高考数学重难点复习：空间立体几何 高频考点突破

第05讲：空间立体几何高频考点突破

【考点梳理】

考点一：空间几何体结构

（1）多面体

多面体定义图形及表示相关概念特殊情形

棱柱有两个面互相平行，其余各EA底面（底）：两个互相平行的直棱柱：侧棱垂直于

产

面都是四边形，并且相邻两面底面的棱柱

个四边形的公共边都互相侧面：其余各面斜棱柱：侧棱不垂直

平行，由这些面所围成的多侧棱：相邻侧面的公共边于底面的棱柱

面体叫做棱柱A顶点：侧面与底面的公共顶正棱柱：底面是正多

记作：棱柱ABCDEF

点边形的直棱柱

A'B/CrD，E，F

/

棱锥有一个面是多边形，其余各ill点底面（底）：多边形面正棱锥：底面是正多

面都是有一个公共顶点的侧面：有公共顶点的各个三边形，并且顶点与底

三角形，由这些面所围成的角形面面中心的连线垂直于

多面体叫做棱锥侧棱：相邻侧面的公共边底面的棱锥

Ah顶点：各侧面的公共顶点

记作;棱锥S-ABCD

棱台用一个平行于棱锥底面的o上底面：原棱锥的截面

-戾

平面去截棱锥，底面和截面下底面：原棱锥的底面

之间那部分多面体叫做棱侧面：其余各面

台侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与上（下）底面的

公共顶点

记作：棱台ABCD一

葭B'CD'

（3）圆柱、圆锥、圆台、球

旋转体结构特征图形表示

圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周圆柱用表示它的轴的字

形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱母母表示，如图中的圆柱

的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底底而q;1f-MiFti记作圆柱0,0

面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；

无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面

的母线

圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余圆锥也用表示它的轴的

轴

字母表示，如图中的圆

两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥雷

锥记作圆锥so

底而18

圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间：、、圆台也用表示它的轴

的部分叫做圆台的字母表示，如图中的

母线圆台记作圆台o'0

球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的▼球常用表示球心的字母

曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简半径来表示，左图可表示为

称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上球0

心

任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且

经过球心的线段叫做球的直径

考点二：空间几何体的直观图

1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

2、斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线

长度不变

3>原图与直观图的关系：S<=-^――SK；Sg=2V2SM

4

考点三：简单几何体的表面积与体积

1、空间几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

(2)圆柱的表面积S=2勿7+2勿'2(3)圆锥的表面积S="/+勿

(4)圆台的表面积§="/+犷2+成/+成2(5)球的表面积S=4成?

2、空间几何体的体积

(2)锥体的体积V=；S底x/z

(1)柱体的体积V=S底x/z

(3)台体的体积V=Ls上+百环+5下)x/z(4)球体的体积丫=百成3

3、球的组合体

(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线

长(A/3a).

(3)球与正四面体的组合体：棱长为。的正四面体的内切球的半径为亚。，外接球的半径为逅a.

124

考点四：空间直线、平面的平行

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与此平面内的

l//a\

一条直线平行，则该直线与此

判定定理aUa>=>l//a

平面平行(简记为“线线平行

/__7Via,

=线面平行”)

一条直线与一个平面平行，则

/〃a、

过这条直线的任一平面与此平

性质定理IUB}=/〃6

面的交线与该直线平行(简记

为“线面平行=线线平行”)

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条相a///3、

交直线与另一个平面b///3

判定定理平行，则这两个平面平尸>=a〃4

行(简记为“线面平行口qUa

=面面平行”)bUa>

如果两个平行平面同a//13]

性质定理时和第三个平面相交,aC\y=g>=>a//b

6G尸"J

那么它们的交线平行4^7

考点五.直线与平面垂直

⑴定义

如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直,则直线/与平面a互相垂直，记作/_La,直线I叫做平面a的垂线,

平面a叫做直线/的垂面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面

ZbUa、

内的两条相交直线都7aCb=O

判定定理

垂直，则该直线与此平l-La

面垂直l±b,

ab

垂直于同一个平面的a-La\

性质定理1~~7

两条直线平行2

2.直线和平面所成的角

⑴定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它

们所成的角是直角,若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是£的角.

(2)范围:［。,2.

