方程与不等式（6大题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津中考数学复习专练（解析版）

热点02方程与不等式

明考情.知方向

天津中考数学中“方程与不等式”部分主要考向分为三类：

一、解二元一次方程组（每年1道，3分）

二、解一元二次方程（每年1道，3分）

三、解一元一次不等式组（每年1道，8分）

在天津中考中，“方程与不等式”部分主要考察“根据实际问题列二元一次方程组”“解二元一次方

程组”“根与系数的关系”“因式分解法解一元二次方程”“解一元一次不等式组”“在数轴上表示不等

式的解集”，这些考点对应试题难度不大，题目以选择题、解答题的形式出现。在复习时，需要考生需要

熟练掌握相关知识点，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。

热点题型解读

考向一：解二元一次方程组

【题型1由实际问题列二元一次方程组】

（1）根据实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，关键在于把已知量和未知量联系

起来，找出题目中的等量关系。

（2）一般来说，有几个未知量就列出几个方程，所列方程必须满足：

①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符。

1.（2024•天津中考）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短.引

绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子

还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则

可以列出的方程组为（）

A口一比=4.5Cy-x=4.5

,{x—0.5y=1{x+0.5y=1

pr+y=4.5（x+y=4.5

[x-y=lly-x=l

解：・・,用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，

-尤=4.5；

・・,将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，

Ax-0.5y=l.

根据题意可列方程组?一：；43

答案:A.

2.（2024•河西区模拟）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有

三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”.如果设鸡x只，兔y只，那么根据题意列出的方程组正确

的是（）

（%+y=35（2x+y=35

A，（2x+4y=94（2%+4y=94

[2%+y=35/+y=94

（4%+2y=94（2x+4y=35

解：根据题意，可列方程组为

（zx+4y=94

答案：A.

3.（2024•河东区模拟）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了

完整的体系.其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、

羊直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊共值金10两；2头牛、5只羊共值金8两.问每头牛、

每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，那么下面列出的方程组中正确的是（）

（5x+2y=10（5x+2y=8

A，\2x+5y=8B'（2x+5y=10

（x+y=10Df5x+2y=8

,（2x+5y=8[%+y=10

解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两，

由题意可得,鹿髯常

答案：A.

4.（2024•南开区模拟）在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528

元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名？设

获得一等奖的学生有无名，二等奖的学生有y名，根据题意可列方程组为()

(%+y=528口(x+y=30

A，(20%+16y=30(20x+16y=528

任+y=30x+y=528

C除+备=528

D..赤+忐=3。

解：由题意得：［20x+16y=528

答案：B.

5.(2024•和平区模拟)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数甲得乙半面钱五十，乙得甲

太半面亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱

的一半，那么甲共有钱50：如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50.问甲、乙两人各带了

多少钱？设甲带钱为无，乙带钱为》根据题意，可列方程组为()

y%Zyzy

++o+5o+

X---yUX--lX--

A250B2=5-c22

M250+D.l2

2X3+y-X+2735oVy+-Qly-5O+-

5033

解：设甲需带钱X,乙带钱y,

%+1=50

根据题意，得《2丫2，

竽+y=50

答案：A.

【题型2解二元一次方程组】

0O国4

用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤

(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程

的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；

(2)把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得x(或y)的值；

(4)将求得未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值。

6.(2024•和平区模拟)方程组：的解是()

(3%+y=4

A](%y=02B.1(x=1C.|(yx==_22-D1-%|y==-3

解」:+y=2幺

(3%+y=4②

由②-①，得：2x=2,

•»x—1,

把冗=1代入①式，得：l+y=2,

解得：y=l,

所以，原方程组的解为

（y=1

答案：B.

7.（2024•滨海新区模拟）方程组+的解是（）

—y=3

A0=3R0=1fX=5x=7

CD.

（y=0ly=4J[y=2y=-4

解:产+”用

\x-y=3②

①+②得:3尤=9,

解得：x=3,

把尤=3代入②得：3-y=3,

解得：y=0,

原方程组的解为;，故A正确.

答案：A.

8.（2024•河西区模拟）方程组二?的解是（）

A.尸；1B.尸\C.\X=7

（y=1ky=-5（y=2

解••2”港

\x-2y=11②

①+②得，4x=16,

解得x=4,

把x=4代入①得，12+2y=5,

解得y=

%=4

{7.

答案：D.

9.（2024•红桥区三模）方程组r=2的解是（）

（4%+3y=15

：.口x=1

-e3BC.g-D.

