二次根式的运算的四种类型（解析版）-2024-2025学年人教版八年级数学下册

二次根式的运算的四种类型

类型一：利用基础法则进行计算

类型二：运用乘法公式进行计算

类型三：运用等式规律进行计算

类型四：与二次根式有关的化简求值运算

类型一：利用基础法则进行计算

1.计算：

（1）2712^48-V27；（2）V（-3）2-^+（2-n）0+|1-V3P

⑶（2V27-ty7i08-12^!）4-V12-⑷写/鸣）-7（V3-2）2；

（5）（V48-3^-）-^V3W24XV45-

（6）MV-体+小）2；（7）国X啦丹浮；

⑻返呼（照篦）义立.（9）（2^12-2^+727）^2V3.

（10）旧-盛-V^+F；

【分析】（1）先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；

（2）先根据算术平方根、立方根、零指数幕、绝对值的运算法则计算，再合并即可；

（3）先算括号里面的，再算二次根式的除法即可.

（4）先分母有理化，再根据二次根式的性质计算，然后合并即可；

（5）先根据二次根式的乘法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，接着把括号内合并，然后进

行二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可.

（6）先根据二次根式的性质化简，然后进行有理数的加减运算；

（7）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；

（8）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可.

（9）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式后进行二次根式的除法运算.

（10）先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可；

【解答】解：（1）2V12+V48-V27

=2X2^3+4^3-3^3

=473+473-373

=

(2)+(2-n)0+|i-V3|

=3^+lW3-l

m(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2)

=3-272+4V2-(5-4)

=272+2；

(4)(2V27+yT108-

=(6V3+2V3-473)^273

=473^-273

=2.

(4)原式=：我-±+-2)

V3XV33

V12X3-3V3-|+V3-2

3o

_6-3V3--1+V3-2

-

"Io

=2-存-1+V3-2

o

-_―--1-•

3

(5)原式=(473-V3)+F+2%-

=3a+«+2a-3遍

=3+2^6-3A/6

=3-V6.

(6)原式=6-5+3

=4；

(7)原式=5/50X8-府

=V400-V9

=20-3

17；

(8)原式=,8X/+J18X/-J|X673X6

=2+3-2&-3近

=5-572.

(9)原式=(4百-当应+3正)4-2^3

3

=JW1_4-2A/3

3

=19

V

(10)原式=3&-2&-124・3

=3加-272-272

=-我；

类型二：运用乘法公式进行计算

2.计算：

⑴(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2);

⑵(2+V3)2-(3-272)(3+2>/2);

(3)(VB-V2)(V5+V2)-(VB-1)2，

(4)(3V2-2V3)(3V2+2V3)-(V2W3)2-

⑸(275-7)(2V5+7)-(V5-3)2-

(6)(2V3-1)(2V3+1)-(1-2V3)2-

⑺(275-373)2-(4+372)(4-372);

⑻(V3W2)2-(V7+V2)(V7-V2)-

【分析】(1)先根据完全平方公式、二次根式的性质与化简、平方差公式计算，再合并即可;

(2)先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可；

(3)先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可.

(4)根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行加减运算即可得到答案.

(5)根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可.

(6)利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便.

(7)利用完全平方公式和平方差公式展开，再算加减即可；

(8)根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可.

【解答】解：(1)(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2)

=3-2^2+472-(5-4)

=272+2；

(2)原式=4+4a+3-(9-8)

=4+45/3+3-1

—6+4A/3：

(3)原式=5-2-(5-2灰+1)

=5-2-6+2A/5

=2遥-3.

(4)(3V2-2^3)(3V2+2>/3)-(V2-V3)2

=(3V2)2-(2V3)2-(2+3-2V6)

=18-12-5+276

=1+2V6-

⑸(275-7)(275+7)-(V5-3)2

=20-49-(5-6娟+9)

=20-49-5+6A/5-9

=-43+6遥.

(6)(273-1)(273+1)-(1-273)2

=12-1-(1-4我+12)

=12-1-1+4f-12

=4展-2.

(7)(2V5-3V3)2-(4+3>/2)(4-3>/2)

=20-12^/15+27-16+18

=49-12715；

⑻(V3W2)2-(V?+V2)(V7-V2)

=3+2a+2-7+2

=2娓.

