分式（讲义）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第03讲分式［2大考点12大题型】

知识网络1

题型1分式有、无意义的条件

题型2分式的值为0的条件

题型3分式的值

题型4分式的基本性质

题型5约分、通分

题型6最简分式

题型7分式的乘除

题型8分式的加减

1、分式的定义

A

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式。

B

注：A、B都是整式，B中含有字母，且BWO。

2、分式的基本性质

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

AACAA^C“小

BBCBB三C

3、分式的约分和通分

定义1:根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做

分式的通分。

定义4：各分母的所有因式的最高次幕的积叫做最简公分母。

典例分析

【题型1分式有、无意义的条件】

1_____________

【例1】（2024・四川绵阳•中考真题）使代数式胃+逐二获有意义的整数万有（）

Vx+3

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式

求解即可.

【详解】解：根据题意可得：

%+3>0,4—3%>0

4

解得—3<x<~,

••・使代数式有意义的整数有-2,-1,0,1.

共有4个.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非

负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单.

【变式1-1】（2024•福建泉州•模拟预测）若久=-1使某个分式无意义，则这个分式可以是（）

x—12x4-12x—lx+1

B

A-K-TiTC.7rD.—

【答案】B

【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0.

根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案.

【详解】解：A、由2x+l=0,得刀=一，故A不符合题意；

B、由％+1=0,得％=-1,故B符合题意;

C、由％-1=0,得％=1,故C不符合题意；

D、由2支+1=0,得％=-故D不符合题意；

故选：B.

【变式1-2］（2024•黑龙江绥化•中考真题）若式子里有意义，则x的取值范围是.

X

【答案】x>一5且x丰0/X丰0且X>-5

【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可.

【详解】•••式子因有意义，

X

.■-X+5>0且x丰0,

.-.X>一5且x中0,

故答案为：XN—5且x羊0.

【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件

是解题的关键.

【变式1-3】（2024内蒙古呼和浩特•一模）在算式5中，不能为零的字母是.

【答案】n,a,b

【分析】本题考查了有理数除法法则，分式有意义的理解，根据算式?+!中，除数不为。即可解答.

【详解】解:短中,《不能为0,贝岫不能为0,

在?和色中，n不能为0,a不能为0,

九a

故答案为：n,b,a.

【题型2分式的值为0的条件】

X

【例2】（2024•江苏•中考真题）若代数式工的值是0,则实数x的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】由二=0,，一1二0即可求解.

【详解】解：由分母不为零得：x2-l*0,x1

,••代数式仑的值是0

■•■X=0

综上：%=0

故选：B

【点睛】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零.掌握分式有意义的条件是关键.

【变式2-1］（2024・四川成都・二模）若分式的值为0,贝反的值为；若%2-2%-2=0,则x=

【答案】11+百或1-百

【分析】根据分式值为0的条件及配方法解一元二次方程即可求得答案.

本题考查分式值为0的条件及配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

【详解】解：由分式值为。的条件可得|x|-1=0且（久+2）（%+1）*0,

解得：x=1；

%2-2X-2=0,

移项得：久2-2*=2,

配方得：X2-2X+1=3,

BP（x—I）2=3,

直接开平方得：久一1=±百，

解得：久=1+百或X=1一百；

故答案为：1；1+y或1-百.

2+x

【变式2-2］（2024・上海•一模）当尢=_____时，分式n的值为零.

--------n-x―

【答案】-2

【分析】根据分式为零的条件列方程求解即可.

2+x

【详解】解：•.•分式于的值为零，

1+-X

.•.2+%=0且%W0且1+工H0,解得％=—2.

X

故答案为-2.

【点睛】本题主要考查分式值为零的条件，根据分式的值为0的条件列出方程是解答本题的关键.

【变式2-3］（2024・北京•一模）若分式的值为0,则x的值为.

%+3x—10

【答案】-1

【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，因式分解，解题的关键是掌握分式值为零

的条件.已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解.

【详解】解「分式*品=拳餐的值为。，

.f|%+3|-2=0

"1(%+5)(%-2)*0)

解得：%=-1,

故答案为：-1.

