高考数学重难点复习：三角函数性质图像和三角恒等式变换 高频考点突破（学生版）

第03讲：三角函数性质图像和三角恒等式变换高频考点突破

【考点梳理】

考点一：任意角的三角函数的定义

设a是一个任意角，aGR,它的终边OP与单位圆相交于点/尤，y),

点尸的纵坐标2叫做a的正弦函数，记作sina,即sina=1；点尸的横坐标工叫做a的余弦函数，记作cosa,即

cosa=x；把点尸的纵坐标与横坐标的比值即U做a的正切，记作tana,即tana=*xW0).

正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为:

正弦函数〉=5指尤，尤GR；

余弦函数＞=85》，xGR;

正切函数＞=1211%,

考点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

1.图示：

()

tana

2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.

考点三：公式一

sin(a+2E)=sina,cos(a+2fat)=cosa,tan(a+2lat)—tana,

其中左GZ.终边相同的角的同一三角函数的值相笠.

考点四：同角三角函数的基本关系

1.平方关系：同一个角a的正弦、余弦的平方和等于』，即si/a+cos2a=1.

2.商数关系：同一个角a的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即*=tana其中aWkn+%kGZ).

V/Uo(X乙

考点五：同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.(2)商数关系:：?；=tana.

CA

考点六：六组诱导公式

组数—二三四五六

71

角兀+a

+a-aTi—a2~a2

正弦sina—sina—sinasinaCOS。cosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana—tana—tana

函数名zE变函数名改变

口诀

符号看营邺艮符号看象限

技巧归纳：

1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.

2.同角三角函数基本关系式的常用变形：

(sina±cosa)2=l±2sinacosa；(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2；(sina+cosa)2—(sin«­cosa)2=4sinacosa.

考点七.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数y=sin%y=cosxy=tanx

P'i

1yy

图象

W|cKi/xt\l0：「lA-

兀

{小£R且

定义域RR

Z£Z}

值域LL11LL11R

在Lg+2E,］+

在［一兀+2依，

2fai］/£Z)上递增；2依］(%£Z)上递增；在(一叁+左兀，

单调性

在［2依，n+

在［］+2祈，爹+fai)(Z£Z)上递增

2依］(左£Z)上递减

2版］(AGZ)上递减

1T

当％=1+2左兀(左£2)时，

当x=2E/ez)时，

>max=1；Jmax=1；

最值

IT当工=兀+2左兀(左£Z)

当x=i/+2kMk£Z)

时，>min=-1

时，Jmin=-1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

TT

对称中心(析，0)()tez)仿+配,0)(kZ)(y,0)(^GZ)

兀

对称轴方程%=E(左£Z)

周期2兀2兀71

考点八.函数y=sinx的图象经变换得到j=Asin(wx+^)(A>0,。>0)的图象的步骤如下:

步

骤

画出y=sinx的图象-T画出y=sinx的图象|

横坐标变为原来的2倍

向左（右）平移里个单位长度步

骤-T得到y=sinjx的图象|

得到y=sin（x+<p）的图象

横坐标变为原来的2倍向左（右）平移居|个单位长度

得到y=sin(tox+<p)的图象~卜得到y=sin（sj+（p）的图象一|

纵坐标变为原来的A倍步纵坐标变为原来的A倍

得至lj）,=Asin（sx+（p）的图象卜—骤-得到y=Asin（3%+（p）的图象|

考点九两角和与差的余弦公式

名称简记符号公式使用条件

两角差的余弦公式C(a-£)cos(a一夕)=cosacos尸+sinotsinpa,££R

两角和的余弦公式C(a+.)cos(a+S)=cosacos夕一sinasin0a,£GR

考点十两角和与差的正弦公式

名称简记符号公式使用条件

两角和的正弦S(a+.)sin(a+A)=sinacos£+cosasinPa,看R

两角差的正弦S(a-.)sin(a-£)=sinacos4一cosasinBa,££R

考点十一;两角和与差的正切公式

名称公式简记符号条件

tana+tanBTT

两角和的正切a,B，Z)

tan(ap)tanatan/3

tana—tan§兀

两角差的正切T(a-£)a,B，a—QWZ兀+](%£Z)

