高考数学重难点专项复习：等差数列、等比数列（3大考点+强化训练）原卷版+解析

第08讲等差数列、等比数列(3大考点+强化训练)

［考情分析］1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列

求和及综合应用是高考考查的重点.

知识导图

❶考点一：等差数列、等比数列的基本运算

★等差数列、等比数列❷考点二：等差数列、等比数列的性质

考点三二等差数列、等比数列的判断与证明

考点分类讲解

考点一：等差数列、等比数列的基本运算

等差数列、等比数列的基本公式(neN*)

⑴等差数列的通项公式：a„=ai+(n-l)d,

=

anam+(n—m)d.

⑵等比数列的通项公式：an=aqnT,

—n—m

@n—*Q.

(3)等差数列的求和公式：

nai+ann-1

Sn=2n=nai+d.

(4)等比数列的求和公式：

ai1-qi11ai—aq,

in，qWl,

s0=Ji—qi—q

、nai,q=1.

规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略

⑴抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.

(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为S0=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a。

=p・qi(p,qWO)的形式的数列为等比数列.

⑶由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行

相关计算.

［例1］（23-24高三下•甘肃张掖•阶段练习）已知正项等差数列｛风｝满足=3,4汹=匕，则的5=

)

A.39B.63C.75D.99

,、［4+2,〃=2左一1*

【变式1】（2024•广东深圳•一模）已知数列｛%｝满足卬=々=1，%+2=一”（左eN*）,若S“

为数列｛%｝的前〃项和，则京。=（）

A.624B.625C.626D.650

【变式2］（2024•陕西渭南•模拟预测）已知数列｛4｝满足=。/“+2,若%=；,%=2,则

45=•

【变式3］（2023•全国甲卷）设等比数列设J的各项均为正数,前n项和为权，若a1=l,S5=5S3-4,则S’

等于（）

1565

A.-B.-C.15D.40

oo

【变式4】（2023•安康模拟）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，

七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走

了700里路，则该马第五天行走的里程数约为（）

A.2.76B.5.51

C.11.02D.22.05

【变式5】（2023•河南联考）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春

分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日

影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为（）

A.4.5尺B.3.5尺

C.2.5尺D.1.5尺

【变式6］（2023•石家庄质检）已知数列｛aj为各项均为正数的等比数列,a】=4,S3=84,则logza^a2a3…血

的值为（）

A.70B.72C.74D.76

考点二：等差数列、等比数列的性质

1.通项性质：若m+n=p+q=2k（m,n,p,q,keN*）,则对于等差数列，有aH+akap+aquZak；对于等

比数列，有Hma-nap@q@k.

2.前n项和的性质：

⑴对于等差数列有Sm,s2m-sm,S31n—S-…成等差数列;对于等比数列有Sm,SZM—Sa,S3m-S2m,…成等比数

列（q=-1且m为偶数时除外）.

⑵对于等差数列有82„-1=（2n-l）a„.

规律方法等差数列、等比数列的性质问题的求解策略

（1）抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.

（2）用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.

【例2】（2024•吉林白山•二模）记等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若几=483,a3=12,则｛%｝的公差

为（）

A.5B.6C.7D.8

【变式1］（2024•安徽合肥•一模）数列｛%｝中，a„=an+l+2,%=18,则4+%+…+%（）=（）

A.210B.190C.170D.150

【变式2］（2024•海南•模拟预测）已知等比数列｛4｝的公比为3,出+的=12,则%=（）

A.20B.24C.28D.32

【变式3］（多选）（2023•济宁质检）已知等差数列｛a„｝的前n项和为Sn,且ai>0,a-au〉。，a7a8〈0,则（）

A.数列｛aj是递增数列B.S6>S9

C.当n=7时，Sn最大D.当S〉0时，n的最大值为14

【变式4】（2023•咸阳模拟）已知等差数列｛aj,®｝的前n项和分别为Sn,若（2n+3）S产nT“，则詈等

05

于（）

31911

732525

【变式5］（2023•沧州质检）已知等比数列｛a„｝的前n项和为S„,若S3=2,S6=6,则S24=.

【变式6］（2023•全国乙卷）已知｛aj为等比数列，a2a4a5=a3a6,a9aio=-8,则a?=.