【题型3分式的值】

【例3】(2024•四川雅安・中考真题)已知；+/=l(a+bK0).则署=()

A.1B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得2b+a=ab,再整体代入求值即可；

1

【详解】解：•••O1+(=l(a+b,0)，

：.2b+a=ab,

a+ab

**a+b

a+a+26

a+b

2(a+b)

a+b

=2；

故选c

【变式3-1](2024・吉林•中考真题)当分式三的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为.

【答案】0(答案不唯一)

【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得x+l>0,则%>-1,据此可得答案.

【详解】解：•.•分式三的值为正数，

.,.%+1>0,

.,.X>—1,

.••满足题意的X的值可以为0,

故答案为：0(答案不唯一).

【变式3-2](2024•江苏扬州•三模)能使分式翳值为整数的整数x有个.

【答案】8

【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键.将黑詈转化为3+义，进一步求解即可.

■、斗出刀、hjj6x+216x—9+303（2%—3）+3030

【详触】解：=2A3=3+n

••,分式的值为整数，

匕的值为整数，

.,.2x—3=±L±2,±3,±5,±6,±10,+15,±30,

,•,%也是整数，

.•.2%—3=±1,±3,±5,土15,

解得：x=2,x=l,x=3,x=0,%=4,x=—l,x=9,x=—6；

•••能使分式爰罪为整数的整数X有8个.

故答案为：8.

【变式3-3】（2024•福建・中考真题）己知非零实数x,y满足y=喜，则上产的值等于.

【答案】4

【分析】由条件y=*变形得，x-伊二孙，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值.

【详解】由丫=喜得：xy+y=x,即x-y=xy

x—y+3xyxy+3xy4xy4

xyxyxy

故答案为：4

【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件丫=*，变形为

然后整体代入.

【题型4分式的基本性质】

【例4】（2024•河北保定•一模）不改变分式的值，将分式端聘中的分子、分母的系数化为整数，其结

果为（）

5x4-125y20x+500y2x+50y2x+5y

A，250x+yB.100x+4y01000x+4y口-x+4y

【答案】A

【分析】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解.

0.02x+0.5y

【详解】解:

x+0.004y

1000x(0.02%+0.5y)

1000x(%+0.004y)

20x+500y

lOOOx+4y

5x+l25y

250x+y'

故选：A.

【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的

值不变.

【变式4-1］（2024•山东济南•中考真题）若x,y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是

（）

A—B空C定D卫L

x-yD-X2J3/（x-y）2

【答案】D

【分析】根据分式的基本性质，x,y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的

即是答案.

【详解】根据分式的基本性质，可知若x,y的值均扩大为原来的3倍,

2+3久2+x

3x-3y*x-y9错误;

黑力登，错误;

B、

54/2/错误;

27/3%2

18y22y2

9(f)2—(f2.正确;

故选：D.

【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.

【变式4-2］（2024•河北邢台•模拟预测）把分式：分母乘4,要使分式的值不变，分子应该加上（）

A.4B.7C.21D.28

【答案】C

【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式基本性质是解题的关键.分式的基本性质：分式的分子

和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分式的大小不变；分式的分母乘上4,要使分式的大小不变，分

子也要乘上4,然后即可算出分子应该加上几.

28-7=21,

故选：C.

【变式4-3］（2024•河北・中考真题）若aHb,则下列分式化简正确的是（）

a+2aa-2aa2a51aa

A-由=7B.C.浮石D.］=g

【答案】D

【分析】根据a#b,可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题.

【详解】「awb,

二需力,选项A错误；

?手三,选项B错误；

D—Z口

2a

分7,选项c错误；

衿=*选项D正确；

2b

故选：D.

【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法.

【题型5约分、通分】

【例5】（21-22八年级上•河北沧州•阶段练习）若将分式照与萧石通分，则分式照的分子应变为（）

TillitaiLJ777.TTl

A.6m2—6mnB.6m—6n

C.2（m—n）D.2（m—n）（m+n）

【答案】A

【分析】分式怒与萧石的公分母是2（巾+九）（巾-律），据此作出选择.

【详解】解：分式恕与■方的公分母是2（m+n）（m—n），则分式怒的分子应变为6nl（爪—m=6m2

—6mn.

故选：A.

