高考数学重难点专项复习：导数中函数的构造问题（2大考点+强化训练）（原卷版+解析）

微重点01导数中函数的构造问题(2大考点+强化训练)

©【知识导图】

考向1利用兀V)与X构造

❶考点一：导数型构造函数考向2利用危)与e'构造

★导数中函数的构造问题考向3利用用)与sinX,cosx构造

❷考点二：构造函数比较大小

【考点分析】

考点一：导数型构造函数

考向1利用〃才)与x构造

规律方法(1)出现AF(X)+XFco的形式，构造函数/co=/『(x)；

-Fv

⑵出现才产(X)—7?/1(才)的形式，构造函数尸(X)=---n-.

2")+f>1

【例题1】已知"%)是定义在(。,包)上的增函数，其导函数1(%)满足则下列结论正确

尸⑴

的是()

A.对于任意xe(O,~),f(x)<0B.当且仅当xe(l,+oo),/(x)<0

C.对于任意xe(O,+(»),f(x)>0D.当且仅当f(x)>0

【变式1】(2023•常州模拟)己知f(x)是定义在(-8,o)U(0,+8)上的奇函数，f(x)是f(x)的导函

数，当x〉0时，xf(x)+2f(x)〉0,若/"(2)=0,则不等式Vf(x)>0的解集是.

~Fv

【变式2】已知函数/"(X)的定义域为［0,+8),导函数为一(X),若产(x)<r>L恒成立，贝|J()

x+1

A.f(2)>r(3)B.2/(1)>r(3)

C.f(5)>2/(2)D.3/(5)>f(l)

考向2利用Hx)与e，构造

规律方法(1)出现f(x)+〃f(x)的形式，构造函数网x)=e"f(x)；

fV

⑵出现/(x)—77_f(x)的形式，构造函数尸(x)=--£-.

【例题2】已知定义在R上的函数“X)和g⑺分别满足/⑺=+公-2〃0).x,g《)+2g⑺<0,

则下列不等式恒成立的是()

A.g(2016)</(2)-g(2018)B."2).g(2016)<g(2018)

C.g(2016)>/(2)-g(2018)D.”2).g(2016)>g(2018)

【变式1】函数/Xx)的定义域是R,AO)=2,对任意xGR,f(x)+F(x)>l,则不等式e、f(x)>e*+l的

解集为()

A.{x|x>0}B.{x\XO}

C.{x|x〈一l或x>l}D.{x|K—1或O〈x<l}

【变式2】(2023•黄山模拟)已知定义域为R的函数/"(x),其导函数为f(x),且满足F'(x)—2f(x)〈0,

r(o)=i,贝M)

A.eVC-lXlB./(l)>e2

C.ffj)<eD.f⑴〉ef

考向3利用F(x)与sinx,cosx构造

规律方法函数广(x)与sinx,cosx相结合构造可导函数的几种常见形式

(1)/(x)=f(x)sinx,

F'(x)=Fsinx~\-f{x}cosx；

/\\fX

(2)/(x):———

sinx

xsinx-fxcosx

F'~2；

sinx

(3)F{x)=f{x)cosx,

F'(jr)=f'cosx-f{x}sinx；

fx

⑷尸(x)=

COSX

f'xcosx~\~fxsinx

Fi(x)=一2

COSX

【例题3】(2023•重庆模拟)已知偶函数F(x)的定义域为(一5Ji，yJilA,其导函数为(x),当OWx(万JI时,

(j-jcosX的解集为(

有9(x)cosx+sinx>0成立，则关于x的不等式/'(x)>2/*)

【变式】(2023•成都统考)记函数f(x)的导函数为/(x),若f(x)为奇函数，且当x£(一字0)时恒有

f{x)cosx~\~f'(x)sinx>0成立，贝！J(

考点二：构造函数比较大小

规律方法构造函数比较大小的常见类型

⑴构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；

(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小.