考点三：等差数列、等比数列的判断与证明

等差数列等比数列

3-n+l/

定义法an+i-&!=d一q(qWO)x

Hn

_n—1

通项法an=ai+(n—l)dan=aiq

中项法2an=an-i+an+i(n22)an=an-iHn+i(n22,anWO)

2n

前n项和法Sn=an+bn(a,b为常数)Sn=kq—k(k^O,qWO,1)

证明数列为等差仕匕）数列一般使用定义法.

易错提醒（l）£=a-a0+i（n22,nGN*）是｛aj为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比

数列时，要注意各项不为0.

（2）｛aj为等比数列，可推出a“az,as成等比数列，但如,as成等比数列并不能说明｛4｝为等比数列.

（3）证明｛aj不是等比数列可用特值法.

【例3】（23-24高三下•内蒙古锡林郭勒盟•开学考试）若数列｛4｝的前n项和S“满足S“=/?+w+3,则

A.数列｛%｝为等差数列B.数列｛%｝为递增数列

C.%,为，%为等差数列D.5-2总/,58-56为等差数歹!1

【变式1】（多选）（23-24高三上•贵州安顺•期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球

传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概

率为匕，则

B.数列［匕为等比数列

D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种

【变式2】（23-24高三下•湖南长沙•开学考试）已知数列｛%｝与数列｛〃｝满足下列条件：①qe｛-l,O,l｝,

b1

〃eN*；②"0,〃eN*；③$=（-1"。“-5见+","eN*,记数列｛%｝的前”项积为（.

(1)若4=4=1,a2=0,a3=-l,aA=1,求心；

（2）是否存在q,a2,%，%,使得4，％，4，”成等比数列？若存在，请写出一组%,。2，。3，«4；

若不存在，请说明理由；

（3）若4=1,求几。的最大值.

【变式3](2023•日照模拟)已知数列｛aj满足：a尸人〉0,a同+1=2^.

(1)当入=击时，求数列｛a/中的第10项；

(2)是否存在正数入，使得数列｛aj是等比数列？若存在，求出入值并证明；若不存在，请说明理由.

【变式4】.(2023•青岛质检)已知等差数列｛诙｝的前几项和为公差d手。,S2,S4,乱+4成等差数列，a2,

04,伍成等比数列.

⑴求乱;

(2)记数列｛仇｝的前"项和为心,2瓦f=审，证明：数歹共一不为等比数列，并求｛儿｝的通项公式.

强化训练

一、单选题

(2024•福建厦门•二模)已知正项等差数列｛%｝的公差为d,前〃项和为S“，且

4s3=(4+以,4S4=(%+1)=则”=()

A.1B.2C.3D.4

2.(2024•湖北•二模)己知公差为负数的等差数列｛%｝的前〃项和为S,,若生，%，%是等比数列，则当S.

取最大值时，n=()

A.2或3B.2C.3D.4

3.（2023•四川遂宁•三模）己知数列｛““｝为等比数列，的，%是方程炉-8x+4=0的两个根，设等差数

列｛〃｝的前〃项和为S.,若…5,则怎=（）

A.-18或18B.-18C.18D.2

4.（2024•江苏宿迁•一模）设S,是等比数列｛%｝的前几项和，若S3,Sg,$6成等差数列，％=-2,则%的

值为（）

A.-2B.—~C.—D.1

5.（2024•甘肃•一模）已知数列｛4｝为等差数列，的+%+”6=6,%+。8+%=11，则阳+%+%2=

（）

A.16B.19C.25D.29

6.（2023•陕西咸阳•模拟预测）已知数列｛q｝的前“项和为S“，4=1,%=2,且对于任意〃22,

〃cN*,S.+I+S"T=2（S“+1）恒成立，则（）

A.｛为｝是等差数列B.｛见｝是等比数列

C.S9=81D.几=91

7.（2023•新疆•一模）记5”为数列｛4｝的前〃项和，设甲：｛凡｝为等差数列，乙：2S,l=（al+a„）n（其

中〃eN*）,则下列说法正确的是（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

8.（23-24高三上•北京海淀•阶段练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域

都有应用.斐波那契数列｛”"｝满足q=a2=l,a“=%i+a,_2523,”eN*）.给出下列四个结论：

①存在meN*,使得a.,am+\，〃"?+2成等差数列；

②存在机eN*,使得am,am+i,am+2成等比数列；

③存在常数/，使得对任意〃eN*,都有%,tan+2,%+4成等差数列；

④存在正整数2，…%,S.h<i2<-<im,使得综+纵+…+”=2023.