类型三：运用等式规律进行计算

3.阅读下列材料，然后解答下列问题:

1_1义(&-1)飞

«+—)(加-1尸27

11X(V3-V2)

V3W2=(V3W2)(73-V2)

1_1义（灰-2）r=_

代+2=（旄+2）（泥-2）35-2；

以上这种化简的方法叫分母有理化.

(1)]=_V7^V6_.

V7+V6

(2)1("为正整数)=—Vn+l^x^n—•

Vn+1Wn

(3)化简:111+・■■,p--------1-------——yO

V2+1+V3W2+V4+V3V100W99

(4)化简下列式子的值:1111

V3+1+V5W3+V?W5+'",屈+\^?.

【分析】（1）利用分母有理化进行计算即可;

（2）利用分母有理化，进行计算即可；

（3）先进行分母有理化，再进行计算即可；

（4）先进行分母有理化，再进行计算即可.

【解答】解：⑴旨乐飞高需而如飞

⑵潟舶需熹《）同函

（3）-1W3-V2+-W100-V99

=Vloo-1

=10-1

=9；

（4）原式卷（证函）卷（V7~V^）+…弓■（倔”面）

=y(V3-lW5W3W7-V5+--W99-V??)

=y(V99-l)

_3Vn-i

"I-

4.【阅读材料】

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如32这样一类的式子，其实我们还可以将其

7TV3+1

2_2X(V3-1)_

进一步化简33xV53G叵/2X3娓

忑飞X娓寸;归住IFV3+1=(V3+1)(V3-1)

2"-1)=«-1.以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

(V3)2-l2

【解决问题】

(1)仿照上面的解题过程，化简：-^X=-=_V7+V6

V7-V6一—

(2)计算：T—+厂1厂+厂1厂+••-'----当-----)X(#2025+1)-

V2+1V3+V2V4W3V2025W2024

(3)已知a=/-1/-，t)-L1L'求次+接的值.

V3+72V3W2

【分析】(1)分子分母分别乘(板小)即可;

(2)每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并，再利用平方差公式计算即可.；

(3)由条件可得：a=V3-V2-b=V3+V2.可得：a+b=2«,ab=l,再利用平方差公式计算即可.

]二五不

【解答】解:(1)=W+\/6'

VV-Vs(VV-Vs)(VVW6)

(2)原式=

「h如力—__________

L(IW2)(V2-1)(V2W3)(V3-V2)(V2025W2024)(V2025-V2024)J,)

二(V2-1+V3-V2+-+72025-V2024)X(V2025+1)

=(V2025-1)X(42025+1)

=2025-1

=2024.

(3)•.%=」「=哗「用用，

V3W2姮l他3)加用)

b=V3W2=(V3W2)啦，

a+b=2V3>ab=l,

a2+b2=(a+b)2-2ab=(2^3)2-2=10-

5.材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如12的计算，需要运用分式的基本性质,

TT'V3W2

1_加二&

将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如:k3w

2二2X(7§尬)深篇产弟』+啦.类似地，将分子

V3W2=(V3-V2)X(V3W2)

转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：6巫—哗

1V2V2

6-1二(«-1)x(於+1)=(返)2-12二3-12

根据上述知识，请你完成下列问题:

V3V3X(V3+1)-=(V3)2W3"3^3"WT'

(1)比较大小：一i—(填或"=")；

3W7V11-3

(2)计算：^-=-+L1L-+y—1L+-••+/1/；

1W2V2W3V3W4V2024W2025

(3)若—,求5a2-10a+15的值.

V3-1

【分析】(1)先分母有理化得到」^=亚巨，f—=WH,然后比较大小即可；

3-V72V11-32

(2)先分母有理化，然后合并同类二次根式；

(3)先利用分母有理化得到。=强+1,则移项得到a-1=百，再两边平方可得到。2-2a=2,然后把

5/-10a+15变形位5(a2-2a)+15,最后利用整体代入的方法计算.

【解答】解：(1)---------_■=—=-=1—=―I'^=—=

3-V7(3W7)(3W7)2V11-3(Vll-3)(V11+3)

-----------，

2

..W1T

•---------…，

22

•1<1.

故答案为：V;

(2)原式=&-1+V3-V2+V4-V3+...+V2025-V2024

=<2025-1

=45-1

=44；

/(通十2二百+1,

(3)・：a=.：

V3-1(V3-1)(V3+1)

••a-1=V3»

(a-1)2=3,

a1-2a+l=3,

••a?-2a=2,

・・・5Q2-10Q+15=5(“2-2a)+15=5X2+15=25.

