第五章 数列 章末题型大总结（解析版）-2024-2025学年高二数学同步训练（人教B版选择性必修第三册）

第五章数列章末题型大总结

01知识导图

题型总结

等差、等比数列基本量计算

等差数列的性质

数列的函数特性及应用

等比数列的性质

由数列的前几项求通项

等差数列前n项和的最值问题

累加法与累乘法

裂项相消法

根据Sn与an的关系求通项

错位相减法

构造法求数列的通项

并项法

等差、等比数列的判断

数列在实际问题中的应用

数列中的新定义问题

02题型精讲

题型01数列的函数特性及应用

||解题锦囊

'求数列最大（小）项的方法

（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项.

II（2）利用"n+1,求数列中的最大项4；

[%Nan-\

II[&＜凡口

利用,求数列中的最小项为.

〔%W%

当解不唯一时，比较各解大小即可确定.

I!_____________________________________________________________________________________________

【典例1]（24-25高二上•河北沧州•阶段练习）已知数列｛%｝的通项公式为%=等之，则｛6｝中的项最

大为（）

1

A.-B.0C.-1D.2

5

【答案】D

【分析】根据数列的单调性求解.

【详解】。”累1+/吗=。9=-1,。4=2.

3

当〃>4时，函数>=；；——覆单调递减，

4〃一14

则当时，数列｛%｝单调递减，

所以｛%｝中的项最大为〃4=2.

故选：D.

【变式1](24-25高三上•河北•阶段练习)己知数列｛%｝的通项公式为。“="2(|广’，若对于任意正整数小

都有巴<am成立，则m的值为()

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】利用给定的通项公式，结合单调性求出最大项即可得解.

【详解】数列｛%｝的通项公式为%则％+1-%=("+1)2(|)"-〃2(|严

89o81o18o

=(-)，，[(«+l)92--«2]=(-)，，(--«2+2n+l)=---(-r(«2-16n-8),

由〃2-16"-8>0,n>\,解得“>8+6收，而16<8+6也<17,

因此当"217时，an+l-an<0,gpan+1<an,当10416时,an+l>an,

即/</<•••<%6<a\1>q8>。19>

所以数列｛%｝的最大项为。17，即对于任意正整数小都有%夕%成立，依题意，加=17.

故选：C

2

【变式2】(24-25高二上•河北保定•阶段练习)在数列｛%｝中，若%=3,。用=2-一,则下列数不是｛%｝

an

中的项的是()

14

A.-1B.-C.-D.-2

【答案】A

【分析】由数列的递推关系及％=3求数列的前几项，确定数列的周期，由此判断结论.

2

【详解】因为4=3,%+i=2---,

%

一41

所以的=§，“3=5，%=-2,45=3,

故｛%｝是以4为周期的周期数列，-1不是数列中的项，

故选：A.

【变式3】（24-25高三上,江苏无锡•阶段练习）已知数列｛%｝的通项公式是二<7

，〃>7

（〃eN*）,若数列｛。“｝是递增数列，则实数。的取值范围是（）

C.（2,3）D.[2,3）

【答案】C

【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解.

（3-a>0

【详解】氏=（：二"）""7为单调递增的数列，故"1，

10，〃〉7,X28-6

7（3—Q）—3<u

解得2va<3,

故选：C

【变式4】（24-25高三上•天津•阶段练习）在无穷数列｛%｝中，％=1,a„_1+2a„=0（»>2,neN*）,数列｛%｝

的前n项和为S,,则S,的最大值与最小值的差为（）

A.-B.：

84

C.yD.无法确定

【答案】C

【分析】求出数列｛%｝的前〃项和，按奇偶探讨｛SJ的单调性求出最大与最小值即可得解.

【详解】由"22,a,i+2a“=0,得2%=、%,而%=1,则数列｛叫是等比数列，

于是S,==中「（一｝"]，当〃为奇数时，S“=g[l+（g）"],|<S„<5„<1,

；：；+2

当〃为偶数时，5„=|[l-（|r],1<S„<5„+2<1,因此S”的最大值与最小值分别为1,；,

所以S,的最大值与最小值的差为?.

故选：c

题型02由数列的前几项求通项

解题锦囊

由数列的前几项求数列的通项公式

II①各项的符号特征，通过(-1)"或(-1)用来调节正负项.

②考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系.

II③相邻项(或其绝对值)的变化特征.

④拆项、添项后的特征.

