甘肃省临夏回族自治州康乐县2024-2025学年高一年级下册第一次学业诊断检测数学试题（解析版）

2024-2025学年第二学期高一年级第一次学业诊断检测

数学试题

考试时间：120分钟试卷分值：150分

一、单选题（共8小题，每小题5分）

1.已知集合"={一1'°」},则满足4^8={—1，°，1，2,3}的集合8可能是（）

A.{-1,2}B.{-1,0,1,3}C.{-1,0,1}D,{0,2,3}

【答案】D

【解析】

【分析】根据并集定义计算，选出正确答案.

【详解】{-1,0,1},^.{-1,2}={-1,0,1,2},A错误；

{-1,0,1}^{-1,0,1,3}={-1,0,1,3}-B错误;

{-1,0,1}1{-1,0,1}={-1,0,1},C错误；

{—1,0,1}U{0,2,3}={—1,0」,2,3},D正确.

故选：D

2.下列函数中既是偶函数又在（0,+?）上单调递增的是（）

A.y—x3B.y=x~2C.y=log|x\D.y=|A'I+-~-

2|x|

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案.

【详解】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,y=x3,为寻函数，是奇函数，不符合题意；

对于8,y=xL为累函数，是偶函数，但在区间（0,+8）上单调递减，不符合题意；

对于C,y=10g2|%|,为偶函数，又在（0,+8）上单调递增，符合题意；

对于。，y=|x|+j|j,为偶函数，在区间（0,1）上，为减函数，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题.

3.命题“也«0,+«)),%2+2出1，，的否定是().

A3x0,X；+2%<1B.3XQ,Xg+2^>1

2X2X

C.Vxe(0,+oo),x+2<1D.Vxe(0,+co),x+2<1

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】命题“Vxe(O,+8),尤2+2工21，，为全称量词命题，

其否定为：3XOG(O,+«)),X；+2%<1.

故选：A

4.己知第二象限角a的终边与单位圆交于Pm,|,则sin21=()

24

D.

25

【答案】B

【解析】

【分析】由三角函数的定义可求出sine,进而可求出cosa,sin2a.

【详解】因为角£的终边与单位圆交于PL机,I),所以sina=|,

又角a是第二象限角，所以cos。<0,

所以coso=-Vl-sin2a二一、，

24

所以sin2a=2sinocosa-----,

25

故选：B.

5.已知正数X,>满足x+y=i,若2孙恒成立，则实数，的取值范围是()

11

A.(一,+8)B.(—00,—)C.(l,+oo)D.(—oo,l)

22

【答案】A

【解析】

【分析】恒等式成立转化为求2孙的最大值，根据均值不等式可求出2孙的最大值即可.

【详解】，正数%y满足x+y=l,

・…"宁)2=］当且仅当户一时，等号成立,

即2孙<：,

t>2孙恒成立,

1

,•t>一，

2

故选：A

【点睛】本题主要考查了利用均值不等式求最值,不等式恒成立，属于容易题.

sin6Z(l-sin2a)(

6,若tana=3>则

sin。一cos。

366

A.-B.-cD.——

55--15

【答案】A

【解析】

【分析】利用同角三角函数的平方关系和商数关系、正弦的二倍角公式化简该式子即可求值.

［详解］sin(z(l—sin2a)sin(z(sin2(z+cos2«_2sinecosa)sina(sina-cos6z)2

sin。一cos。sin。一cos。sincif-coscif

sin2cr-sincircoscirtan2cr-tancif9-363

二sina(sina-cosa)=

si•n2a+cos2atan2or+19+1105

故选：A.

Y2

7.函数/(%)=-------的图象大致为(

2X-2-X

yjk

A.B.

oxox

【答案】A

【解析】

【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.

【详解】因为厅―2一'#0,所以xwO,定义域为(—8,0)(。,+8)；

22

因为y(x)=广一,所以/(—%)=:」故/(%)=—/(—x),所以/(力为奇函数，排除B,

2*—22-2”

当X趋向于正无穷大时，元2、2兀-2-均趋向于正无穷大，但随X变大，2'-2一、的增速比不2快,

所以/(%)趋向于0,排除D,

由"1)=|'佃呼则”1)〉/

,排除C.