【例题4】(2023上•广东•高三校联考阶段练习)已知/(x)=xe*,g(x)=xlnx.若存在％eR,

七«0,+0)),使得〃M=g(%)=/成立，则下列结论中正确的是()

A.当/>0时，x,x2=tB.当t>0时，elnfVX]%

C.不存在t,使得/'(%)=g'的)成立D./(x)>g(x)+e恒成立,则

【变式1](2023下•辽宁•高二凤城市第一中学校联考期中)下列不等式恒成立的是()

l+x<ex<^-

A.1——<lnx<x-lB.

x1-x

c.Vx+T<—+iD.e”>ln(x+m)(m<2)

2

51

916[--

【变式2](2023-榆林统考)已知a=ln8=In------,c=21n4-

4J'J

9苹4

A.a<c<bB.伏水c

C.a<b<cD.c1丛a

1一些C0S2023

2023

【变式3](2023•咸阳模拟)已知不R，b=e，c=9，贝U()

乙u乙。乙u乙o

A.a>b>cB.U>a>c

C.b>c>a,D.a>c>b

【变式4](2023•山西联考)设d=*，6」；J,0J"/,则()

A.t)>c>aB.a)c

C.a>b>cD.a>c>b

G

【强化训练】

一、单选题

1.定义在R上的函数73和g(x)满足〃动=4。工-+元2-2〃0)X,且g«)+2g(x)<。,则下列不等

式成立的是()

A./(2)g(2021)<g(2023)B./(2)g(2021)>g(2023)

C.g(2021)<f(2)g(2023)D.g(2O21)>/(2)g(2023)

2.(2022上•广东佛山•高三统考期末)设函数的导函数是广⑺，且〃力"'(幼>彳恒成立，则

()

A./(D</(-l)B./(l)>f(-DC.l/(l)Klf(-DID.|/(1)|>|/(-1)1

3.已知定义在R上的函数/(x)和g(x)分别满/(%)=孚-e2-2+X2-2/(O).X,且g'(x)-2g(x)<0则下

列不等式成立的是

A./(2)-/(2015)<g(2017)B./(2)-g(2015)>g(2017)

C.g(2015)</(2).g(2017)D.g(2015)>/(2).g(2017)

4.设函数/⑺的导函数为，(x),对任意都有/。)>/(尤)成立，贝U

A.2O18/(ln2017)>20177(In2018)B.2018/(ln2017)<2017/(ln2018)

C.2018/(2017)>2017/(2018)D.2018/(2017)<2017/(2018)

5.定义在R上的函数〃尤)的图象是连续不断的曲线，且/a)=〃r)e2x,当x>0时，_f(x)>/(x)恒成

立，则下列判断一定正确的是()

A.«5〃2)</(-3)B.〃2)<打(-3)

C.e5/(-2)>/(3)D./(-2)<e5/(3)

6.已知定义在R上的函数Ax)的导函数为/'(x),且对任意xeR都有/'(无)>2,f(l)=3,则不等式

/(》)一2x—l>0的解集为

A.(』1)B.(1,+oo)C.(0,+oo)D.(-oo,0)

7.（2023上•上海徐汇•高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R上的函数y=/（x）,其导函数

y=/'（x）满足：对任意xeR都有/（力</（耳，则下列各式恒成立的是（）

A./(l)<e-/(0),/(2023)<e2023-/(0)B.f(l)>e-f(0),/(2023)>e2023./(0)

C./(l)>e-/(O),/(2023)<e2023./(0)D./(l)<e./(O),/(2023)>e2023./(O)

8.(2023•汉中模拟)已知函数/1(x)是定义在R上的函数，且满足F(x)+f(x)>0,其中F(x)为F(x)的

导数，设a=F(O),Z?=3/(ln3),c=e/>⑴，则a,b,c的大小关系是()

A.c>b>aB.a>b>c

C.c>a>bD.U>c)a

9.(2023•广州模拟)已知函数F(x)的定义域为(0,+8),其导函数为产(x),若x/(x)—1<0,f(e)=

2,则关于x的不等式/•(g<x+l的解集为()

