高一数学重难点专项复习：利用传统方法解决二面角问题（五大题型）（解析版）

重难点专题14利用传统方法解决二面角问题

【题型归纳目录】

题型一：定义法

题型二：三垂线法

题型三：垂面法

题型四：射影面积法

题型五：补棱法

【方法技巧与总结】

二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如

图在二面角。-/-力的棱上任取一点O,以。为垂足，分别在半平面。和户内作垂直于棱的射线和OB,

则射线Q4和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于

求两条异面直线的夹角即可）.

法二：三垂线法

在面a或面刀内找一合适的点A,作AO_L分于O,过A作AB_Lc于3,则30为斜线在面£内的

射影，为二面角a-c-"的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点A,作A0_L/于O；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABLc于3,连接30；

③计算：NA5O为二面角a-c-尸的平面角，在也中解三角形.

图1图2图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面

qc

积公式（cosO=』=±幺"如图2）求出二面角的大小;

s斜sABC

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补

棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法

解题.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二

面角的平面角.

【典型例题】

题型一：定义法

【典例1-1】（2024.高一.浙江金华•期中）如图，在三棱锥尸—ABC中，AB^AC,。为BC的中点，PO1

平面A5C,垂足。落在线段AD上.

⑴证明：AP1BC；

⑵已知BC=8,AO=3,OD=2,且直线尸3与平面PAD所成角的正弦值为石.

①求此三棱锥尸-ABC的体积；

②求二面角3-AP-C的大小.

【解析】（1）因为AB=AC,。为8C的中点，所以AD人3C,

又尸01平面A3C,则

又AD尸0=0,4）,POu平面PAD,所以3C1平面上4D,

又APu平面尸AD,所以AP_L3C；

（2）①由平面尸AD,则直线尸8与平面PAD所成角为NBPD,

2

则sinZBPD=—,由BC=8,AO=3,OD=2,D为BC的中点，

所以BD=4,则PS=6,所以PD=26，

由尸01平面ABC,所以PO=4,所以匕〜„c=gx4xgx8x5=,；

p

②在平面ABC内作BAfLAP于/,连接CM,由8clpA,

又BMBC=B,BM,BCu平面BCM,所以API平面3cM,

所以APJ_MC,则—BMC为二面角3-AP-C的平面角,

在直角三角形AZ汨中，AB=JAD。+DB。=而，

在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2,

在直角三角形中，PB2=PD2+BD2=36,所以PB=6,

在直角三角形PQ4中，PA1=AO2+OP2=25,所以PA=5,

所以在三角形加中，。必依"蓝；广"

所以sin/APB=^^,则BM=P3sin/AP3=4后,同理CM=4近，

1^BC2^BM2+CM2,所以NBMC=90,

即二面角3-AP—C的大小为90.

【典例1-2】(2024•高二・全国.专题练习)四边形ABCD是正方形，以，平面ABCD,且丛=AB.求:

(1)二面角A-PD-C的平面角的度数；

(2)二面角B-R4-D的平面角的度数；

⑶二面角8-R4-C的平面角的度数.

【解析】(1)

B4_L平面A3CD,CDu平面A3CD,

：.PA1CD,又四边形A3CD为正方形，，CD，AZ),

PAcAD=A，上4,ADu平面PAD,\CD人平面PAD,

又CDu平面尸CD,二平面上M>_L平面尸CD,

••・二面角A-PD-C的平面角的度数为90。；

(2)X4_L平面ABC£>,ABu平面ABCD,AT>u平面ABCD,

:.AB±PA,AD±PA.

.:/54。为二面角8-1-。的平面角.

又由题意可得ZBAD=90°,

二面角3-厚-£>的平面角的度数为90。；

(3)7^4_1_平面ABC。，ABu平面ABCZ),ACu平面ABCZ),

:.AB±PA,ACA.PA.

.•./区4。为二面角3-24-。的平面角.

又四边形ABC。为正方形，.45。，

即二面角3-R4-C的平面角的度数为45。.

【变式1-1](2024.高三・甘肃•阶段练习)如图，已知四棱锥尸-ABCD的底面为直角梯形，AD//BC,

/BCD=90°,PA=PB,PC=PD.