故选：A.

ex~2—1,(x..a\

8.已知函数/(x)=<2若函数/(X)恰有两个零点，则实数。的取值范围是()

—x—x+2,(x<a),

A.[-2,1)O(2,-H»)B,[-1,2)0[2,+oo)c.(-2,1]0(2,+oo)D.(-2,1]O[2,^O)

【答案】C

【解析】

【详解】结合函数〉=/2—1与y=—必一x+2图象可知：当④—2时，函数有1个零点；当ae(—2,1]

时，函数有2个零点；当ae(l,2]时，函数有3个零点；当ae(2,+oo)时，函数有2个零点，故选C.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分段函数零点问题的研究，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

二、多选题（共3小题，每小题6分）

9.若收2＞庆2,则下列不等式一定成立的是（

11b+cb

A.a3>b3C.-<-D.---->-

aba+ca

【答案】AB

【分析】由题意可得。＞6且cwO,利用y=d是R上的增函数，可判断A;利用y=是R上的减函

数，可判断B；利用赋值法可判断CD.

【详解】因的2＞加2,所以。且cwO.

对于A,因为y=d是R上的增函数，所以标＞/,故A正确;

对于B,因为y=是R上的减函数，所以（g），故B正确；

对于C,取a=l,b=-l,显然有工＞!，故C错误；

ab

b+c12h

对于D,取a=3,b=2,c=-l,显然有一故D错误.

a+c23a

故选：AB.

10.有以下判断，其中是正确判断的有（）

A.7%=巴Ixl与g(/x、)=l,x>0八表示同一函数

B.函数y=/(x)的图象与直线x=l的交点最多有1个

C./(%)=%2—2x+l与g(7)=产—2f+l是同一函数

「3~

D.函数丁=/(力的定义域为［2,3］,则函数y=/(2x—1)的定义域为-,2

【答案】BCD

【解析】

【详解】对于A,先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B,由函数定义分函数

y=/(x)在X=1处有没有定义即可判断；对于C,由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D,先由

函数y=/(x+l)定义域为［1,2］得2WX+1W3,从而得函数y=/(2x—l)有2<2x—1<3,解该不等

式即可得解.

【分析】对于A,函数的定义域为卜,/0},函数g(x)=J；：^定义域为R,

故函数/(%)和g(x)不是同一函数，故A错误；

对于B,若函数y=/(x)在x=l处有定义，则y=/(x)的图象与直线x=l的交点有1个，

若函数y=/(x)在％=1处没有定义，则y=/(x)的图象与直线x=l的没有交点；

所以函数y=/(x)的图象与直线x=l的交点最多有1个，故B正确；

对于C,因为函数/(%)=f—2x+l与g«)=/—2/+1的定义域均为R,

且两函数对应关系相同，所以函数/(尤)与g(。是同一函数，故C正确；

对于D,对函数y=y(x),其定义域为［2,3］,

3

所以对函数y=/(2x—1)有2V2x—1<3,解得

~3-

所以函数y=/(2x—1)的定义域为-,2,故D正确.

故选：BCD.

11.已知函数/(x)=2sin(ox+。)。〉0,阐<5的图象经过点(0,6),则下列说法正确的是()

A.若/(%)的最小正周期是兀，则6y=2

B.若“力的图象关于直线％=巴对称，则0=1+3左(左eN)

C.若/(%)在o,|上单调递增，则0的取值范围是

25

D.若则〃尤)在[0,兀]上有且只有1个零点

【答案】ACD

【解析】

【分析】先根据函数“X)的图象经过点仅，百)求出。，根据正弦函数的周期即可判断A；根据正弦函数

的对称性即可判断B；根据正弦函数的单调性即可判断C；根据正弦函数的图象与性质即可判断D.

