二次根式的运算的四种类型（原卷版）-2024-2025学年人教版八年级数学下册

二次根式的运算的四种类型

类型一：利用基础法则进行计算

类型二：运用乘法公式进行计算

类型三：运用等式规律进行计算

类型四：与二次根式有关的化简求值运算

类型一：利用基础法则进行计算

1.计算：

⑴2^/12+V48-V27；(2)+(2-兀)°+|1-V3卜

⑶(2>/27108)-r-V12-(4)-)-V(V3-2)25

(5)(V48V3W24XV45-

⑹(J)?-每+4(-3)2；⑺病xa正分

⑻退净一毫心又正.(9)(2^/12-+V27)^2^3.

(10)V18-

类型二：运用乘法公式进行计算

2.计算：

⑴(V2-l)2+2V8-(V5-2)(V5+2);

(2)(2W3)2-(3-272)(3+2>/2);

⑶(A/5~V2)(V5,+V2)-(V5-1)?•

⑷(3V2-2V3)(3V2+2V3)-(V2-V3)2-

⑸(2\^-7)(27^+7)-(遍-3)2・

⑹(2V3-1)(273+1)-(1-2V3)2-

⑺(2V5-3V3)2-(4+3>/2)(4-3>/2);

⑻(V3+V2)2-(V7+V2)(V7-V2)-

类型三：运用等式规律进行计算

3.阅读下列材料，然后解答下列问题:

V2+1(V2+1)(V2-1)

1二IX

M啦;正皿)皿用)

1-1义避-2)二产

V5+2-(V5+2)(V5-2)-

以上这种化简的方法叫分母有理化.

77+V6

(2)1("为正整数)=

Vn+1+Vn

(3)化简：-7=i—+y—ly—+厂1厂+…+/1/=_________•

V2+1V3W2V4+V3V100W99

化简下列式子的值：-^..111.

(4)+=+++

V3+1V5W3V7W5V99W97

4.【阅读材料】

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如32这样一类的式子，其实我们还可以将其

7TV3+1

33xV53G[2[2X3V622X(V3-1)

进一步化简

=

而飞乂娓廿；真■3B与；V3+1(V3+1)(V3-1)

2"-1)=«-1.以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

(V3)2-12

【解决问题】

(1)仿照上面的解题过程，化简：.

V7-V6

(2)计算：(-=J—―1尸+；-1；-+-•-+/1/)X(42025+1)-

V2+1V3W2V4W342025W2024

(3)已知aA—l—,b一厂1求。2+y的值.

V3W2V3-V2

12

5.材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质,

7T,VsW2

二加二

将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如:1

丐;（加）2下

2________2X(V3+V2)2V3+2V22V3+2V2

=273+272.类似地，将分子

V3W2=(V3W2)X(V3W2)=(73)2-(V2)2-

转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：近=&=哗）2=义

1V2V2

北-1二E-1)义(芯+1)=(V^)2-F=3-12

根据上述知识，请你完成下列问题:

V3V3X(V3+1)­=(V3)2W3-3^3-34V3

（1）比较大小:-1____-1—(埴或“=”）；

3-V7711-3'

(2)计算：---L1L+L1/-+,•,+I1/；

1+V2V2W3V3+V4V2024W2025

(3)若a=~p^—，求5*-10a+15的值.

V3-1

6.有这样一类题目：将夷王2石化简，如果你能找到两个数〃?、"，使加2+/=。且a土入用将

变成"於+"2±2加小即变成G"土")2,从而使"a土得以化简.

⑴例如，：5+2V^=3+2+2&=(«)2+(点)2+W^XV3=(V3+V2)2>

：75+2娓=V(6g)2=--------------，请完成填空•

(2)仿照上面的例子，请化简44-2百;

(3)利用上面的方法，设A=46+4&，B=V3-V5-求/+8的值.

7.小明在解决问题：已知a='求2a2-8a+l的值.

2^3

他是这样分析与解的：1_2pfL__=2^

2W3(2W3)(2-V3)

a-2=-J^，(。-2)2=3,*-40+4=3

/.a2-4a=-1,2cr-8a+l=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

V3+V2，V5W3

(2)化简:

VilW9V13WilV121W119

(3)若2十^,请按照小明的方法求出4“2-8a+l的值.

V2-1

8.阅读材料:

材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有

理化因式.

例如：正义a=3，(V6W2)(V6W2)=6-2=4.我们称愿的一个有理化因式是正，娓用

的一个有理化因式是遍+72.

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母

中不含根号，这种变形叫做分母有理化.

1一日小.&+1一（&+1）2万

例如:-_-32V2

2V32V3XV36'V2-r（V2-l）（V2+l）

解答下列问题:

(1)根据以上概念直接在横线上写出2A/3-遥的一个有理化因式；

(2)若a=——求°3-3a+l的值；

2-V3

(3)请在以下问题①和②任选一个题作答：

①设实数x,i满足(X+VX2+2024)(y+Vy2+2024)=2024,求x+y+2024的值;

3+V3+V6

②化简:

3-*V3^/6

类型四：与二次根式有关的化简求值运算

9.计算：已知，x=2-«，y=2+V3,求/+/一盯的值.

10.已知：x二愿+2，y=-V3+2.计算:

(1)xy；

(2)x^+y2-xy.

y=；,求代数式x2+3xy+/的值.

2W3

1

12.已知y=7、-,求下列各式的值:

X=7TV2V3W2

(1)x^xy+y2；(2)工巨

xy

13.我们已经知道(S3+3)(后-3)=4,因此将—分子、分母同时乘“小石+3”，分母就变成了

V13-3

4.例如：-=J—=―_§(小巴——=8(V13+3)从而可以达到对根式化简的目

V13-3(V13-3)(V13+3)4

的.根据上述阅读材料解决下列问题：

已知—，V".

V5+1V5-1

(1)化简a,b；

(2)求代数式2a2+ab+2b2的值.

14.先阅读下列的解答过程，然后再解答：

形如Um±2'G的化简,只要我们找到两个正数。、b,使0+6="，ab=n,使得(4)2+(五)2=口