3.平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两

条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一

Z_Lccl

判定定理个平面的垂线,则/

/u0"

这两个平面垂直£

两个平面垂直，则a-L)3、

一个平面内垂直4lup

性质定理/>=/_La

aCB=a

于交线的直线与£Z

另一个平面垂直l-La>

【题型梳理】

题型一：空间几何体的结构

1.(2023春•福建南平•高一校考期末)下列命题中正确的是()

A.正方形的直观图是正方形

B.平行四边形的直观图是平行四边形

C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

【答案】B

【解析】选项A,正方形的直观图是平行四边形；选项由斜二测画法规则知平行性不变知②正确；选项C,要

注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行；选项。，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的

部分组成的几何体叫棱台.

【详解】解：选项A,正方形的直观图是平行四边形，故A错误；

选项8,由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；

选项C,有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注

意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；

选项。，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故。错误.

故选：B.

2.（2023春•四川宜宾•高一宜宾市叙州区第一中学校校考期末）下列命题中，正确的是（）

A.经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面

B.经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面

C.经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面

D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面

【答案】B

【详解】因为正方体的四条体对角线相交于同一点（正方体的中心），因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有

一个平面，故选B.

点睛：确定平面方法：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有

一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面.

3.（2023春•黑龙江大庆•高一铁人中学校考期中）给出下列说法：

①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块

其中正确说法的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根据棱柱、棱锥、棱台和平面的的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】对于①中，根据棱台的定义，延长棱台的所有侧棱交于一点，所以有两个面平行且相似，其他各个面都是

梯形的多面体不一定是棱台，所以①不正确；

对于②中，根据棱锥的定义，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所以②不

正确；

对于③中，根据棱柱的定义，有两个面平行，且该多面体的顶点都在这两个平面上，其余各面都是四边形的几何体

叫棱柱，所以③不正确；

对于④中，一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成8块，所以④不正确.

故选：A.

题型二：直观图

4.（2023春•四川成都•高一成都外国语学校校考期末）如图，一个水平放置的平面图形048c的斜二测直观图是平

行四边形O'AB'C',且O'C'=4,O'A=2,NA'0C'=45。，则平面图形。42c的面积为（）

【答案】A

【分析】根据斜二测画法得到平面图形，即可得解；

【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示,

其中长OC=8,宽OA=2.

故平面图形Q4BC的面积为。4OC=16.

故选：A

5.（2023春•云南昆明•高一昆明一中校考期中）已知是一平面图形的直观图，斜边。8'=2,则这个平面

图形的面积是（）

y

A,「

C.72D.2A/2

2

【答案】D

【分析】由给定的直观图画出原平面图形，再求出面积作答.

【详解】根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图,

其中08=。'8'=2,04=2。'4=2。'8"0$45=20,ZAOB=90，

1/-

所以这个平面图形的面积为S=5*2x2点=2五.

故选：D

6.（2023春•广东茂名•高一统考期中）如图，水平放置的ABC的斜二测直观图为,已知=B'O'=C'O'=1,

则ABC的周长为（）

A.6B.8

C.2+2^D.2+46

【答案】C

【分析】根据题意，作出原平面图形，ASC,由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案.

由斜二测画法，在原图中，CO=2C'O'=2,AO=BO=1,

所以AB=AC=石，故ABC的周长为2+2岔.

故选：C.

题型三：空间几何体的表面积和体积

7.（2023春•江苏常州•高一常州市第一中学校考期末）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的

新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径AB=12cm,圆柱体部分的高BC=6cm,圆

锥体部分的高CD=4cm,则这个陀螺的表面积（单位：cm?）是（)

B.(144+24加卜

C.(108+12713D.(108+24•)兀

【答案】C

【分析】根据圆柱与圆锥的表面积公式求解.

【详解】由题意可得圆锥体的母线长为/=后彳=2屈，

所以圆锥体的侧面积为Ll27t

2

圆柱体的侧面积为12兀乂6=72兀,

圆柱的底面面积为兀x6?=36兀，

所以此陀螺的表面积为12反兀+72兀+36兀=（108+12屈兀）（cm2）,

故选：C.

8.（2023春•江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期末）三棱锥尸-ABC的所有顶点都在球。的球面上.棱锥

尸—ABC的各棱长为：PA=2,PB=3,PC=4,AB=A,BC=5,AC=2下,则球。的表面积为（）

A.28%B.29%C.30万D.31%

【答案】B

【分析】由各棱长结合勾股定理知P-ABC为直三棱锥，有尸面EBC,进而求出的外接圆半径，，由

外接球半径尺与,、承的几何关系即可求出R,最后求外接球表面积即可.

