复数的几何表示及三角表示 知识归纳与题型突破（11类题型清单）

专题02复数的几何表示及三角表示知识归纳与题型突破

01思维导图

I友蓑三角形式妁运算I［乘方|

02知识速记

知识点1复数的几何表示

1.复数的几何意义：

(1)复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，X轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数,

除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

(2)复数的几何意义

①每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样,

从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系.

②若复数z=a+6i(a、bGR),则其对应的点的坐标是(a,b),不是(a,bi).

③复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系.

如图，在复平面内，复数z=〃+历（〃、/?£R）可以用点Z（m6）或向量0Z表示.

Oax

复数z=〃+Ai（〃、b£R）与点Z（〃，。）和向量0Z的—对应关系如下:

复数z=a+历（ab£R）

点Z（ab）-----------平面向量茂

2.复数的模：

（1）复数z=a+6i（a、bGR）对应的向量为OZ,则。Z的模叫做复数z的模，记作团且|z|=Va2+b2

当b=0时，z的模就是实数a的绝对值.

（2）复数模的几何意义

复数模的几何意义就是复数z=a+历所对应的点Z（a,份到原点（0,0）的距离.

由向量的几何意义知，|Z1—Z引表示在复平面内复数Z1与Z2对应的两点之间的距离.

（3）模的重要性质：①IzHTRxZI；②五=工；③闾―闾闫马士ZzKM+R.

Z2lZ2j

3.复数的共轨复数：（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共物

复数，复数z的共辗复数记作］.

复平面上两点凡Q关于.r轴可称u它们所对应的更数相互共规

（3）共轨复数的性质：

2-

①Z]±Z2=Z]±Z2；（2）ZjxZ2=ZjXZ2;（3）Z-Z=|z|=|z|-

4.复数加减法的几何意义:

zi、zi、Z3eC,设龙1、龙2分别与复数zi=a+历，Z2=c+di（a、b、c、dGR）相对应，且龙卜或不

共线

加法减法

几何

O\X

意义a\x

复数的和Z1+Z2与向量龙1+复数的差ZLZ2与向量应1一应2=a1的坐标对应

龙2=龙的坐标对应

知识点2复数的三角表示

l.i2=l的几何意义：

虚数单位i乘任意复数：的几何意义是：将复数：对

应的平面向量旋转90°.

2.旋转任意角：

用CSa十认ina乘任意复数j其几何意义是：将复

数，对应的平面向量旋转角

3.复数三角表示：

(1)辐角：8是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数2=〃+历的

辐角，记作argz=0.若6是z的一个辐角，则z的所有辐角argz=0+2A"(%为整数)

(2)复数的三角形式：一般地，任何一个复数z=a+历都可以表示成《cosd+isinO)的形式，其中，厂是复

数z的模.

(3)两个第数符=|w|<cos0Iisin/)，—Is:|(cosftfisin伪)相等的充分必设条件是

IziI=I?：I=0.或有I=|z?|>0且8="+2及冥.

4.复数三角形式的运算：

(1)乘法：设复数zi=n(cos0i+isin-),Z2=r2(cos仇+isin%)，且z#z?,

①ziZ2=n(cos01+isina)•r2(cosft+isin6i)=r\r2[cos(^i+0i)+isin(0i+02)]

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

②推广：

*

zi•Zz....znr\r?>Tn_cos(ft•仇+…，伉)•认山(4+/+…+仇)]・

其中oGN,

③乘方：[r<oos0Iisin仍"广(cwMisinnff).「「「、……棣莫佛公式

(2)除法：设复数zi=n(cosa+isin4)，Z2=r2(cos02+isin0i)9且zi先2,

Z1'(cos"+zsin4)r.

—[cos(4—02)+isin(仇—ft)].

z2r2(cos02+zsin02)丫2

即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数

的辐角所得的差.

03题型归纳

题型一复数用点、向量表示

【例1】（2324高一下•四川成都・期中）如图所示，平行四边形QA5C,顶点O,AC分别表示0,4+3i,-3+5i,

（D对角线CA所表示的复数；

（2）求B点对应的复数.

【答案】（l）7-2i

（2）l+8i.

【知识点】复数的向量表示、复数加减法几何意义的运用、复数加减法的代数运算

【分析】（1）先由向量运算得C4=OA-OC，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成

复数减法运算即可得解.