tan(a夕)1-ptanatanP

考点十二：二倍角的正弦、余弦、正切公式

考点十三半角公式

a/1—cosaa/1+cosaa/1—cosasina1—cosa

sin亍±7「~，cos，tan2=t\T+^=T+^=^T-

考点十四辅助角公式

辅助角公式：asinx+6cosx="\/^PPsin（x+0）.（其中tan

【题型梳理】

题型一：同角三角函数的基本关系

1.（2023秋•云南红河•高一统考期末）已知tana=2,则任4二主£4=（）

sma+cosa

51

A.-7B.—C.—D.5

33

2sina-cosa/、

2.（2023秋•安徽马鞍山•高一统考期末）若tan（a-兀）=2,则=（）

sina+cosa

A.5B.0C.-4D.1

3.（2023秋・海南•高一海南华侨中学校考期末）若6e,且¥两足tan6+=6,贝！Jsine+cos8=（

tan。

A.空B.±-C.立D-1

333

题型二：三角函数的诱导公式

4.（2023秋•山西运城•高一统考期末）已知。为第二象限角，且cos（。-兀）=竿，则

1+cos61-cos。

一•（71A）.,,■（n3兀）的值是（）

11

A.-4B.4C.-D.—

44

sin——acos（-a）tan（兀-a）

5.（2023秋•云南红河•高一统考期末）已知戊,〃为锐角,且———；----------

COS（兀+2）

⑴化简〃。）；

（2）若/（a）=2^,sin（a-/）=；,求cos夕的值.

满足4sin（202271一a）=3cos（2021兀+a）,且cosf=#，

6.（2023秋•河北邯郸•高一校考期末）已知第三象限角。

为第三象限角，求下列各式的值.

sin-a)+3sin+a

⑴求')12J的值;

4sin(兀+a)+cos(-a)

(2)求8s(6-a)的值.

题型三：三角形的图像和性质

7.（2023春,四川成都•高一成都外国语学校校考期末）函数y=Asin（s+0）（A＞0）的一个周期内的图象如图所示,

下列结论错误的是（）

B.函数/（x）的最小正周期是n

C.函数“X）的最大值是2

D.函数〃x）的一个对称中心是，,0

8.（2023秋•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知函数/（x）=Asin（0x+0）（A＞0,。＞0,

-兀＜。＜0）的部分图象如图所示，下列说法中错误的是（）

A.函数〃尤）的图象关于点「至,0J对称

11JT

B.函数的图象关于直线彳=-曹对称

JTJT

C.函数“X）在上单调递增

D.函数在0,1的取值范围为卜有，百]

9.(2023秋•江苏连云港•高一校考期末)设函数/(x)=cos(&x+°)(是常数，。>0,0<°<|o,若在区间

上具有单调性，且/(一曰一图=一/(野)则函数是的最小正周期是()

713c

A.—B.乃C.—7iD.2兀

22

题型四：函数产Asin(<yx+0)图像的变换和综合性质

10.(2023秋・吉林・高一统考期末)将函数/(x)=2sin，x-g]的图象上所有点向左平移三个单位长度，得到函数

y=g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为()

A.g(x)=-2sin[2x+1]B,g(x)=2sin2x

C.g(x)=2sin12x-：jD.g(x)=-2sin2x

11.(2022・江苏•高一期末)已知函数〃x)=2sin[2x+，，现将y=/⑴的图象向右平移巳个单位，再将所得图象

15元

上各点的横坐标缩短为原来的;倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)在0,—的值域为()

/_24_

A.[-1,2]B.[0,11C.[0,2]D.[-1,右]

12.(2023秋•江苏连云港•高一江苏省海头高级中学校考期末)已知函数7'(x)=cos(8-：，；(0>O),将的

图象上所有点的横坐标缩短为原来的》纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，已知g(x)在[0,可上恰有5个零点,

则。的取值范围是()

题型五：两角和与差的三角函数

13.(2023春•四川成都•高一成都实外校考期末)下列化简不正确的是()

A.cos82°sin520+sin82°cos128°=--B.sinl5°sin30osin75o=-

28

tan480+tan72°n-

C.cos2150-sin215°=—D.----------------------=

21-tan48°tan72°

14.(2023秋•广东•高一校联考期末)已知cosa+cos尸=；,sina-sin〃=：,则cos(a+0的值为(

)

