高考数学重难点专项复习：数列的递推关系（2大考点+强化训练）（原卷版+解析）

微重点05数列的递推关系（2大考点+强化训练）

数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项

公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列

中的应用.

13知识导图

--------------------------------❶考点一：构造辅助数列

★数列的递推关系

---------------------------k一❷考点二:利用即与S”的关系

考点分类讲解

考点一：构造辅助数列

规律方法（1）形如斯+1—斯=大〃）的数列，利用累加法，即利用公式斯=（斯一斯-1）+（斯-1—斯-2）H---b（«2—

即可求数列｛%｝的通项公式.

⑵形如色色■=,〃）的数列，常令〃分别为1,2,3,…，n-l,代入a*'=八〃），再把所得的（〃一1）个等式相乘，

斯斯

利用斯=〃i•丝•丝・…•卫pN2）即可求数列｛斯｝的通项公式.

（3）形如以+】=一"一（p,qWO）的数列，取倒数可得」一=；+与，即一!一一构造等差数列求通项公

peinIqq1q

式.

（4）若数列｛斯｝满足斯+i=p〃"+qSWO,l,qWO）,构造斯+i+2=p（斯+A）.

（5）若数列｛斯｝满足an+1=pan+fin）（p^0,1）,构造an+i+g（n+l）=p［an+g（n）］.

【例1】（2024•陕西•二模）已知正项数列｛4｝满足对任意正整数期均有出川=4%〃，则

“2023_/、

----二()

“222

A.2269922702C.22705D.22708

【变式1］（23-24高三下•陕西安康•阶段练习）各项均为正数的数列｛4｝,满足-=2〃，q=血，则。2。二

()

A.210B.221C.2V2D.4

【变式2】（2024•广东佛山,二模）设数列｛%｝的前”项之积为（，满足见+2]=1（〃eN*）,则%侬=（）

1011101140474048

A.------B.------C.-------D.------

1012101340494049

n

【变式3]（2023•吕梁模拟）已知凡为数列｛④｝的前w项和，且的=1,a„+r+an=3X2,则Swo等于（）

A.210°—3B.2100-2

C.2101-3D.2101-2

考点二:利用即与S”的关系

规律方法在处理S”，厮的式子时，一般情况下，如果要证明五斯）为等差（等比）数列，就消去S”如果要证

明人出）为等差（等比）数列，就消去小;但有些题目要求求｛。〃｝的通项公式，表面上看应该消去斗,但这会导

致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去。“，求出S",然后利用心=5"—5"-1（〃》2）求出出（〃22）.

【例2】（2024•山西吕梁•一模）设各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为S“，前〃项积为用“，若

«1=L24M,=Mn+1~Mn，贝US=

【变式1]（2024•福建漳州•一模）已知各项均不为0的数列｛%｝的前〃项和为S“，若3s“=a“+l,则会=

（）

11

A.——B.——D.

233

【变式2】（2024•安徽蚌埠•模拟预测）记数列｛4｝的前〃项和为S〃，若是等差数列,

S2=-8,S6=0,则为+%=（）

A.-8B.-4C.0D.4

【变式3】已知S,是数列｛斯｝的前"项和，ai=3,且当〃22时，S”,号,Si成等差数歹U.

（1）求数列｛〃｝的通项公式；

,,Q89,,

（2）设数列｛勿｝满足bn=l—前若岳乃3•…也=7祐，求正整数n的值.

强化训练

一、单选题

1.（2024•河南开封•二模）已知数歹U｛2｝的前〃项和为S〃=3〃—1,则〃5=（）

A.81B.162C.243D.486

2.（2024高三•全国•专题练习）若数列｛4｝满足％=2,%=3,%=4j（心3且”4），则内期的值为

an-2

（）

A.3B.2C.-D.-

23

3.（23-24高三上•广东湛江•期末）在数列｛叫中，6=1,且。/“+1=〃，当心2时，

111“一

—+—+…+—-2,则头数X的取值范围为t（）

。24an

A.（-00,1]B.[l,+oo）C.（o,l]D.（—8,4]