6.有这样一类题目：将±2《化简,如果你能找到两个数小小使加2+〃2=。且1m=加，a±WE将

变成加2+/±2冽〃，即变成(冽土〃)2,从而使La±2，^得以化简.

(1)例如，：5+W^=3+2+2我=(W)2+(点)2+W^XV3=(V3+72)2)

：75+2娓=7(V3W2)2=一'反+V2_>请完成填空.

(2)仿照上面的例子，请化简>4-谷；

(3)利用上面的方法，设A=V6+4&，B=V3-V5-求N+8的值.

a(a>0)

【分析】(1)根据二次根式的性质：V?=IaI=lo(a=o),即可得出相应结果.

「a(a<0)

⑵根据⑴中“5+W^=3+2+2%=(«)2+(0)2+2^xa=(«W^)2"，将代数式转

化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果.

(3)根据题意，首先把”式和3式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把/

式和8式的结果分别算出，最后把/式和2式再代入4+2中，求出4+8的值.

【解答】解：(1)V5+276=2+3+276=(V2)2+(V3)2+2X72XV3=(V2+V3)2,

：75+2娓W(V3W2)2=V3W2'

故答案为：V3+V2；

(2)4-273=3+1-273=(V3)2+1-273=(V3-1)2>

•'•V4-2A/3=^/(V3-1)2=V3-1;

⑶'-^=6+472=4+2+472=(V4)2+(V2)2+2XA/4XV2=(2+V2)2'

；•A=V6+4V2=2啦,

..rr=6-2\^_5+1-2优二(泥)2+12-2><1><而_(而-1)2

•IT，=~2~=2=2-2-

・•・B=V^=需=^^_=的-1V2-

...把/式和3式的值代入4+2中，得：A+B=2+V2

7.小明在解决问题：已知a=_J，求2a2-8a+l的值.

2W3

他是这样分析与解的：1_2p(L__=2^

2+V3(2W3)(2-V3)

a-2=-V3»*,•(。-2)2=3,-4a+4=3

-

:•层-4a=19：.2层-8Q+1—2(层-4a)+1—2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

⑴「-=_&$_，L1L=——通二'尼_.

V3+V2V5W32

(2)化简：=1L+L1L

V121+/119

VilW9V13Wil

(3)若a-4—，请按照小明的方法求出4a2-8«+1的值.

V2-1

【分析】(1)根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式

的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；

(2)根据小明的分析过程，a-1=加得02-2°=1,可求出代数式的值.

［解答］解：(1)原式=—囊_j^=V3-V2,原式=—广省—J^=—(遍

(V3W2)(V3^/2)(V5W3)(V5-V3)2

-

故答案为：Vs_V2,

(2)原式=/(>/Ti--^n+...+y[i21-VTi9)

=_L(-3+11)

2

=4；

(2)a=—=V2+1>

V2-1

.'■a-1=V2>

；・(a-1)2=2,a2-2a+l=2,

•・a2-2a~~11

，原式=4(a2-2a)+1=4X1+1=5.

8.阅读材料：

材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有

理化因式.

例如：V3xV3=3«(V6-42)(V6W2)=6-2=4.我们称«的一个有理化因式是加，限用

的一个有理化因式是a+V2.

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母

中不含根号，这种变形叫做分母有理化.

例如：1.+1=(加+《小

273273X736V2-1(V2-1)(V2+1)

解答下列问题：

(1)根据以上概念直接在横线上写出273-遍的一个有理化因式+75_；

(2)若a=---^=-,求/-3a+l的值；

2-V3

（3）请在以下问题①和②任选一个题作答:

①设实数x,y满足(x+Vx^+2024)(y+Vy^+2024)=2024，求x+y+2024的值;

②化简：皴吟.

【分析】（1）根据平方差公式的结构，由于蓊个月是一个差结构，即可找到一个和结构作为有理化因

式；

（2）先将。有理化之后得2+百，再把。的值代入03-3a+l计算即可；

（3）①在（X+JX2+2024）（y+4y2+2024）=2024的两边分别除以左边的每一个因式，即可得到》+

VX2+2024=-E------=Vy2+2024-y①和Wy2+2024=Vx2+2024-x②，①+②得x+y

y+Vy+2024

=0,从而可求解x+y+2024的值；

②将分子和分母分别用结合律重新整理之后，再有理化，接着运用完全平方公式和平方差公式计算即可;

【解答】解：⑴(2V3-V5)(2V3W5)=12-5=7,

故答案为：2V3W5-

(2)a=~----厂=23，

2-V3(2-V3)(2W3)

/.6Z3-3a+l—a(a2-3)+1

=(2+V3)[(2+V3)2-3]+l

=(2+V3)(4+473)+1

=21+12禽.