P

(1)证明：CO与平面PAD不垂直；

(2)证明：平面PAS_L平面ABCD；

(3)如果。0=">+3。，二面角P—3C-A等于60。，求二面角尸―CD—A的大小.

【解析】(1)

若CD_L平面PAD,

则CDLPD,

由已知PC=PD,

得ZPCD=ZPDC<90°,

这与CD_LPD矛盾，所以。>与平面上4£)不垂直.

(2)取AB、CD的中点E、F,连接尸£\PF、EF,

由上4=尸5,PC=PD,得PE_LAfi,

PFVCD,

.•.£F为直角梯形的中位线，

EF，CD,又PFEF=F,

\CD八平面P跖，

由PEu平面PEF,得C"PE,又AB_LPE且梯形两腰A3、8必交,

.•.PE_L平面ABCZX

又PEu平面RIB,

•••平面PAB_L平面ABCD.

(3)由(2)及二面角的定义知NPEE为二面角尸-CD-A的平面角,

作EG_L3C于G,连PG,

由于PE_L平面ABCD,BCu平面A3CD,故PELBC,

EGLBC,EGCPE=E,EG,PEu平面尸EG,故3C1平面PEG

PGu平面尸EG,所以PGLBC

故/PGE为二面角尸—3C—A的平面角，

即ZPGE=60°,

由已知，得EF=g(AD+BC)=；C£>,

又EG=CF=；CD.

：.EF=EG,

.-.Rt..PEF=Rt,PEG.APEF=ZPGE=60°,

故二面角P-CD-A的大小为60。.

题型二：三垂线法

【典例2-1】(2024•高二・浙江金华•期末)如图，已知四棱锥P-ABC。的底面是菱形，AB=2,ZBAD=60°,

对角线AC,8。交于点O,POJ•平面ABCD,平面a是过直线AB的一个平面，与棱PC,PD交于点E,尸，且

(1)求证：EF//CD-,

(2)若平面a交PO于点T,求=的值;

(3)若二面角E-AB-C的大小为45。，求尸O的长.

【解析】(1)

四棱锥P-A3CD的底面是菱形，AB//CD,又Mu平面a,仪)仪平面。，则CD〃平面。，

而平面a、平面PCD=£F,COu平面尸CD,

所以EF//CD.

(2)由E,Ac平面a,E,Ae平面PAC,得平面'平面PAC=AE,

而TePO,POu平面PAC,于是Te平面PAC,又Te平面a,

则TeAE,即AT,E三点共线，由PO,平面ABC。,ACu平面ABC。，则PO_LAC,

如图，在△上4c中，过点E作尸O的垂线，垂足为G,于是GE//AC,

113GEGE1GTGEI

设尸O=t,由PE=—PC,得PG=—t,GO=—t,

444AO-CO-4TO~AO~4

1133132PT2

从而GT=—GO=—•—t=—t,所以尸T=PG+GT=—r+—/=—t,即一=-.

554204205PO5

过点。作四，48于点"，连接力V,

由尸01平面ABCD,ABu平面ABCD,则TO_LAB,而7。ON=O,TO,ONu平面TON,

则平面TON,而刃Vu平面TON,于是

则有N77VO为二面角E-AB-C的平面角，即N77VO=45。，

在菱形A3CD中，由A8=2,/BA£)=60。，得NO=叵,则TO=立,

22

由(2)^TO=-PO=—,所以尸。=任

526

【典例2-2】(2024.高二.上海普陀•期末)如图，在三棱锥O-ABC中，平面ACD_L平面4BC,

ADLAC,AB1BC,E、尸分别为棱3C、8的中点.

I)

(1)求证：直线所〃平面ABD;

(2)若直线8与平面ABC所成的角为45。，直线8与平面所成角为30。，求二面角3-AD-C的大

小.