4.（2024•陕西西安•一模）记数列｛4｝的前〃项积为T“，且q=最凡+|=7；-1,若数列也｝满足

+>；+b,=Z,,则数列也｝的前20项和为（）

1=1

A.-175B.-180C.-185D.-190

2n,〃为奇数

5.（2024•山西临汾•一模）已知数列｛。〃｝满足：4=<%,〃为偶数，设S”=%+。4+。8+…+%"，贝”2024

、2

（）

A.4048B.8096C.22024-2D.22025

6.（23-24高三上•浙江杭州•期末）已知数列｛4｝,也〃｝满足q=4=1,Q〃+i=%+2，2+1=。〃-2，则

an=（）

£Ic〃Tc〃+1r2n-l+（-l）n

-1

A.2"B.2vC.2vD.2—4

7.（23-24高三上•江苏•阶段练习）设数列伍.｝的前"项和为S“，且S“+a“=l,记粼为数列｛%｝中能使

42~二（川eN*）成立的最小项，则数列也“｝的前2023项和为（）

2m+l

3113

A.2023x2024B.22024—1C.6——D.------

27228

8.（23-24高三下•浙江•开学考试）已知数列｛%｝满足％=1,且对任意〃2,“€z（%>〃）均有

=24+2%.记｛%｝的前w项和为S“，则$7=（）

A.28B.140C.256D.784

二、多选题

1.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和公式为则下列说法正确的是（）

A.数列｛%,｝的首项为q=g

,、1

B.数列｛%｝的通项公式为凡=+

C.数列｛%,｝为递减数列

D.数列｛%｝为递增数列

2.（23-24高三上•山东•期中）已知数列｛4｝满足q=1,—=4+1-一，则的。23的值可能为

（）

（1V022

A.1B.-1C.22022D.I-I

3.（23-24高三上•浙江温州•期末）已知数列｛4｝满足。“+凡+2=枇+1，AeR,若4=1,4=2,

a2024>2024,则4的值可能为（）

5

A.—1B.2C.-D.-2

2

三、填空题

1.（2024高三・全国•专题练习）已知在正项数列｛““｝中，J7+JZ+…+〃；=等4,则数列｛4｝的通

项公式为.

2.（2024高三下•全国•专题练习）数列｛4｝满足％+今+粤+L+组=3"-25eN*,〃>l）,则/=_____.

23n

S+9

3.（2024•广东广州•一模）已知数歹£%｝的前“项和S”=〃2+〃，当」一取最小值时，〃=.

an

四、解答题

1.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知数列｛4｝的前九项和为S“,％=3且S"+S“+i=2*+6〃+3,〃eN*.

⑴求S9的值；

⑵求数列｛%｝的通项公式.

2.（23-24高三下•湖南湘潭•阶段练习）设各项都不为0的数列｛见｝的前〃项积为,，7；i=22

%=2.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵保持数列｛%｝中的各项顺序不变，在每两项应与％之间插入一项2（--%）（其中笈=1,2,3,…），组

成新的数列也｝，记数列也｝的前〃项和为加若S">2023,求”的最小值.

3.（23-24高三下•四川绵阳•阶段练习）设S"为数列｛4｝的前〃项和，已知电=4,邑=20,且为等差数

列.

⑴求证：数列｛（｝为等差数列；

⑵若数列｛〃,｝满足4=6,且驾=+，求数列｛2｝的前“项和

4an+2

4.（2024•云南・一模）已知｛%,｝为等比数列，记S.、？；分别为数列｛%｝、｛2｝的前〃项和，工=62,

510=2046,2Tn=nbn+n,b2=3.

⑴求｛%,｝、也｝的通项公式；

bbb

（2）是否存在整数。，使,+上+…+字<。对任意正整数"都成立？若存在，求。的最小值；若不存在，请

说明理由.

5.（23-24高三上•山西・期末）已知数列｛%｝的首项4=2,且°用=丝二

n+1

⑴求数列｛%｝的通项公式；

〃+1,（〃为奇数）

（2）令么=＜上口（〃为偶数），求数列也｝的前2"项和$2”.

微重点05数列的递推关系(2大考点+强化训练)

数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列一等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项

公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列

中的应用.

知识导图

❶考点一：构造辅助数列

*数列的递推关系

❷考点二:利用。"与，的关系

考点分类讲解

考点一：构造辅助数列

规律方法⑴形如斯+L斯=7㈤的数列，利用累加法，即利用公式斯=(斯一斯-1)+(斯-1一斯-2)H---1-(«2-

即可求数列｛诙｝的通项公式.