【点睛】本题考查了通分.通分的关键是确定最简公分母.①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍

数.②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次寨的积.

【变式5-1］（2024•广东广州•二模）分式翳，^的最简公分母是（）

A.3%B.xC.6x2D.6%2y2

【答案】D

【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的

指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数累取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母.

【详解】解：翳，5-静的分母分别是3孙、2/、6町2,故最简公分母为6/y2.

故选：D.

【点睛】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母,

确定最简公分母的方法一定要掌握.

【变式5-2】（2024•广西崇左•中考真题）化简：与察=白..

【答案】CL+b.

【详解】试题分析：先将分式的分子因式分解，再约分，即可求解：4需=号翳=能，故答案为a+b.

2azbz2azbz2ab

考点：分式的化简.

2232

【变式5-3]（2024•广东广州•中考真题）已知a>3,代数式：A=2a-8,B=3a+6a,C=a-4a

+4a.

⑴因式分解/;

（2）在aB,c中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

【答案】（l）2（a+2）（a—2）

⑵见解析

【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可;

（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可.

22

【详解】(1)解：A-2a-8=2(a-4)=2(a+2)(a-2);

（2）解：①当选择/、2时:

B__3a?+6a_3a(a+2)_3a

A=2a2—8=2(a+2)(a-2)=2a-4’

A2a2—82(a+2)(a—2)_2a-4

B-3a2+6a-3a(a+2)-3a'

②当选择N、。时：

C_a3—4a2+4a_a(a-2)2_a2—2a

A2a2—82(a+2)(a-2)2a+4'

A_2a2-8_2(a+2)(a-2)_2a+4

Ca3—4a2+4aa(a—2)2a2—2a"

③当选择2、C时：

C_。3-4。2+4。_a(a2)2_a2—4a+4

B-3a2+6a-3a(a+2)-3a+6'

B__3a?+6a_3a(a+2)_3a+6

Ca3-4a2+4aa(a—2)2a2—4a+4

【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化

简的方法.

【题型6最简分式】

【例6】(2024•山东潍坊•模拟预测)已知三张卡片上面分别写有6,x-1,久2—1,从中任选两张卡片，组

成一个最简分式为.(写出一个分式即可)

【答案】搭*

【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如卷/、3是整式，8中含有字母且5不等于0

的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案.

【详解】解：6为分母时不是分式，

t=x+l不是分式，

x—1

罟=三含=三不是最简分式，

二是最简分式，

故答案为：1*.

【点睛】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式

的定义.

【变式6-1](2024•福建福州•二模)若山为实数，分式*2不是最简分式，则爪=

x+m

【答案】0或一4

【分析】由分式*2不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式，分含x和x+2两种情况，根据多项式

x+m

乘以多项式的运算法则求出m的值即可.

【详解】•••分式竽艺不是最简分式，

x+m

.--X或x+2是x2+m的一个因式，

当x是x2+m的一个因式x时，设另一个因式为x+a,

则有x(x+a)=x2+ax=x2+m,

当x+2是x2+m的一个因式时，设另一个因式为x+a,

贝有(x+2)(x+a)==x2+(a+2)x+2a=x2+m,

fa+2=0

"tm=2a'

解得：[m=-t

故答案为：。或-4.

【点睛】本题考查最简分式的定义及多项式乘以多项式，根据题意得出x或x+2是x2+m的一个因式是解题

关键.

【变式6-2】(2024•河北保定•一模)要将分式普化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，

20mzn

这个公因式是.

【答案】5mn

【分析】本题考查约分，约掉分式分子分母的公因式就能将分式化为最简分式，熟记分式约分法则，准确

找到分式分子分母公因式是解决问题的关键.

【详解】解：要将分式熟-化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式是5nm,

20mzn

故答案为：5mn.

【变式6-3](2024•河北石家庄•一模)有分别写有x,%+1,比-1的三张卡片，若从中任选一个作为分式»

x^—1

的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有的卡片.

【答案】X

【分析】根据最简分式是分子与分母没有公因式的分式以及分式的性质解答即可.

【详解】解：「一

(x+l)(x-1)X—1

x2-l-(x+l)(x-l)-x+1

K是最简分式，

二应选择写有X的卡片,

故答案为：X.