.y=2

解尸+5y=25%

（4%+3y=15（2）

①X2-②得：7y=35,

解得：y=5,

把y=5代入①得：2x+25=25,

解得：x=0,

则方程组的解为

答案：B.

10.(2024•南开区模拟)方程组工久+：，=；1的解是()

X=2

=UB.尸C.『=3

D.

(y=5(y=2(y=­1

伊+2y=7①，

(6%—2y=11②

①+②得，x=2,

把x=2代入①得，6+2y=7,解得y=

(x=2

故原方程组的解为：=1.

答案：D.

考向二：解一元二次方程

【题型3根与系数的关系】

(1)一元二次方程如2+"+c=o(aW0)的根与根的判别式(△=庐-4碇)有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的实数根；反过来，当方程有两个不相等的实数根时，△XL

②当△=()时，方程有两个相等的实数根；反过来，当方程有两个相等的实数根时，△:。。

③当时，方程无实数根；反过来，当方程无实数根时，△VO。

(2)根与系数的关系

一be

如果XI，X2是一元二次方程〃，+公+。=0(〃#0)的两根，那么Xl+X2=——，X1X2=—

aa

Tb~~(2024•天津中考)若xi,垃是方程/-6%-7=0的两个根，则(5~

A.XI+X2=6B.xi+x2=-6C.xix2=TD.XIX2=7

解：X2是方程/-6%-7=0的两个根，

.•.Xl+%2=6,X1X2=-7,

答案：A.

12.(2024•河北区二模)若xi,尤2是方程/-5x+4=0的两根，则xrx2=()

A.4B.5C.-4D.-5

解：X2是方程/-5x+4=0的两根，

••XI*X2^4,

答案：A.

11

13.（2024•红桥区二模）若一元二次方程W+x-2=0的两个根分别为xi,xi,则一+一的值为（）

第1汽2

11

A.—□B.-C.-2D.2

22

解：根据题意得Xl+X2=-LX1X2=-2,

一一，11+x-11

所以一+——=-----7=—=一.

%1%2%1%2-22

答案：B.

C-X-1

14.（2024•河东区二模）若xi,x2是方程W-8x+7=0的两个根，则（）

%1+%2

7788

A.-B.一』C.-D.一9

8877

解：・.”1,X2是方程/-8%+7=0的两个根，

••XI+X2~~8,X1X2~~7,

・巧％2_7

答案：A.

15.（2024•滨海新区模拟）若xi,X2是方程-—2x-1=0的两个根，贝!J2XI+2%2-的值为（）

A.5B.-5C.3D.-3

解：因为XI,尤2是方程/-2x-1=0的两个根，

—2—i

所以11+%2=r=2,%1%2=二-1，

所以2x1+2x2-尤1X2=2（xi+x2）-XIX2=2X2-（-1）=5.

答案：A.

【题型4因式分解法解一元二次方程】

用“因式分解法”解一元二次方程步骤：

（1）移项，使方程的右边化为零；

（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

16.（2024•红桥区模拟）一元二次方程4尤-12=0的两个根是（）

A.Xi=-2,X2=6B.xi=-6,X2=-2

C.xi=-3,X2=4D.XI=-4,%2=3

解：(x-6)(x+2)=0,

x-6=0或X+2=09

所以xi=6,X2=-2.

答案：A.

17.(2024•河北区模拟)方程/+7x+12=0的两个根为()

A.xi=-3,X2=-4B.xi=-3,X2=4

C.xi=3,X2=-4D.xi=3,X2=4

解：X2+7X+12=0,

(x+3)(x+4)=0,

x+3=0或x+4=0,

所以xi=-3,X2=-4.

答案：A.

18.(2024•河东区二模)方程/-4x-5=0的根是()

A.xi=-1,X2=5B.XI=1,X2=5

C.xi=l,X2=-5D.xi=-1,%2=-5

解：x2-4x-5=0,

(x-5)(x+1)=0,

x-5=0或x+l=0,

所以Xl=5,X2=-1.

答案：A.

19.(2024•滨海新区二模)方程/+10x+9=0的两个根是()

A.xi=l,X2=9B.XI=-1,X2=9

C.xi=l,X2=-9D.xi=-1,X2=-9

解：X2+10X+9=0

,?(x+1)(x+9)=0,

/.x+l=0或x+9=0,

解得XI=-1,X2=-9,

答案：D.