A.(0,1)B.(0,e)

C.(1,+°°)D.(e,+°°)

10.(2023•南充模拟)设定义在R上的函数J=丹才)满足任意x£R,都有Hx+4)=F(x),且当(0,4]

时，xf(x)>f(x),则广(2021),---------,----------的大小关系是()

/、F2022f2023f2022___,f2023

A.021；\2、3卜，2\i\L3

/2023f2022z、f2023f2022

G3\2021)D.32

11.(2023•新余模拟)已知d=In1.1,6=/pc=,0.1,

则（)

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a）b

二、多选题

12.（2023•浙江•二模）已知%>0时，（e”一改一人一。）（女+人一lnx）NO,贝1J（）

A.当c<2时，〃+ln〃>cB.当c<2时，〃+ln〃>2c-3

C.当c>3时，a+lna<cD.当c>3时，a+lna<2c—3

13.（2023•云南•统考模拟预测）函数/（*）=叱，则下列说法正确的是（）

X

A.〃3）>/（4）B.In兀>、R

2

C.若2工=5了，x、y均为正数，则2元>5yD.若/（幻=机有两个不相等的实根玉、x2,则为马〉©

14.（2024上•云南昆明•高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数的定义域是R,尸⑺是〃x）

的导函数，若对任意的xeR,都有#'（x）+/（x）＞#（x）,则下列结论正确的是（）

A./(1)>0B.W⑴<2/(2)

C./(ln2)</(21n2)D.当x<0时，eV(x)-2/(2x)>0

15.已知偶函数y=〃x）对于任意的xe0,［满足了'（x）cos尤+〃£）sinx＞。（其中尸⑺是函数〃x）的

导函数），则下列不等式中不成立的是（）

16.（2022上•安徽•高三校联考阶段练习）已知函数〃x）,尸（x）是其导函数,y呜,

COSXsin%=In%恒成立，贝|(

17.（2023•吉林省实验校考模拟）已知a=sin0.9,6=0.9,c=cos0.9,则a,b,c的大小关系是

微重点01导数中函数的构造问题(2大考点+强化训练)

【知识导图】

考向1利用兀V)与X构造

❶考点一：导数型构造函数考向2利用/(x)与e'构造

★导数中函数的构造问题考向3利用，段)与sinx,cosx构造

❷考点二：构造函数比较大小

LJ

【考点分析】

考点一：导数型构造函数

考向1利用Hx)与X构造

规律方法(1)出现〃(x)的形式，构造函数b(x)=/f(x)；

fV

⑵出现腐(X)—Af(x)的形式，构造函数户(x)=——.

2#（司+/1

【例题1】已知无)是定义在(o,包)上的增函数，其导函数尸(X)满足则下列结论正确

广⑴

的是()

A.对于任意尤e(0,+(»),/(x)<0B.当且仅当xe(l,+x)),f(x)<0

C.对于任意xe(O,"),/(x)>0D.当且仅当xe(l,+°o),/(x)>0

【答案】C

【分析】由题意得了'(x)20及亳当+1>1可得坷(尤)+(/_1)/，(尤)>o,构造函数

g(x)=(x2-l)/(x),可得g(元)是定义在(0,+®)上的增函数，又g(l)=o,可证得xe(o,l)和xe(l,+8)和

了=1时都有〃力>0,进而得到结论.

【详解】因为“X)是定义在(0,”)上的增函数，所以r(x)..O在(0,”)上恒成立,

又2货。)21

又(⑴’

所以24(%)+优一1)((司>0.

令g(X)=(Y-1)/(X),贝l|g，(%)=2V(%)+(*2_])尸(尤)>0,

所以g(x)是定义在(0,y)上的增函数，

又因为g⑴=0,

所以当xe(O,l)时，g(x)=(x2-l)/(x)<g(l)=0,贝i]/(x)>0；

当xe(l,+oo)时，g(x)=(x2-l)/(x)>g(l)=0,则〃x)>0；

当x=l时,由于外力在(0,y)上为增函数，则〃x)>0.

