第五章 数列 章末题型大总结（原题版）-2024-2025学年高二数学同步训练（人教B版选择性必修第三册）

第五章数列章末题型大总结

01知识导图

题型总结

等差、等比数列基本量计算

等差数列的性质

数列的函数特性及应用

等比数列的性质

由数列的前几项求通项

等差数列前n项和的最值问题

累加法与累乘法

裂项相消法

根据Sn与an的关系求通项

错位相减法

构造法求数列的通项

并项法

等差、等比数列的判断

数列在实际问题中的应用

数列中的新定义问题

02题型精讲

题型01数列的函数特性及应用

解题锦囊

求数列最大（小）项的方法

（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项.

（2）利用"B+1,求数列中的最大项4；

Na„-\

利用""+1,求数列中的最小项4.

〔%W%

当解不唯一时，比较各解大小即可确定.

【典例1］（24-25高二上•河北沧州•阶段练习）已知数列｛%｝的通项公式为%=等三，则｛6｝中的项最

2n—7

大为（）

1

A.-B.0C.-1D.2

5

【变式1］（24-25高三上•河北•阶段练习）已知数列｛g｝的通项公式为。"=/（|）小，若对于任意正整数〃,

都有。“<am成立，则m的值为（）

A.15B.16C.17D.18

2

【变式2】（24-25高二上•河北保定•阶段练习）在数列｛%｝中，若%=3,〃用=2-一,则下列数不是｛%｝

%

中的项的是（）

14

A.-1B.-C.-D.-2

【变式3】（24-25高三上•江苏无锡•阶段练习）已知数列｛%｝的通项公式是%二"’7

[a,〃>7

（77.N*）,若数列｛%｝是递增数列，则实数。的取值范围是（）

C.（2,3）D.[2,3）

，

【变式4】（24-25高三上•天津•阶段练习）在无穷数列｛%｝中，％=1,a„_1+2a„=0（n>2,neN）,数列｛%｝

的前n项和为斗，则S"的最大值与最小值的差为（）

A.-B.；

84

C.yD.无法确定

题型02由数列的前几项求通项

解题锦囊

II由数列的前几项求数列的通项公式

①各项的符号特征，通过（-1）”或来调节正负项.

②考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系.

II③相邻项（或其绝对值）的变化特征.

④拆项、添项后的特征.

II⑤通过通分等方法变化后，观察是否有规律.

1!===================================：

【典例1]（24-25高二上•江苏南通•期中）已知数列｛%｝的前4项依次为0,2,0,2,则其通项公式可能为

（）

A.«„=l-（-l）nB.a„=1+（-1）"

C.an=cosnn-1D.an=sin«7i+1

【变式1】（24-25高二上•山东荷泽•阶段练习）若数列｛%｝的前四项依次为2,12,112,1112,则｛0“｝的

一个通项公式为（）

H-1

A.an=10+2B.an=（«-1）（45/1-80）+2

【变式2】（24-25高二上•黑龙江绥化•阶段练习）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两

项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1,5进行构造，第1次得到数列1,6,5,第2次

得到数列1,7,6,11,5,依此类推，第〃次得到数列1,西户2,…,5.记第〃次得到的数列的各项之和为

S„,则｛SJ的通项公式S.=（）

A.3,,+,+3B.3"+1+1C.3"+3

【变式3】（24-25高三上•天津河西,期中）将数列｛3"-1｝与｛2'｝的公共项从小到大排列得到数列｛《,｝,则知=

（）

A.237B.238C.239

【变式4]（24-25高二上・甘肃白银•期中）已知数列L-3,5,-7,9,…，则该数列的第985项为（）

A.-1971B.1971C.-1969D.1969

题型03累加法与累乘法

II解题锦囊

累加法适用于4+1—4=/（"）或%—川型，其解题恒等式为an=a1+（a2—ai）+（a3—a2）+...+（an—

IIan-i）（n>2,r?£N*）求解

II〃〃

累乘法适用于&"=/（"）或2=/（〃）型，通常利用a尸四一1.....岂q,求出通项a”.

||anan-\Un-1On-2Ul

11===================================

【典例3】（24-25高二上•山东•期中）在数列｛。“｝中，％=1,。向=a”+ln[l+：）,则｛““｝的通项公式为.