II⑤通过通分等方法变化后，观察是否有规律.

11===================================

【典例1](24-25高二上•江苏南通•期中)己知数列｛%｝的前4项依次为0,2,0,2,则其通项公式可能为

()

A.«„=1-(-1)"B.+

C.an=COSHTI-1D.an=sin«7i+1

【答案】B

【分析】依次求出各个选项中数列的前几项即可判断.

1234

【详解】对于A,ax=1-(-1)=2,a2=1-(-1)=O,a3=1-(-1)=2,a4=1-(-1)=0,不合题意；

对于B,%=1+(-17=0,〃2=1+(—I)?=2,%=1+(-1)，=0,%=1+(—I)，=2,符合题意；

对于C,ax=cos兀-1二一2,〃2=cos2K-1=0,=COS3K-1=-2,tz4=cos4K-1=0,不合题意；对于D,

ax=sin兀+1=1,a2=sin2兀+1=1,%=sin37i+1=l,tz4=sin4兀+1=1,不合题意.

故选：B

【变式1](24-25高二上•山东荷泽•阶段练习)若数列｛%｝的前四项依次为2,12,112,1112,则｛%｝的

一个通项公式为()

-1

A.an=10"+2B.=(〃一1)(45〃-80)+2

【答案】D

【分析】通过观察前几项的规律即可求解.

【详解】由2=10-8,12=100-88,112=1000-888,1112=10000-8888,

可得｛为｝的一个通项公式为%=10"-|x(10"-1)=竺曾.

故选：D.

【变式2](24-25高二上•黑龙江绥化•阶段练习)对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两

项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1,5进行构造，第1次得到数列1,6,5,第2次

得到数列1,7,6,U,5,依此类推，第〃次得到数列1,不用,…,5.记第"次得到的数列的各项之和为

S",则｛sj的通项公式s“=（）

A.3,,+1+3B.3"+1+lC.3"+3D.3"+1

【答案】A

【分析】依据题意构造数列，分析规律，结合等比数列前〃项和公式即可求解.

【详解】依题意，E=l+6+5=12,S2=1+7+6+11+5=12+18=12+6x3,

S3=1+8+7+13+6+17+11+16+5=12+18+54=12+6x3+6x32=12+6x0+32),

S4=1+9+8+15+7+20+13+19+6+23+17+28+11+27+16+21+5

=12+18+54+162=12+6X3+6X32+6X33=12+6X(31+32+33),

=12+6X（31+32+33+---+3"-1）,

由等比数列的前”项和公式，得S“=12+6x3（1二=3向+3,

所以电｝的通项公式S“=3向+3.

故选：A

【变式3］（24-25高三上•天津河西•期中）将数列｛3〃-1｝与｛2〃｝的公共项从小到大排列得到数列｛4｝,则〃1?二

（）

A.237B.238C.239D.241

【答案】D

【分析】观察得到｛2"｝中的奇数项都是数列｛3〃-1｝中的项，即2,8,32,128,…，其为公比为4的等比数列，

求出g=221,得到答案.

【详解】数歹1｛2"｝中的项为2,4,8,16,32,64,128,256,…，

观察得到｛2"｝中的奇数项都是数列｛3〃-1｝中的项，

即2,8,32,128,…可以写成3"-1的形式,其为公比为4的等比数列,

故a,=2x4"T=22i,故的=2,

故选：D

【变式4］（24-25高二上•甘肃白银•期中）己知数列1,-3,5,-7,9,…，则该数列的第985项为（）

A.-1971B.1971C.-1969D.1969

【答案】D

【分析】根据数列的前几项，得出数列的通项公式，即可求解.

【详解】因为数列为1,-3,5,-7,9,…，

所以该数列的通项公式为%=（T）向（2»-1）,得到=（-Ip1（2x985-1）=1969,

故选：D.

题型03累加法与累乘法

II解题锦囊

累加法适用于。"+1—或为一为-1=/(")型，其解题恒等式为册=。1+(。2—。1)+(。3—。2)+…+(。"一

IIan-^(n>2,cGN*)求解

IIaa

累乘法适用于.=/(〃)或2=/(〃)型，通常利用飙=里•竺求出通项册.

||anan-\Un-1Un-2Ul

II==______=____=_________________________________=______

【典例3](24-25高二上•山东•期中)在数列｛。“｝中，％==%+ln(l+｝),则｛为｝的通项公式为.

