高考数学重难点复习专练：三角恒等变换八大题型（原卷版）

重难点专题15三角恒等变换八大题型汇总

题型1辅助角公式的运用..........................................................1

题型2辅助角公式与最值..........................................................2

题型3凑角求值..................................................................3

♦类型1诱导公式法..........................................................4

♦类型2拆角................................................................4

题型4分式型凑角求值............................................................5

题型5正切恒等变形..............................................................6

♦类型1正切化简求值........................................................6

♦类型2与其他知识结合......................................................7

题型6正切求角..................................................................8

题型1二倍角公式与升幕降幕......................................................9

题型8正余弦和差积问题.........................................................11

题型1辅助角公式的运用

非特殊角的辅助角应用，虽然可以用公式tanp=/但是处理拔司।题，仅仅简单的用此公

式|是远远不够的，要学会推导过程.知其然知其所以然.并且，深层次应用，不仅仅会"化正

",更要会"化余".

ab

Isina

asina+bcosa二22+耳『

-Ja+b

b

/^coscp—j----sin(p_』----

ab

(Isince(coscpsina+sincpcosa

asina+bcosa=++bZ+不叩=

)=7a2+b2sin(a+q))

【例题1](2023•全国•高三专题练习)用辅助角公式化简:sin；geos”

【变式1-1】1,(2023秋・湖南永州•高三校联考开学考试)已知cosa+gsina=g,则

cos(a-H)=()

【变式1-1】2.(2023秋•广东揭阳•高三校考阶段练习)已知方<"手，f<"°，

且sina+sin£=8(cosa+cos/?),则下列结论一定不正确的是()

A.cos(a—S)=—lB.sin(a—S)=0C.cos(a+£)=—1D,sin(a+0)=-苧

【变式1-1】3.(2023秋•内蒙古包头•高三统考开学考试)函数了(x)=sin2x+cos2x的一

条对称轴是()

A.%=B.%=C.x=fD.x=7

【变式1-114.(2023秋•江西南昌•高三南昌二中校考开学考试)已知f(x)=singx+g

-V3cosgx+^),则/⑴+〃2)+…+f(2023)的值为()

A.2V3B.V3C.1D.0

【变式1-1】5.(2023•全国•高三专题练习)设d为动点P(cose,sin。)到直线x—y—2=0的

距离，贝呦的最大值为()

A.V2-1B.乎C.1+V2D.3

题型2辅助角公式与最值

【例题2](2023•陕西宝鸡统考二模)已知函娄好(x)=2sinx+4cosx在x="处取得最大值,

则coss=()

A.卓B.£C._^D.-等

【变式2-1]1.(2023•河南•校联考模拟预测)若关于x的方程sin2x+2cos2x=-2在[0,n)

内有两个不同的解a,0,贝Llcos(a—°)的值为()

A--fB-TC.2>/5c2V5

"S-'-5"

【变式2-1】2.（2023秋•江西吉安•高三吉安一中校考开学考试）已知0«0,乡，且sin

(a-2/?)+3sina=0,则tana的最大值为()

A.一半B.*A-苧D..

【变式2-1]3.（2023秋•陕西汉中•高三统考阶段练习）已知函娄好（%）=sin%+3cosx,当

/（X）取得最大值时，tanx=

【变式2-1】4.（2023秋福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习）已知函娄好（久）=sins-

KCOS3X（3〉0）,若/⑴的图像在区间（0,TT）上有且只有1个最低点，则实数3的取值范围

为

【变式2-1】4.（2021秋•广西南宁•高三统考阶段练习）已知函数f（x）斗8

(sin2x+4cosx)+2sinx,贝(]f(x)的最大值为()

A.4V3B.

C.6D.5V3+2

【变式2-1】5.（2023秋•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）若函数/（

%）=sinx—V3cosxz%e的值域为[—1,2],贝切—血的取值范围为

题型3凑角求值

♦类型1诱导公式法

【例题3-1】（2023•河南开封•统考三模）已知sin（a+》—cosag,则cos（a+1）=

【变式3-1】1.（2023秋•江苏南通•高三统考开学考试）已知sin（a+。=乎,则sin©-2a）

=（）

A.-乎B.苧C.-1D.|

【变式3-1]2.（2023秋・山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试）已知sin（x+^）=-

则cosg—2x）=（）

【变式3-1】3.（2022秋•新疆巴音郭楞•高三八一中学校考阶段练习）设a为锐角，若cos

（a+段）=今则Sin（a一"）=（）

A.4B.—返C.隼D.—塔

101055

【变式3-1】4.（2023秋•河北•高三校联考阶段练习）已知sin（£—a）=—?，且ae

（0日），则sin僖+2a）=（）

A.—当B.咿C.噂D,-4

9999

♦类型2拆角

【例题3-2]（2023秋•河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知a,夕均为锐

角，且tana=3,sin(a+/?)=-,则cos/?=()