【变式1】（24-25高二上•上海•期中）若数列｛叫满足%=1,且。用=。“+2〃（其中”21,〃eN）,则｛叫

的通项公式是.

【变式2】（23-24高二下•海南海口•期中）已知数列｛%｝的前”项和为S”,％=2且满足S,,=/%,则数列

｛0“｝的通项公式为.

【变式3】（2024高三・全国・专题练习）已知数歹3｛助｝满足「向+氏=2”,即=1,则即破3=

©斗一Q”

【变式4】（24-25高二上•重庆•期中）将正奇数按照如图排列，我们将3,7,13,21,31……，都称为"拐角数"，则

下面是拐角数的为（）

2325272931

21

1933

1735

15537

39

13119

41

C.IllD.135

题型04根据S”与an的关系求通项

11解题锦囊

II

II（1）已知求斯

已知=/（〃）求通项，步骤可分为三步：（1）当心2时％=s“-S"T；（2）当〃=1时，q=S］；

II（3）检验能否合写，即"=1和"22两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式.

（2）已知S"与的关系求许

II根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.

（1）利用%=S0—S-1（n>2）转化为只含5n，Sn-1的关系式，再求解；

||（2）利用S〃一5-1=%（H>2）转化为只含分，4一的关系式，再求解.

II_

【典例4】（24-25高二上•天津静海•阶段练习）已知S,为数列｛%｝的前〃项和，且满足S“=/+2〃+2,则

｛%｝的通项公式为.

【变式1】（24-25高二上•上海•阶段练习）已知数列｛七｝的前〃项和S“=2向-2.则数列氏=.

【变式2（24-25高三上•天津•期中）已知数列｛%｝的前"项和为1若％=2,%=2s,+2（〃eN*）,则

二•

【变式3】（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且满足与+3S“S,T=。

（«>2J=L«eN*）,=1,贝！|S”=.

【变式4】（24-25高二上•河南•期中）记数列｛a｝的前。项和为邑,已知S,M+S"_I=2S"+2〃（»>2）

%=1,出=3,贝U%=.

题型05构造法求数列的通项

解题锦囊

用“待定系数法”构造等比数列

形如an+l=kan+p（匕p为常数，切片0）的数列，可用"待定系数法”将原等式变形为

an+l+m=k（a„+m）（其中：加=:一）,由此构造出新的等比数列｛%+加｝,先求出｛。“+加｝的通项，从而

k-1

求出数列｛见｝的通项公式.

倒数法

形如册+1=上」（?应为常数，PqQ的数列，通过两边取"倒、从而构造出新的等差数列［工］,

P%+g［a„\

先求出的通项，即可求得斯.

【典例5］（23-24高二上•广东深圳•期末）己知数｛斯｝满足q=2,%+1=5。“+12,则数列｛七｝的通项公式

【变式1］（23-24高一下•上海•期末）数列｛%｝满足%=2,%=3%+2用，则数列｛七｝的通项公式为

/、6Z1

【变式2］（23-24高二下•河南•期中）数列｛%｝中，若％=1,%+1=77尸，则一=_____________

1十Zu

【变式3】在数列｛%｝中，已知q=2,。用=肃工，则｛%｝的通项公式为

题型06等差、等比数列的判断

解题锦囊

»1.等差数列的定义

II

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数

II歹U,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

2.等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，第一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，

［这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（qWO）.