【详解】因为/(%)的图象经过点倒,、可，所以/(O)=2sin0=JL即sin°=岑，

又时＜：，所以9所以/(x)=2sin/x+|^,

对于A,因为/(%)的最小正周期是兀，所以7=生=兀，解得口=2,故A正确；

CD

对于B,因为/(%)的图象关于直线x=《对称，则”+]=]+E(左eZ),

又口〉0,所以。=1+6左(左eN),故B错误；

对于C,由XC0,—,得0尤+1€+y,

zxjr7171717171

因/(X)在0,—上单调递增，所以—,—(v+—o

一乙」LL

即一0)-\—<一,解得0<。W—即。的取值范围是故C正确;

2323

7171

对于D,因为xe[0,7i],所以+—,na)+—

33

25兀

因为一＜。＜一,所以兀K兀。+—＜2兀，

333

所以/(九)在[0,可上有且只有1个零点，故D正确.

故选：ACD.

三,填空题（共3小题，每小题5分）

3

12.已知sin（〃一二）=），贝!Jcos2a=—

7

【答案】-

【解析】

3

【分析】化简sin（〃—a）=《可得sin。，再由二倍角公式求cos2。.

3

【详解】sin（7r-cr）=-,

,3

sma=—

5

又cos2a=l-2sin2a，

7

cos2a=——，

25

7

故答案为：—.

25

仆—3)二；则

13.设函数〃x)=<

log2(-x),x<0

【答案】1

【解析】

【分析】由分段函数解析式，根据周期性可得/Q023）=/（-2）,再代入解析式求值即可.

【详解】由/(2023)=/(2023—675x3)=/(―2)=log2[-(-2)]=1.

故答案为：1.

1%2+九+177X

1y4l.函数y=--------与y=3sin$-+l的图象有〃个交点，其坐标依次为心,%），（々,%），…，

X

（乙，九），则X(%+%)=

J=1

【答案】4

【解析】

+1两个函数对称中心均为（0,1）画出

y=C="+],y=3sinW+l的图象，由图可知共有四个交点，且关于（0,1）对称,

xx2

4

石+z=%+£=0，，%+%=%+%=2,故za+x）=4，故答案为4.

i=l

四、解答题（共77分）

2

15.。=R,A-x|x-4%+3<0J,B-^x||x-3|<1},C=\x\a<x<tz+l,tzGR1.

（1）分别求Ac5,

（2）若C=C,求实数。的取值范围.

【答案】⑴[x\2<x<3],{小<3或x»4}

（2）（2,3）

【解析】

【分析】（1）先求出集合A3,进而根据交集、并集及补集的定义计算即可;

（2）由题意可得。£3,进而结合包含关系求解即可.

小问1详解】

因为A={x]%2—4x+3V0x|l<x<31,B=<j^x||x-3|<1x\2<x<

所以Ac5={x|2<%4

又2JB={X|XK2或xN4},

所以Au（2吕）={x\xK3或xN4}.

【小问2详解】

因为8C=C,所以

a>2

所以《,即2vav3,

〃+1<4

所以实数。的取值范围为（2,3）.

4A/31371

16.已知sin(TT-cr)=1厂,cos(a-尸)=P<a<~,

TT

(1)求sin(a+§)的值;

（2）求角夕的大小.

(1)至；(2)-

【答案】

143

【解析】

【分析】（1）先通过诱导公式和同角三角函数基本关系求出Sin。,cosa,进而可求出sin（a+-）；

3

（2）先通过cos（a—分）求出sin（a-，），再通过以）51=85［。一（戊一1）］展开可得答案.

【详解】解：（1）因为sin（»-a）=«乂5,所以sina=

77

因为0<。<2，所以cosa=J1一sin2c=>

27

.71..46116

所以sin(tz+y)=smacos——Fcosasm—=-----x—+—x——=-----；

33727214

13717L

(2)因cos(a-〃)=五，且0</?va<5，所以0<o

所以sin。一,)=yjl-cos2(a-J3)-~~~

cosp=cos[a-(a-夕)]=cosacos(a—，)+sinasin(tz一，)=gx+孚x哼=1

TT

因为0<尸<5,

兀

所以尸=§•

【点睛】本题考查三角恒等变形公式的应用，是中档题.