13135959

A.-----B.—C.-----D.—

72727272

15.(2023秋•陕西渭南•高一统考期末)已知"，夕都是锐角,sin(tz-胃=g,cos(«+/?)=-|,则cos(p+(

“-4-12A/3d4-12>/30-12+4君n-12-4^

A.-------D.------------C.-------D.-------

35353535

题型六：二倍角公式的应用

cos26_A/2

（春•江西赣州•高一校联考期末）已知.「八兀、，贝（）

16.2023叫。2Usin29=

33

A.-B.—C.--D.1

4422

婕11sin-+0（l-sin20）

17.（2023秋•安徽芜湖・高一安徽师范大学附属中学校考期末）若tan7+6=—，则12r）_（）

4'sin(兀-8)+cos(兀+。)

313

A.3B.-C.-D.--

555

4i—2cos2夕-1

18.（2022秋•吉林长春•高一东北师大附中校考期末）已知公评㈤，且cos"sin6=-且，则一丁三等于（

42cos（—+0）

4

A.一正

B.--C.yD.—

2222

题型七：降然公式的应用

（\sinOLCL

19.（2022秋•河南商丘•高一商丘市第一高级中学校考期末）若a』0,g,方—=tang,贝l］tantz=（）

V2）V3+1-COS6Z2

A.立B.C.立D.逅

432

20.（2021秋•湖北荆州•高一沙市中学校考期末）已知函数/（彳）=回113初2+君5皿8）3（8）（。＞。）在［。,同上有

且只有四个零点，则实数。的取值范围是（）

B.(|,2)[|,2)D.(1>2]

A.,2]C.

（春・河南南阳•高一校联考期末）化简

21.20224sm24cos24+tan12°=()

cos12

A.1B.V2C.也

题型八：三角函数恒等式变换

22.（2023春•河南焦作,高一统考期末）已知函数/（尤）=有下述三个结论:

①“X）的最小正周期是兀；

②“X）在区间］，3上不单调；

③将/（无）图象上的所有点向右平移工个单位长度后，得到函数g（x）=1cos2x的图象.

122

其中所有正确结论的编号是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

23.(2022春・湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考期末)已知sina-cosa=^,0WaW"』l」sin12a-m=

A46-33-4"3+46

RrD3+4。

101010■10

Videos2sin26)

=Gsin26,则5由26=()

春•陕西榆林•高一校考期末)若

24.(2022cos(£+e

211

A.——C.一D.——

3133

题型九：三角函数的综合应用

25.(2023春•四川成都•高一成都外国语学校校考期末)已知函数〃"=2馍$4也上-皆+).

(1)求〃x)的最小正周期和对称轴方程；

⑵若函数y=/(x)在xe展，||上的值域.

26.(2023秋•浙江杭州•高一杭十四中校考期末)已知函数/(x)=2石sin2[x+：J+2sin2x-G-L

⑴求/(x)的单调递增区间；

(2)若/(%)在(0,”上存在最小值，求实数r的取值范围；

3「冗"|

⑶方程/(》)=;在上的两解分别为王、马,求以》(石-％)的值.

27.(2023秋•云南德宏・高一统考期末)已知函数〃x)=^sintcos：+cos2：.

(1)求/(尤)的单调递减区间及最小正周期；

⑵将函数y=〃x)的图象向右平移g个单位后得到y=g(x)的图象，讨论函数y=g(x)在o,g上的零点个数.

【专题突破】

一、单选题

28.（2023春•浙江宁波•高一慈溪中学校联考期末）在平面直角坐标系宜b中，若角a以x轴的非负半轴为始边，且

终边过点（4,—3）,则cos］

*—的值为（）

3344

A.--B.—C.—D.