所以对于任意xe(0,4w),/(x)>0.

故选C.

【点睛】本题考查函数单调性的应用，解题的关键是根据题意构造出函数g(",然后根据函数g(x)的单

调性进行分析、判断，属于中档题.

【变式1】(2023•常州模拟)已知f(x)是定义在(-8,0)u(0,+8)上的奇函数，f(x)是/'(x)的导函

数，当x〉0时，xf(x)+2/'(x)〉。，若/"(2)=0,则不等式x?(x)>0的解集是.

【答案】(-2,0)U(2,+8)

【解析】构造函数g(x)=x2f(x),其中f(x)为奇函数且xWO,

则g(—x)=(­X)=—xf{x)=-g(x),

所以函数g(x)为奇函数，

且g⑵=0,g(—2)=—g(2)=0,

当x〉0时，g'(^)=xf'(x)+2xF(x)=x[x/‘(x)+2/(x)]〉0,

所以函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

因为函数g(x)为奇函数，故函数g(x)在(一8,0)上单调递增，

故x2f(x)〉0今g(x)〉O,

当x〈0时，g(x)>0=g(—2),可得一2〈x〈0；

当x>0时，g(x)>0=g(2),可得x>2.

综上所述，不等式ff(x)>0的解集为(-2,0)U(2,+-).

fV

【变式2】已知函数f(x)的定义域为［。，+8),导函数为一⑸若/小―恒成立,贝N)

A.A2)>A3)B.2f⑴>『(3)

C.A5)>2/(2)D.3/(5)>/(1)

【答案】B

fV

【解析】设函数g(x)=:^，x\0，

X十1

fV

因为/x20,

x+1

所以(x+l)/(X)—F(x)<0,

ri,7\x+1f'X-fX

则g(X)=---------~2--------<0,

x+1

所以g(x)在定义域上是减函数，

从而g(l)>g(2)>g(3)>g(5)，

所以4广(2)>3F(3),2/(1)>/(3),2H2)>f(5),3/(1)>/(5).

考向2利用广(x)与e，构造

规律方法(1)出现/7(x)+〃F(x)的形式，构造函数6x)=e"V(x)；

fV

⑵出现F(x)—<x)的形式，构造函数6(x)=——.

e

【例题2】已知定义在R上的函数和g⑺分别满足/(%)=4么21+/-2/(0).x,g0)+2g⑺<。，

则下列不等式恒成立的是()

A.g(2016)</(2)-g(2018)B.”2).g(2016)<g(2018)

C.g(2016)>/(2)-g(2018)D./(2).g(2016)>g(2018)

【答案】C

【分析】外力=半/-2+/-240)7,令x=0,则”0)=3，由((同=/(1〉/-+2》-2/(0),令

22e

X=1可得”0),进而得出广⑴，/(%),/(2),令〃(x)=e2%(x),及其已知g'(x)+2g(x)<0,可得

//(x)=e2[g〈x)+2g(x)]<0,利用函数万(x)在R上单调递减，即可得出答案

【详解】〃力=斗/-2+£一2〃0).

令x=0,贝|〃0)=二国

•••F(x)=r(l).ef2x-2〃o),

令x=i,则r(i)=r(i)+2-2〃o),解得〃o)=i

贝!J/(x)=/£-2x,/(2)=e4

令/z(x)=e2xg(x),>/g1x)+2g(x)V0,

则h'(x)=e2xg'(x)+2e2xg(x)=e2x[gf(x)+2g(x)]<0

函数M%)在R上单调递减，二/z(2016)>/z(2018)

则e?。®2g(2016)Ae205、(2018),可得g(2016)>e4g(2018)

.•.g(2016)>〃2).g(2018)

故选:C

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理

能力与计算能力，属于难题.