【答案】an=l+ln/7；

【分析】求出%-O"T=ln利用累加法求和得到通项公式.

【详解】«„+i-an=ln^l+1^=ln(n+l)-lnn,

故4-a^=lnn-ln(n-l),

所以〃〃=In〃-In(〃-1)+an_x=ln«-ln(H-l)+ln(w-l)-ln(«-2)+an_2

=ln〃-ln(〃-l)+ln(〃-l)-ln(〃-2)d----FlnZ-lnl+q=ln〃-lnl+l=l+ln〃.

故答案为：an=l+lnn

【变式1】(24-25高二上•上海•期中)若数列｛%｝满足q=l,且a“M=a”+2〃(其中心1,〃eN),贝匹叫

的通项公式是.

【答案1a“=:厂-”+1

【分析】根据给定条件，利用累加法求出数列的通项.

«„+1=«„+2«,

【详解】在数列｛叫中，当时，an-a„_j=2(n-l),

则=4+(出一)+("3—电)+…+("〃—。〃—1)=1+2+4+…+2(〃—1)

=]+2+2?_--(«-1)=n2-n+1,%=1满足上式，

所以｛4｝的通项公式是%="2-〃+L

故答案为：+1

【变式2】(23-24高二下•海南海口•期中)己知数列｛“"｝的前"项和为S”,4=2且满足5"=等凡,则数列

｛乙｝的通项公式为.

【答案】%=(〃+1)〃

an+1/、

【分析】当“22时，。产月-5”化简得工二］,利用累乘法计算得到%=（〃+1）〃，%=2满足上式,

写成分段的形式即可.

【详解】当“22时，氏=5,-51=*%-2二产/一,

a„詈利用累乘法得％=?》导…噜*X，%

化简得(〃-1)%=(〃+1)%,—

an-\

H+1nn—\543

=------x-------x-------X---X—X—X—X2=(几+1)〃

n-1n-2n-3321

显然4=2满足上式,

2,〃=1,

所以。〃=<(〃+1)〃

，〃22,

2

故答案为：an=（«+1）n

【变式3】（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛劭｝满足％+%=2",ai=l,则2破3=

aa

n+l~n

【答案】4045

【详解】

.、\TH■汨"1_i

•=—2几，««ctn+i~\cm-2〃伍〃*/cm),B|nJ/(12ri)cui+]—(2nl)q〃，口」一~•,a2023—

2n

68a681小J吟博―4045.

-------X-------X-------X...X-x—xa,

J♦，।c，”igait<MIMM3I

【变式4】（24-25高二上•重庆•期中）将正奇数按照如图排列，我们将3,7,13,21,31......,都称为"拐角数"，则

下面是拐角数的为（）

【答案】C

【分析】先根据题中规律，并采用累加法结合等差数列前n项和公式求出拐弯数的通项公式，即可求解.

【详解】不妨设第"（〃eN*）个"拐角数"为见,

a

不难发现。2~\=2x2,a3—a2=2x3,a4—a3=2x4,••■,an-an_x=2n｛n>2\,

所以4-%=4+6+8H-----\-2n=~—°,+2"）=（H-1）（»+2）,得a“=〃2+〃+1,

当〃=1时，也符合上式，所以%=7』+〃+1（77eN*）,

所以第7个"拐角数"是%=7?+7+1=57,

第8个“拐角数"是%=合+8+1=73,

第9个“拐角数"是q=炉+9+1=91,

第10个"拐角数"是用0=1。2+10+1=111,

第11个“拐角数"是%=1『+11+1=133,

第12个"拐角数"是42=12。+12+1=157.故C对；

故选：C

题型04根据S”与%的关系求通项

11解题锦囊

II一

0（1）已知求斯

己知S"=/（〃）求通项，步骤可分为三步：（1）当〃"时a"=S“-S,T；（2）当〃=1时，q=S］；

II（3）检验能否合写，即〃=1和"22两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式.

（2）已知S"与的关系求a”

II根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

（1）利用％=5.—5一！（应2）转化为只含S0,S-i的关系式,再求解；

||（2）利用S〃一5-1=%（H>2）转化为只含分，4一的关系式，再求解.

II_

【典例4］（24-25高二上•天津静海•阶段练习）己知S”为数列｛七｝的前〃项和，且满足S“=/+2〃+2,则

｛%｝的通项公式为—.

f5,n=\

【答案】。口

【分析】先求q,再利用%=S「S"T（""）计算即可求解.