【典例5］（24-25高三上•陕西•阶段练习）已知正项数列｛6｝,也｝满足尺=6也…且%+*=2%,则

（）

A.｛瓦｝为等差数列B.为等差数列

C.｛M｝为等比数列D.也｝为等比数列

【变式1］（24-25高三上・江苏•阶段练习）"数列｛logs%｝是等差数列"是"数列｛2｝为等比数列"的（）条

件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充要

【变式2】（24-25高三上•江西南昌•阶段练习）设数列｛%｝,｛2｝的前"项和分别为S“，T”,则下列命题

正确的是（）

A.若。用-%=2（〃wN*）,则数列｛%｝为等差数列

B.若6用=24（"eN*）,则数列｛"｝为等比数列

C.若数列｛《｝是等差数列，则S“，S2ri-Sn,S3.-邑“，…（”eN*）成等差数列

D.若数列也｝是等比数列，则北，T2n-Tn,-耳,…（〃eN*）成等比数列

【变式3】（24-25高二上•河北保定•阶段练习）记等差数列｛%｝的前〃项和为S“，%+4=14,1=30.

⑴证明：数列｛S“-叫是等差数列.

⑵若数列也｝满足q=2［,且%=4+%,求也｝的通项公式.

【变式4】（2024高三上•山东济南•专题练习）已知数列｛%｝的前"项和为九«,=13,

（%-8,”为奇数

n+113%,〃为偶数

⑴证明：数列｛/“一「12｝为等比数列；

（2）求数列｛%｝的前2〃+1项和S2„+1.

题型07等差、等比数列基本量计算

11解题锦囊

II

||（1）在等差、等比数列｛%｝中，其通项公式和前n项和两个公式共涉及内,d,n,a“及S"五个基本量,

11它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前〃项和；、

（2）依据方程的思想，在数列前〃项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。

0====================================

【典例7］（24-25高二上・江苏扬州•阶段练习）已知等比数列｛g｝的前3项和为28,%>0且。5-出=56,

则。6=（）

A.28B.56C.64D.128

【变式1］（23-24高三上•山东•期中）各项均为正数的等比数列｛%｝的前〃项和为S”，且-％,\七，%成

等差数列，若%=1,贝1」邑=（）

A.9或15B.15C.2或—15D.-

888

【变式2］（24-25高二上•江苏南京•阶段练习）已知等差数列｛%｝的首项为1,若％，&M+1成等比数列,

则为=（）

A.-2B.4C.8D.-2或4

【变式3］（24-25高三上•江苏•阶段练习）记S“为等差数列｛%｝的前"项和.己知$7=几,%=5,则％=

（）

A.10B.9C.-9D.-10

【变式4】（24-25高三上•湖北•期中）已知等比数列｛4｝满足：+:+：=14,%=；,记S“为其前〃项

和，则邑=（）

777

A.-B.—C.—D.7

842

题型08等差数列的性质

解题锦囊

II1.等差数列的常用性质

（1）若加+”=22，则%+%=2%,；

（2）若冽+”=夕+夕，则见“+。“=<+%；

11（3）下标成等差数列的项以，殁+,“，殁+2„,,…组成以加d为公差的等差数列

||2,与等差数列各项的和有关的性质

［设等差数列｛%｝（公差为d）和低｝的前"项和分别为7；,

C1

II（1）数列是等差数列，首项为4,公差为一d.

n2

（2）Sk,S2k-Sk,s3k-Sik，…,Smk-S5T%,…构成公差为％2〃的等差数列.

,、S^s.ci

⑶若数列｛4｝共有2〃项，则S偶一5奇=〃4,-=^~；

>偶a„+i

||若数列｛4｝共有2"—1项，则S奇一S偶=%,资==15奇="。“，S偶=（〃一1）。“）.

II偶

”,,、邑〃_］a〃^2m-1_2m~1。冽

（4）----=-----=---------

心tb〃'七一21bj

【典例8］（24-25高二上•江苏南京•阶段练习）等差数列｛%｝的前〃项和为色，已知。3+4=8,贝iJSg：

（）

A.28B.30C.32D.36

【变式1】（24-25高二上•江苏苏州•期中）（多选）已知数列｛%｝是等差数列，｛4｝是等比数列,

m,n,p,qeN*.（）

A.若机+〃=p+q,则％“+%=<+4

B.若%+%=%+%,贝l|〃7+"=0+q

C.若m+n=p+q,则她=b也

D.若b,“bn=bpbq,则加+"=p+q

【变式2】（24-25高二上•全国,课后作业）若等差数列｛%｝的前加项的和S,“为20,前3加项的和S3.为

90,则它的前2加项的和邑,“为（）

A.30B.70C.50D.60

c

【变式3】（24-25高二上•河北沧州•阶段练习）已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若口―E=l（加22,