（2）先由向量运算得OB=OA+Od，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转

化成复数加法运算即可得解.

【详解】⑴因为C4=Q4-OC，

所以C4所表示的复数为（4+3i）-（-3+5i）=7-2i.

（2）因为O3=OA+A8=OA+OC,

所以08所表示的复数为（4+3i）+（-3+5i）=l+8i,

即B点对应的复数为l+8i.

【变式1。（2324高一.上海.课堂例题）如果复平面上的向量.所对应的复数是-3+2i,那么向量区4所对

应的复数是（）

A.3-2iB.3+2iC.-3+2iD.-3-2i

【答案】A

【知识点】复数的坐标表示

【分析】根据向量、复数的坐标表示等知识求得正确答案.

【详解】依题意，向量所对应的复数是-3+2i,对应坐标为（-3,2）,

所以向量84对应的坐标为（3,-2）,对应的复数为3-2i.

故选：A

【变式12】（湖南省部分学校20242025学年高三下学期入学检测联考数学试题）复数z满足

（2+i）（z-l）=2-4i,则在复平面内，复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】由复数四则运算得到z,即可求解；

【详解】由（2+i）（z-1）=2-4i,

mxBz_2-4i（2-4i）（2-i）10i_

可倚z一豆？+（2+i）（2-i）+1-1+亍一1一2】

复数z在复平面内对应的点为位于第四象限.

故选：D

【变式13］（2324高一•上海•课堂例题）设复数句=-4、zs=2i、zc=2-3i,z0=3+2i、z£=-l-i.

（1）在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C,D、E；

（2）在复平面上分别作出这些复数的共辗复数所对应的向量.

【答案】（1）图象见详解

（2）图象见详解

【知识点】复数的坐标表示、共朝复数的概念及计算、复数的向量表示

【分析】（1）根据复数的几何意义求点的坐标，进而可得图象；

（2）根据共轨复数以及复数的几何意义可得相应点的坐标，进而可得图象.

【详解】(1)因为复数4=-4、Zs=2i、zc=2-3i、z0=3+2i、z£=-l-i,

则A(yo),3(0,2),C(2,—3),0(3,2),E(—1,-1),

在复平面上分别作出这些复数所对应的点，如图所示:

斗

C(0,2)，.0(3,2)

a-4,0)________________

Ox

£(-1/1)

.Q2.-3)

(2)因为复数4=-4、zB=2iyZc=2-3i、zD=3+2iz£=-l-i,

则复数4=—4、zB=-2i>Zc=2+3i、zD=3—2i>zE=-1+i,

这些复数所对应的点分别为A(-4,0),片(O,-2)，G(2,3),A(3,-2)，4(-1,1),

ULUUL1UUUUUULlUUUL

这些复数的共轨复数所对应的向量分别为OA，OBIQG，ODI，OEI,

在复平面上分别作出这些复数的共辗复数所对应的向量，如图所示：

题型二根据复数对应的点求参数

【例2】(2223高一下•江苏南通•阶段练习)已知复数z满足z后=2,且z的虚部为1,z在复平面内所对应

的点在第一象限.

⑴求z；

(2)若z,z?在复平面上对应的点分别为A,B,O为坐标原点，求

【答案】(l)z=l+i；

(2)ZOAB=90.

【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、复数的向量表示

【分析】(1)设z代数形式，根据z-N=2解得z；

(2)先根据复数得向量AO,42的坐标，再根据向量夹角公式得结果.

【详解】(1)^z=x+i(xeR),

因为z2=2,所以无?+1=2,得x=l或x=—1,

又z在复平面内所对应的点在第一象限，所以尤=1,

所以z=l+i；

(2)z2=(l+i)2=2i,

所以3(0,2),0(0,0),AO-(-1,-1),AB=(-1,1),

_AOAB_IT_

所以c°s/%2一|cli「方~~/7-0n,0<ZOAB<180，

A71O|x|Afi,2xA/2

所以NOA3=90.

【变式21](多选)(2425高一下•全国•课后作业)(多选)若复数(1-0(a+i)在复平面内对应的点在第二象

限，则实数。的值可以是()

A.1B.-2C.-3D.-4

【答案】BCD

【知识点】复数代数形式的乘法运算、根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】根据复数的乘法运算化简复数，求得对应的点为(“+L1-“)，利用点在第二象限列不等式组求解即

可.