其中所有正确的个数是（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、多选题

1.（2023•湖北武汉•三模）已知实数数列｛4｝的前n项和为S“，下列说法正确的是（）.

A.若数列｛风｝为等差数列，则q+。3+%=24恒成立

B.若数列｛4,｝为等差数列，则S3,S6-S3,既-用，…为等差数列

7

C.若数列｛%｝为等比数列，且生=7,邑=21,则

D.若数列｛4｝为等比数列，则S3,S6-S3,反-%…为等比数列

2.（2024•海南海口•模拟预测）已知首项为正数的等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若

（S15-SH）（S15-S12）<0,则（）

A.a13+a14>0

B.S[]<S[5<S]2

C.当〃=14时，S“取最大值

D.当S“<0时，〃的最小值为27

3.（2024•全国•模拟预测）已知长轴长、短轴长和焦距分别为2.、2万和2c的椭圆。，点A是椭圆。与其

长轴的一个交点，点8是椭圆。与其短轴的一个交点，点与和F?为其焦点，AB1BF,.点尸在椭圆。上,

7T

若则（）

A.a,b,c成等差数列

B.a,b,c成等比数列

C.椭圆。的离心率6=有+1

D.AAB片的面积不小于鸟的面积

三、填空题

1.（2024•四川南充•二模）已知数列｛。“｝,满足％=1,且4口"+1=2",则"7+。8=.

2.（2024•浙江金华•模拟预测）已知数列｛%｝是等差数列，数列抄“｝是等比数列，若的+%+4=5兀，

b由b°=3上,贝IJtan亡盂=.

3.（2024•浙江•模拟预测）用卜]表示不超过x的最大整数，已知数列｛4｝满足：％=g,

若f=l'则2024恪i——.

%+i—1），〃EN*.若丸=。，4=-2,贝lj〃"=

四、解答题

1.(2024•广东深圳•一模)设S,,为数列｛6｝的前〃项和，已知的=4,邑=2。，且为等差数列.

(1)求证：数列｛%｝为等差数列;

⑵若数列也｝满足4=6,且誓=詈，设T”为数列也｝的前“项和，集合”=｛7；%eN*｝,求M(用列

UnUn+2I)

举法表示).

2.(2024高三•全国•专题练习)已知数列｛%｝(〃eN*)的前n项和为S"，若"jS,=3/+6〃+3,

4=2.记勿=。“+。2判断｛2｝是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由.

3.(2024•浙江•模拟预测)记等差数列｛4｝的前”项和为S"，等比数列也“｝的前〃项和为T,,且

卬=4=1邓“=(4+1)2,隹=(2+1)2.

(1)求数列｛%｝,｛£｝的通项公式；

⑵求数歹！1｛4山,｝的前”项和.

4.（2024•广东深圳•模拟预测）设数列｛4｝满足：4=2,a„+1=2a„+4«-4.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛"+3%”｝的前n项和S「

5.（2024•安徽黄山•一模）随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛.差分和差分方程是

描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用.对于数列｛4｝,规定｛A%｝为数列｛为｝的一阶差分数

列，其中△%=1-4（衣江），规定百见｝为数列｛%｝的二阶差分数列，其中

⑴数列｛%｝的通项公式为q=〃3（〃eN*）,试判断数列｛△%,｝,｛△4｝是否为等差数列，请说明理由？

⑵数列｛log/”｝是以1为公差的等差数列，且。>2,对于任意的“eN*,都存在机eN*,使得个%=粼，

求。的值；

⑶各项均为正数的数列｛g｝的前"项和为S"，且｛△4｝为常数列，对满足机+〃=2乙相X”的任意正整数

见屋,才都有jh%,且不等式黑+s,>-E恒成式,求实数2的最大值.

第08讲等差数列、等比数列(3大考点+强化训练)

［考情分析］L等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列

求和及综合应用是高考考查的重点.