m

且…），则素F…）

A.1B.2C.-1D.-2

【变式4】（24-25高二上•陕西榆林•阶段练习）已知等差数列｛%｝,｛4｝的前"项和分别为。，工，若

题型09等比数列的性质

II解题锦囊

||若数列｛4｝是公比为9的等比数列，前〃项和为A，则有如下性质：

（1）若加+"=夕+4,则a7A=%若加+"=2r,则％=a；（X〃,p,q/eN*）.

推广：若加+〃+/=?+夕+「，则%=4%%.

（2）若见〃，夕成等差数列，则成等比数列.

||（3）若项数为2〃，贝|]”=夕，若项数为2〃+1,则一一=q.

。奇》偶

11

（4）当"-1时,连续加项的和^nSm,S2m-Sm,S3m-S2m,-）仍组成等比数列（公比为自加,

||m>2）.注意：这里连续％项的和均非零.

II________________________________________________________________________________________________

ab

【典例9]（24-25高二上•山西晋城•阶段练习）定义2x2行列式，-瓦，若各项均为正数的等比数

ca

列｛叫,其前"项和为%则;:卜|：

）

A.-1B.0C.1D.2

【变式1】（23-24高三上•江苏扬州•期末）设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若$3=5,$6=20,贝1］工=

（）

A.66B.67C.65D.63

【变式2］（24-25高二上•天津滨海新•阶段练习）在正项等比数列｛%｝中，〃；+2〃6〃8+〃；=100,贝I

a5+a9=.

【变式3］（24-25高二上•全国•随堂练习）若等比数列｛%｝共有2〃项，其公比为2,其奇数项和比偶数项

和少100,则数列｛《｝的所有项之和为.

题型10等差数列前n项和的最值问题

11解题锦囊

II

||思路1：根据等差数列前n项和的二次函数特性求最值；

«思路2：结合等差数列的单调性找变号项进而求出最值.

11_

【典例10］（24-25高二上•江苏扬州•阶段练习）己知公差为负数的等差数列｛%｝的前"项和为S,,,若％,

%，%是等比数列，则当S,取最大值时，«=（）

A.2或3B.2C.3D.4

【变式1］（24-25高二上•天津滨海新•阶段练习）若｛%｝是等差数列，S,表示｛七｝的前〃项和，%+%>0,

及<0,则6，｝中最小的项是（）

S5

A.53B.C.'D.S6

【变式2］（24-25高二上•河南新乡•阶段练习）（多选）已知S”是等差数列｛%｝的前"项和，%>0,且

S10=$16，贝U（）

A.公差d<0B.«16>0

c.S?6=0D.当,z=13时，s,最大

【变式3］（24-25高二上•福建龙岩•阶段练习）设等差数列｛«„｝的前〃项和为S,，公差为d,若%=30,几=几,

贝U（）

A.d=-2

B.Sn<Sl5

C.《5=2

D.S3Q=0

题型11裂项相消法

【典例11］（24-25高二上,福建龙岩•阶段练习）（多选）设数列｛%｝的前"项和为已知y=2。a-1,则

下列结论正确的是（）

A.S2=2

B.数列｛%｝为等比数列

n

C.an=2

D.若”---------'----------,则数列也,｝的前10项和为詈

log2a„+llog2a„+211

【变式1】（24-25高二上•重庆,期中）已知｛4｝为等差数列，其公差为d,前〃项和为S“，抄,｝为等比数列,

其公比为4,前”项和为北，若d=qwl,a5=T3,S9=T6,4=6.

⑴求公差d和4;

bn

⑵记的=（不屈f证明：+。2-----<1.

【变式2】（24-25高三上•河北,期中）已知数列｛%｝为等差数列，且%=4,54=20.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）数列也｝满足b„=g+右_］）,求数列也｝的前〃项和T1t.