(2)形如吧=々2)的数列，常令”分别为1,2,3,…，72—1,代入吧=/5),再把所得的("一1)个等式相乘，

Cln

利用•丝•丝•…・一"(〃22)即可求数列｛〃〃｝的通项公式.

〃2〃八-1

⑶形如诙+1=一哈5qWO)的数列，取倒数可得」一=工+々即一!一一工=2,构造等差数列求通项公

peinIq1+1q〃〃+1q

式.

⑷若数列｛〃〃｝满足〃〃+i=p〃〃+q(pWO,l,qWO),构造〃〃+i+/l=p(〃〃+7).

(5)若数列｛斯｝满足an+1=pan+J(n)(p^0,1),构造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)].

【例1】(2024•陕西•二模)已知正项数列｛q｝满足对任意正整数〃，均有。2〃=2%z，电〃+1=4%〃，则

B.22702C.22705D.22708

【答案】B

【分析】根据数列递推式推出%向=2初％,以及〃2〃=23〃-2%,由此即可求得答案.

【详解】由题意知正项数列｛?｝满足对任意正整数m均有%〃=2%〃」，％向=44〃，

故%+1=8%_1=8旬〃_1）+1=82旬-2）+1=…二夕旬〃-〃）+1=8"q=232，

a2n=2%〃T=2。2（〃_1）+1=2x8"Z=2'24,

30333xin2331

故。2。23=々2x1011+1=2ax,a222—tz2xiii_2ax—2^,

3033

a2/7

故咏二餐幺=22702,

^^222

故选：B

【变式1】（23-24高三下•陕西安康,阶段练习）各项均为正数的数列｛%｝,满足心-4=2",q=0,则a20=

（）

1021

A.2B.2C.2叵D.4

【答案】A

【分析】利用累加法可得数列｛片｝的通项公式，进而可得。“与电。.

【详解】由已知叱「片=2”,

32

可得片-%=2"~a-",<2-<3=2-,L,«|-^=2,a；-a；=2、等式左右分别相加可得

2（1-2"叫

21

a：一片=2a+2n-2+2”-3+...+2+2=------=2〃-2,

〃“1-2

又q=&，即a；=2,

所以a；=a；+2〃—2=2〃，

又数列｛4｝的各项均为正数，

所以a“=2?，

所以。2。=21°,

故选：A.

【变式2】（2024•广东佛山•二模）设数列｛%｝的前〃项之积为（，满足a“+2<=l（〃eN*）,则%。24=（）

1011101140474048

A.------B.------C.-------D.-------

1012101340494049

【答案】C

,1、

【分析】由已知递推式可得数列｛丁｝是等差数列，从而可得1,进而可得的）24的值.

【详解】因为。"+27；=l（〃eN*）,

所以4+27]=1,即％+2q=l,所以4=；,

所以，+27；=l（〃W2/7eN*）,

lfl―1

11*

所以〒一X=25N2,“eN）,

所以数列｛；｝是首项为：='=3,公差为2的等差数列,

T“工%

所以不~=3+2("-1)=2n+l,

1

1T2x2024+1=4047

即所以％必=沪

277+172023I―4049

2x2023+1

故选：C.

n

【变式3】（2023•吕梁模拟）已知S"为数列｛斯｝的前〃项和，且的=1,an+i+a„=3X2,则Sioo等于（)

A.2100-3B.2100-2

C.2101-3D.2101-2

【答案】D

【解析】由1+斯=3X2"得，

斯+1—2"+1=一(火一2").

又a\—21=-1,

所以｛斯一2"｝是首项为一1,公比为一1的等比数列，所以斯一2"=(—1)。

即a„=2n+(-l)n,

所以5100=21+22+…+299+2i°°+(—1)+(—1)2+…+(—1)99+(—1严。

2(i—2ioo)

=-L—-H+O=21O1-2.

考点二:利用“与S”的关系

规律方法在处理S.，斯的式子时，一般情况下，如果要证明式为等差（等比）数列，就消去S",如果要证

明火S,）为等差（等比）数列，就消去诙；但有些题目要求求｛火｝的通项公式，表面上看应该消去S,,但这会导

致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去斯，求出S„,然后利用a“=S“一ST（w》2）求出斯（w22）.