【点睛】本题考查分式的性质、最简分式，熟记平方差公式，理解最简分式的定义是解答的关键.

1考点二4、分式的运算。1

1知识导航”

1、分式的乘除

①乘法法则：1二=落。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

土四。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

②除法法则：

bdbcb-C

③分式的乘方：=£。

分式乘方要把分子、分母分别乘方。

④整数负指数幕：

a

2,分式的加减

同分母分式相加减，分母不变,把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：-±-=—;

CCC

②异分母分式的加法：£±三="土生,_ad±bc

bababa「bd°

注：不论是分式的哪种运算，都要先进不亍因式分解。

■iliHiiA----------------------------

【题型7分式的乘除】

【例7】（2024•江西•模拟预测）计算（-:e的结果为（）

A.富B.Qr庐

CLCLC•一康

【答案】A

【分析】先计算乘方，再计算除法即可求解.

【详解】解：（一邛一1

\a/az

3

—___b__:__1_

-a3,a2

b3

2

=-a-3.a

=_Q

a,

故选：A.

【点睛】本题考查分式混合运算，熟练掌握分式乘方与除法运算法则是解题的关键.

21

【变式7-1］（2024•湖北随州•中考真题）义一生一的计算结果为（）

4xz—2%

x2x2x〜2

A------R------「---r）----------

x+2D-x+2Jx-2U'x（x+2）

【答案】B

【分析】先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果.

21

【详解】工二士丁二

4x£—2x

21

—（x+2）（x—2）'x（x—2）

=（*+2）0-2产（%-2）

2x

=x+2,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键.

【变式7-2］（2024•河北•中考真题）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只

能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（）

A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁

【答案】D

【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断.

【详解】•••马+”、

x—11—x

X2—2X1—%

-x-1X2

_X2-2X

-x-1'X2

_x(x-2)-(%-1)

-x-1x2

x

2-x

=~

••・出现错误是在乙和丁，

故选D.

【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.

【变式7-3］（2024•宁夏银川•二模）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中

一部分，如图所示：

+x_X+1

-----MX2-2X+\X+\X-\

（1）求被手遮住部分的代数式.

（2）等式左边代数式的值能等于0吗？请说明理由.

【答案】⑴*

（2）不能，理由见解析

【分析】（1）设被手遮住部分的代数式为a根据题意得出力的表达式，再根据分式混合运算的法则进行

计算即可;

（2）令原代数式的值为0,求出X的值，代入代数式中的式子进行验证即可.

【详解】（1）设被手遮住部分的代数式为

川,4=£+1*三•

人」x-lXx+1X2-2X+1

XX—1

~x-1XX+1

X

%+1;

（2）原代数式的值不能等于0.

若原代数式的值为0,则笔=0,即x+l=0,解得％=-1,

X—1

当X=-l时，X+1=0,分式无意义,

•••故原代数式的值不能等于0.

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意X的取值要保证每一个分式有意义.

【题型8分式的加减】

【例8】（2024•新疆乌鲁木齐•中考真题）若实数a,b满足ab=l,设"=高+3，N=±+±，则

M,N的大小关系为MN.（用">"、"="或连接）

【答案】=

【分析】本题考查了分式的混合运算，在解题时要注意先对分式进行化简，再代入求值即可.

本题只需要先对河、N分别进行化简，再把油=1代入即可比较M、N的大小.

,ab2ab+a+b

【详解】斛：+Qa+IXb+iy

N」「=2+a+b

a+1b+1(a+l)(b+l)f

♦：ab=1,

ab2+a+b

•1\A—------_L.—-----------------

,,11~a+1b+1~(a+l)(b+l)'

・・.M=N

故答案为：—.

Qv—4Ao

【变式8-1](2024•黑龙江大庆•中考真题)已知则实数A=

【答案】1

【分析】先计算出工+白=窄篝祭，再根据已知等式得出A、B的方程组，解之可得.

AB_i4(x-2)5(x—1)Q4+B)x-(2/+3)

【详解】

+x^2=(x-l)(x-2)+(x-l)(x-2)0—1)0—2)

3x-4AB

(x-l)(x—2)x—1*x—2

(A+B=3

3+8=4'

解得:修w

故答案为：1.