知识导图

❶考点一：等差数列、等比数列的基本运算

★等差数列、等比数列❷考点二：等差数列、等比数列的性质

考点三二等差数列、等比数列的判断与证明

考点分类讲解

考点一：等差数列、等比数列的基本运算

等差数列、等比数列的基本公式(ndN*)

⑴等差数列的通项公式：a„=ai+(n-l)d,

an=am+(n—m)d.

n_1

(2)等比数列的通项公式：a„=aiq,

n—m

an=am,q.

⑶等差数列的求和公式：

nai+annn-1

Sn=2=nai+d.

(4)等比数列的求和公式：

ai1-qnai—aq

i=-；n，qW1,

Sn=ji—qi—q

、nai,q=1.

规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略

(1)抓住基本量，首项出、公差d或公比q.

(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为S0=a/+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a.

=p・qi(p,qWO)的形式的数列为等比数列.

⑶由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行

相关计算.

【例1】(23-24高三下•甘肃张掖•阶段练习)已知正项等差数列｛风｝满足4出=3,出/=15,则。汹=

()

A.39B.63C.75D.99

【答案】B

【分析】利用等差数列的通项公式列方程组求解.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

、Fata2=3、%(%+d)=3

因为所以(％+d)(%+2d)=15，

a=l

解得1(舍去),

d=2

所以a4a5=(1+3X2)X(1+4X2)=63.

故选：B.

，、f+2,〃=2左一1*

【变式1】(2024•广东深圳•一模)已知数列｛为｝满足％=%=1,%+2=_9,(ZeN*),若S“

为数列｛%｝的前〃项和，则$5。=()

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得.

,、+2,〃=2左一1*

【详解】数列出中，卬=々=1，%+2=2(左©N*),

-a,n=2k

当〃=24-1/eN*时，an+2-an=2,即数列｛%｝的奇数项构成等差数列，其首项为1,公差为2,

25x24

贝%+/+%+,••+。49=25x1H-----——x2=625,

当〃=2%«eN*时，—=-1,即数列｛%｝的偶数项构成等比数列，其首项为1,公比为-1,

an

e1X[1-(-1)25]]

=

贝U出+〃4+。6+…+〃5O=,~~1，

1一(一1)

以S50—(%+“3+05+,,,+〃49)+(“2+〃4+〃6+，，，+〃50)=626.

故选：C

【变式2】（2024•陕西渭南•模拟预测）已知数列｛%｝满足。3=%。“+2,若q=；，«3=2,贝U

«5=•

【答案】8

【分析】判断数列｛%｝为等比数列，求出4。结合。5=%/，即可求得答案.

【详解】由于数列｛4｝满足1A+2,故数列｛%｝为等比数列，设公比为q，

又q=万，％=2,故/xq-=2,=4,

%==8，

故答案为：8

【变式3］（2023•全国甲卷）设等比数列设J的各项均为正数,前n项和为S”，若索=1,S6=5S3-4,则S4

等于（）

1565

A.—B.-C.15D.40

OO

【答案】C

【解析】方法一若该数列的公比q=l,代入Ss=5S3—4中，

有5=5义3-4,不成立，

所以qWL

化简得q*—5/+4=0,

所以q2=l(舍)或q?=4,

由于此数列各项均为正数，

1—q4

所以q=2,所以S4=-j=15.

1-Q

方法二由题知l+q+q2+q3+q4=5(l+q+q2)-4,

即q3+q4=4q+4q2,

即q3+q2—4q—4=0,

即(q—2)(q+1)(q+2)=0.

由题知q〉0,所以q=2.

所以S4=l+2+4+8=15.

【变式4】（2023•安康模拟）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，

七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走

了700里路，则该马第五天行走的里程数约为（）

A.2.76B.5.51

C.11.02D.22.05

【答案】D

【解析】设该马第n(n£N*)天行走的里程数为%,

由题意可知，数列｛aj是公比为1的等比数列，

ad

127aiA”口27X350

所以该马七天所走的里程为封=700,触倚

-5

口、»r12X35012800

故该马第五天仃走的里程数为a=ai•X-4=~—y^22.05.