【例2】（2024•山西吕梁•一模）设各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为S“，前〃项积为用“，若

=L2aW“=Mn+I-Mn,则％=.

【答案】1013

【分析】根据题意化简2a,M“=M用-可得数列｛%｝的递推公式，构造法求出其通项公式，从而求解

Sg.

【详解】由2a“M“=M”+

得26此=此--此

:a,>0,Mn>0

2。“=即2(%+1)=an+1+1

an+1

・••也+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列

a“+l=2-2"T=2"

・“一2"-1v_2(1-2")1

"1-2

10

,-.S9=2-l1=1013.

故答案为：1013

【点睛】由递推公式求通项公式的常用方法：

1、累加法求通项适用于：%+i=%+/(〃)

2、累乘法求通项适用于：。"+1=/(")可

3、构造法求通项适用于：形如见+inaZa+dfcwO9=a)型

形如：。用=。%+/(其中4是常数，且型

形如。用=pa“+A〃+b(其中左涉是常数，且ZwO)型

【变式1](2024•福建漳州•一模)已知各项均不为0的数列｛4｝的前”项和为S"，若3S“=a“+l,则£=

()

【答案】A

【分析】根据％与S〃之间的关系分析可得2〃x=-4,令〃=7即可得结果.

【详解】因为电=4+1,则35用=%+1,

两式相减可得：3(2H+1=an+i-an,即2%+i=—a〃，

令〃=7,可得2%=-%，

出1

且为W0,所以\二一十

故选：A.

【变式2】(2024•安徽蚌埠•模拟预测)记数列｛%｝的前w项和为S,,,若是等差数列，

S2=-8,S6=0,则/+。4=()

A.-8B.-4C.0D.4

【答案】C

【分析】由已知，:，是等差数列，可求得，手，的公差，进而求得，:，的通项公式，可得5“=〃(〃-6),

利用%+%=S4-$2，计算可得结果.

【详解】因为是等差数列，邑=-8应=0,

c邑_邑qq

所以3•的公差八彳一万一，所以％=》+(〃—6)x1=〃—6,

na=--——=1n6

6-2

所以—6),

所以〃3+%=S4_S2=4X(4_6)_2X(2_6)=0,

故选:C.

【变式3】已知S”是数列｛斯｝的前〃项和，刃=3,且当时，S”,等，Si成等差数歹！1.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

989

(2)设数列｛小｝满足勿=1—谓，若岳乃3・…%=7祐，求正整数〃的值.

【解析】解(1)方法一由题意知当〃三2时，

S"+Sn-i=nan,

•・S〃+Sn-l―Sn-l)9

,,E〃+1

整理得S〃=—誉〃T,

n~1

由Si—6Zi—3,

n~\~1nn—1n—2433o.

：・S〃=-----7X-----X-----X-----X•••X-XTX3=^（n2+n）,

n~1n~2n~3n—4212

3

经检验S=3也符合（层+〃）.

J当〃22时，an=Sn-Sn-i

33

=］（层+〃）一］［（九一］＞+（〃-1）］=3几

的=3也满足an=3n,

・•・数列｛斯｝的通项公式为丽=3几

=

方法二由题意知当〃22时，Sn~^Sn-\nan,

:・当〃23时，Sn-1+Sn-2=（n—1）an-1,

两式相减得斯+斯-1=〃斯一（〃一

即（Z21）〃八YlClfi—1,

n篙(田)，

斯

・•・当〃23时,为常数列,

又由S2+S1=2〃2得。2=6,

同理可得俏=9,

・.・〃3§=〃52=1=3

.,.^=Y=3,即a„—3n,

•••数列｛为｝的通项公式为a„=3n.

91

(2)由⑴得乩=1一茄=­7

132435n-1n+1M+1

•••历&•^=2X2X3X3X4X4X…义丁义丁=丁.

由嘿=稳，得”=88.

日强化训练

一、单选题

1.(2024,河南开封•二模)已知数歹£%｝的前〃项和为凡=3"-1,则％=()

A.81B.162C.243D.486

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用%=5“-Si（〃22）列式计算即得.