【变式1】函数f(x)的定义域是R,/<0)=2,对任意xGR,f(x)+F(x)>l,则不等式f(x)>e，+l的

解集为()

A.{x|x>0}B.{x|x<0}

C.{x|x<—1或x>l}D.{x|K—1或0<x〈l}

【答案】A

【解析】令。(x)=e*f(x)—e。x£R,

则。'(x)=e'_f(x)+QXf'(x)—ex

=ex\_f{x)+f'(x)—1].

又广(入)+/(x)>l,f(x)+fr(x)—1>0,

:•於(x)>0,

・•・O(x)在定义域上是增函数，

不等式e"f(x)>e"+l可化为QXf{x)—ex>l,

又。(0)=e°/(0)—e°=L

原不等式等价于。(x)〉。(0),故x>0,

・,・原不等式的解集为{x|x>0}.

【变式2】(2023・黄山模拟)已知定义域为R的函数Ax),其导函数为尸(x),且满足/(x)—2Hx)<0,

r(o)=i,贝U()

A.e2r(-l)<lB.r(l)>e2

T

C.f<eD.f⑴〉e/

【答案】C

fV

【解析】设g(X)=「7

则g'

f'x~2fx

因为/(x)—2F(x)<0在R上恒成立，

所以g，(x)<0在R上恒成立，

故g(x)是减函数，

所以g(—l)>g(0),

f_]Q

~=e2/(-1)>o=1,故A不正确；

ee

/、/、/1fo

g⑴<g(0),即--2-<---o-,

ee

即/(l)<e2/(0)=e2,故B不正确;

|<g(0)，

ee

即F故C正确;

即g),故D不正确.

考向3利用F(x)与sinx,cosx构造

规律方法函数f(x)与sinx,cosx相结合构造可导函数的几种常见形式

(1)尸(x)=_f(x)sinx,

F(x)=尸sinx+f{x}cosx；

f,xsinx~fxcosx

F'(x)•2

sinx

(3)F(x)=f{x)cosx,

F'{x)=f'{x}cosx—f(^x)sinx；

fx

(4)/(x)=

COSX

xcosx~\~fxsinx

F'2.

COSX

(JI兀、JI

【例题3】(2023•重庆模拟)已知偶函数/U)的定义域为(一万，句,其导函数为尸(X),当OWx〈万时,

(j-jCOSx的解集为(

有/(x)cosx+f{x}sinx〉0成立，则关于x的不等式_f(x)>2_f)

【答案】c

【解析】构造函数g(x)=宗、，一3八吟,

f'Xcosx~fXCOSX

g(X)=-----------------2-

cosX

ffxcosx+fxsinx

—■,

COSX

JI

当OWx〈万时，g/(x)>0,

所以函数g(x)在o,高上单调递增，

因为函数f(x)为偶函数，所以函数次x)也为偶函数,

且函数g(x)在0,3上单调递增，

所以函数g(x)在(一3,0)上单调递减，

(兀JI\

因为一■pyI,所以COSx>0,

关于X的不等式/■(x)>2/图cosx可变为

即g(x)>

cosxn

cos

所以g(x|)>

x1〉年,

则〈

JIJI

一大万,

JIJIJIJI

解得至〈水万或一-5<x<---

【变式】（2023•成都统考）记函数”x）的导函数为/（x）,若Hx）为奇函数，且当x£（一方，0）时恒有

f{x}cosx+f'{x}sinx>0成立，则（）

【解析】令g(x)=_f(x)sinx,则g'(x)=F(x)cosx+f(x)sinx,

当丫£(一弓~,0)时恒有_f(x)cosx+f'(x)sinx>0,所以g'(x)>0,

则g（x）=F（x）sinx在］一~0）上单调递增，

所以J—£■）>{—2）,则一％卜却一半f,勺,即f19〈舟19选项A错误;

则-3卜白）〉一乎f卜高，又f（x）为奇函数，所以—（X）,即f

（g［〈/f仔），选项C错误;

所以小『

选项D错误.

考点二：构造函数比较大小

规律方法构造函数比较大小的常见类型

(1)构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小；

(2)构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小.