2

(3)若选①：•；(X+VX+2024)(y+Vy^+2024)=2024，

AX+VX2+2024=-与------="+2024-y，①

y+Vy+2024

同理可得产"+2024="+2024-x，②

①+②得：x+y=O,

故xty+2024=2024.

若选②.*■3+)

3+V3-V63-->/3)

9-(V6-V3)2

_(3W6)2-3

6V2

—12+6遍

672

=V2+>/3-

类型四：与二次根式有关的化简求值运算

9.计算：已知，X=2-4，y=2+V3,求x2+y2-xy的值.

【分析】利用完全平方公式、平方差公式进行计算，即可解答.

【解答】解：/+--刈

—X2-Ixy+^+xy

=(x-y)2+xv

=(2-V3-2-V3)2+(2-V3)(2W3)

=12+1

=13.

10.已知：x=V3+2>7=W3+2-计算：

(1)xy；

(2)x2+y2-xy.

【分析】(1)利用平方差公式计算9的值；

(2)先计算出x+y的值，再利用完全平方公式得到，+/一孙=(x+))2-3孙，然后利用整体代入的方

法计算，

【解答】解：(1)Vx=V3+2,y=-V3+2,

.'.xy—(2+A/3)X(2-V3)—4-3—1；

(2)Vx=V3+2,尸-愿+2,

/.X-Fj=4,

.•./切2-肛=(%勺;)2-3J^=42-3X1=13.

11

11.若XT7Fy='^7r求代数式N+3盯+/的值.

【分析】先把化简，再根据完全平方公式把/+3盯+/变形后代入计算即可.

【解答】解：将x、y分母有理化得：

2-V3(2^泮3)(2WL3)=2啦，

2W3(2^厂3)(2W厂3)=2$，

.,.原式=(x+y)2+孙

(2W3+2-V3)2+(2+V3)(2-V3)

=17.

12.已知火=厂1厂，1求下列各式的值:

V3-V2y-7wr,

⑴x^xy+y2；

(2)工二.

xy

【分析】(1)先利用分母有理化法则求出xS/，y=V3-V2,进而得到x+y=2«,孙=1,再根

据完全平方公式的变形求解即可；

(2)根据工(三刁)二2红■进行求解即可.

xyxy

【解答】解：(1)：x-二b，

V3-V2丫V3W2

・“广当啤「用啦,y-厂当哗厂用用,

(63)(e啦)Y由啦)E%)

x+y=V3W2+V3-V2=273,xy=(V3+V2)X(«_&)=3-2=1,

.•・/+盯切2=(%+j;)2-孙=12-1=11;

(2)工二

xy

xy

(x+y)2-2xy

xy

_12-2

"I-

=10.

13.我们已经知道(JW+3)(W§-3)=4,因此将7J—分子、分母同时乘“丁石+3”，分母就变成了

V13-3

4.例如：S—=1怖巴——=8(V13+3)=(^从而可以达到对根式化简的目

V13-3(V13-3)(V13+3)4^

的.根据上述阅读材料解决下列问题：

已知—,b-•

V5+1V5-1

C1)化简a,b；

(2)求代数式2a2+次＞+2庐的值.

【分析】(1)根据题干中提供的分母有理化的方法进行化简即可；

(2)根据化简后的0、6的值得出m=(«-1)(如+1)=3-1=2，a+b=V3-1+V3+1=2V3-将

2a2+仍+2乂变形为2Q+6)2-3",再代入计算即可.

2

【解答】解：(1)=-^—

aV3+1

2(73-1)

(V3+1)(V3-1)

_2(V3-1)

3-1

—V3-1；

V3-1

2(V3+1)

(V3+1)(V3-1)

—2(遍+1)

3-1

=Vs+1；

⑵Va=V3-1,b=V3+1.

二ab=(V3-l)(V3+1)

=3-1

=2；

a+b=V3