【解析】(1)•:E,尸分别是棱3C、CD的中点，，在△BCD中，EFUBD,

平面ABD,BDu平面ABD,；.直线EF〃平面板)；

(2):平面ACD_L平面ABC,平面ACD1平面ABC=AC,

ADu平面ACD,AD±AC,A£>_L平面ABC,

ZDCA是直线CD与平面ABC所成角，

•.•直线8与平面ABC所成角为45。，

Z.ZDG4=45°,AD=AC,：AD_L平面ABC,AB,BCu平面ABC,

/.AD±BC,ADJ.AB,VABIBC,ABr>AD=A,AB,ADuABD平面，

/.3cl平面ABD,NBDC是直线CD与平面ABD所成角，

直线。与平面AB£)所成角为30°,ZBDC=30°,

:.BC=：CD,BD=yj3BC,设BC=1,

则CD=2,BD=y/3,AD=AC=近,AB=1,

....ABC为等腰直角三角形，/R4c=45。，

VADJ.AB,ADLAC,/BAC是二面角的平面角，

二面角3-AD-C的大小为45。.

【变式2-1](2024・高三・全国・专题练习)如图，正方体ABCD-ABCQ的棱长为1.在棱AB上是否存在

一点使得二面角A-知4-C等于120。？若存在，求出空■的值；若不存在，说明理由.

【解析】假设存在满足条件的点M,连结加为，过B作8//，与为垂足,

并延长与441相交于N,连结S.

因为C3_L平面\ABB},BXMu平面\ABBX,

所以CBL印0,

因为BNBC=B,BN,BCu平面BCN,

所以耳M_L平面3CN,

因为CHu平面BCN,

所以CH，4”.

所以NB/7C为二面角A-MB^C的平面角的补角，即有ZBHC=60°.

T^BM=X,则件M=Jl+f.

%

在Rt5M片中,BHB{M=BMBB1,从而BH=〒^

Vl+x2

在中，NBHC=60。,tan/BHC=空='*=百,解得了=变.

BHx2

AM1-ri-

因此，存在符合题设条件的加,且满足黑=—=忘-1.

MBx

题型三：垂面法

【典例3-1】（2024.高二・四川成都•阶段练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为矩形，平面

PAD，底面A3CD,右^4£）为正三角形，E是A8的中点，AD=2,AB=4.

⑴求点C到平面尸£史的距离.

（2）求二面角。-PE-C的余弦值.

【解析】（1）由题设AB_LAD,面PAD_L面ABCD,ABu面ABCD,面面ABCD=AD,

所以AB工面PAD,PAu面PAD,故即

所以尸E=JPA2+AE2=q2。+2?=20，W£)£=^AD2+AE2=272>PD=2,

△PDE中PD上的高V7,故S的=gx2xV7=77,

令点C到平面尸。E的距离为d,又Vp_cDE=VJPDE,且SC»E=；x2x4=4,尸到面CDE的距离为正三角形

PAD的高，

所以伍=2X4XTL可得1=生&1,故点C到平面灯汨的距离为WH.

3377

（2）由C£）J_AD,面八山,面用?。。，CDu面ABCO,面上4。_1_面ABCD=AD,

所以CD,面尸AD,尸£>u面尸A£>,故CDLPD,则尸C=J?我=2右，

又EC=>J^T¥=2e=PE，故,7CE为等腰三角形，则PC上的高为百，

令C到PE的距离为人典\gxhxPE=；x6XPCn2同=2亚nh=粤~,

由（1）知：点C到平面尸叫；的距离为勺包，

7

若锐二面角。一尸E—C为。，贝ljsin6=生旦x-^=刊羽，故cos9=®l,

7V303535

所以二面角。-PE-C的余弦值为晒.

35

【典例3-2】（2024•高一•江苏苏州•阶段练习）在三棱台ABC-A瓦G中，

AB±AC,AB=2AlBl=2,AC=2A/2,CQ=2,ZAlAC=AAiCA,且平面ACAG_L平面ABC.

B

(1)求证：平面A^C_L平面ABC1；

(2)求二面角A-AC-8的正弦值.

【解析】(1)平面A41GC平面43。，平面A41cC平面ABC=AC,ABAC,

ABu平面ABC,故AB/平面441GC,ACu平面A41GC,故AB_LA]C,AC中点为£),连接A。,

Z^AC=Z^CA,则AO_LAC,AD=CD=>ji，

AB=2A.B},则AG=gAC=&AQ=CD,^Q//CD,

故四边形AOCG为矩形,

tanNCAC]=2a=，tanZ/^CCj=~^~>^CACpZ/^CCje^O,—

故NG4G=/ACC],即4C_LAC1,

ABcAG=A,A民ACu平面48C1,故A。，平面，

又ACu平面ABC,故平面ABC，平面43G.