5乙J.乙/乙_L乙/

【变式5](2023•河南联考)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春

分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日

影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为()

A.4.5尺B.3.5尺

C.2.5尺D.1.5尺

【答案】A

【解析】冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影

长构成等差数列｛aj,设公差为d,由题意得

ai+az+a3=28.5,

.aio+an+ai2=1.5,

所以an=ai+(n—l)d=ll.5—n,

所以@7=11.5—7=4.5,

即春分时节的日影长为4.5尺.

【变式6】(2023•石家庄质检)已知数列a｝为各项均为正数的等比数列，ai=4,S3=84,则log2@ia2a3…a8

的值为()

A.70B.72C.74D.76

【答案】B

22

【解析】设等比数列｛aj的公比为q,则q>0,S3=ai(1+q+q)=4(l+q+q)=84,

整理可得q?+q—20=0,解得q=4(负值舍去)，

所以8=21广|=4",

1238

所以1og2aia2a3,,,a8=1og2(4X4X4X•••X4)

2x1+8X8

=2X(1+2+3+-+8)=一=72.

2

考点二：等差数列、等比数列的性质

1.通项性质：若m+n=p+q=2k(ni,n,p,q,k£N*),则对于等差数列，有am+an=ap+aq=2ak；对于等

比数列，有cincinciptiqelk*

2.前n项和的性质：

⑴对于等差数列有Sm,S2m-Sm,S3B-S2„…成等差数列；对于等比数列有S.,S2m-Sm,S加一S2m，…成等比数

列(q=—1且m为偶数时除外).

⑵对于等差数列有Szn-i=(2n-l)a„.

规律方法等差数列、等比数列的性质问题的求解策略

(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.

(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.

【例2】(2024•吉林白山•二模)记等差数列｛%｝的前八项和为S"，若见=483,a3=U,则｛%｝的公差

为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】由等差数列的前“项和公式表示S”，根据等差数列的性质可求得出=57,进而求解公差d.

【详解】设数列｛凡｝的公差为d,依题意，4=(4+；4”4=7侬+率)=483,

得生+/=69,故生=57,则［=^^=5.

12—3

故选：A.

【变式1】(2024•安徽合肥•一模)数列｛〃〃｝中，an=an+i+2,a5=lSf则4+%+…+%o=()

A.210B.190C.170D.150

【答案】C

【分析】根据等差数列的定义知公差为-2,然后利用求和公式结合等差数列通项性质求和即可；

【详解】由2=为+i+2知数列｛为｝是公差为-2的等差数列,

所以％+为H---1~q0=5(%+4)=5x(18+16)=5x34=170.

故选：C.

【变式2］（2024•海南•模拟预测）已知等比数列｛%｝的公比为3,%+%=12,则生-卬=（）

A.20B.24C.28D.32

【答案】D

【分析】根据题意结合等比数列性质运算求解.

【详解】由题意可知q+a3=%=4,%+%=3（a2+a4）=36,

所以％=（生+%）—（q+/）=36—4=32.

故选：D.

【变式3】（多选）（2023•济宁质检）已知等差数列｛aj的前n项和为S„,且a>0,a-aQO,a7a8<0,则（）

A.数列｛aj是递增数列B.S6>S9

C.当n=7时，S"最大D.当S“>0时，n的最大值为14

【答案】BCD

【解析】•••在等差数列｛aj中，ai>0,

a4+aii=a7+a8>0,a7a8<0,

a7>0,a8<0,

・•・公差d<0,数列｛aj是递减数列，A错误；

•Sg-S6=a7+a8+a9=3a8<0,

.•.S6>S9,B正确；

Va7>0,a8<0,数列｛aj是递减数列,

・••当n=7时，Sn最大,C正确；

*/a4+an>0,a7>0,as<0,

.14ai+ai414a4-Fan

Su-2=2〉0，

15ai+ais15X2a

S―2=-2—8<0,

・••当S，0时，n的最大值为14,D正确.

【变式4】（2023•咸阳模拟）已知等差数列｛aj,®｝的前n项和分别为S°,L,若（2n+3）Sn=nL,则守等

b5

于

31911

--c-

7B.3I).25

25

【答案】A

【解析】（2n+3）Sn=nT,

T„-2n+3,

又S9=5(ai+a9)=]X2a5=9a5,

99

T9=5(bi+b9)=]X2b5=9b5,

所以一，

1905

又&

人Tg2X9+3T

所以海

b57

【变式5](2023•沧州质检)已知等比数列知J的前n项和为Sn,若Ss=2,S辞=6,S24=

【答案】510

【解析】因为数列｛劣｝为等比数列，由等比数列的性质知，

S3,Se—S3,Sg—Se,…，S24—S21,…构成首项为$3=2,

公比为q=弋自厂=2的等比数列，且S24是该等比数列的前8项和，

034

21—28

所以$24=\Q-510.