20.(2024•武清区模拟)解一元二次方程f-2x-15=0,结果正确的是()

A.%1=-5,及=3B.xi=5,X2=3

C.xi~-5,X2=-3D.xi=5,X2~~3

解：X2-2x-15=0,

分解因式得：(x-5)(九+3)=0

x-5=0,x+3=0,

解得：xi=5,X2=-3,

答案：D.

考向三：解一元一次不等式组

【题型5解一元一次不等式组】

0O混

(1)不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或含有字母的式子，不等号的方向不变。

②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

(2)不等式的变形

①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号。

②两边都乘、除同一个数，只有乘、除负数时，不等号方向才改变。

(3)解一元一次不等式步骤

①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为lo以上步骤中，只有“去分母”和“系数

化为1”可能改变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。

21.(2024•天津中考)解不等式组+3,①

13%-1>%-7.(2)

请结合题意填空，完成本题的解答.

(I)解不等式①，得xWl；

(II)解不等式②，得x2-3；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

-4-3-2-1012

(IV)原不等式组的解集为-34W1.

解：解不等式①得，

xW1.

解不等式②得，

-3.

将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示，

-4-3-2-1012

所以原不等式组的解集为：-3WxWl.

答案：-3,-3WxWl.

22.(2024•和平区二模)解不等式组卜—3(“—2)*乎.

请结合题意填空，完成本题的解答.

(I)解不等式①，得；

(II)解不等式②，得xW3；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

।।।।।।»

-101234

(IV)原不等式组的解集为1W尤W3.

解：(I)解不等式①：去括号得x-3x+6W4,

移项、合并同类项得-2xW-2,

解得龙21.

答案：

(H)解不等式②：移项得4x-xW8+l,

合并同类项得3xW9,

解得尤W3.

答案：xW3.

(Ill)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示.

_1--------1-----------------1-----------------1—

-101234

(IV)原不等式组的解集为1WXW3.

答案：l〈xW3.

23.(2024•河北区二模)解不等式组E久+42久已.

[2-4%>-2②

请结合题意填空，完成本题的解答.

(I)解不等式①，得"2；

(II)解不等式②，得xWl;

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

IIIIIIIIIII

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式组的解集为-2WxW1.

解：(I)解不等式①，得x，-2；

(II)解不等式②，得xWl；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:

IIIQ)11(}IIII»

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式组的解集为-2WxWl.

答案：-2；xWl；-2WxWl.

24.(2024•南开区三模)解不等式组『—3(%—2)2金,请结合题意填空，完成本题的解答.

(3x+6>2x+2(2)

(I)解不等式①，得xW2；

(II)解不等式②，得G-4；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式组的解集为4WxW2.

解：(/)解不等式①，得尤W2,

(〃)解不等式②，得x2-4,

(/〃)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

IIII,111A

-5-4-3-2-1012345；

(IV)原不等式组的解集为-4WxW2,

答案：尤W2,-4,-4WxW2.

'2%+1>%+2①

25.(2024•和平区三模)解不等式组3》_5-

(^―<x-l(2)

请结合题意填空，完成本题的解答.

(I)解不等式①，得x>l；

(II)解不等式②，得xW3；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

।।।।।।।।>

-3-2-101234

(IV)原不等式组的解集为W.

解：(I)解不等式①，得彳>1；

(II)解不等式②，得尤W3；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;

-3-2-101234

(IV)原不等式组的解集为1<XW3；

答案：x>l,xW3,1<XW3.

【题型6在数轴上表示不等式的解集】

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

(1)定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可。定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点

含于解集为实心点，不含于解集为空心点。

(2)定方向，原则：“小于向左，大于向右“。

26.(2024•天津中考)解不等式组+12"-10,请结合题意填空，完成本题的解答.

(1)解不等式①，得x22；

(2)解不等式②，得xWl；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

IIIIII।»

-4-3-2-1012

(4)原不等式组的解集为2WxWl.

解：(1)解不等式①，得x2-2；

(2)解不等式②，得xWl；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：

।___।।।।♦

-4-3-2-1012

(4)原不等式组的解集为-2W尤W1；

答案：(1)龙2-2；(2)xWl；(4)-2WxWl.

27.(2024•南开区二模)解不等式组久+1)〉久①…，请按下列步骤完成解答.

13-2(2x-1)>%+10@

(I)解不等式①，得x>-2；

(II)解不等式②，得xW-1；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式组的解集为-2<xW-1.