(2)设4CcAG=。，连接20，AC_L平面ABC-03u面ABC】，故AC_LOB,

又因为ACLAG，所以二面角A-AC-B的平面角为/A08,

AC1=A/8+4=2V3,AO=|AG=孚，

AB1平面A41GC,AOu平面A41GC,所以AB_LAO,

A52J2]

在RtOAB中，OB2=OA2+AB2,解得03=2^,仄而,""8-蔬--〒,故二面角

3石飞

4一40-2的正弦值为正1.

7

题型四：射影面积法

【典例4-1】(2024•四川宜宾・一模)如图所示，ABC是正三角形，平面ABC,AE//CD,

AE=AB^2,CD=l,且尸为BE的中点.

⑴求证：Z)/〃平面ABC；

(2)求平面与平面ABC所成二面角的正弦值.

【解析】(1)

E

证明：取AB中点连接M尸、MC,则MF〃4E,5.MF=-AE=l=CD.

2

又因为AE〃CD,所以MF7/CD,即四边形MF£）C为平行四边形，所以。尸〃MC；

又有平面ABC,MCu平面ABC,所以。尸〃平面ABC.

(2)

延长即、AC相交于点N,连接BN,则BN为平面3DE与平面ABC的交线.

AE//CD,AE=2CD,

则。C为aABC的中位线，所以AN=2AC=4,

即AC=QV=3C,所以AB_LBN.

BN=y]AN2-AB2=2A/3

EN=ylAE2+AN2=2A/5>BE=dAE?+AB。=20，

:.BE2+BN2=EN2,即BELBN.

所以ZEBA即为平面与平面ABC所成二面角的平面角.

..—钻一2_A/2

..sin/EBA-----——------,

BE2A/22

故平面3■与平面ABC所成二面角的正弦值为变.

2

【典例4-2】（2024•高二・广东广州•期中）如图，已知A3是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异

于A,8的动点，CD,8E是圆柱的两条母线.

(1)求证：ACD_L平面BCZJf；

(2)若AB=6,BC=3,圆柱的母线长为2百，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

【解析】(1)因为A3是底面的一条直径，C是下底面圆周上异于48的动点,

所以ACJ.3C,

又因为8是圆柱的一条母线，所以CD_L底面ACB,

而ACu底面ACB,所以CDJ_AC,

因为CDu平面BCDE,BCu平面BCDE,且CDcBC=C,

所以AC_L平面3CZJE,

又因为ACuACD,所以平面ACD_L平面BCDE；

(2)如图所示，

过A作圆柱的母线AAf,连接。M,EM

因为底面ABC//上底面所以即求平面ADE与平面所成锐二面角的大小,

因为在底面的射影为且为下底面的直径，所以为上底面的直径,

因为40是圆柱的母线，所以AAf1平面

又因为W为上底面的直径，所以ME>_L£>E,而平面ADEDME=DE,

所以NMZM为平面ADE与平面DWE1所成的二面角的平面角，

又因为。在底面射影为C,所以DE=3C=3,ME=AB=6,

所以DM=个6=30,又因为母线长为2VL所以AM=2百，

又因为平面。WE,DMu平面所以

所以AO=J(26『+(3百『=739,

匚匚I、I〜MD3>/33[TT

所以cosNMDA=-----=.——=—J13

AD牺13

即平面与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为尚如.

【变式4-1］如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，24,平面

ABCD,PA^AB=a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.

【解析】因为R4,平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以

又ADLAB,且Q4cAB=A,PA,ABu平面E4B,

所以ADJ_平面上48,

同理平面

所以APCD在平面PBA上的射影为APAB.

故平面PB4与平面尸CD所成二面角的大小为45.

题型五：补棱法

【典例5-1】(2024•山东淄博.高一统考期末)如图，已知正方体ABCQ-AgGA的棱长为2,M、N分别

为棱8瓦、3C的中点.

(1)证明：直线DN〃平面AMR；

(2)设平面AMD,与平面ABCD的交线为/,求点M到直线/的距离及二面角A々-C的余弦值.