【详解】因为z=(l-i)(a+i)=a+l+(l-a)i,所以它在复平面内对应的点为.

+1<0,

又此点在第二象限，所以，八解得a<T,结合选项可知BCD符合题意.

[1-<2>0,

故选：BCD

【变式22](2425高一下•全国•课后作业)在复平面内，若复数z="-2m-8)+(疗+3m-10)i对应的点：

分别求实数机的取值范围.

(1)在虚轴上；

(2)在第二，四象限；

【答案】(1)相=—2或4.

(2)2<机<4或一5<相<一2.

【知识点】复数的坐标表示、根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】(1)根据已知得出实部和虚部进而根据点在虚轴上列方程求解；

(2)点在二四象限列不等式求解.

【详解】⑴复数z=(4-2%-8)+(〃22+3〃2-101的实部为„22一2〃7_8,

虚部为〃『+3m_10.

由题意得加2—2/〃—8=0,解得加=-2或4.

(2)由题意，(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,:.2<m<4^~5<m<-2.

【变式23](2324高一下•陕西商洛•期末)已知机eR,复数z="-m-2)+(疗+3〃z+2)i.

⑴若z为纯虚数，求gzi+3-2i；

(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求整数加的值.

【答案】⑴行;

(2)0和1

【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】(1)由z为纯虚数，求出m的值，从而得到复数z,求解gzi+3-2i模长即可；

(2)z在复平面内对应的点位于第二象限，求出机的取值范围，进而得到整数机的值即可.

【详解】(1)由于复数z=(病—加—2)+(病+3a+2]为纯虚数，

m2—m—2=0

所以<2，解得根=2,此时z=12i,

[m2+3m+2^0

|zi+3-2i=|-l-2i|=^/l+4=75

(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，

,m2-m-2<0

则《解得一1v机v2,

m2+3m+2>0

故整数次的值有04.

题型三共朝复数及其运算

【例3】(2425高三上•河南周口•期末)若复数z在复平面上对应点的坐标为(6,1),三为z的共辗复数，则

|z-z|=()

A.0B.2C.2百D.4

【答案】B

【知识点】求复数的模、共辗复数的概念及计算、根据复数的坐标写出对应的复数

【分析】利用复数的几何意义结合共朝复数的性质得到z-I=2i，再利用复数的模长公式求解即可.

【详解】由题意得复数z在复平面上对应点的坐标为（迅,1）,

则依据复数的几何意义可得Z=A^+i,

而I为Z的共辗复数，故三=百-i,

则z_1=2i，由复数模的公式得卜-目=后=2,故B正确.

故选：B.

【变式31］（2324高一下.广东广州.阶段练习）若复数z满足（l+i）z=l-i,则其共舸复数W的模为（）

A.1B.-1C.J2D.—

2

【答案】A

【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共辗复数的概念及计算

【分析】由复数的四则运算得出z,再由模长公式得出共甄复数5的模.

1-i_(1-i)2l-2i-l

【详解】

l+i-(l+i)(l-i)2

:.z=i,\z\=l

故选：A

【变式32］（2425高三上•黑龙江・期末）已知复数z=i（〃-i）,若天2-i）是纯虚数，则实数。二（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】C

【知识点】共辆复数的概念及计算

【分析】直接计算得到42-i）=（2-〃）+（-2a-l）i,再根据纯虚数的定义得到结果.

［详解］由于z=i(a-i)=1+ai,故z(2_i)=(l—ai)(2_i)=(2_a)+(_2a_l)i,所以2_〃=0W_2Q_1,解

得a=2.

故选：C.

【变式33］（2425高三上•上海嘉定•期中）已知复数Z=l+i,z?=2+3i,则z［+1=.

【答案】3-2i

【知识点】复数加减法的代数运算

【分析】求出复数Z2的共轨复数，然后用复数的运算法则求得4+z2的值.

【详解】z2=2-3i,

Z]+z2=l+i+2—3i—3—2i.

故答案为：3-2i.