【例题4】(2023上•广东•高三校联考阶段练习)已知〃力=*，g(x)=xlnx.若存在％eR,

々€(0,y)，使得〃尤J=g(%)=/成立，则下列结论中正确的是()

A.当/>0时，XjX2=tB.当/>0时，eln/4玉龙2

C.不存在f,使得了'a)=g'(X2)成立D./(x)>g(x)+〃zr恒成立，则MW2

【答案】AB

【分析】A选项，转化同构形式玉炉=X21nx2=ln%e^,根据函数/(x)=xe，在(0,+“)上单调，可得

%=ln4,即B选项，转化为研究函数?的最小值问题即可；C选项，特值验证，找到才

满足条件即可；D选项，不等式变形、分离参数，转化为机<e，-Inx恒成立问题，构造函数研究最值即

可.

In%2

【详解】选项A,(5)=g(%)=，••/=无声=x2ln%=Inx2e>0,

则玉>0,%2>°，ln%2>0，且才=/(再)=/(In%)>0,

由=得/⑴=e*(x+l),

当x>0时，f^x)>0,则〃x)在(0,+力上递增，

所以当/>0时，/(》)=:有唯一解，故国=ln%,

:.xix1=x,\nx1=t,故A正确;

\ntkit八、

选项B,由A正确，得---=二-。z>。),

xxx2t

设就。=?，贝!]“(/)=—£,

令0'(r)=。，解得/=e

易知0(。在(o,e]上单调递增，在[e,+co)上单调递减，

..,.1Inr1

.•.00)«"(e)=—,---(一，.,.ehWWXi/，故B正确;

e再-^2e

选项3由尸(x)=e*(x+l),gr(x)=lnx+l=0,

得/(-!)=g'[J=0,又验证知〃-1)=g[J=-：，

故存在/=-1,使得尸(T)=g[g]=O,C错误；

选项D,由％>0,〃x)>g(x)+mr恒成立，即e-lnx>加恒成立，

令r(x)=e"—lnx,则/(x)=ex-—,

由r'(x)在(0,+8)上递增，又/(3)=五一2<0,/(l)=e-l>0,

存在尤0,使/(毛)=0,

”(x)在(0,飞)上递减，在(%,内))上递增(其中%满足1。=’,即尤0=-111%).

/

r(x]>r(x0)=-lnx0=—+x0>2,

xo

要使w?<e*-lnx恒成立，存在2<根<厂(无0)满足题意，故D错误.

故选：AB.

【点睛】方法点睛：在应用导数研究函数的综合题型中，在题干条件中同时出现指数函数和对数函数，通

常可以考虑借助募函数作为桥梁，通过变形转化为相同结构的式子，再构造函数研究问题，即指对同构思

想的应用.

【变式11(2023下•辽宁•高二凤城市第一中学校联考期中)下列不等式恒成立的是()

A.l-^-<lnx<x-lB.l+x<ex<-^―

x1-x

C.J无+1<,+1D.ex>ln(x+??7)(/72<2)

【答案】AD

【分析】A选项，构造函数/⑴=lnx+[-l,%>0及/z(x)=lnx-x+l,x>0,由导函数得到其单调性，

证明出结论；BC选项，可举出反例；D选项，放缩后，只需证明e'-ln(x+2)N。，构造

4x)=e-ln(x+2),x>-2,由隐零点结合基本不等式证明出结论.