【解析】(1)证明：取CG的中点E,连接DE、NE、ME，

在正方体ABCD-44Goi中，BBJ/CC,且BB}=CQ,

M、E分别为8月、CG的中点，贝!］创"/CE■且BM=CE,

故四边形BCEAf为平行四边形，则3c且ME=3C,

又因为AD〃3C且AD=3C,则ME7/AD且腔=AD,

故四边形ADEM为平行四边形，则DE//AM,

DEa平面AMD,,AMu平面AMDJ,DEH平面AMD,,

因为AB//GR且AB=G2,故四边形ABCR为平行四边形，则BCJIAD,,

QN、E分别为BC、CG的中点，则NE//BG，则NE//AR,

平面AMR,A£>|u平面AMR,NE〃平面AMR,

DENE=E,DE、NEu平面DEN,所以，平面。硒〃平面

ZWu平面DEZV,二£W〃平面AMR.

(2)延长DB交与点、P,连接转，则直线AP即为直线/,

PMPBBM1

因为四〃DR且因=E>2,取为B片的中点，贝I而■二石厂后厂不，

故点B为尸。的中点，M为尸2的中点，

在4AB尸中，AB=2,BP=BD=2垃,ZABP=135,

由余弦定理可得A/3?=20,贝|4尸=2括，

cosNBAP=4-2+"0?一'02=垣，则复门幺人尸=«一cos2NBAP=—,

2ABAP55

过点£>在平面ABCD内作。尸上直线?IP,垂足为点尸，连接。尸，

sinZDAF=sin(90-ZBAP)=cosNBAP=当，所以，DF=ADsinZDAF=竽，

QDR_L平面/u平面A3CQ,

DF±l,DFDD{=D,DF、DRu平面OR尸，.•./_L平面OR尸，

2歹u平面DDL，，。尸U,故二面角A-JC的平面角为

且R/=Jr>n；+r>尸2=空,故点用到直线/的距离为手，

DF2O

008/0^=-=-,因此，二面角乌-/-。的平面角的余弦值为

【典例5-2】(2024.湖南常德.高一临澧县第一中学校考期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是

《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有

效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成

的四面体称为“鳖腌”，己知在三棱锥尸-ABC中，PAL平面ABC.

(1)从三棱锥尸-ABC中选择合适的两条棱填空：1,则三棱锥P-ABC为“鳖ST'；

(2)如图，已知垂足为O,AE1PC,垂足为E,ZABC=90°.

(i)证明：平面ADE_L平面PAC；

(ii)设平面ADE与平面ABC交线为/,若尸4=26，AC=2,求二面角E-/-。的大小.

【解析】(1)因为“鳖IT'是由四个直角三角形组成的四面体，又PAL平面9C,所以尸A_LAB,

PALAC,PA1BC；即a/MB,△上4c为直角三角形；

若3c_LAB,由ABPA=A,AB,PAu平面上4S,可得：i5cl平面上4B；

所以BCLPB,即ABC,PBC为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；

同理，可得BC，AC或3CLPB或3CLPC,都能满足四个面都是直角三角形；

故可填：3。，"或30,4。或3(7_1尸8或3。，尸。；

(2)(i)证明：

：R1_L平面ABC,3Cu平面A3C,

PA1BC,

又BCLAB,PAAB=A,PA,ABu平面上钻，

BC/平面上4B,

又ADu平面上4B,

?.BC1AD,

又ADLPB,PBcBC=B,PB,BCu平面PBC,

：.4)_1平面尸3(7,

又尸Cu平面PBC,

PCLAD,

又AELPC,AEr\AD=A,AD,AEu平面仞石，

PC_L平面陋E,

又尸Cu平面PAC,

平面M>E_L平面PAC.

(ii)由题意知，在平面PBC中，直线。E与直线3C相交.

如图所示，设DEcBC=F,连结AF,则■即为/.

：PC_L平面AEE),/u平面AED,

?.PCLI,

:R1_L平面ABC,/u平面ABC,

?.PALI,

又PA,PC=P,PA,PCu平面PAC,

/I平面PAC,

又4及ACu平面PAC,

：.AELI,ACLI.

ZEAC即为二面角E—7—C的一个平面角.

在△PAC中，PALAC,PA=2s/3,AC=2,

：.PC=4,

又AELPC,

..r_APxAC_2y/3x2_r-

PC4

,AE>/3

•・cosZEAC==——,

AC2

：.ZEAC=30°f

・・・二面角£-/-C的大小为30。.