【详解】由题意知：PB1+PC2=BC2,P^+PC2=AC2,P^+PB2=AB2.

团PAPB,PC两两垂直，即尸-ABC为直三棱锥，

回若加上台。的外接圆半径为「，则，・=些=*,又PAL面PBC,

22

回外接球心。到PA的距离为r=（,故外接球半径R=Jr2+（—）2=叵，

2V22

团外接球表面积S=4乃*=297r.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：由棱长推出尸-ABC为直三棱锥，有面尸3C,根据其外接球半径R与及△PBC外接圆

半径八%的几何关系求出R,进而求球的表面积.

9.（2023春・浙江金华•高一浙江金华第一中学校考期末）"辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算

方法：几何体的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积s。的4倍、下底

面的面积S'之和乘以高场的六分之一，即V=JMS+4SO+S'）.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟

柱体.在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面.中国古代名词"刍童"（原来是草堆

的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体.已知某"刍童"尺寸如图所示，且体积为与，则它的高为（）

53

C.-------7=D.4

9+3V2

【答案】D

【分析】求出上下底面积和中截面面积，代入公式即可求出高.

【详解】上底面S=3x2=6,下底面S'=3x4=12,

所以中截面是过高的中点，且平行于底面的截面，其中AB,。,。分别是对应棱上的中点，如图所示,

1715

根据中位线定理得DC=54=5X（3+4）=],BC=AD=-X（3+2）=~,

所以S0=：7x5|=?35,

（,,35、1,106

6+12+4x—x-/i=-—,解得人=4,

I4J63

故选：D.

题型四：内接球和外接球表面积和体积

10.（2023春•浙江宁波•高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.

在鳖膈A—5CD中，平面5CD,BCLCD,&AB=BC=CD=1,则其内切球表面积为（）

()

A.3兀B.百兀C.3-27271D.(3-1,

【答案】C

【分析】设四面体ABCD内切球的球心为0,半径为厂，则

^ABCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD~ABC+ABD+SACD+BCD),求得

SABCD=SAABC+SAABD+SAACD+SABCD=1+72,匕BC0=g':X1X1X1=g,从而求得一="1,根据球的表面积公式

即可求解.

【详解】

因为四面体A3CD四个面都为直角三角形，AB1平面BCDICLCD,

所以AB_LAB_L8C,BC_LCD,AC±CD,

设四面体A3C。内切球的球心为。，半径为小

则匕BCD=^O-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD§「(SABC+S.D+SACD+SBCD)

3V

所以厂=T—

^ABCD

因为四面体ABCD的表面积为S^CD=SAABC++S&CD+SABCD=1+及,

又因为四面体A5c。的体积%68=1x!xlxlxl=!

326

所以，工四

S2

所以内切球表面积5=4兀产=（3-2&）兀.

故选：c.

n.（2023春・江苏苏州•高一统考期末）蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、

内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非

物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有四个点尸，A,B,C恰好构

成三棱锥尸一ABC,若BC1CP,且BC=1,CP=2,AB=3,AP=，则该鞠的表面积为（）

7

A.—7iB.7冗C.14%D.28%

2

【答案】C

【分析】由条件求尸3,证明结合利用线面垂直判定定理证明平面3cP,由此确定三

棱锥P-ABC的外接球的球心及半径，利用球的表面积公式求解.

【详解】在PCB中，BC1CP,CP=2,BC=1,

所以PB=JCP?+BC2=5

在APBA中，PB=#）,AB=3,AP=714，

所以Ap2=Ag2+p32,所以

在.ABC中，ABIBC,AB=3,BC=1,

所以AC=以笈+叱,

在VPG4中，CP=2,AC=410,AP=m，

所以Ap2=AC2+C产，所以。1J_PC,

所以△尸班，V尸C4都是以上4为斜边的直角三角形，

取R4的中点0,则0P=0A=02=0C=恒，

2

所以点。为三棱锥尸-ABC的外接球的球心，半径为巫，

2

所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=4兀（理］=147r,

即该鞠的表面积为14兀.

故选：C.