【详解】数列｛%｝的前〃项和为S“=3"-l,所以％=乞-邑=35-3"=162.

故选：B

2.（2024高三・全国•专题练习）若数列｛%｝满足％=2,%=3,%==523且〃eN*）,则%。2。的值为

an-2

（）

A.3B.2C.-D.-

23

【答案】C

【分析】根据题意依次求得““的前若干项，推得｛%｝为周期数列，从而得解.

【详解】因为4=2,4=3,4=♦（«>3MneN*）,

an-2

_%3a,1a.1a.2a,_

所以。3=—=彳，。4=-=-,a5=一=-,a6=一=-,a7=一=2,ag=一=3,

q2a22a33a43a5a6

所以数列｛%,｝具有周期性，且T=6,所以％020=。336*6+4=。4=（

故选：C.

3.（23-24高三上,广东湛江•期末）在数列｛%｝中，％=1,且当心2时,

—+—+•••+—^«n+«„+i-2\则实数X的取值范围为()

C^2C^3^,n

A.(-oo,l]B.[l,+oo)C.(0,1]D.(-oo,4]

【答案】A

【分析】先根据递推关系得到4a,把条件转化为2%42,从而可得答案.

an

【详解】因为〃/用=〃，6=1,所以%=1，且当〃>2时，an_{an=n-l,

1

所以anan\-4-4=1，所以一=anl-%T,

+an+

111

所以一+—+…+—=%_"1+〃4_〃2+%_〃3+…+。〃+1_。〃一1=—4-4+。〃+1+。〃+1—2.

〃2〃3an

111.

因为一+一+…+一《见+4+「2,

%%an

所以l+1+i—241+1+1-2”,所以2'42，故CVL

故选：A.

4.（2024•陕西西安•一模）记数列｛%｝的前w项积为小且q=g,a向=（-1,若数列也｝满足

fa；+2=（,则数列｛2通前20项和为（）

1=1

A.-175B.-180C.-185D.-190

【答案】c

【分析】利用递推公式及前〃项积可得再由累加法可求得£加=4m+”-彳，可知数列

i=l4

也｝的通项公式为2=-"+：，即可计算出前20项和为-185.

【详解】根据题意由。同=（一1可得4用+1=（,所以4+1=7；1（〃之2）,

两式相除可得整理可得%+i+1=%(%+1)=a；+an,

即an=%-4+1，

所以a；-+1,

/-生+1，

a；=%—〃2+1，

累力口可得一。；=4+1一。2+（〃-1），

i=l

由％=g,%+l=（-1可得%=-g;

“111

所以=an+1+-+（n-l）+-=an+1+n-~；

i=iZ44

n1

结合Zd+或=（可得%+i+”-；+"=r=""+i+i，

所以6.=-?i+1,n>2；

易知仿=；符合上式，所以可得a=-〃+：；

即数列也｝为等差数列，前n项和为4+&+…+2=一*tl1+彳，

因此数列圾｝的前20项和为々+%+…+%。=一2*0+。+等=-185.

故选：C

2n,几为奇数

5.（2024•山西临汾•一模）已知数列｛?｝满足：〃为偶数，设8"=。2+&+。8+3+4”，则S2024=

2

()

A.4048B.8096C.22。24—2D.22025

【答案】A

【分析】计算得出?”=2,可求出｛SJ的通项公式，即可求得的值.

2n,〃为奇数

【详解】因为数列｛%｝满足：为偶数，且S〃=%+。4+。8+••,+%，

、2

对任意的〃wN*,2"为偶数，则%"=%T="=%=2,

所以，=&+，+^--->■4,=2〃，所以，S2024=2x2024=4048.

故选：A.

6.（23-24高三上•浙江杭州•期末）已知数列｛%｝,｛2｝满足4=4=1,a,1+1=«„+bn,bn+l=an-bn,则

an=（）

n

A.c〃-1cn+12n-l+（-l）

A.2"iB.2—C.2vD.2—4

【答案】D

【分析】根据递推关系，归纳出数列｛%｝的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，进而可得数列

｛%｝的通项公式.