【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式加减运算的法则、得出关于A、B的方程组是解本题

的关键.

【变式8-2](2024・河北•中考真题)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.示

例:即4+3=7,则(1)用含x的式子表示m—(2)当》=2时，n的值为.

【分析】（1）根据题意，可以用含X的式子表示出相；

（2）根据图形，可以用x的代数式表示出乃列出关于x的分式方程，从而可以求得x的值，进而得到〃

的值.

【详解】解：⑴由图可得m=5+?=*

故答案为：

（2）:y=m+n=（：+/+依+3）=：+3,y=2,

2

・・・一+3=2,

X

解得，%=-2,

故答案为：

【点睛】本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方

程及求出方程的解.

【变式8-3］（2024・四川达州•中考真题）人们把专1=0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法

中的“0.618法"就应用了黄金比•设。=与，6=与1，记另=士+£，$2=舟+品，…，Si°o=蒜

100L,

+不痂，则Si+S2+-+Sioo=.

【答案】5050

【分析】利用分式的加减法则分别可求S/=LSz=2,S“°=100,・・・，利用规律求解即可.

【详解】解：「。=年，警，

••e=年X警=1,

112+a+b2+a+b

C=--------1--------=-----------------=-----------=1,

11+a1+b1+a+b+ab2+a+b

22

Si=---7+--7=2X---------------------=ZX--------------=Z,

21+a21+b2l+a2+/+a2b2-----------2+a2+b2

1001001+a100+1+bwo

Swo=100100100wowowo100

1+a+1+fo=*1+aioo+b+ab=

S]+S2+…+Si。。=1+2+...+100=5050

故答案为：5050

【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得ab=l,找出的规律是本题的关键.

【题型9分式的混合运算】

【例9】（2024•四川泸州•中考真题）化简：（注+山—1）十岩.

【答案】m+2

【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到

结果.

【详解】解：(鬻+2”需

(4m+5m2—1\m+1

~\m+1+m+1Jm+2

(m+2)2m+1

=---------------

m+1m+2

=7n+2.

【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键.

【变式9-1]（2024・山东威海・中考真题）试卷上一个正确的式子（木1+1工）+★=总7被小颖同学不小心

滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为（）

aa—ba4a

A.—a-brB.--a-C.a~+~bTD.d-^；~-b727

【答案】A

【分析】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可.

117

【详解】解：（前+力）+★=/

a—b+a+b2

(a+b)(a-b)'*-a+b

2a2

(a+b)(a-b)*a+b

故选A.

【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.

【变式9-2]（2024•内蒙古通辽•中考真题）以下是某同学化简分式乎十（a-弛p）的部分运算过程:

解:原式=二+a-—+型把.....第一步

aaa

aaa2ab—b2

（1）上面的运算过程中第步开始出现了错误;

（2）请你写出完整的解答过程.

【答案】⑴一

（2）见解析

【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；

（2）根据分式混合运算法则进行计算即可.

【详解】（1）解：

a-b（a22ab—b2\

a—b(a2-2ab+b2

故第一步错误.

故答案为：一

a22ab―心

aa

a-ba

-....x-------

a(a—b)2

1

a-b'

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键.

【变式9-3](2024•河北•中考真题)如图，若x为正整数，则表示转的值的点落在()

X2+4X+4X+1

®®®®

__1/~一、、.’"~'、Ja

^02041k622^

A.段①B.段②C.段③D.段④

【答案】B

【分析】将所给分式的分母配方化简,再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答

案.

入-1@+2)211X

L评解】解:.言^一式？二/苏一二？=1一力=力.

又•.*为正整数，弓W*<1，故表示篝誓-告的值的点落在②.

故选B.

【点睛】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等.

【题型10分式的化简求值】

【例10】(2024•西藏•中考真题)先化简，再求值：(1+总).哼之请为〃7选择一个合适的数代入求值.

【答案】6+2,取m=l,原式=3.

【分析】本题考查了分式的化简求值.原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子

分解因式，约分得到最简结果，把合适的加值代入计算即可求出值.