12.（2023春・江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期末）已知三棱锥O-ABC中，A,B,C三点在以0为球心

的球面上，若AS=3C=2,ZABC=120°,且三棱锥ABC的体积为百，则球。的表面积为（）

32万_

A.-----B.16万C.52nD.64%

3

【答案】C

【解析】由题意AB=BC=2,/ABC=120。,可求得AABC的面积，进而通过。-ABC的体积得到三棱锥的高，即

球心到平面ABC的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球。的半径，即得解.

【详解】由题意—=2,加C=12。。，^c=>B1|BC|sinZABC=^

Sh

VO-ABC=~^ABC=6；/=3.

AB2

又AABC的外接圆的半径=2

2sinC2sin30°

因此球。的半径R=722+32=713

球的表面积：5=4万4=52%.

故选：C

【点睛】本题考查了球和三棱锥以及球的截面圆的综合问题，考查了学生的综合分析，空间想象，数学运算能力,

属于中档题.

题型五：点线面的位置关系

13.（2023春•江苏连云港•高一校考期末）下列表述中正确的是（）

A.若直线a〃平面a,直线6_La,贝1_Lc

B.若直线a平面a,直线6ua,且a_L6，则。_Ltz

C.若平面a内有三个不共线的点到平面夕的距离相等，则a〃£

D.若平面满足,夕'/=/,贝i"J_a

【答案】D

【分析】根据空间线面关系的定义及几何特征，逐一分析四个命题的真假，可得答案.

【详解】若直线a〃平面a,直线则可能可能6ue,b可能与a只相交不垂直，A选项错误;

若直线平面a,直线6ua,且a_LZ?,则可能aJ_a,可能。与a只相交不垂直，B选项错误；

若平面a内有三个不共线的点到平面尸的距离相等，则可能。〃尸，可能。与一相交，C选项错误；

若平面a,6满足,a±/,£）=1,则/J_a,由面面垂直的性质可知，D选项正确.

故选：D

14.（2023春•江苏苏州•高一统考期末）设小，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列结论不正确

的是（）

A.若"Z_L尸，"2U1,则a_L/?

B.若m/la,nLa,贝!

C.若m11a,mlI/3,则a〃尸

D.若"?ua,”ua,mlI[3,nlip,俄与“相交，则a〃6

【答案】C

【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断可得.

【详解】对于A：若能_L£,mua,由面面垂直的判定定理可知,故A正确；

对于B：若m//a,则平面a内存在直线c,使得zn//c,又〃_La,cua,所以〃J_c,所以"故B正确;

对于C：若mlla,ml1/3,则a〃6或a与夕相交，故C错误；

对于D：若〃zua,〃ua,mlIp,〃///7,m与〃相交，根据面面平行的判定定理可知M/6，故D正确；

故选：C

15.（2023春•江苏镇江•高一扬中市第二高级中学校考期末）已知直线机、n,平面a、夕，给出下列命题：

①若7"_L（z,n工f3,且加_1_〃，则

②若mlla,a/3=n,则nilln

③若nllff,且根J_〃，则ar-L月

④若力?_La,nll/3,且mlln,则aJ■尸

其中正确的命题是（）

A.①②B,①③C.①④D.③④

【答案】C

【分析】根据线线、线面和面面位置关系的有关知识对各个命题进行分析，由此确定正确答案.

【详解】①，根据线面垂直的知识可知，当〃尸，且加，〃时，a，/3,所以①正确.

②,若mlla,ap=n,则可能机〃是异面直线，所以②错误.

③，若机J_a,nll/3,且〃此时无法判断机是否与平面口内的两条相交直线垂直，

所以③错误.

④，若"z_L（z,mlIn,所以〃_Le,由于"〃夕，所以所以④正确.

所以①④正确.

故选：C

题型六：线面的平行和性质

16.（2023春•湖南邵阳•高一邵阳市第二中学校考期末）如图，在四棱锥尸-ASCD中，平面

PAD,PA=AD=DC=2AB=4,PD=2币,M是PC的中点.

⑴证明：BM面PAD

（2）证明：平面平面PCD；

⑶求三棱锥M-的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

⑶近

【分析】（1）取尸。中点N,连接脑V,4V,证5M〃㈤V即可；

（2）由R1=A£＞得ANJ_PD,由平面PAD得AB_LPD,所以PD_L平面A3N,从而得证;

（3）MN//AB,所以MN平面9,根据%=%.=匕一如求解.

