吉林长春・月考)

/&)=g(x2)，则实数。的取值范围是()

(2,--1112-

A.^-+In2—2,——B.——，二一In2+2

2e2)L2ee2

12।c-210-11

一,=—ln2+2D.-r+ln2-2,------

eee2e2

4.(24-25高三上•山东青岛•期末)已知函数/(x)=lnx-1x2.

⑴求函数/(%)在1，4上的最大值和最小值；

(2)若不等式/(x)>(2-a)x2有解，求实数。的取值范围.

题型3单变量不等式的证明

不等式证明的常用思路

1、移项构造函数法：证明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))转化为证明/(x)-g(x)>0(或

/(%)-g(%)<0),进而构造辅助函数〃(x)=/(x)-g(x)；

2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题.

在证明过程中，等价转化是关键，此处/(X)mm〉g(X)max恒成立.从而/W>g(x),

但此处/(%)与g(X)取到最值的条件不是同一个“尤的值”.

3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

1.(24-25高三上•浙江杭州・月考)已知函数/(x)=21nx-：zra?+lOeR).

⑴讨论函数/(x)的单调性

(2)当根=1时，证明：/(%)<1.

2.(24-25高三上.安徽合肥二调)设函数〃x)=ln(a-x),已知x=0是函数)=微(力的极值点.

⑴求。；

/、x+f(x\,\

(2)设函数g('=证明：g(x)<l

3.(24-25高三上•陕西榆林•一模)已知函数/'(力=依-1!1(》+1)+1.

⑴当。=1时，求"尤)的最小值；

(2)求/(x)的极值;

(3)当时，证明：当—l<x<0时，/(%)>ex.

4.(24-25高三上•山东名校联盟•期末)已知函数/(尤)=疝1%+2元,g(x)=xe*+L

⑴求的单调区间；

⑵证明:当xe(O,y)时,/(x)<g(x).

题型4双变量不等式的证明

双变量不等式的处理策略：

i含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，

具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.

1.(24-25高三上•四川成都・月考)已知函数/。)=(a+1)111尤+加+1.

(1)当。=0时，求证：/(x)4尤；

(2)讨论函数/(X)的单调性；

(3)设aW-2,证明：对任意玉，x2e(0,+oo),|/(x1)-/(x2)|>4|x(-x2|.

2.(24-25高三上•贵州铜仁・期末)已知函数〃尤).

x

⑴求了(元)的最值;

(2)求正整数a,b,使其满足途-a=ba-bS.a>b>2；

7±

fc

(3)若0<匕<。41,求证：(―)^-e«->0.

3.(24-25高三上•山东・月考)已知函数/(x)=xlnx(x>O)r

⑴求函数/(x)的极值；

⑵若不等式/'(x)之依+》(a,beR)当且仅当在区间［e,y)上成立(其中e为自然对数的底数)，求他的最大

值；

(3)实数m，"满足0<m,求证:him+1<幺^—以根)<ln?i+l.

n—m

4.(24-25高三上•全国・专题练习)已知函数=Jb+aln—bln.-l),a>0.

⑴当6=0时，讨论〃尤)的单调性；

⑵证明：当0<6<］时，/(%)>0.

题型5对称化构造解决极值点偏移

00日©

1、和型玉+%<2a(或不+%>2。)问题的基本步骤：

①首先构造函数g(x)=〃x)-〃2°-尤)，求导，确定函数y=/(x)和函数y=g(x)的单调性;

②确定两个零点玉,且〃与)=/(%2),由函数值g(xj与g(4)的大小关系，

得g(xj=〃％)-〃24-%)=〃々)-与零进行大小比较；

③再由函数y=/(x)在区间3+功上的单调性得到巧与为-占的大小，从而证明相应问题.

2、积型%马〈。(〃占卜/伍))问题的基本步骤：

①求导确定/(X)的单调性，得到加三的范围；

②构造函数尸(x)=〃x)-求导可得尸(x)恒正或恒负；

③得到〃石)与r0的大小关系后，将〃石)置换为〃尤2)；

Vx\)

a/、a

④根据巧与一的范围，结合〃尤)的单调性，可得巧与一的大小关系，由此证得结论.