其中a>0且Qwl.

、[|x+l|,x<0/、

⑵设函数g(zx)=、1，请你在平面直角坐标系中作出g(x)的简图.

①根据图象写出该函数的单调递增区间：

②求g(x)Wl的解集.

【答案】（1）fl=2J=log23

(2)图象见解析；①[-1,0],(0,+“)；②[-2』.

【解析】

【分析】(1)把已知点坐标代入函数解析式求得。的值，再由/"+2)=3求解/的值；

(2)直接由函数解析式作出图象；①由图象可得函数的增区间，②求出满足g(x)=l的无值，结合图象可

得g(x)4l的解集.

【小问1详解】

由函数/(x)=ax-2的图象经过点[1,J]可得a-？=1,

解得a=2,即/(耳=2、一2；

又〃/+2)=3,因此[+2-2=3,可得)=3，

解得f=log23；

【小问2详解】

|x+l|,x<0

易知g(x)=<

2x-l,x>0,

在平面直角坐标系中作出g(x)的简图如下:

①根据图象可得该函数的单调递增区间为［-1,0］和(0,+8)；

②由g(尤)=1可得x=-2或x=0或x=l；

结合图象可得g(x)Wl的解集为［―2,1］.

18.设函数/(x)=sin(tyx-§)+cos(t9x-万)，其中0＜。＜3.已知/(§)=0.

(1)求0和y=/(x)的周期.

(2)将函数y=/(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的;倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平

yr7C71

移个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在一三上的最值.

436_

13

【答案】(1)。=5，T=4万；(2)最小值-不，最大值也

【解析】

【分析】

(1)利用三角恒等变换化函数/(%)为正弦型函数，根据/(?)=0求出。的值，进而可得周期；

JTTTJT2tJJ".

(2)写出了(%)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，由得,

结合正弦函数可得结果.

【详解】(1)因为/(%)=sin(G%—工)+COS(G%—工)=LsinG%一cos5：+sincox

=-sincox-cos(ox=y/3sin(cox-—)

226

由题设知二0,

所以竺一四二女兀，左wZ,故@=工+34，keZ,

362

又0＜幻＜3,所以啰二一

2

27r

周期丁=一二4»

3

(2)由(1)得f(x)=A/3sin(—x---)

26

将函数y=/(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的1倍(纵坐标不变),

得y=6sin[2x-j

JT

再将得到的图象向左平移一个单位，得到函数y=g(x)的图象,

4

则g(x)=Gsin(2x+§,

7171n2〃

当xe2%+fe

~3,~6

717T7T3

所以当2%H—=—，即%=—时，g(%)取得最小值—，

3332

r)I'J/')I_

当2%+耳=5,即％=正时，g(x)取得最大值班.

【点睛】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，将函数式化为

y=Asin(a)x+9)的形式是解题的关键，属于中档题.

19.已知函数/(x)=logfl-------(a＞0,awl)是奇函数.

(1)求实数加的值；

(2)是否存在实数，，a,当xc(p,a—2)时，函数/(九)的值域是。,+⑹.若存在，求出实数P,a；

若不存在，说明理由；

⑶令函数g(x)=—成：2+6(%-1)/(*)—5,当xe[2,3]时，求函数g(x)的最大值.

~9（1+19,0<aVl

93

【答案】⑴1；⑵存在实数。=2+若，。=1；⑶g(x)

maxa2

3

—4ci+13,〃2—

I2

【解析】

【分析】(1)根据题意，由函数奇偶性的性质可得有〃-x)+/(x)=O,即

1+1—vny

log,-----+log,-----=0,解可得：m=±l,结合对数的定义验证即可得答案；

x-l-X-1

(2)分类讨论，利用当xe(pM—2)时，函数八％)的值域是(L+8),可得结论；

⑶化简得g(x)=—“r2+6x+l,xe[2,3]且a>0,awl,分类讨论，求出函数g(x)的最大值.

I+True

【详解】(1)根据题意，函数/'(x)=k)ga-----(a>0,awl)是奇函数，