【详解】当〃=1时，%=句=5,

22

当“22时，a„=5„-Sn_1=»+2n+2-[(«-l)+2(»-l)+2],

整理得：。〃=2〃+1,«>2,

当〃=1时，上式不成立,

5,H=1

所以%=

2〃+1,n>2

[5,n=l

故答案为：a„=]1,

\2n+\,n>2

【变式1】（24-25高二上•上海•阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和S"=2"i-2.则数列氏=.

【答案】2"

[S,,n=l

【分析】根据公式%=。c、.，即可求解数列的通项公式.

2

【详解】当"=1时，al=Sl=2-2=2,

当，。2时,an=Sn-S^=2®-2"=2",

验证当〃=1时，q=2i=2成立，

所以4=2".

故答案为：2"

【变式2（24-25高三上•天津•期中）已知数列｛%｝的前"项和为，，若为=2,a,用=2S“+2（〃eN*）,则

a4=•

【答案】54

【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得知的值.

【详解】当"22,〃eN*时,%=25“_]+2,所以%-a“=2a“，即0用=3%

当〃=1时，％=2S/+2=2a｛+2=6=3q,

所以数列｛%｝是首项为2,公比为3的等比数列，

则%=%,q3=2x33=54.

故答案为：54.

【变式3】（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛〃“｝的前〃项和为其，且满足对+3S“S,i=0

(n>2且〃eN*),4=；，则S“=

【答案】J

3n

为等差数列，求出首项和公差即可知道:的

【分析】由公式%=S,-S,i（"N2且"eN*）化简可证明

通项，进而可求S0.

【详解】因为%=S,-S"T（心2）,所以S“-S,+3S“S.T=0,

所以=3,所以是等差数列，公差为3,又苦」=3,

%-1[3〃J"1

所以g=3+3(〃-1)=3〃，即s〃=J.

3〃3n

故答案为：丁.

3n

【变式4](24-25高二上•河南•期中)记数列｛%｝的前。项和为黑,已知S用+S,T=25.+2"32)且

可=1,%=3,贝.

【答案】n2-«+l,»6N-

【分析】由。“与S”的关系，可得与+「a,=2〃(〃t2),再累加法求解即可.

【详解】当“22时，由5角+5,1=25“+2〃得5用一，=5,-，7+2〃，

aa

即n+l~„=2»(/7>2),

因为。2-％=3T=2=2x1,所以an+i-an=2n(n>1),

所以a*-an_x=2(〃-1),an_x-an_2=2(〃-2),…，/~a2=4,a2-ax=2,

则%-%=2+4+…+2(〃-2)+2(〃-1)=(1)(；2〃-2)=〃2_〃叱2),

又q=1满足上式，故4〃=〃2_〃+l,〃£N*,

故答案为："i+i,〃£N*.

题型05构造法求数列的通项

F解题锦囊

用“待定系数法”构造等比数列I

||I

形如勺+1=妨〃+)(太。为常数，ApwO)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为

II

IIan+i+m=k｛an+m)(其中：加=：一),由此构造出新的等比数列｛%+加｝,先求出｛%+鬲的通项，从而

K-111

，1II

II求出数列｛。“｝的通项公式.||

II||

||倒数法

形如。"+i=*^(2应为常数，pqf的数列，通过两边取"倒"，从而构造出新的等差数列

pa”+q[an\II

II

||先求出工的通项，即可求得。”

11=_____===-_______________________________________________________________________________

【典例5](23-24高二上•广东深圳•期末)已知数｛斯｝满足％=2,。2=5%+12,则数列｛册｝的通项公式

【答案】5"-3

【分析】由题意可得+3=5(%+3),即｛%+3｝是以％+3=5为首项,5为公比的等比数列,由等比数列

的通项公式求解即可.

【详解】由%+i=5%+12可得：%+i+3=5(%+3),又为+3=5。0,

——=5,

%+3

所以｛。“+3｝是以％+3=5为首项，5为公比的等比数列,

所以4,+3=5-5"T=5",所以％=5"-3.

故答案为：5"-3

【变式1](23-24高一下•上海•期末)数列｛%｝满足q=2,4田=3%+2用，则数列｛%｝的通项公式为

【答案】2(3"-2")

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得.