【详解】因为4+1=a„+〃，bn+l=an-bn,则%+bn+l=2an,

aaa2a

又n+2=„+l+b"+l，则n+2=„，

所以数列｛«„｝的奇数项与偶数项分别为公比为2的等比数列，

由%=4=1可得%=q+4=2,

贝U数歹!J｛凡｝的各项为1，2,2,4,4,8,8,…，

n-1n-1

其中奇数项的通项公式为a=..2^=2三，

偶数项的通项公式为an=a2-2守=2^，

所以数列｛4｝的通项公式为。

故选：D

7.（23-24高三上,江苏•阶段练习）设数列｛《｝的前”项和为S”,且S,+a“=l,记或为数列｛0｝中能使

为2不工（meN*）成立的最小项，则数列｛£｝的前2023项和为（）

2m+l

113

A.2023x2024B.22024-1D.--------

C.228

【答案】D

【分析】首先根据S,,与。”的关系，得到数列｛g｝的通项公式，再根据规律找到满足条件能使42h二

2m+l

(〃zeN*)成立的最小项，并对于不同的〃，值，计算满足条件的个数，从而求和得解.

【详解】因为5“+%=1,则S向+。属=1,

两式相减，得2a“+i-%=0,

又当〃=1时，6=：，故4,片。，

所以｛%｝是以q=g,4的等比数列，则4,J，

显然｛%｝递减，要使得。“最小，即要使得〃最大,

令吴贵，

得2"2根+1.

若根=1,则〃&1,々=%=g;

^2<m<3,则〃W2,鬣=。2=；；

若44m47,贝lj〃<34=%=：；

O

若8V/WV15,则〃44,鬣=。4=」；…；

16

1024<m<2047,贝W11,粼=%]=，「••，

则4=4=gZ=4+(a+&)=g+；=i

1113

Ti=4+色+4)+(4+4+%+跖=5+5+5=]

T1_HT_1124_113

■-72047=1I']=5，..12023=5一声=万一及>

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得2"<2m+1,从而分类讨论机的取值范围，求得对应为的值,

从而得解.

8.(23-24高三下•浙江•开学考试)已知数列｛4｝满足％=1,且对任意〃2〃€m(%>")均有

。…+%,-,=24“+2。”.记｛q｝的前〃项和为5“，则S'=()

A.28B.140C.256D.784

【答案】B

【分析】令〃=1,得到（——%）-（册一%）=2,令粼=%+「％,求得粼—粼T=2,得出｛粼｝为等差数

列，求得品+i-=2加-3+出，利用累加法求得m-2）2+（加一1）〃2,再令机=3,〃=2,得到

%+4=2%+2%,求得%=4,得出%?=根2,即可求解.

【详解】由数列｛4｝满足q=1,且〃…+。…=24+2%,

令〃=1,可得为+1+*=2〃利+2%=2%+2,即（。加+1-。加）-（金-册_i）=2,

再令与=“「心,可得粼-鬣一=2,即数列例｝是公差为2的等差数列，

又由4=g一%=%_1，可得粼=2加_3+%,即金记一册=2根—3+%,

又由4机=+（〃2—《）+（〃3—%）+…+（〃加—〃机—1）=（机—2）2+（根—1）%

即am=（加一2）2+（m-l）di2,所以%=1+2%及。5=9+44,

令机=3,〃=2,可得。5+q=2%+2%,代入可得9+4出+1=2（1+2%）+2%,

解得〃2=4,所以/=0_2）2+（加_1“4=加2,

即数列｛4｝的通项公式为%=",

所以邑=F+2?+3?+4?+5?+6?+7?=140.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明数列｛0｝是公差为2的等差数列，再结合累加法并求出电=4,

从而得到a„=n2,最后计算S］即可.

二、多选题

1.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和公式为S“=—则下列说法正确的是（）

A.数列｛凡｝的首项为％=：

B.数列｛%｝的通项公式为g=仆+］）

C.数列｛4｝为递减数列

D.数列｛%｝为递增数列

【答案】ABC

【分析】利用应，S”的关系式，分类讨论”=1与“22两种情况，求得％,从而得解.

【详解】对于A,因为

所以当〃=1时，6=Si=；,知A正确；

Co〃〃-11

对于B,当〃22时，an=Sn-Sn-\=-----=/，

,、1

当”=1时，也满足上式，故数列｛4｝的通项公式为。“=而可，故B正确;

_1__________1____2

对于CD,„-i”=(zz+2)(n+l)H(n+1)=n(/?+l)(n+2)，

所以数列｛%｝为递减数列，故C正确，D错误.