题型四共辗复数的复数特征

2

【例4】（2324高一下.山东青岛.期末）已知复数z满足一7=1-i,则5的虚部为（）

z+1

A.-1B.1C.-iD.i

【答案】A

【知识点】共轨复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部

【分析】先由复数的四则运算法则求出2=1再由共辗复数的概念表示出彳=7,即可求解.

2212(1+i)i：

【详解】由题，—=贝Ijz=则

l-i.1-i(1-i)(l+i)z=-i,

故2的虚部为-1.

故选：A.

【变式41］（2425高二上•云南曲靖•阶段练习）若复数2=二，贝”的共辗复数的虚部是（）

1-1

A.-1B.iC.iD.1

【答案】A

【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共朝复数的概念及计算

【分析】利用复数的除法求出z,进而求出其共轨复数的虚部.

【详解】依题意，z=?+i）：?=J=i,所以三=_i，其虚部为T.

故选：A

【变式42］（2425高三下•北京・开学考试）在复平面内，复数士的共辗复数对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【知识点】复数的除法运算、共轲复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】首先求出复数的共轨复数，再判断象限即可.

【详解】设2=出=湍6=；+，，则2=3T，

复数N对应的点为所以N对应的点位于第四象限.

故选：D.

【变式43](2425高三上咛夏银川•期末)已知复数z满足(i-2)z=|3+4i|,则复数I在复平面内对应的点

位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轨复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】利用复数的模长公式、复数的除法化简复数z,利用共辗复数的定义结合复数的几何意义可得出结

论.

._____55(-2-i)

【详解】因为(i—2)z=|3+4i|=J32+42=5,则z=三十]=+=一？7，

所以，]=_2+i，则复数I在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),位于第二象限.

故选：B.

题型五求复数的模

【例5】(2425高三上•山西吕梁•阶段练习)若复数z满足(l+i)z=l-i2°25,则卜+2|=()

A.1B.V3C.2D.75

【答案】D

【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算

【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数z,再利用复数模的意义求解.

2

【详解】由(l+i)z=l-i?02"得z=F(1-i)-2i

(l+i)(l-i)=T

所以|z+2|=|2-i|=j22+(-l)2=6

故选：D

【变式51](2024.浙江.一模)已知复数z=l-i(其中i是虚数单位)，贝咋()

A.2B.1C.72D.V10

【答案】C

【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数的乘方、共轨复数的概念及计算

【分析】利用共轨复数的定义、复数的四则运算化简复数z2+5,利用复数的模长公式求解即可.

【详解】因为z=l—i,则z2+W=(l_i)2+l+i=_2i+l+i=l-i,

所以产+』=户由=也.

故选：C.

【变式52](多选)(2324高一下•青海•期末)已知复数z=(l-2i)(3-2i),则()

A.z=-l+8iB.|z>765

C.z的虚部是一8D.z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】ABC

【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共辗复数的概念及计算

【分析】先化简z=-l-8i,再结合复数的概念，共轨复数，复数的模，复数在复平面内对应的点分别判断

各个选项即可.

【详解】因为z=(l-2i)(3-2i)=3-2i-6i+4i2=-l-8i,

则彳=—l+8i,忖=：1+64=病,z的虚部是-8,

z在复平面内对应的点为(-L-8),位于第三象限

故ABC正确，D错误.

故选：ABC.

【变式53](2324高一下.山东淄博・期中)复数z满足z(l+i)="i「(i为虚数单位)，则z的共轨复数的虚

部是.

【答案】1

【知识点】求共辗复数的复数特征、复数的除法运算、求复数的实部与虚部

【分析】根据条件等式化解复数z,再求其共朝复数及其虚部.

_2_2(l-i)

【详解】Z=

1+i1+i(l+i)(l-i)

所以5=l+i,所以z的共轨复数的虚部是1.

故答案为：1

题型六根据复数的模求参数

【例6】(2425高一上•上海•课后作业)已知复数z=4+ai,且|z|<5,则实数。的取值范围为

【答案】(-3,3)

【知识点】由复数模求参数

【分析】由题意|Z|="77<5,解不等式即可得解.

【详解】因为z=4+ai,

所以|z|=^42+a2—y/16+a2<5,

所以16+Y<25,

即a2<9,

解得，—3<a<3.

故答案为：（-3,3）.

【变式61］（2425高三上•上海•期中）记i是虚数单位，设复数z=l+biS>0）且忖=2,则复数z的虚部

为.