解：(I)解不等式①，得x>-2,

答案：x>-2；

(II)解不等式②，得-1,

答案：-1；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;

-5-4-3-2-1012345

(IV)原不等式组的解集为：-2<xW-1,

答案：-2<xW-l.

28.(2024•滨海新区二模)解不等式组+2-

12%-1<1(2)

请结合题意填空，完成本题的解答.

(I)解不等式①，得x引-2；

(II)解不等式②，得后1；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

__________[[111_________I_________I»

-3-2-10123

(IV)原不等式组的解集为.

解：(I)解不等式①，得了》-2；

(II)解不等式②，得xWl；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如下:

-^3^2012^

(IV)原不等式组的解集为-2W尤W1.

答案：X2-2,

29.(2024•河东区二模)解不等式组一33.

U-x>-3②

请结合题意填空，完成本题的解答.

(I)解不等式①，得x2-3；

(II)解不等式②，得后4；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来;

-3-2-1012345

(IV)原不等式组的解集为-30W4.

解：(I)解不等式①，得：X2-3；

答案：x\-3；

(II)解不等式②，得：xW4；

答案：xW4；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来:

-3-2-1

(IV)原不等式组的解集为：-3WxW4.

答案：-3WxW4.

30.(2024•红桥区三模)解不等式组卜+3-2X®

{2x<3%+1(2)

请结合题意填空，完成本题的解答.

(I)解不等式①，得在3；

(II)解不等式②，得G-1；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

IIIIIII»

-2-101234

(IV)原不等式组的解集为-.

解：(I)解不等式①，得x<3；

(II)解不等式②，得X2-1；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

-2-1

(IV)原不等式组的解集为-1W尤W3.

答案：xW3,X2-1,-1«3.

限时提升练

31.(2024•河西区模拟)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，

不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一

根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木

头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是()

(y—x=4.5(y=x+4.5

A'[o.5y=x-1B'[y=2x-l

(y-x=4.5Cy=x-4.5

(0.5y=x+1(y=2x—1

解：设木头长为x尺，绳子长为y尺,

由题意可得股"=45

答案:A.

32.（2024•河东区模拟）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五

只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”

解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）

(5x+6y=16B(5x+6y=16

*(5x+y=6y+%.(4%+y=5y+久

C(6x+5y=16D(6x+5y=16

・16x+y=5y+%•(5%+y=4y+%

解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：

Gx+6y=16

（4x+y=5y+x'

答案：B.

33.（2024•滨海新区模拟）方程组凭+匕=3的解是（）

（%—y=—1

X=1

A.尸；B.f?C尸2D尸。

(y=2(y=-2•(y=ily=-i

解：卜+y=3①，

[x-y=-1@

①+②得：2%=2,

解得：x=l,

把％=1代入①得：y=2,

则方程组的解为片=北=:

（y=2（y=1

答案：A.

34.（2024•武清区模拟）方程组俨+y=?的解是（）

（.%-y=3

A{(xy=23B--{y==23C[(yx=41D.{(xy=41

解：[”+y=5®(

[x-y=3(2)

①+②得：2x=8,

解得：尤=4,

①-②得：2y=2,

解得：y=l,

则方程组的解为：

（y=1

答案：c.

35.（2024•河东区模拟）设方程2/+4x-1=0的两实数根为xi,X2,则xi+x2的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

解：•.•方程2/+4x-1=0的两实数根为xi,X2,

••%1+%2~~5=-2.

答案：C.

36.（2024•和平区三模）若xi,X2是方程2x+4=/的两个根，则（xi+1）（X2+1）的值是（

A.-1B.0C.1D.2

解：原方程整理得了-2尤-4=0,

Vxi,%2是方程2x+4=/的两个根，

・・Xl+%2^2,XIX2^14,

（X1+1）（X2+1）

=X1X2+（X1+X2）+1

=-4+2+1

=-1.

答案：A.

37.（2024•河北区模拟）方程W+4x+3=0的两个根为（）

A.xi=l,%2=3B.xi=-1,%2=3

C.xi=1,X2=-3D.xi=-1,X2=-3

解：^+4^+3=0,

(x+3)(x+1)=0,

x+3=0或x+l=0,

Xl=13,X2=~1>

答案：D.

38.(2024•红桥区二模)方程/+3%-18=0的两个根为()

A.xi=-6,%2=3B.xi=-3,X2=6

C.xi=-2,X2=9D.xi=-9,X2=2

解：方程分解得：(x-3)(x+6)=0,

可得％-