【详解】数列｛%｝中，由%M=3O.+2向，得招=：黑+1，即招+2=3黑+2),

而q=2,争2=3,于是数列｛祟+2｝是首项为3,公比为[的等比数列，

因此去+2=3x(|)7,即%=2(3"-2"),

所以数列M的通项公式为a„=2(3"-2").

故答案为：2(3'-2")

【变式2】(23-24高二下•河南•期中)数列｛%｝中，若为=1,。“+1=[+，则,=

【答案】19

【分析】取倒数可得一匚-'=2,即可得数列[的通项公式，计算即可得.

a

a,+i„[an]

Q“1l+2a„1》

【详解】角=广-,则—=——t=一+2,

1+26%anan

A—--=2,；.故数列为等差数列，公差等于2,

%an[a„\

又工=1,故，=1+2("-1)=2“-1,

%an

;-=10x2-1=19

%。

故答案为：19.

【变式3】在数列｛%｝中，已知q=2,。用=蜡二，则｛%｝的通项公式为

【答案】

6n—5、7

【详解】由Q〃M=ET，

3%+1

13a+1c1

两边取倒数得——==3+一,

aa

4+1nn

即—-----=3,

a

%+1n

11

又因为一=J,

ax2

所以是首项为方，公差为3的等差数列，

117n6n-5

所以一=E+3(1)=F-,

故见=/W(”eN"),

故答案为：%=3(〃eN*)

6〃一5'/

题型06等差、等比数列的判断

r解题锦囊

™i.等差数列的定义

I

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数

II歹!I，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

2.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，第一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，

[这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(qW0).

【典例5](24-25高三上•陕西•阶段练习)已知正项数列｛%｝,｛2｝满足d=6也+1，且­=2%，则

()

A.｛m｝为等差数列B.为等差数列

C.｛痣:｝为等比数列D.低｝为等比数列

【答案】A

【分析】由条件可得见=麻；，«„+1=，结合关系可得久+«„+1=2%,可得

+必=2忘,由此判断AC,举反例判断BD.

【详解】因为d=61AM，数列｛%｝,｛或｝为正项数列，

所以见=而五:，an+l=也+也什2,又。“+«„+1=26“+1,

所以也%1+也+也+2=2%,

所以用+工=2百，

所以｛m｝为等差数列，A正确，C错误；

设a=/,贝！1"+1=("+1)2,。“=〃("+1),%=(〃+1)(〃+2),

满足条件an=bnbn+l,an+an+｛=2bn+l,

,11,121

因为a=16片她=9,-+-=l+-^-=-,

所以也,｝不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误.

故选：A.

【变式1](24-25高三上•江苏•阶段练习)"数列｛logs%｝是等差数列"是"数列｛%｝为等比数列”的()条

件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充要

【答案】A

【分析】利用等差数列、等比数列的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若数列｛logs。」是等差数列，设其公差为"，

贝=logs4用Togs%=bg3也，所以，—=3",且对任意的“eN*,%>0,

4an

所以，数列｛%｝为等比数列，

即"数列｛logs%｝是等差数列"="数列｛七｝为等比数列"；

另一方面，若数列｛6｝为等比数列，不妨取%=T(〃eN*),

则数列｛%｝为等比数列，但logs为无意义，

即"数歹U｛logs。“｝是等差数歹!?’3"数列｛七｝为等比数列

因此，"数列｛logs%｝是等差数歹旷是"数列｛«„｝为等比数歹中'的充分不必要条件.

故选：A.

【变式2](24-25高三上•江西南昌•阶段练习)设数列｛%｝,｛“｝的前〃项和分别为，，Tn,则下列命题

正确的是()

A.若。用-%=2(〃eN*),则数列｛《｝为等差数列

B.若6用=2"(〃eN*),则数列他,｝为等比数列

C.若数列｛%｝是等差数列，则S,，S2n-Sn,S3.-邑“…(〃eN*)成等差数列

D.若数列低｝是等比数列，则小Tln-Tn,4-七,--(〃6*)成等比数列

【答案】AC

【分析】对于A,C,利用等差数列的定义判断即可，对于B,D,通过举反例判断

【详解】对于A,由等差数列的定义可知当。用-%=2(〃eN*)时，数列｛%｝为等差数列，所以A正确;