A13国B逗r曳迈D西市13国

•50*10*50.10550

【变式3-2】1.（2022秋•陕西渭南•高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若a/都是锐角,

且cosa=g,sin(cr+/?)=',则cos/?=

A2V5B2V5c2V5^2V5p更成在

A25D,5J25取55取25

【变式3-2】2.（2022•云南・云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知sina=孚，cos

9一口）=半，且0＜a（生，0＜夕＜生，则si叩=（）

A.B.nVio7-Vis口ViQ

蜜35•-35~•-35~

【变式3-2】3.（2022秋•山东日照•高三校考阶段练习）已知a,£6（0爪），tan（a+£）=

¥，cos(6+£)=当，贝[]cos(2a—S)=()

A.~5V93~B,_~^c•~-9~D,~-

题型4分式型凑角求值

sinl00cosl50—cos65°

【例题4】（2021•湖北黄冈•黄冈中学校考一模）求值:

sinl00sinl5°+sin65°

A.-2-V3B.V3—2C.2—y/3D.2+y/3

tan27.5°+l

【变式4-111.（2023•吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）求值

tan27.5°-8sin27.5°+l

【变式4-1】2.（2022•全国•高三专题练习）计算求值:

⑴\计'j_^算-2cosl0°—2V3cos(—100°)的值;

（2）已知a、£均为锐角，sina=巳，cos（a+£）=誓，求sin/7的直

/J.4

【变式4-1】3.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三黑龙江实验中学校考阶段练习)化简求值:

)sin20°-sin40°

cos200-cos40°

,8cos400+sin50°g+6匕20°)

()sin70°Vlcos40°

【变式4-1】4.(2023・全国•高三专题练习)化简：

小____1+sina__________1-sina_____(.

^Vl+coscr—Vl-cosaVl+cosa+Vl-cosaJi

cos(^-g)-tanf(l+cOsg)(0<&<),

Vl-cosa

题型5正切恒等变形

两角和的正切公式的常见四种变形:

T（a+@：

©tana+tan夕=tan（a+£）（1-tanotan劭

②tana+tan£+tanatari/?tan（a+©=tan（a+@;

tana+tanB

@tanatarifi-1-------------------.

tanDa+加

_tan6r+tanB

④1-tanotan0=-----------------;

tanEla+加

Tg-第

①tanaltan/?=tan（a1^（1+tanotan肉;

②tan6r-tan^-tanatarigtan（?©=tan（既£）;

tana—tanp

④tanatanp=tan（a,p）-1

tana—tanp

④1+tanatari|3=tan（a_p）；

♦类型1正切化简求值

【例题5-1】（2023秋・湖北武汉•高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）若ae

且cos2（z+cos管+2a）=_则tan（a—£）=.

【变式5-1】1.（多选）（2023•河南信阳•信阳高中校考模拟预测）已知96（0,20,。为

坐标原点，。终边上有一点M（sin普-cos*sin普+cosR.则（）

A.。=野B.\0M\=V2

1

C.tan。<1D.cos0>-

【变式5-1]2.（2023•全国•高三专题练习）当x=孙时，函娄好（久）=sin久-2cosx取得最

大值，则tan（x（）+苧）=.

【变式5-1]3,（2023春・江西赣州•高三校联考阶段练习）已知角a/e（0,n）,且sin（a+0）

+2cos（a-°）=0,sinasin8+2cosacos°=0,则tan（a+£）=（）

A.1B.|C.|D.-2

【变式5-1】4.（2023・四川成都•校联考二模）在锐角△4BC中，角A,B,C的对边分别

为a,b,c,tan71sinX（tan5tanC-1）=2tanBtanC,sinB>sinC,且bsinB+csinC=masin

A,则实数机的取值范围为.

【变式5-1】5.（2023•全国•高三专题练习）在锐角△口（7中，三内角4B,C的对边分别为a,

b,c,且a=2bsinC,则tan4+tanB+tanC的最小值为（）

A.2B.4C.6D,8

【变式5-1】6.（2023春•上海闵行•高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知△ABC的三个

内角分别为A,B,C,则下列判断正确的是（）

命题p:对任何锐角A,者陆在△4BC,使得cosA+cosB=cosC;

命题q：对任何锐角A,都存在△ABC,使得tan力+tanB=tanC.

A.p是真命题，q是真命题B.p是真命题，q是假命题

C.p是假命题，q是真命题D.p是假命题，q是假命题

♦类型2与其他知识结合

【例题5-2]（2022•全国•高三专题练习）已知等差数列｛册｝中的=d=1,bn=tana,广tan

an+i（neN*）,贝U数歹1|｛勾｝的前n项和％=—.

【变式5-2]1.（2022・上海•高三专题练习）已知正三角形4BC的三个顶点均在抛物线/=

y上，其中一条边所在直线的斜率为近，则△&BC的三个顶点的横坐标之和为.