【详解】解：(1+总)•鲁

/m—22\(m+2)(m—2)

一(m—2+m—2/m

m(m+2)(m—2)

=-------------------

m—2m

=m+2,

vm—2HO,m0,

.,.mW2,m0,

・,.取m=1,原式=1+2=3.

【变式10-1】（2024•山东荷泽•中考真题）若a2—2a-15=0,则代数式（口一彳）.告的值是.

【答案】15

【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为屋一2a=15,整体代入即可.

【详解】解：（a—审）.号

=（a-2）2.O2

aa—2

=a（a-2）

=a2-2a,

^a2-2a-15=0,

2

•'­a-2a=15f

・•・原式二15.

故答案为：15.

【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.

【变式10-2】（2024•山东淄博・中考真题）化简分式：2。丁〜+上字,并求值（请从小宇和小丽的对话

a^—2ab+b£a—b

中确定a,b的值）

a是3的~6是大于1且小

相反屐。|于石质整数。

小宇小丽

【答案】占I

【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得a,6的值，将原分式化简后代入数值计

算即可.

【详解】解：依题意，a=-3,1<6〈代且b为整数，又2（而<3,贝必=2,

a2—Z?21—a—b

a?—2ab+b2a—b

（a+b）（a—b）1—CL-b

~--------------------1-----------

（a—h）2ct—b

a+b1-a—b

=---------H------------:-

a—ba—b

i

a-b

11

当。=-3,6=2时，原式=

-3-25

【变式10-3】（2024•浙江丽水・中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形

PQMN,已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.4E=a刀E=且a>b.

ED

B

（1）若a,b是整数，则PQ的长是

|S四边形ABC。

（2）若代数式。2-2防-反的值为零，则的值是.

【答案】ci-b3+

【分析】（1）根据图象表示出即可;

（2）根据。2-2防一52=。分解因式可得（a-b+丘办）9一小一丘｝）=0,继而求得Q=b+V^b,根据这四个

矩形的面积都是5,可得EP=・EN=3,再进行变形化简即可求解.

【详解】（1）・••①和②能够重合，③和④能够重合，AE=a,DE^b,

・•・PQ=a-b,

故答案为：a—b；

(2)va^-Zab-b2=0,

・•.a?—2ab+62-2£)2=(a—/?)2-2fo2=(a—b+(a—b=0,

a-b+近b=0或Q—b—&b=0,即a=b—y/2b(负舍)或a=b+五b

•・•这四个矩形的面积都是5,

EP=-,EN=f,

ab

.S四边形ABCD_(a+b)•库+|)_(a+b>5(：；b)_」+b)2

"S矩形PQMN(a-b)(1-j)(a-b)-^|S(a—b)2'

a2+b2+2aba2+b2+a2—b2a2

a2+b2—2aba2+b2—a2+b2b2

_(b+V2b)2

=3+2V2.

b2

【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据.

【题型11分式的最值问题】

【例11】(2024,河北沧州•模拟预测)观察分式变形过程：磐=^^=匕1+*=1+三，其中

a—1a—1a—1a—ia—1

"O""口""◊"分别盖住了一个整数.

(1)"O""口""◊"表示的整数;(填"相同"或"不相同”)

(2)当a20时，得的最小值为.

【答案】相同一4

【分析】(1)根据分式变形步骤分别求出各个符号盖住的值即可得出结果；

(2)将分式按照题干方法变形求解即可.

【详解】解：⑴管=与苧=w+言=1+占

.,.o=2,口=2,0=2,

故答案为：相同；

2a-8_2(a+2)-12_Q12

(2)a+2~a+2--~a+2,

,•,a>0,

二当a=°时，磊=6取得最大值，

鬻的最小值为2-6=-4,

故答案为：-4.

【点睛】题目主要考查分式的化简变形，熟练掌握分式的运算法则是解题关键.

【变式11-1](2024•山东荷泽•一模)已知M=U，N=三,记P=M-N.

⑴若选择一个你喜欢的整数作为X的值，求p的值.

(2)求P的最大值.

【答案】(1)答案不唯一，如％=0时，P=—5

(2)-；

【分析】本题考查了分式的乘法运算，以及二次函数的最值问题，熟练掌握运算法则和相关知识点是解决

本题的关键.