【答案】73

【知识点】求复数的实部与虚部、由复数模求参数

【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，即可求解.

【详解】因为z=l+历，忖=2,贝|再行=2,得到从=3,

又6>0,所以b=6，则复数z的虚部为石，

故答案为：6

【变式62］（2425高一上•上海•随堂练习）已知复数z=4+ai（aeR）,且|z|<6,则实数。的取值范围

是.

【答案】卜2君,26）

【知识点】由复数模求参数

【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式.

【详解1z=4+ai,则|z|=而7<6,解得（-2布,2国.

故答案为：卜26,2石）.

【变式63］（2324高一下•江苏•期末）满足忖=1且z?=z的复数z=.

【答案】1

【知识点】复数的相等、求复数的模、复数的乘方

【分析】设z="+历,a,"cR,由忖=1得储+/=1,由z2=z可得二"，计算并检验求得即

11[2ab=b[匕=0

得z=1.

【详解】设z=a+历,a力eR,由|z|=1可得/+廿=1，

由z?=z可得（。+历）2=a+bi,即a2—b2+2abi=a+历，

a2—b2=aa=la=0

则，解得6=0或

2ab=bb=0

\a=0

显然，c不满足/+〃=1,应舍去，故z=l.

[6=0

故答案为：1.

题型七与复数模相关的图形、轨迹

【例7】(2425高一下•全国•课堂例题)已知zeC,指出下列等式所表示的几何图形.

(l)|z+l+i|=l；

(2)|z-l|=|z+2i|.

【答案】⑴表示以-1-i对应的点(-LT)为圆心，1为半径的圆.

(2)表示以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.

【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题

【分析】根据复数模的几何意义，即可求解.

【详解】(1)|z+l+i|=|z-(-l-i)|=L

则复数z对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆；

(2)|z-4的几何意义表示以复数z对应的点与(1,0)之间的距离，

|z+2i|=|z-(_2i)]的几何意义表示以复数z对应的点与(0,-2)之间的距离，

所以|z-11=|z+2i|表示以点(1,0),。-2)为端点的线段的垂直平分线.

【变式71](2425高一下•全国•课后作业)已知复数z满足|z「-3忖-4=0,则复数z对应的点Z的集合是什

么图形()

A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆

【答案】A

【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、求复数的模

【分析】解方程求出|z|,根据复数的几何意义可得答案.

【详解】|Z|2-3|Z|-4=0,

.­.(|z|-4)(|z|+l)=0,

.,•|z|=4=舍去)，

复数z对应的点Z的集合是以原点。为圆心，以4为半径的一个圆.

故选：A.

【变式72](2324高一下.甘肃酒泉.期末)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为.

【答案】3

【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题

【分析】利用复数模的几何意义，求出|z-i|的最大值.

【详解】复数z的模为2,表示复数z在复平面内对应的点Z到原点。的距离为2,

则点Z的轨迹是以原点。为圆心，2为半径的圆，

而|z-i|是圆。上的点到点(0,1)的距离，

所以|z—iL=2+1=3.

故答案为：3

【变式73](2425高一下•全国•课前预习)设复数z=a+6i(a,6wR),1旦z|V2,则|z+l|的取值范围

是.

【答案】[0,3]

【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、求复数的模

【分析】运用复数模长的几何意义，数形结合可解.

【详解】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，14z|<2表示如图所示的圆环，

而Iz+11表示复数z的对应点A(a,6)与复数4=-1的对应点B(-l,0)之间的距离，

即圆环内的点到点8的距离d.

由图易知当A与B重合时，心„=。，当点A与点C(2,0)重合时，<x=3,.-.0<|z+l|<3.

故答案为：[0,3].

题型八复数加减法的几何意义

【例8】（2024高一下.全国•专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点心（和必）,

Z2（%，%）之间的距离.

（2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离:

①Z[=2+i,z2=3—i；

@z3=8+5i,z4=4+2i.

【答案】（1）-Xi）?+（%-%）2（2）①布;②5

【知识点】复数加减法几何意义的运用、求复数的模

【分析】（1）利用复数的几何意义化简，找到对应向量，求解向量的模即可.

（2）找到对应的点坐标，再利用两点间距离公式求解即可.