【详解】（1）取尸。中点N,连接W,4V,

0AB〃DC,AB=：DC,MN〃DC,MN=；DC,

RMN〃AB,MN=AB,

laABMN为平行四边形，则3M〃AN,

IBBA/cZ面PAD,®Vu面PAD,0BM面PAD.

(2)因为上4=AD,所以AN_LPD,

由平面尸ARPDu平面pa。，所以Afi_LPD,

又由4VAB=A,且A7V,ABu平面AB肱V,所以阳，平面AB跖V,

又PDu平面PCD,所以平面ABW_L平面PCD,即平面ABM_L平面PC£).

(3)由(1)可得MN〃AB,且ABu平面上4B,MN<Z平面所以MN「平面P4B,

=

所以九-PABVN—PAB=VB-NAP，

因为平面PAD,可得匕*”=；34如X45,

又由AP=4,PN=币，AN1PD,

x

所以AN=“2—7=3,SNAP——V7x3=°币,

所以vi=3当"币,即三棱锥〃-总的体积为"

17.(2023春•宁夏吴忠•高一吴忠中学校考期末)如图：在正方体ABC£)-A4G2中AB=2,M为OR的中点.

(1)求三棱锥M-ABC的体积；

⑵求证：82//平面.。；

⑶若N为CG的中点，求证：平面AMC//平面BNR.

【答案】⑴:

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)根据锥体的体积公式计算即可;

(2)根据线面平行的判定进行证明；

（3）根据面面平行的的判定进行证明.

1119

【详解】（1）显然MDJ■平面A5C,=-XMDXS=-xlx-x2x2=-.

Ci

二AB：

设ACBD=O,连接ON,

，在正方体中，四边形ABCD是正方形，是8。中点，

M是。2的中点，

BD]0平面AMC,OMU平面AMC,

BR'平面AMC；

（3）QN为CG的中点，M为D?的中点，

:.CN//DxM,:.CN=DtM,

..四边形CN2M为平行四边形，，D.N//CM,

又.MCu平面AMC,2"0平面4"。,.・.。“・平面AMC,

由（2）知22平面AMC,.BDcD\N=Di，BDiU平面BND、,RNu平面BND,,

「•平面y平面3A0.

18.（2023春•四川宜宾•高一校考期末）如图，四棱锥P-ABCD中,如，底面ABCD,底面A3CD为菱形，点F

为侧棱尸C上一点.

P

AB

⑴若尸尸=FC,求证：E4〃平面应加'；

（2）^BF±PC,求证：平面比阴，平面P3C.

【答案】⑴证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）AC,3。的交点为。，连接O尸，由菱形及中位线性质有BV/5,再由线面平行的判定可证结论;

（2）由题意及线面垂直的性质有3。_LAC、BD±PA,再由线面垂直的判定和性质得3。_LPC,最后根据线面垂

直、面面垂直的判定证结论.

【详解】（1）设AC,8。的交点为。，连接OF,

因为底面ABC。为菱形，且。为AC中点，PF=FC,

所以BW/OF,又PAa平面以>，0/<=平面尸，

故R4〃平面3DF.

（2）因为底面ABCD为菱形，所以3。，AC,

因为P4_L平面45cD,BDu平面ABCD,所以BD_LR4,

XACr?PA=A,AC<PAu平面尸AC,

所以平面PAC,又PCu平面PAC,

所以BD工PC,又BFLPC,BD\BF=B,BD,3尸u平面3£（尸,

所以PC_L平面3£>F,又尸Cu平面尸BC,故平面皮）F_L平面尸BC.

题型七：线面的垂直和性质

19.（2023春•江苏苏州•高一统考期末）如图，在直三棱柱ABC-A片G中，AG=AG，44+用4=48；,

\B}=2A,A,M为棱A片的中点.

（1）求证：平面CW_L平面BGM；

（2）若AG=2,求点以到平面ABC,的距离.

【答案】（1）证明见解析；

⑵点M到平面ABC,的距离为1.

【分析】（1）先证明平面AABBi，可得GM，AM，再证明可得401平面以；〃，根据面面

垂直判定定理证明结论；

（2）由（1）中的证明过程可匕一BCm=%.ABM=gsABMxGM=；x；xAMx3MxGM,计算数据代入即可.