【变式5-2】2.（2022浙江绍兴•模拟预测）在448。中，内角A,B,C所对的边分别为

a,b,C,已知角A为最小角目tan4,tanB,tanC均为整数，贝！JcosA=,设B<

C,4B的中点为D,则岩=L

【变式5-2]3.（2023•福建厦门•厦门外国语学校校考模拟预测）已知椭圆C的一个焦点为

F,短轴8曲的长为2瓶P,Q为C上异于名,%的两点.设A?%%==0,且tan

(a+S)=-3(tan。+tanS),则△PQ9的周长的最大值为

【变式5-2]4.（2023秋•四J11成都•高三树德中学校考开学考试）已知A、B是椭圆5+g

=l（a>b>0）与双曲图—'=l（a>0,b>0）的公共顶点，P是双曲线上一点，PA,PB

交椭圆于M,N.若MN过椭圆的焦点F,且tan乙4MB=-3,则双曲线的离心率为

题型6正切求角

【例题6】（2023春•陕西西安・高三西安中学校考阶段练习）已知tana、tan/?是方程"+3班

x+4=0的两个根,且见£€（一班）,则a+S等于（）

A红3BD-3

C匹或红D-nt/--

J3-^3"，3^^3

【变式6-1】1.（2023・全国•高三专题练习）已知tan0=/就，tan（a+/?）=f鬻，若

8e（o《），贝蛆=（）

AJLDJI「上nE

r.120-6~4,3

【变式6-1]2.（2020•全国•高三专题练习）已知等差数列｛an｝中，ai+a3=-|,a2+a8

+an=-2，又tan。=a?,tan（S-a）=a7,其中a,。€（0,兀），贝!|2a-S的值为（）

A.—牛或七B.午C.-JD.—午

【变式6-1]3.（20122秋•上海普陀•高三曹杨二中校考期末）在ZMBC中，若6冠-AB=2

AB-BC=3BC-CA,则角4的大小为

A-4BD--3JC—3Du'—4

【变式6-1]4.（2022・湖南•校联考二模）已知在△ABC中，（2BA-3BC）-CB=0,则角

4的最大值为.

【变式6-1】5.（2022秋•江苏常州•高三统考期中）已知人B、C为△ABC的内角，若

+tanB=0,则角C的取值范围为

题型7二倍角公式与升露降幕

1.二倍角公式

2.升累与降幕公式

1+cos2a-1-cos2a

1.降幕公式：cos2cr=------------,,sin2cr=-------------.

22

2.升幕公式：1+cos2a=2cos2«1-cos2a-2sin2a

注意：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6a是3a

的2倍，3a鳄的2倍.这里蕴含着换元思想.这就是说，"倍"是相对而言的，是描述两

个数量之间的关系的.

【例题7]（2022•甘肃临夏统考一模）已知角a终边上一点M的坐标为（-1,2）,则tan2a=

（）

A.-2B.9C.2D.

【变式7-1J1.（2020・北京・高三强基计划）已知zi=sina+2i,z2=1+i-cosa,则壁含誓

IZ1K21

的最小值是（）

A.1B.2C.|D.|

【变式7-1】2.（2023秋•江西抚州•高三黎川县第二中学校考开学考试）已知ee居,9,

则当tan28—tan。取得最大值时，需=.

【变式7-1】3.（2023・四川眉山•仁寿一中校考模拟预测）已知（>112。—12110・852。

=2,贝[jtana=.

【变式7-1】4.（2023秋•四川成都•高三石室中学校考开学考试）已知倾斜角为a的直线?

与直线小:％—2y+3=0垂直，则cos2a=.

【变式7-1]5.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）若函娄好（x）=sin2x

-2cosx,则f（久）的最小值是.

【变式7-1】6.（2023秋•河南•高三校联考阶段练习）在△A8C中，ta吟=3ta除则

扁+磊的最小值为（）

A.4B.2V5C.4V5D.16

题型8正余弦和差积问题

mw”>占

si%±cosa的问题一般通过1.平方法2.换元法进行解决

【例题8】（2023秋•新疆巴音郭楞•高三校考开学考试）已知cosa+cos/?=!,sina—sin。

=一士贝!]cos(2a+20)=()

A.1B.|C.D.-1

【变式8-1】1.（2022春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）已知a为象限角，且满

足sina4-2cosa=sina-cosa

1,则2sin2a—cos2a)

A.-6B.6C.-§D.§

【变式8-1】2.（2022秋•吉林・高三吉林省实验阶段练习）已知亨仁呜-cos乡=手，则

sina的值为

B.C.挈D.—挈

【变式8-1】3.（2022・陕西・校联考模拟预测）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分

为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表

示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成"0-07",478密位写成

"4-78".若（sina—cosa）2=2sinacosa,则角a可取的值用密位制表示错误的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

【变式8-1】4.（2023•河南•校联考模拟预测）已知即cos（a+£）=—*,

tana+tan^=3,贝!]cos（a—/?）=（）

C.ED.

____.______-1Q

【变