【变式3】（24-25高三上•江苏泰州•阶段练习）已知数列｛与｝前"项和为S"，满足6s“=（3〃+2”“+2.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）若bn=If回!）,求数列也｝的前100项和%.

—

题型12错位相减法

【典例12］（24-25高二上•江苏南京•阶段练习）设等差数列｛6｝的前“项和为邑，且其=453，%=9.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足g+*+…+"+*=5"，求数列也｝的前"项和Tn.

【变式1】（24-25高二上•福建厦门•阶段练习）若数列｛%｝的前"项和为S.，且2s,=3为-等差

数列也｝满足4=3%,鸟=%+4.

（1）求数列｛4｝,｛4｝的通项公式；

（2）设，=/，求数列｛%｝的前〃项和

【变式2】（23-24高三下•四川攀枝花•阶段练习）已知公差为"（">（））的等差数列｛。"｝中，％+%=8,

%•。3=15.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）若6,=3"7,令c“=a„b„,求数列｛%｝的前〃项和S..

【变式3】（24-25高二上•江苏淮安•期中）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，a“+i=2a“+2"（〃eN*）,%=1.

⑴证明：数列［墨｝为等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛《｝的前〃项和为S“；

⑶若S,42%-4〃-九对任意〃eN*恒成立.求实数2的取值范围.

题型13并项法

【典例13］（24-25高二上・江苏南京•阶段练习）已知数列｛%｝满足％=1,前〃项和为

$“吗+「%=2"（〃€旷），则邑必等于（）

A.22024-1B.3x21012-1C.3x21012-2D.3x21012-3

【变式1】（24-25高二上•江苏扬州•阶段练习）己知数列｛%｝的前"项和为y，若q=1,an+an+l=2n+l,

则$29=.

【变式2】（24-25高二上,江苏南京•阶段练习）设｛%｝的前"项和为S“=g（l+a“），且出+%=5.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵数列低｝的通项公式为a，求其前"项和凡；

［2〃,〃为偶数

3

⑶记c.=一K，｛c“｝的前"项和为北，求证：Tn<-.

【变式3】（24-25高三上•广东•阶段练习）设数列｛%｝的前"项和为S"，已知S“=2a“-"+1.

⑴证明：数歹U｛%+1｝是等比数列；

a，，，n'0叫/里将，求数列也｝的前2"项的和•

%〃为偶数

【变式4】（2024高三・全国•专题练习）已知数列｛叫满足2s“=3-%.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列也｝满足加=嚏/〃，求数列［（-1）"的前〃项和T„.

题型14数列在实际问题中的应用

【典例141（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中）专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下,

海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发

生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，

每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽

调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共

需要抽调这种型号的抽水机（）

A.25台B.24台C.23台D.22台

【变式1】（24-25高三上•湖南•期中）为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11月1日运动了2分钟，从

第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从"月1日到11月15日，小张运动的总时长为

（）

A.3.5小时B.246分钟

C.4小时D.250分钟

【变式2】（24-25高三上•浙江•阶段练习）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的

总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形

垛积，第一层有一=6+1）个小球,第二层有（。+1）0+1）个小球,第三层有-+2）0+2）依此类推,

最底层有〃个小球，共有〃层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168,则该垛积

的第一层的小球个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式3】（24-25高三上•江西上饶•期中）复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A系列、8系列、C

系列，其中A系列的幅面规格为4，4，4,…，4,所有规格的纸张的长度（以x表示）和幅宽（以了

表示）的比例关系都为x:y=8:l；将4纸张沿长度方向对开成两等分，便成为4规格；将4纸张沿长度

方向对开成两等分，便成为4规格；…，如此对开至4规格.现有4，4，4，...，4纸各一张，若4纸的

幅宽为1dm,则这9张纸的面积之和为（）

△255722255忆2

A.------dmB.------dm

42

511氏2511包2

Cr------dmD.-----dm

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题型15数列中的新定义问题

【典例15］（24-25高二上•广东•阶段练习）斐波那契数列｛r｝因数学家莱昂纳多•斐波那契（Leonard。

F

Fibonacci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列".因"趋向于无穷大时，音无限趋近于黄金分割数，