【详解】（1）因为ABC-4与C为直三棱柱，所以AAL平面ABC-

又GMU平面ABG,所以AA^GM.

因为加为棱A4的中点，AG=AG，所以

因为AAu平面AABB],A#u平面AABB],4耳=4，

所以C幽，平面AAB%

又AMu平面AABBj,所以GM

因为M为棱A耳的中点，所以AA=；ABI=AM.

又AA，AM，所以NAK4=45,同理NBIMB=45,所以

因为GMu平面BCM，平面BGM，3MBM=M,

所以AM1平面BGM，AMu平面C4M,

所以平面CW_L平面BGM；

B

(2)因为A£=B1G=2,ac：+4c；=A氏，AA=：A与，

所以A4=20,=

所以AM=3M=JAT+A/=2.

由(1)知GM_L平面

iiii,Fy

所以％一明"=%一."=耳5.加，。/=3,5,4〃,府、6知=%，2'2，血=寸，

即三棱锥A-8GM的体积为冥1.

3

因为CG_LAC,CC,_LCB,AC=CB=2，M=0，

所以AC]=3Ci=&,又AB=26.，

取AB的中点为E,则C]E_LA8,所以C1E=2,

所以SABG=gx20x2=20，

设点M到平面ABC1的距离为d,

则』x20xd=逑，

33

所以d=l.

20.（2023春•河南•高一校联考期末）如图，三棱柱4BC-4瓦£中，，A网为等边三角形，AB=BC=2,CA=CB,,

CA±CB「

（1）证明：平面。4月_1平面43月4；

（2）求直线BB｝和平面A4G所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

*

【分析】（1）连接BA交A用于o,连接CO,证明CO，60可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证;

（2）利用等体积法求出点耳到平面ABC的距离d，再由线面角公式sinO=4求解即可.

DDy

【详解】（1）连接BA交A用于。，连接CO,如图，

因为A2瓦为等边三角形，所以A4t瓦为等边三角形，四边形ABBA是菱形,

所以4月1.42,又C4=0,CALCBlt。是A片的中点,

所以COJLA用且CO=：A4，

所以AB[=AB=2,BO=-\/3,

在，3OC中，CO?+8。2=12+(6了=22=2。2,所以CO_L3O,

又BOABy=O,BO,Aqu平面ABB^,

所以CO,平面又COU平面CABI,

所以平面CAA，平面AB瓦A；

(2)设见到平面ABC的距离为d,

ABr-

因为ABC中，AB=BC=2,AC=~^-=y/2,

V2

所以sABC=-AC-

2CO=1,

又SABB1=—X2=V3,

4

所以由《-ABC=%-A即，可得丁心△.=；CO*S^ABB、'

_s△.乌V32y/21

即工;也一7

设直线BB］和平面A3C所成角为e,

2后

则sin—=，一旦

BB]27

因为平面ABC〃平面MG，所以求直线即和平面A4C所成角的正弦值为早.

21.(2023春•福建南平•高一校考期末)如图所示，已知在三棱锥A-3PC中，APLPC,AC±BC,/W为AB的中

点，。为尸3的中点，且△PMB为正三角形.

(0)求证：。暇〃平面APC；

（0）求证：平面ABC1平面APC；

（E）若BC=4,AB=20,求三棱锥D—3CM的体积.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）10百

【解析】⑴先证可证DM//平面APC.

（2）先证AP1平面PBC,得"，3C,结合AC，3c可证得3C1平面APC.

⑶等积转换，由力-BCM=VM-DBC，可求得体积.

【详解】证明：因为“为的中点，。为PB的中点，

所以是./IBP的中位线，MDPAP.

又MDE平面APC,APu平面APC,

所以尸平面APC.

（2）证明：因为为正三角形，。为P3的中点，所以ME>_LM.

又MDPAP,所以AP_LPB.

又因为APLPC,PBPC=P,所以AP工平面PBC.

因为3Cu平面P5C,所以

又因为3CLAC,ACryAP^A,

所以平面APC.

⑶因为AP/平面尸3C,MDPAP,

所以MD_L平面P3C,即是三棱锥M-DBC的高.

因为AB=20,M为A3的中点，△尸MB为正三角形，

所以PB=MB=10,MD=4MB=56

由平面APC,可得BC_LPC,

在直角三角形PCS中，由尸3=10,BC=4,可得尸C=2历.

于