【详解】（1）因为复平面内的点4（不/），Z2（x2,y2）

对应的复数分别为Z1=玉+用，z2=x2+y2i,

所以点Z1,Z2之间的距离为

,41=|ZjZ2|=|z2-zj=|(x2+%i)—(演+yj)]

=|(%f)+(%f)i|

22

=A/(x2-x1)+(j2-y1).

(2)①易知％对应的坐标为(2,1),Z2对应的坐标为(3,-1),设两点间距离为d,

由两点间距离公式得d="（3_2）2+（_]_l）2=jF+（_2）2=亚；

②易知Z3对应的坐标为（8,5）,Z4对应的坐标为（4,2）,设两点间距离为d,

由两点间距离公式得d=J(4-8)2+(2-5)2=J(T)2+(-3)2=5.

【变式81](多选)(2425高一下•全国•课后作业)(多选)在复平面内有一个平行四边形Q4BC,点。为坐

标原点，点A对应的复数为Z=l+i,点8对应的复数为zz=l+2i,点C对应的复数为Z3,则下列结论正确

的是()

A.Zj-z2=—iB.点C位于第二象限

ZD.|-Z|=|AC|

c.Z1+Z3=2Z13

【答案】ACD

【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数加减法几何意义的运用

【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可.

【详解】

AZ1~Z2=l+i-l-2i=-i

由题意得0(0,0),A(L1),2(1,2),因为四边形QA5c为平行四边

ULUUUUU

BX形，则OC=AB=(0,l),所以C(0,l),所以Z3=i，点C位于虚轴

上

C

如图，Z],z2,Z3对应的向量分别为3,OB，OC，贝I

UULUUIUUL1U।ill

zZZAC

OA+OC=OB-OA-OC=CA,Zi+z3=2)\I-3\=\\

D

-1o\1^

故选：ACD.

【变式82](2324高一下•四川乐山•期中)在复平面内，复数3+2i,-2+3i对应的向量分别是04QB，其中。

是坐标原点，则向量AB对应的复数为

【答案】-5+i

【知识点】复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用、复数的向量表示

【分析】运用复数几何意义，结合平面向量减法运算可解.

【详解】复数3+2i,-2+3i对应的向量分别是OAOB,则OA=(3,2),OB=(-2,3)

却=OE-OA=(-5,1).则向量AB对应的复数为-5+i.

故答案为：-5+i.

【变式83](2024高一下•全国•专题练习)在复平面内，已知复数z/2满足㈤=凶=3,且区―港=3匹,

求|zi+Z21.

【答案】3拒

【分析】

设。4对应的复数为4，OB对应的复数为Z?,利用向量运算和复数的向量表示可解.

【详解】设。4对应的复数为4，。2对应的复数为Z?,

则OA+OB对应的复数为4+z?,OA-OB对应的复数为4-2，

因为闻=区|=3,且171gz=3板,

所以A03为等腰直角三角形，且|区4卜3五.

作正方形AOBC,如图所示，

zz

则OA+OB=OC对应的复数为i+2,故忖+z2|=|oc|=|BA|=372.

题型九复数代数形式与三角形式的互化

【例9】(2324高一・上海•课堂例题)把下列复数用三角形式表示：

(1)4一4i；

⑵-3右一3i；

//、・兀・兀

(3)sin—+1COS—；

88

(4)cos—+isin—.

77

【答案】(1)4A/2^cos+isin

J7K..7兀)

(2)61cos—+isin-^-I

°、3K..3兀

(3)cos--Fisin——

88

/八13K..13K

(4)cos+1sm

【知识点】复数的三角形式

【分析】根据复数三角形式的知识求得正确答案.

【详解】(1)4-4i=4应4-率=4可cos与+isi吟

(2)-35/3-3i=3(->/3-i)=6-孚-匕=6(cos—+isin—

X，'

【变式91］（2425高一上•上海•课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果:

［父女］（］）—^30+3^/10+A/30.

44

⑵一封

3

【知识点】复数的三角形式、复数乘、除运算的三角表示

【分析】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可.

【详解】（1）石［cos：+isin口石（cos^+isin胃

5兀..5兀

cos-----Fisin——

3710-7301

3兀..3兀

-----Fism——

3兀..3兀

-----Fism——

也713兀

+isin

V34-T

【变式92](2425高一上•上海•随堂练习)把下列复数用三角形式表示.