【变式5-1］（2024•黑龙江牡丹江•高一牡丹江一中校考期末）如图，是圆。的直径，点C是圆。上异

于A,2的点，直线PC,平面ABC,E,尸分别是R4,PC的中点.

（1）记平面BEF与平面ABC的交线为/,试判断直线/与平面P4C的位置关系，并加以证明;

（2）设PC=2AB=4,求二面角ET-C大小的取值范围.

【解析】（1）EF//AC,ACu平面ABC,EFcZ平面ABC,EF〃平面ABC,

又EFu平面BEF,平面8EF与平面ABC的交线为/,所以EF〃/,

而/U平面PAC,石尸（=平面尸4。，所以/〃平面PAC；

（2）设直线/与圆。的另一个交点为。，连接。E,FB,如图：

由（1）知，BD//AC,而AC13C,所以8£>_LBC,

所以尸C,平面ABC,所以尸C_LBr>,

而PCc3C=C,所以平面P8C,

又尸8u平面PBC,所以m_L3产，

所以/EBC就是二面角E-/-C的平面角，

因为PC=2AS=4,点尸是PC的中点，所以FC=；PC=A2=2,

FCAB1

故tan/FBC=—

BCBC~cosZABC

jr

注意至1」0<NABC<K，所以0<COS/ABC<1,所以tan/FBC>l,

TT

因为0<NF3C<5，所以NMCe

所以二面角E-7-C大小的取值范围为

【过关测试】

1.（2024・高一・辽宁丹东.期末）如图(1)所示，ZABC=ZACD=90°,AB=BC=娓,ZCAD=3Q°,如

图（2）所示，把二ABC沿AC折起,使平面ABC人平面ACD,E为AD的中点，连接BD,BE,EC.

图⑴图⑵

（1）求证：平面平面BCD；

（2）求二面角E-BC-O的正弦值.

【解析】（1）因为平面A5C1平面ACD,平面ABCc平面ACD=AC,CDLAC,CDu平面ACD,

所以COJ_平面ABC,又4?u平面ABC,所以AB_LCD,

又AB13C且Bcnco=c,BCu平面BCD,CDu平面BCD,

所以ABI平面BCD,

又ABu平面板），

所以平面ABDJL平面BCD；

（2）分别取30,BC的中点/，G,连接石尸，FG,EG,

因为E为AD的中点，所以EF〃AB,

因为AB2平面3CD,所以EF1平面BCD,BCu平面BCD,所以EF23C,

因为FGHCD,CD,平面ABC,所以FG,平面ABC,

又3Cu平面ABC,

所以FGLBC,

又EFcFG=F,EF,FGu平面EFG,所以平面EFG,EGu平面EFG,所以5CLEG,

所以/EGF是二面角E-3C-D的平面角，

又ZABC=ZACD=90°,AB=BC=娓,ZG4D=30°,所以AC=JAB?十叱二：2出,

tanZCAD=—=—,所以CD=2,

AC3

在直角EFG中，EF=-AB=J^~,FG=-DC=1,EGNEF+FG，=®,

2222

所以sinNEGF=?=姮,即二面角E-3C-。的正弦值为姮.

EG55

2.（2024.高一・福建三明・期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABC。,AD//BC,ADLCD,

S.AD=CD=2,BC=4,PA=41.

⑴求证：AB1PC；

(2)在线段PD上是否存在一点M,使得BM与平面ABCD所成角的正切值为叵

,若存在，求二面角

26

V-AC-D的大小，若不存在，请说明理由.

【解析】(1)

证明：因为AD〃3C,ADLCD,AD=CD=2,BC=4,

所以四边形ABC。是直角梯形，且AC=2&，AB=^BC-AD'f+CD2=2A/2,

AB2+AC2=16=BC2,即AB人AC.

又PA_L平面ABCD,ABu平面ABC。，所以

又PAAC=A,且B4,ACu平面融C,所以AB工平面朋C,

又尸Cu平面RIC,所以A5_LPC

(2)存在符合条件的点M,且M为PO的中点，

证明如下，过点M作于点N,连接2N,

p

M

BC

因为PA_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以R4_LAD,

因为MMPAu平面必£）,所以MN〃丛，

因为所以MN1AB,

因为ABcAD=A,4氏4。<=平面45。£）,所以MN_L平面ABCD,

则/MBN为与平面ABC。所成的角.