对于B,当a=0时，满足，M=2，(〃eN*),但数列也,｝不是等比数列，所以B错误；

对于C,数列｛%｝是等差数列，数列｛%｝的前"项和为

sss

则2„~„~„=2〃%+2M2；T)d_+〃(丁)町="2d,

S3n-S2n-(S2n-Sn)=S3n-2S2n+Sn

,3〃(3〃-1)72n(2n—Y)7nn(n-Y).27

=3na1H--------a-z\2nax-\---------aj+naxH------a=na,

所以S3,一邑“一($2“一凡)=(邑，一S,)-s“，

所以S",S2n-Sn,邑"-邑”•••(“eN*)成等差数列，所以C正确；

对于D,当等比数列也｝的公比4=7,

当〃为偶数时，Tn,T2n-Tn,&-&,•••(“eN*)均为零,

所以1，T2n-Tn,耳-&，…(〃eN*)不成等比数列，所以D错误，

故选：AC.

【变式3](24-25高二上•河北保定•阶段练习)记等差数列｛%｝的前〃项和为y，%+4=14,55=30.

⑴证明：数列｛5-/｝是等差数列.

(2)若数列也“｝满足%=24,且加="+。“，求也｝的通项公式.

【答案】⑴证明见解析

(2)4=w2-H+1

【分析】(1)设等差数列｛%｝的公差为力将条件转化为生”的方程，解方程求生,d,结合求和公式求S",

再根据等差数列定义证明结论；

(2)由(1)利用累加法求也｝的通项公式.

【详解】(1)证明：设等差数列｛%｝的公差为力

又〃3+%=2%+5"=14,S5=5ax+10d=30,

解得4=2,d=2,

所以为=2+2(〃-1)=2〃，an=2n,

所以S〃=(2+；")〃=“2+”.

因为S“_”2=n,

所以国「(〃+1)[-(S「"2)=l,

所以数列｛S“-/｝是等差数列.

又向

(2)an=2n,b=b“+a”,

所以〃+i="+2”,又4=1

当〃22时，bn-如=2(〃-1),

则。=4+02-4)+03—。2)+…+(。一。-1)

=1+2+4+---+2(«-1)=1+2+2^-1^(77-1)=/72-/7+1.

又4=1也满足上式，所以也,｝的通项公式为+

【变式4](2024高三上•山东济南•专题练习)已知数列｛叫的前"项和为S",«,=13,

(%-8,”为奇数

H+1为偶数

⑴证明：数列｛%TT2｝为等比数列；

(2)求数列｛《｝的前2"+1项和S2„+1.

【答案】⑴证明见解析

(2)邑“+1=2x3"+16〃+11

【分析】(1)根据条件，得到当"22,“eN*时，*-12=3仆.「36,且有％-12=1,由等比数列的

定义即可证明结果；

2

(2)由⑴及条件可得出“7=3"一+12,a2„_2=3--+4,«>2,«eN\再利用等比等差数列前〃项和公式分

组求和，即可求解$2角.

&-8,“为奇数

【详解】(1)证明：因为。用=:二屈将，

[3a","为偶数

所以当〃22,〃eN*时，々“-IT2=a2(„_1)+1-12=3a2n_2-12=3a(2„_3)+1-12=3(a2„_3-8)-12=3(a2„_3-12),

d^)y_12.

即n”=3

。2〃一3-12

又〃=1时，ax-12=13-12=1,

所以数歹[)｛出〃.1-12｝为首项为1,公比为3的等比数列.

(2)由(1)知％T-12=3"T,所以*=37+12,

a-8,〃为奇数*

又由%M=；为倬粉，可得咏2=3"-2+4,北2,"小,

[3%,〃为偶数

所以5〃+1=4+出+。3+…+%〃+电〃+1=3+。3+…+。2〃+1)+(。2+。4+…+。2〃)

=[(3°+12)+(31+12)+…+(3"+12)]+[(3°+4)+(3+4)+…+。〃一]+4)]

]_3〃+i1

=[30+3+---+3"+12(M+1)]+(30+3+---+3,-1+4/I)=-----+----+16〃+12=2x3"+16〃+11

题型07等差、等比数列基本量计算

11解题锦囊

II

||(1)在等差、等比数列｛%｝中，其通项公式和前n项和两个公式共涉及%,d,n,4及S,五个基本量,

11它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前〃项和；、

(2)依据方程的思想，在数列前〃项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。

Li=============================：=======

【典例7](24-25高二上・江苏扬州•阶段练习)已知等比数列｛%｝的前3项和为28,。“>0且%-%=56,

则&=()

A.28B.56C.64D.128

【答案】D

【分析】通过前3项和以及%-%=56,求解出国，由通项公式可计算结果.