1-乙

【变式6】(2023•全国乙卷)已知｛aj为等比数列，a2a4a5=a3a6,a9aio=—8,则劭=

【答案】一2

【解析】方法一瓜｝为等比数列，，a4a5=a3a6,

•・a2=1,

又，a2a9aio=a7a7a7,

3

.,.lX(-8)=(a7),

@7=—2.

方法二设凡｝的公比为q(qWO),

贝Ia2a4a5=a3a6=azq,asq,

显然dnWO,

32

则a4=q\即aiq=q,

贝！Jaiq=l,

因为a9aio=18,

贝Uaiq8•aiq9=-8,

则q』(q5)3=—8=(—2”,

555

贝Uq=—2,则a7=aiq•q=q=—2

考点三：等差数列、等比数列的判断与证明

等差数列等比数列

定义法a-n+i-an=d—=q(q^0)

Hn

_n-1

通项法%=ai+(n-1)d&n=3.1Q

中项法2an=an-i+an+i(n22)a：=an-ian+i(n22,@nW0)

2

前n项和法Sn=an+bn(a,b为常数)Sn=kq“一k(kW0,qWO,1)

证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.

易错提醒(l)£=a-ae(n22,nGN*)是凡｝为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比

数列时，要注意各项不为0.

⑵｛aj为等比数列,可推出a“a2,as成等比数列，但a”as成等比数列并不能说明显｝为等比数列.

(3)证明｛须｝不是等比数列可用特值法.

【例3】(23-24高三下•内蒙古锡林郭勒盟•开学考试)若数列｛%｝的前n项和S“满足S“=〃2+〃+3,则

()

A.数列｛%｝为等差数列B.数列｛q｝为递增数列

C.为等差数列D.S「S2，S6-S4，S8-S6为等差数列

【答案】D

(5IT—1

【分析】降次作差即可得到%一、C，根据等差数列的定义即可判断A,根据数列单调性即可判B,

\2n,n>2

求出相关值结合等差数列定义即可判断CD.

2

【详解】当2时，cin=Sn-Sn_1=n+n+3—(n—1)1)-3=(2〃-1)+1=2〃，

[5,〃二1

当〃=1时，q=5,/.a=<,

n[2n,n>2

对于A：4=5不满足%=2〃，故A不正确；

对于B：q=5>％=4,故B不正确；

对于C,4=5,4=6,“5=1。，不满足2a3=4+%，故C不正确；

对于D：54-S2=a4+a3=14,S6-S4=a6+a5=22,S8-S6=a^+aJ=30,三项可构成等差数列，且公差

为8,故D正确；

故选：D.

【变式1】（多选）（23-24高三上•贵州安顺•期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球

传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概

率为匕，贝U（）

A.吕=工

34

B.数列,匕-;1为等比数列

D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种

【答案】ABD

【分析】根据题意，可得数列［匕-g1是以-;为首项，以-;为公比的等比数列，即可判断ABC,然后逐

一列举，即可判断D.

【详解】由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第小-1）次球必定不在甲手中，

所以勺=：。一心），即匕T=［上-「J，

p-1

因为4=0,则片1=15—1W。所以，—〃2：=一1

则数列,匕是以为首项，以-g为公比的等比数列，故B正确；

则匕即故,错误；

11

且月二XI故A正确;

32134

若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中,

设甲，乙，丙对应。力,。,

贝！］a->h—>a―>b―>a，

a->b->Q->c->a,

a->c->a->b-》a,

CL->c—>ci―>c―>a,

a—>c—>a,

所以一共有六种情况，故D正确；

故选：ABD

【变式2](23-24高三下•湖南长沙•开学考试)已知数列｛%｝与数列也｝满足下列条件：①a“e｛-l,O,l｝,

Z?1

〃eN*；②〃eN*；③，=(一1)""。“一5%1,“cN*,记数列圾｝的前〃项积为人

(1)若4=4=1,a2=0,a3=-1,a4=1,求心；

(2)是否存在4,a2,a3,%,使得仿，b2,b3,4成等比数列？若存在，请写出一组%,电，的，为；

若不存在，请说明理由；

(3)若4=1,求几。的最大值.