^AN=x（O<x<2）,则A©=2—x,MN=^（2-x）,BN=｛（2+x）2+4,

由tan/MBN=—得叵="^-尤）,

BN26J（2+_+4

解得尤=1或x=g（舍去）

所以M为P。的中点，

过点N作NGLAC于点G,连接MG,

因为肱V_L平面ABC。，ACu平面ABCD,所以MN_LAC,

又MNNG=N,MN,NGu平面MGN,故AC_L平面MGN,

因为MGu平面MGN,所以AC_LMG,所以/MGN为二面角M-AC-O的平面角,

；RtMNG中，NG=ANsin—==MN,所以4MGN=—,

424

7T

即当点M为尸。的中点时，符合题意，且二面角M-AC-。的大小为了.

4

3.（2024.高一.贵州安顺.期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是直角梯形，平面

ABCD,M是边AD上一点，且满足ABCM是正方形，AB=1,PA=2.

p

(1)求证：平面PBM_L平面PAC；

(2)已知：MD=2(O</1<2),二面角尸-CD-A的平面角为。.是否存在4,使得tan。=收?若存在,

求出X；若不存在，说明理由.

【解析】(1)证明：因为R4_L平面"CD,BMu平面45cD,所以上4_LBM

因为正方形AB。1,所以AC,3M

又尸4门47=4,乃4,4(7<=平面尸4(7,所以上平面PAC

因为平面所以平平面尸8MJL平面PAC；

(2)过P隹尸N_LCD于N,连接4V

因为PA_L平面ABC。，CDu平面A3CD,所以E4JLCD

因为PN_LCD,PNcPA=P,PN,PAu平面PAN,所以CD_L平面尸/W

又ANu平面PAN,所以CD_LAN,则NZW为二面角P-CD-A的平面角6

pA2r-

所以tan8=tan/PNA=---=——=V2,则AN=6

ANAN

又因为正方形ABCM中，有AC=®AB=4i,又PNLCD,所以此时N与。重合

JTJT

因为NDAC=NACB=T，所以NADC=：=NDAC,则AC=CO=后，所以

44

AD=y/2AC=2=AM+MD，t^A=MD=2-AM=1

故存在％=1使得tan。=&-

4.（2024・高一.河南商丘・期末）如图，在四棱锥尸-ASCD中，底面ABCD是菱形.

(1)若点片是PD的中点，证明：PB〃平面ACE；

(2)若上4=PD=">,ZBAD=120,且平面E4T>_L平面ABCD,求二面角尸-AC-O的正弦值.

【解析】(1)连接30交AC于M,连接EN,

因为底面ABCZ)是菱形，所以V为BD的中点，

又点E是PD的中点，故"正为_£>~8的中位线，

敬EM〃PB,而EWu平面ACE,PBu平面ACE,

故尸3〃平面ACE；

(2)设。为AD的中点，连接尸O,因为m=尸£>=4),故POLAD,

因为平面PAD_L平面ABC。，且平面E4Dc平面ABCD=AD,

POu平面PAD,所以P01平面ABC。，而ACu平面ABC。，

故POUC,

底面ABCD是菱形，故,ACLBD,作ON〃9交A"于N,

则ON_LAC,且N为411的中点，

连接PN,因为P。ON=O,PO,ONu平面PON,

故ACJ_平面尸ON,PNu平面PON,

故ACLPN,

则NPNO即为二面角尸—AC-O的平面角，

设上4=PD=AD=2,则尸。=百，

ZBAD=120,贝U/ZMC=60,贝IDM=2xsin60=百，

由于。为AD的中点，N为AM的中点，t^ON=-DM=—,贝！1，

而尸01平面ABC。，ONu平面A3CD,故尸OJLON,

则—而B当

2

即二面角P-AC-。的正弦值为半.

5.(2024.高一•云南玉溪・期末)如图，三棱锥尸-MC的底面MC是等腰直角三角形，其中

AB=AC=PA=PB=2,平面平面ABC,点£,N分别是AB,8C的中点.