5557

29.（2023春•江苏苏州•高一统考期末）已知sin（万'4兀一。卜1有2'则cos|加+扑（

21171721

A.-----B.——C.D.—

25252525

30.（2023春•江苏南通・高一校考期末）已知函数/（%）=5111兀0匹-6（：05718（0>0）在［0,1］内恰有3个最值点和4个

零点，则实数。的取值范围是（）

<10231「1023、「1713、（1713「

A.—B.—C.—D.-

<36J\_36J|_63J［63_

31.（2023春・江西赣州•高一校联考期末）在平面直角坐标系xOy中，a为第四象限角，角。的终边与以10为半径

的圆0交于点若cos（a+1）=|,则%=（）

A.473-3B.3g+4C.373-4D.3百±4

32.（2023秋•江苏盐城・高一盐城市第一中学校联考期末）己知/W=sin生+Q,满足/知=呜］，若函数了⑴

在区间上有且只有三个零点，则。的范围为（）

7兀八11兀7兀八11兀11兀八L11兀八L

A.—<0<——B.—<0<——C.——<6<5兀D.——〈。«5兀

333333

33.（2023秋•河南郑州•高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知当x=。时，函数/（x）=2sinx-cosx取得最小

sin6+cos6

值,则

sincos

111

B.一C.一D.

3355

TT

34.（2023秋•云南德宏・高一统考期末）设函数/a）=cos（x+1）,则下列结论错误的是（）

A.Ax）的一个周期为-2TTB.4j的值为乙1心

C./。+兀）的一个零点为x=£D./（x）在（/兀］上单调递减

35.（2023秋•云南楚雄•高一统考期末）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即

黄金分割值铝，该值恰好等于2smi8）,则下列式子的结果不等于守的是，

)

A.sin10cos8+cos10sin8B.cos40cos32-sin40sin32

C.sin100cos26+cos100sin26D.sin92sin16-cos92cos16

(Tl].I371]

,、1+cosa——sin-----Fcc

36.(2023秋•河北邢台•高一邢台一中校考期末)已知tan兀-?=-2,则-----—M—)=()

12)1一缶osT

A.正B.2A/2C.ID.1

22

37.（2023秋•重庆沙坪坝•高一重庆南开中学校考期末）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一

种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含"吉祥团圆"美好愿景的名画

---《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm,横约95cm,其挂在墙壁上的最低点5离地面194cm.小南身高160cm

（头顶距眼睛的距离为10cm）,为使观赏视角。最大，小南离墙距离S应为（）

A.400cmB.76cmC.94cmD.44A^cm

38.（2023秋•北京•高一清华附中校考期末）已知函数/■（x）=sin"x+cos"x（〃eN*）,则下列说法正确的是（）

①”=1时，/⑺的最大值为加；

②〃=2时，方程=2sinx+1sinx|在［0,2TT］上有且只有三个不等实根；

③“=3时，/⑺为奇函数；

④九=4时，/⑴的最小正周期为］

A.①②B.①③C.②④D.①④

二、多选题

39.（2023春•江西赣州•高一校联考期末）已知某曲线〃力=念亩（8+"）［。＞0,陷＜］］部分图象如图所示，则下

A.(P=—

6

B.一条对称轴方程为

c.y=〃x）在上单调递增

D.y=2cos（2x+0图象可以由y=/（x）图象向左平移:个单位长度得到

40.（2023秋，云南红河•高一统考期末）下列说法正确的是（）

3

C.己知角a的终边过点P（T,3）,则sina=1

D.已知扇形弧长为2,圆心角为60,则该扇形的面积为

71

41.（2023春•江苏盐城・高一江苏省响水中学校考期末）已知函数〃x）=sin（x+：j,则下列说法正确的有（）

A.若|〃孑）-〃9）|=2,则阮-々/=兀

B.将/（X）的图象向左平移;个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C.函数y=sin2（x+：J的最小正周期为2兀

D.若/（妙）（0＞0）在［0,可上有且仅有3个零点，则。的取值范围为

42.（2023春,江苏镇江,高一扬中市第二高级中学校考期末）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数

y=Asin。/,我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数

f（x）=2cos2%+2V3sinxcosx-1,贝I（）

A.函数〃尤）图像的一个对称中心为

B.函数图像的一条对称轴为直线x=

函数/（X）在区间上单调递增

D.将函数/'（X）的图像向左平移9个单位后的图像关于y轴对称

三、填空题

sin（2K-x）tan（it+x）cot（-71-x）

（2023春,上海浦东新•高一统考期末）化简」——f~>二\-

cos（九一x）tan（3兀一x）

44.（2023春,四川成都•高一成都外国语学校校考期末）若将函数/（x）=gsin（2x+9）+Tcos（2x+e）（0<0<万）的

图象向左平移5个单位长度，平移后的图象关于点对称，则。=.

45.（2023秋•山西大同•高一统考期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心。

距离水面的高度为