玉玉

1.(24-25高三上•河北・月考)已知函数〃x)=lnx+g.

(1)若该函数在［1,+8)单调递增，求。的取值范围.

(2)当。=1时，若方程〃力=根有两个实数根占12,且西<尤2，证明：Xj+x2>2.

2.(24-25高三上•全国・专题练习)已知函数/(xbG—Dlnx—d+oxSeR).

(1)若函数y=/'(x)有两个零点，求”的取值范围；

⑵设占,为2是函数的两个极值点，证明：2'-29>4.

3.（24-25高三上•内蒙古包头•开学考试）设函数/（无）=（x-l）2e，-x,

⑴证明：/（x）有两个零点；

⑵记（⑺是/Q）的导数，%,3为/a）的两个零点，证明：r（美强）>-L

4.（24-25高三上•安徽合肥・月考）已知函数〃x）=x（2-lnx）

⑴讨论函数〃尤）的单调性；

⑵求函数〃尤）在口，/（/））处切线方程；

x2

⑶若〃x）=根有两解4，2>且不<々，求证：2e<+x2<e.

题型6比值代换法解决极值点偏移

1--------------------------------r

ii

I

II

比值代换，是处理双变量问题的策略之一.通过比值代换，我们可以将双变量问题转化为单变量问题来处

I

理，达到消元的效果，在处理比值代换时，要注意一些常见的变换结构，如以下的结构变换方法：

(1)引元：如设立=(=%=比2,消元的,回代入已知等式解方程(组)，进而消元，将所求证不等

，式转化为9(。＞0等形式，再构造函数可得；

(2)对数相加减：In%]—In%=ln&,In为+In々=In为9；

X2

(3)齐次式：〜”,%一丁等;

入1+%

；(4)组合型：对数，分式，整式等形式加以组合，如再+包＞2%,一-----等等.

1.(24-25高三上•河北衡水・模拟测试)已知函数/(x)=lnx-x+〃.

⑴若直线y=(e-l)x与函数/(力的图象相切，求实数。的值；

⑵若函数g(x)=犷(x)有两个极值点X]和斗，且芯＜尤2，证明：%+%＞l+ln[?1(e为自然对数的底数)

2.(24-25高三上•江苏无锡・月考)已知函数f(x)=q+lnx，g(x)=ax-lnx-2.

X

(1)若a＞0,当/(x)与g(x)的极小值之和为。时，求正实数。的值；

112

⑵若〃与)=了(赴)=2a片当)，求证：

4]4,C/L

3.(24-25高三上•山西吕梁•期中)已知函数/(x)=x(lnx+ni)(meR).

(1)令8(同=卓+加+尤,求g(x)的单调区间;

⑵若存在玉，巧（周<%）使得/（%）=/（々），求证：尤也<-2-2-

4.（24-25高三下•安徽•月考）已知函数/（x）=ltu-咚?（aeR）.

⑴讨论了（X）的极值点个数；

出若关于》的方程/（耳=（。+1卜-华^有两个不同实根斗,々，求”的取值范围，并证明：引

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（24-25高三上•河南•期中）若关于x的不等式x+Jz£+ln（公）在（0,+e）上恒成立，则。的取值范围是

（）

A.^0,-B.（0,e]C.D.[e,+co）

2.（24-25高三上•广东潮州•期末）若,eR满足ex+">x-l,则实数。的取值范围是（）

A.—1vav0B.-2C.-evav—2D.a>—2

3.（24-25高三上•安徽合肥・月考）已知函数/Xx）=xlnx,g（x）=ex-x2+a,若初e[l,2],使得

/&）=8（々），则实数a的取值范围是（）

A.(4-e2,ln4+l-e)B.[4-e2,ln4+l-e^|

C.(ln4+4-e2,l-e)D.[ln4+4-e2,l-e]

二、填空题

4.（24-25高三上•黑龙江，月考）已知函数/（x）=e:aln（G；+a）（a＞0）,若〃x）＞。恒成立，则。的取值范

围是.

5.（24-25高三上•山西・月考）若对任意在,赴w（0,+oo），当国