(1)证明：EN1平面B4B；

(2)求二面角C-依-A的余弦值.

【解析】(1)证明：因为三棱锥尸-ABC的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=2,所以AB/AC,

又点E,N分别是AB,BC的中点，故EN〃AC,故

又平面PAB_L平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,£7Vu平面ABC,

故EN_L平面PAB.

(2)如图，取尸8的中点为凡连接AF,CF,

因为上4=PB=AB=2,所以酢_LPB,AF=6

又平面PA5_L平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,AB±AC,

ACu平面ABC,故AC_L平面A8P,PBu平面ABP,故AC_LPB,

ACnAF=A,AC,AF^^ACF,故尸3_L平面AC/,

CFu平面ACF,故PB_LCF,

则NCE4即为所求的角，于是tanNCE4=£=],cosZCFA=—,

AFV37

所以二面角0-依-4的余弦值为亨.

6.（2024.高一.安徽芜湖.期末）如图，在三棱台ABC-的中，NACB=90,BF±AD,BC=2,

BE=EF=FC=1.

(1)求证：平面3CEE_L平面ABC；

jr

(2)若直线AE与平面BCFE所成角为求平面DEC和平面ABC所成角的正切值.

【解析】(1)取BC中点为。，连接产O,

VBE=EF=FC=1,BC=2,所以BO=OC=FC=1,故NBFV=NOBF,NCFO=/COF=NFCO,由三角

形内角和可得ZBFO+ZCFO=90,

故■，尸C,

又：BF_LAD,AD,FCu平面ADFC,A。,改为相交直线，

.•.族_L平面ADRC,〃^匚平面仞八^二台尸］？!。

又：ZAC3=90,BPBC±AC.BFCBC=B,平面BCTE,

AC_L平面3CFE,AC在平面ABC内，平面BCFEl.平面ABC

(2)由(1)知直线AE与平面3CFE所成角为NAEC,

,•6>由于AE=AF=\lBC2—FC2=y/3,•"AC=3

JDC

设平面DEC和平面ABC的交线为I,

由于AB〃平面DEC,ABu平面ABC,所以/〃AB,

过点E作EGJ_3c于G,

又(1)知平面3CFE_L平面ABC,且两平面的交线为3C,EGu平面3cFE.

EG_L平面ABC,/e平面ABC,所以EG_U,

皿m

再过点G作6长_1/于长，连接EK,

GKcEG=G,GK,EGu平面EGK,所以/工平面EGK,

EKu平面EGK,故/，EK,

•••NEKG即为所求角，

13

BG=-,GC=~.

22

33339

GK=GC,sinZBCK=-sin/BCK=-sin/5=-x-==—=

222V132V13

・・,"“EG_62713_V39

•EKG=-----=—x-------=-------

EK299

7.（2024.高一.江西萍乡.期末）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形ACD与，ASC互相垂直,

AC=BE=2,DE〃平面ABC,且点E在平面ABC内的射影落在/ABC的平分线上.

⑴求证：平面AC。；

（2）求二面角。-AC—E的正切值.

【解析】（1）如图，取AC中点。，连接2。，DO,EO,

：为等边三角形，二夕。为NA2C的平分线，设点厂是点E在平面ABC上的射影,

由题知，点尸在2。上，连接ER则EAL平面ABC,

•.•平面ACD_L平面ABC,平面ACD平面ABC=AC,OOu平面ACD,

DOLAC,贝lJr>O_L平面ABC,

DO//EF,则DEBO为平面四边形，

：Z）E//平面ABC,£>Eu平面。E8O,平面DEBOc平面ABC=30,

BOUDE,•.•平面ACD_L平面ABC,平面ACD］平面ABC=AC,

30u平面ABC,BOIAC,301平面AC。，DEI平面ACD

(2)BO±AC,DOLAC,DOcBO=O,DO,3Ou平面8。。，

ABOD,：EOu平面B。。，ACYEO,

.♦./OOE为二面角O—AC—E的平面角，

「EF/平面ABC,DO_L平面ABC,EF//DO,

VDEUFO,DEI.DO,

四边形。EFO为矩形，:.DO=EF=6：.BF=1,OF=DE=y/3-l,

贝IJtan/DOE=Y1l=l-且，故二面角。—AC—E的正切值为1一走.

A/33