故选：ABC.

「、11

2.(23-24高三上•山东•期中)已知数列｛%｝满足%=1,-f---=4+1-一，则％必的值可能为

Z^an+lan

()

(1A2022

A.1B.-1C.22022D.I-I

【答案】AD

【分析】化简原式得到。角,。“的两种对应关系，然后分类讨论｛4｝的通项公式，由此可得结果.

a1111a

【详解】因为n彳---=an+l---,所以--------=an+l―,

22<?„+1anan2an+i2

所以2；；+陷“'=2%+；一%，所以(。向%-1)(2%+|-％)=0,

所以见+i=；%或%+1。,=1，

=(见时，｛%｝是首项为1公比为3的等比数列，所以出。23

当an+1

当。,+“=1时，可得a“=l,下面用数学归纳法证明：

当〃=1时，=1,成立，

当〃=左(左21,左wN*),假设以=1成立，

11

当〃=k+1时，因为以+。=1,所以W+i=—=1,成立,

由上可知，%=1成立，止匕时%023=1；

当％。"=1均在数列中出现时，由4=1可得%>。，B选项不可能；

a

当n+i=]14〃42021,a2022a2023=1时，o2023最大，

小、2021

此时%）22=J，«2023=22021<22022,故C不可能.

故选：AD.

3.（23-24高三上,浙江温州•期末）已知数列｛%｝满足a.+a,+2=2a.+i，2eR,若％=1,a2=2,

a2024>2024,则彳的值可能为（）

5

A.—1B.2C.-D.-2

2

【答案】BCD

【分析】由题意，结合选项根据彳的取值，得出对应的递推公式，利用归纳法求出对应的通项公式，依次

验证即可.

【详解】A：当4=-1时，

生=—%—q=—3,。4二一“3—。2=L%=—。4—%=2,。6=一。5—。4=—3,

所以数列｛〃〃｝是以3为周期的周期数列，则电024=4=2<2024,不符合题意，故A错误；

B：当4=2时，an+2=2an+l-an,

得q=2/_〃]=3,%=2%一%=4,«5=2a4—%=5,«6=2tz5—a4=6,-->,an=n,

所以％024=2024,符合题意，故B正确；

C：当4=|"时，%+2=；%+「%，

得*…=展,％冬-…吗'

所以a20M=2物>2024,符合题意，故C正确；

D：当X=—2时，an+2=-2an+l-an,

彳导。3=—2a、—q=-5,%—2a、—%=8,%=—2%—。3=-11,%=-2as—=14,・•a“=（-1）”（3〃—4）,

所以%>24=3X2024-4=6068>2024,符合题意，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

1.（2024高三・全国•专题练习）已知在正项数列｛““｝中，J7+JZ+…+〃；=当由，则数列｛%｝的通

项公式为.

【答案】％二*

【分析】依题意易得m=〃，即可求得数列｛%｝的通项公式为。“=

【详解】根据题意由J7+m'H=.（；+1）可得^~+8~+…+=”（；1）2；

两式相减可得弧=当口L当D=n,

所以疯=","22，即可得=〃2,九22；

易知当〃=1时，J］」*（；+，=］符合上式;

所以数列｛凡｝的通项公式为处=/.

故答案为：。“=7/

2.（2024高三下•全国•专题练习）数列｛%｝满足4+与+g+L+2=3"-2（"eN*,〃油，贝以=

23n

l,n=1

【答案】

2n-3n~\n>2

【分析】令d=",得到S"=3"-2,结合。“与S,的关系，求得£=］：（；：；）、小，进而求得。“，得到答

n2-3Jn>21

案.

【详解】令4=子，也｝的前”项和为S”，

因为％+&+&+L+%=3”-2,可得S“=3"-2,

23n

当〃=1时，=31-2=1；

当“22时，6“=S“一S,i=(3"-2)-(3“T—2)=2.3"T,

将〃=1代入上式可得々=2x31=2w1,

IK>2,即"=1,H=1l,n=l

综上可得或=2.3-n>2>所以“"二

2-3,n>2n2n-y-l,n>2

故答案为:

2n-3^,(n>2)'

S+9

3.（2024•