【详解】因为。”>0,所以q>0,4>0,

又｛七｝的前3项和为28,即=)=28①,

i-q

又%-。2=%«(--1)=56②，

②式比①式可得相一4-2=0,解得0=-1(舍)或4=2,

代入②式得。2=8,则&=%/=8x16=128.

故选：D

【变式1](23-24高三上•山东•期中)各项均为正数的等比数列｛见｝的前〃项和为S“，且-可，彳电，七成

等差数列，若q=1,则邑=()

A.*或15B.15C.*或-15D.-

888

【答案】B

【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.

【详解】设等比数列｛见｝的公比为4，由数列｛%｝为正项数列，则0>0,

333

由一4，,%为等差数列，则5〃2=—%+〃3，即=—1+d，即2/—3q—2=0,

解得4=2或-;（舍去），又％=1,所以=

故选：B

【变式2］（24-25高二上•江苏南京•阶段练习）已知等差数列｛%｝的首项为1,若%吗,2+1成等比数列,

则。4=（）

A.-2B.4C.8D.-2或4

【答案】B

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,由qM2M3+I成等比数列求出d可得答案.

【详解】等差数列｛4｝的公差为d,

若q,a2M3+1成等比数列，则a2=ai（%+1），

即（1+d）=1+2d+1»解得/=1,d=±1,

当1=1时，。4=1+3=4,

当d=-l时，4=1-1=0，此时2M3+1不能构成等比数列，故舍去，

所以&=4,

故选：B.

【变式3］（24-25高三上•江苏•阶段练习）记S〃为等差数列｛%｝的前〃项和.已知邑=百2，。5=5,则％=

（）

A.10B.9C.-9D.-10

【答案】B

【分析】根据等差数列以及前〃项和的计算即可求解.

\la,+2\d-12a.+66d

【详解】由$7=力,生=5可得二〃<，解得d=T,%=9,

［q+4<7=5

故选：B

【变式4］（24-25高三上•湖北•期中）已知等比数列｛%｝满足：+:+｝=14,a2=l,记与为其前〃项

和，则邑=（）

77

AZB.-C.-D.7

,842

【答案】A

【分析】根据题意列方程求出公比q,然后可解.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为q,4力0,

Ill,1

依题意,「丁丁，a2=-,

--1----1----1---1-----1--=--q----1----1---1----1--—1=]一42c

即&a2。2ga2a2a?q,2q+2+—=7,2q2-5q+2=0,

q

q

解得9=2或夕=g,

。3=；或%=；

88

c1117

Sq=----1-----1----=一

38428

故选：A

题型08等差数列的性质

解题锦囊

II1.等差数列的常用性质

(1)若阳+〃=2夕，则4+%=24；

(2)若加+"=夕+4,则见“+%+4；

11(3)下标成等差数列的项以,以+,,,,殁+2„,,…组成以〃4为公差的等差数列

||2.与等差数列各项的和有关的性质

[设等差数列｛4｝(公差为d)和低｝的前〃项和分别为sn,Tn,

C1

II(1)数列｛」4是等差数列，首项为4,公差为一d.

n2

(2)Sk,S2k-Sk,s3k-S2k,---,Smk-S(mTx，…构成公差为k2"的等差数列.

⑶若数列｛4｝共有2〃项，则S偶—5奇=〃4,

»偶4+i

II若数列｛4｝共有2〃一1项，则S奇一S偶=a"，资=奇=〃a“，S偶=(〃一l)a“).

S偶”1

11

0、Ji，”^2m-i_2m-lam

!⑷钉一耳‘一•可

【典例8](24-25高二上•江苏南京•阶段练习)等差数列｛与｝的前"项和为S“，已知的+4=8,贝1J5=

()

A.28B.30C.32D.36

【答案】C

【分析】根据等差数列求和公式及等差中项的性质即可得解.

【详解】由已知｛%｝为等差数列，

所以_—=4（%+&）=4x8=32.

故选：C.

【变式1]（24-25高二上・江苏苏州•期中）（多选）已知数列｛%｝是等差数列，抄,｝是等比数列，

m,n,p,qeN,.（）

A.若m+"=p+q,则4“+%=4+%

B.若%“+%=%+%,贝l|加+〃=p+q

C.若m