(1)利用分式乘法运算法则计算即可；

(2)将问题转化为二次函数求最值，配方即可.

111

【详解】（1）解：P=M-N=---=^^,

1

当x=0时，P=--；

⑵解：P=M,N=U^，

令丫=*2_2*_3=作_1)2_42_4,；.当*=1以211=_4,即Pmax=_\

【变式11-2】(2024•福建泉州•模拟预测)由浅入深是学习数学的重要方法.已知权方和不等式为Q+肥2

xy

陪，当且仅当智手寸，等号成立.那么：若正整数X,y,z满足比+3y+2z=l,求流+展的最小值.

【答案】7

【分析】根据题意得出当且仅当康=岛时，流+导取最小值西瑞喘砺，根据康=岛

得出4y+8z=x+2y,根据％+3y+2z=1得出2z=1—%—3y,将其分别代入4y+8z=%+2y和2y+4z,

即可进行解答.

【详解】解・・.・止空+/_=_S+2y)2_+二L

L什用牛,.・2y+4z丁x+2y(2y+4z)(%+2y)丁x+2y

.K+2y4(%+2y+2)2

"2y+4z+x+2y~(2y+4z)(x+2y)+x+2yy

当且仅当(2y+：荒+2y)=隔时，等号成立，蒜梨+品取最小值；

12

即许=行时，等号成立；

：Ay+8z=%+2y①，

vx+3y+2z=1,

.,.2z=1—x—3y@,

把②代入①得：4y+4(i-x-3y)=x+2y,

,4

整理得：5x+10y=4,则x+2y=g；

把②代入2y+4z得：2y+4z—2y+2(1—%—3y)=-2(%+2y)+2=—2x-+2=

.(x+2y+2)z=Q+2)Z=

”(2y+4z)—+2y二x泊一•

即聋+S的最小值为7・

【点睛】本题主要考查了整式混合运算，以及分式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，理解题中权

方和不等式成立的条件.

【变式11-3](2024•重庆沙坪坝•三模)如果有一个三位数根，百位为9,十位和个位之和也是9,我们把

这个三位数称为“尔畔数"，把小的百位和个位互换位置得到数次.并规定F(m)=等，例如918,79=1+8

且百位是9,二918是“尔畔数"，F(918)=誓竺=193.

(1)判断946是不是“尔畔数”，求出F(936);

(2)己知s和t都是“尔畔数”，且2F⑸+F(t)=570,并规定K=器，求K的最大值为多少？

【答案】(1)946不是“尔畔数"；F(936)=175；(2)K的最大值为詈.

【分析】(1)仿照样例进行计算便可；

(2)设s和f的个位数分别是的、积且0＜1％0＜犯＜9,根据样例求出F(s),F(t),再根据2F(s)+F

(t)=570,求得%2=23-,进而求得K的最大值.

【详解】⑴・・・4+6=10。9,

.*.946不是“尔畔数”;

936+639

=175;

尸(936)=9

(2)・・・s和1都是〃尔畔数”,

设s和才的个位数分别是％1、也，且0<汽149,0<%2<9,

♦,・s=900+10(9-％1)+/=990-9久J

t—900+10(9—%2)+冷=990-9%2，

S[=100%i+10(9—%。+9=99+90/，

力1=100%2+10(9-%2)+9=99+90%2,

厂990-9x1+99+90x1八

•*(s)=-----------------=121+9%1，

990-9X+99+90X

22=121+9%,

F(t)=92

••・2F(s)+F(t)=570,

*'-2(121+9工。+121+9X2=570,

••-2x1+x2=23,即％2=23—2%

口尸⑸121+9%1121+9久i121+9%!1285

・"二两——L

121+9X2121+9(23-2%!)328-18%!2328-18%/

•••巧越大，翥乐才越大，

，1.OX-y

二当XL9时，K最大,最大值为《+京餐=署

・•.K的最大值为鬻.

【点睛】本题主要考查了新定义，分式的运算，关键是根据新定义，把新知识转化为常规知识进行解答.

【题型12分式运算的实际应用】

【例12](2024•福建宁德•一模)福安葡萄享有"北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙

两种葡萄，去年甲种葡