【详角军】A选项，令/(x)=lnx+g—1,x>0,

11_i

==r当0<x<l时，r(x)<0,当x>l时，/^x)>0,

故〃无)=lnx+』-l在(0,1)上单调递减，在(1,+cc)上单调递增，

X

故⑴=0,

令/z(x)=lnx-x+1,x>0,

//(x)=—1=----,当Ov尤vl时，/zr(x)>0,当x>l时，/ir(x)<0,

故/z(x)=lnx-x+1在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故M%)4Mi)=o,

Sil--<lnx<x-l,A正确；

x

B选项,w(x)=l+x-ex,则1(尤)=1一e"当％<0时，vt/(%)>0,

当%>0时，3(x)<0,

故w(x)=l+x-炉在(-”,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

故w(x)<w(o)=0,

当％=2时，e2>---,故不满足e'<---,B错误；

1-21-x

C选项，令夕(x'uJx+l-'—l，xN—1,

'(\-1-i一qti

n“(r)一寸有一二瓦后r，

当xe[-l,0)时，0(x)>0,当xe(0,+oo)时，q'(x)<0,

故以比)=而I在xe[-1,0)上单调递增,在xe(0,y)上单调递减,

故4(龙)44(0)=0,当且仅当x=0时，等号成立，C错误；

D选项，由题意得e*—ln(x+zn)Ne*—ln(x+2),

令(x)=e，-ln(x+2),x>-2,

t'(x)=ex---,令a(无)=/，(x)=e，--—,则/(x)=e'+】？恒成立,

''x+2''''x+2(尤+2)

故"(元)=t'(x)=e"-+在(-2,+s)上单调递增，

因为f(o)=l-1=|>o,

所以存在x°e(—1,0)使得/(X。)=0,即e%=六，

当犬£（o,玉））时,t（x）＜0,当J«%,+00）时,f（x）＞0,

故《力=匕"-111（%+2）在%£（0,%0）上单调递减，在兀£（%,+00）上单调递增,

号+%=、+("2)-222^^22)-2=°，

又f(x())=e殉-ln(%+2)=

当且仅当出『+2时，即寸-1时，等号成立,

又不e（—1,0）,故等号取不到，所以e-ln（x+2）＞0,

故e*>ln(x+m)(mW2),ev>In(+zn)(m<2),D正确.

故选：AD

【点睛】隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区

间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替

换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.

51

916--

【变式2]（2023•榆林统考）已知石=In-r，b=ln---,c=21n4-4

4y/e9苹

A.a<c<bB.Ma<c

C.a〈b〈cD.c<Ka

【答案】D

31

a---

【解析】a=In22

构造函数f\x）=21n（x+l）—x（0〈x〈l）,

LI,/、21—x

则/（x）=——1=工，

x十1,v+1

当0〈x〈l时，（x）＞0,『（x）在（0,1）上单调递增，

所以f（jj＜r（；）〈『曲所以所以a.

]

1-些C0S2023

2023

【变式3】（2023•咸阳模拟）已知3=7-^-,b=e,c=9住，则（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【解析】设/■（析=设-x—1,

所以F（x）=e、-1,

令f（x）〈Onx〈O,令f（x）〉00x>0,

所以函数/'（x）在（-8,0）上单调递减，在（0,十8）上单调递增,

则f(a2f(0)=0,即e'—x—120,得e*2x+l.

2022

「…，屐砺、2022-1”，、

所以b—>一o八9。+]—9MQQ—a,即抗a：

乙U乙J乙UZJO

<1?

X0<cos2023

]

、C0S20231

所以c=—2023—<2023=a,

即a>c,所以b>a>c.

【变式4】（2。23.山西联考）设a《，仁号―-丹亚,则（）

A.b>c>a,B.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

答案D

1Ine

解析易知a—。-

2e一2e'

In兀lrr^3_ln3

3=2兀，。=3=2X3'

A/、Inx.、

1-Inx

则/(x)

2x5

f'(x)<0=>x>e,

所以F(x)在(e,+8)上单调递减,

又因为e<3<n,

所以f(e)>f⑶>f(兀)，即a>c>b.

【强化训练】

一、单选题

1.定义在R上的函数和g(x)满足〃口=，/，-2+/-2〃o)x,且g'(x)+2g(x)<0,则下列不等

式成立的是()

A./(2)g(2021)<g(2023)B./(2)g(2021)>g(2023)

C.g(2021)<f(2)g(2023)D.g(2021)>/(2)g(2023)

【答案】D

【分析】先由导数得出/(。)=1,代入解析式解得广⑴=2e?,从而得出*2)=e4,由g，(x)+2g(x)<0得出

尸(x)=e2*.g(x)在R上单调递减，利用尸(2015)>F(2017)得出答案.