【答案】(1)看=?3;

O

⑵不存在，理由见解析；

⑶(|严。.

【分析】(1)利用已知数据直接计算即得.

(2)假定存在，分两种情况讨论即得.

⑶设%=1%I，分析出区名尸闻=(沪<(\尸\b2\<(步.纲=.步,再求出小

的最大值即可.

/?9,1,,Z?o,1,11

【详解】(1)由工■=—&一不％1=一1，得人2=-1，由丁=1〃2-不。31=不，得瓦=-入,

422222

,b4।1.33

由7=一修3_不&1=_不，得力4=:，

b3224

3

所以也./?3也=%.

O

(2)不存在.

假设存在,设耳也也也公比为0，

若々>0,则&<。也<0也>。，公比4=，<。应=，>。，矛盾，

若a<o,则a>o,4>。，a<。，公比，矛盾，

因此假设不成立，所以不存在.

(3)依题意，4=1>0,且“"3>°，%-2<0,%_1<0&>0,瓯-3・%-20"「原•>。，笈eN*,

设%=忆-卜"+"，则4“€｛0,：,1,；｝,品=%，得|%|=置•也I,

2zz\^n\

931

于是Ibn+2|=qn-qn+l-\b„\,显然q„-qn+l的值从大到小依次为：,,1,；,

若以Vm=：，则以=1且4M=；，当数列｛%｝为1，T/，T，L或T,L-M,…，可以取得，

显然当qjq,+i=；时，⑴最大，此时1%1芸也1,则也“"“：尸141=(：产，

也“呜尸也区(:尸•|国1=|•(：尸，

bb

从而I工001=14也3•,…*1001=曲也4•,…99I•电也也••…伪00I

[1X|x(^)2X...X(1)49]X(|)50X[1XX(1)2X•..X令9]

50

=(1)X弓产“2+3++49)=(|)4950,又几。>0,

所以(%:u=(|严.

【点睛】

思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通

项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.

【变式3](2023•日照模拟)已知数列｛aj满足:由=A>0,anHn+1==2.

(1)当入时，求数列｛a2n｝中的第10项；

(2)是否存在正数入，使得数列｛aJ是等比数列？若存在，求出入值并证明；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)由己知须加+1=2-"

所以当n与2时，a1aliT=2f

相除得

又ai=a.，a2al=25,

OCi

所以也=2叱

==

loG)?256-

所以a2o=2X

(2)存在.假设存在正数入，使得数列｛8｝是等比数列，由azai=25得a?=丁,

A

由a2a3=8,得的=彳，

因为｛aj是等比数列，所以aia3=a；,

即入2=64,解得人=8.

下面证明当入=8时数列｛劣｝是等比数列，

由⑴知数列｛皿_｝和⑸,｝都是公比是:的等比数列，所以a"_=8•^'=25-2"；

a如=4-=

所以当n为奇数时，4=247

当n为偶数时，an=2-n,

所以对一切正整数n,都有％=2「"，

所以2±1=]nGN*,

所以存在正数入=8使得数列｛aj是等比数列.

【变式4].(2023•青岛质检)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”,公差d#0,S2,S4,N+4成等差数列，a2,

a4,制成等比数列.

⑴求S"；

(2)记数列｛父｝的前"项和为〃,2儿一。=耍，证明：数歹标一不为等比数列，并求｛仇｝的通项公式.

S+4+S2=2S4,

(1)解由512,S4,S5+4成等差数列，。2,〃4,。8成等比数列，可得，?

=—,

5〃i+10d+4+2〃i+d=2(4〃i+6J),

即

+3<7)2=(〃]+①(〃]+7为，

=2,

解得，

d=2,

Sn=2〃+秋\1)X2=/+〃.

(2)证明由2bn—Tn——工-得

33

2b\~bx=y解得加=£,

.〃+221

2bn=2+〃(w+l)=7"+n-^+T,

21

故2b〃+i=G+i+f—后工’

212111

--+bn+1-+

两式相减可得