⑴3；

⑵-2i；

(3)l+i；

(4)-l+V3i.

【答案】(I)3(cos0+isin0)

J37r..3兀)

(2)21cosy+isinyI

⑶血卜。s：+isin

J2兀..2兀、

(4)21cosy+isinyI

【知识点】复数的三角表示

【分析】由复数的三角形式表示的概念可得解.

【详解】(1)由复数的三角形式表示为z=a+bi=r(cos9+isin。)，且厂=目=y/a2+b2,且加「小。,b=rsmO,

r=3

丫二3

又4=3,所以3=rcos8,解得

0=0

0=rsin^

所以z=3(cos0+isin0)；

2

TOr=2

(2)由z?=_2i,所以0=rcos0,解得

-2=rsin。2

所以Z?=2卜os告+isin1]；

22

r=5/l+l=V2

(3)由Z3=l+i,所以＜1=rcosO，解得

1=厂sin。

71..71]

所以Z3=—+1sin—•

44

=2r=2

(4)由Z4=—l+百i,所以，-1二rcos6，解得。=如

M=rsin。3

(2兀2兀

所以Z4=2卜os§+isiny-

【变式93](2425高一下•全国•课后作业)已知实数。＞0,写出下列复数的三角表示.

⑴。；

⑵山；

(3)-。；

(4)-ai.

【答案】(I)6z(cos0+isin0)

(兀..兀

(2)^1cos—+isin—

(3)tz(cos7t+isin兀)

(3兀..3兀

(4)6zlcos—+isin—

【知识点】复数的三角表示

【分析】(1)(2)(3)(4)根据复数的三角形式的定义直接求解即可

【详解】(1)复数。(。＞0)对应的复数为〃+0-i,其辐角为0,

复数a的三角形式为z=a(cos0+isin0)；

TT

(2)复数出(a＞0)对应的复数为0+a-i,对应的点在＞轴正半轴上，其辐角为；,

2

兀..兀

复数出的三角形式为Z=。cos—+isin—

22

(3)复数-。(«>0)对应的复数为-a+O-i,对应的点在x轴负半轴上，其辐角为兀，

复数一。的三角形式为z=<7(cos7i+isin7i)

3兀

(4)复数-ai(。>0)对应的复数为O-a-i,对应的点在>轴负半轴上，其辐角为二,

2

复数-0的三角形式为2=。.(。5万3兀+1$苗3兀?)；

题型十复数三角形式的乘法(方)

【例10](2425高一上•上海•课堂例题)计算：

(1)-J5fcos—+isin—^-1；

(2)(73-i)12.

【答案】⑴-20

(2)4096

【知识点】复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方

【分析】(1)利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得；

(2)将嘉的底数6-i化成三角形式，再利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得.

【详解】(1)[A/2(cos+isin^)]3=(\/2)3(cos7t+isinji)=-2^2.

(2)(^-i)12=[2(cos—+isin—)]12=212(COS22TI+isin227i)=212=4096.

66

【变式101](2324高一下•河南安阳•阶段练习)法国数学家棣莫弗发现：

[r(cos6+isine)]"=r"(cos〃e+isin〃e)(neZ),我们称这个结论为棣莫弗定理，则(1+i广4=()

A.1B.21012C.-21012D.21012i

【答案】B

【知识点】复数的三角表示

【分析】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解.

【详解】(1+犷°"=亚(cos：+isin：]=*[cos^F^+isin"FB=2""2.

故选：B

2"尹is呜)

【变式102](2425高一上•上海•课后作业)计算:

【答案】-J_+Wi

3232

【知识点】复数乘、除运算的三角表示

【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可.

【详解】因为2cos—+isin—

33

1

71..兀、]

2cos—+isin—

33〃

1

24cos—7t+isin—

I33

cosO+isinO

1/4兀..4兀、

locos-----Fisin—।

I33)

3232

【变式103］（2324高一.上海.课堂例题）设复数-3-4,在复平面上所对应的向量是0Z,将0Z绕原点。顺

时针旋转810。得到向量OZ'求向量OZ，所对应的复数.（结果用复数的代数形式表示）

【答案】4-3i