【详解】r(x)=〃l)e2f+2X-2〃0),贝⑴=/⑴+2-2/(0),

解得〃0)=1,由/(O)=^e-2+O2-2/(O)xO

得出广(l)=2e2,故〃x)=e2，+x2-2x,则〃2)=e~

因为e2'g'(x)+2e2xg(尤)=e2x[g,(x)+2g(x)]<0,

所以函数户(力=/超(耳在R上单调递减，

故产(2021)>F(2023),e4042g(2021)>e4046g(2023),

即g(2021)>e4g(2023),故g(2021)>f(2)g(2023).

故选：D

【点睛】本题考查函数不等式正误的判断，解题时要结合题中不等式构造新函数，利用单调性来进行判

断，难点在于构造新函数，考查分析问题与解决问题的能力，属于难题.

2.(2022上•广东佛山•高三统考期末)设函数的导函数是广⑺，且/(x)"'(x)>x恒成立，则

()

A./(1)</(-1)B./(I)>/(-I)C.|/(1)|<|/(-1)|D.l/(DI>lf(-DI

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=苴产("-/],利用导函数研究其单调性，求出结果.

【详解】设g(x)=苴/(x)-尤2],贝玲，(力=苴2〃司尸")一2月="力广(“一》〉。恒成立，所以

g(x)=g[r(xT]单调递增,故g(i)>g(T,即苴/⑴解得：

/2(1)>/2(-1),即I/⑴>1/(—1)I.

故选：D

222

3.已知定义在R上的函数/⑺和g(x)分别满/(x)=，.e-+x-2/(O).x,且g'(x)-2g(x)<0则下

列不等式成立的是

A./(2)-/(2015)<g(2017)B./(2).g(2015)>g(2017)

C.g(2015)</(2)-g(2017)D.g(2015)>/(2).g(2017)

【答案】B

【分析】求出函数/(x)的导数，根据，设〃x)=e2，+x2-2x,设产(可=用，根据函数的单调性判断即

可.

【详解】因为fe2—+x2_2f(0).x,所以广(0=八1尸+2A2〃0),

则/'⑴=/(1)+2-2/(0),即/(0)=1,

将〃0)=1代入/(》)=*-/2+/-2/(0)J，可得：r(l)=2e2,

所以f(x)=e"+x2-2x,设尸(x)=与，

贝lja(x)=g'(X)e"-2g"甘工=g。)-2g(力

、I'e4xe2x

由于e">0,g'(x)-2g(x)<0,所以尸'(x)<0恒成立，

所以户(x)单调递减,所以网2015)>尸(2017),/(2)=e4,

故有5T驾2,即Pg(2015)>g(2017),

ee

因此(2015)>g(2017)

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：(1)条件含有f(x)+r(x),就

构造g(x)=e"(x),⑵若〃x)-7'(x),就构造g("=竽，⑶2〃x)+If(x),就构造

g(x)=e?"(x),⑷2〃x)-r(x)就构造g(x)=4，，等便于给出导数时联想构造函数.

e

4.设函数/(x)的导函数为f(x),对任意xeR都有/(尤)>/'(》)成立，则

A.2018/(ln2017)>2017/(ln2018)B.2018/(ln2017)<2017/(ln2018)

C.2018/(2017)>2017/(2018)D.2018/(2017)<2017/(2018)

【答案】A

【分析】由已知，令g(x)=§,借助导数判断函数g⑺的单调性，然后根据丹普>写萼整

理即可做出判断.

【详解】由已知，函数/⑺的导函数为，(X),对任意xeR都有〃尤)>/(x)成立，

令g(x)=—g，(x)=T/⑺<0,所以g(x)在R上单调递减，

muri/i/(In2017)/(In2018)

因此g(ln2017)>g