广东省广州市某中学2024-2025学年高三年级下册一模适应性考试数学试题（含答案）

广州市真光中学2025届市一模适应性考试

高三数学

2025.3

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集。=R集合L<”=Q=ln（3x—5）｝.则人何止（）

3

2知a,beR,若(a+bi)(2—5i)=3-i2°25,则()

1111313

A.—B.—C.—D.------

29292929

3.已知在正六边形4BCDEE中，G是线段CD上靠近C的三等分点，则及=()

8—•4—•10—■2—•10—•4—•10—•4—•

A.-BA——CEB.——BA——CFC.—BA——CED,——BA+-CE

33333333

4.已知函数/(x)=Msin(ox+o)(/>0,0>0)的部分图象如图所示，其中Z(0,—J5"

若将/(x)的图象向右平移£个单位长度后关于了轴对称，则河=()

A2V2

5.为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和

32

复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为1，被标记为二等品的概率为y，被标记为

一等品的零件有」■的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有工的概率为一等品.在初筛的过程中，

已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（）

13654

A.——B.一C.一D.-

14777

ln0.3,1.5TI,

6.已知”而/=扇?…】法，则。也。的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b

7.如图，由函数y=e“—e+1与y=ln（x+e-l）的部分图象可得一条封闭曲线「，则下列说法不正确的

A.r关于直线>=x对称B.r的弦长最大值大于28

C.直线X+V=/被「截得弦长的最大值为V2（e-2）D.r的面积大于兀e-2

8.已知长方体ASCD—481GA外接球的表面积为手，其中4g=2必4=正,£为线段的中点,

22

过点A的平面a与直线8E垂直，点S在平面a与底面4片。。1形成的交线段上，且"=SE,则四面体

SABE外接球的体积为（）

A2兀4行兀「4兀8岳i

3333

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知Z],Z2是复数，则下列说法正确的是（）

A.若z2为实数，则Z是实数B.若z2为虚数，则Z是虚数

C.若Z2=I，则乎2是实数D.若Z；+Z；=O,则Z]Z2=0

10.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，

记“第一次抽到红球”为事件/,“第二次抽到黄球”为事件2,则（）

A尸（/）=，B.P[B\A）=-C.N与3为互斥事件D.N与8相互独立

,32

11.已知正方体ABC。—451GA的棱长为2,E,尸分别是棱48,4口的中点，则()

B.向量4瓦而，的不共面

C.平面CEF与平面ABCD的夹角的正切值为正

3

D,平面CEF截该正方体所得的截面面积为V29

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.直线3%+2y=6经过椭圆加2%2+n2y2=1的两个顶点，则该椭圆的离心率为.

1

13.已知tanatanS=2,cos(a—S)=-,则cos(a+/?)=.

14.已知正方体4B[C]Z)i的表面积为6,三棱柱EPG—g片5为正三棱柱，若&£=AAXA,

乖瓦，丽=4而(0<4<1),且用,片,5在正方体—48CQ1的表面上，则当三棱柱

EFG-E{FXG{的体积取得最大值时，2=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

ch1+he

15.已知V4SC的内角45,C所对应的边分别为。，“c,若。=1,：+—=---.

bcbe

(1)求A；(2)求V4SC面积的最大值.

2

16.如图，在直四棱柱/BCD—451GA中，ZBAD=ZABC=90°,AD=2AB=2BC=-CjC=2,

点村的线段G。上.

(1)是否存在点河，使得平面/CM?若存在求GM；若不存在，请说明理由;

BCM

(2)若平面GZC里平面NCM夹角的正切值为?工，求7%的值.

3CQ

17.已知双曲线C：土-必=1的右焦点为/，直线/与C的右支交于〃,N两点.

3.

(1)若线段"N的中点坐标为求直线/的方程；

3

(2)当/过点尸时，过点分别作直线/':%二—的垂线，垂足分别为〃且直线MN',MN

2

交于点尸，求△MW面积的最小值.

18.已知各项均为正数的数列｛%｝满足：%=3,且%匕1—2(片—1)4+1-%=O,neN*

⑴设“=%-一，求数列抄“｝的通项公式

(2)设S,=吊+雨+…+a；,7；=二+二+…+二，求邑+7；,并确定最小正整数〃，使得5“+北

为整数.

19.给定两个正整数m,n,函数/(x)在x=0处的［〃,间阶帕德逼近定义为

区("=子产三汇，且满足/⑼=刈0),/<0)=氏'⑼,…,1十九0)=胪?0)(注：

1十DyX十，,•十。加X

/'(X)为/(X)的导函数，/〃(X)为了'(X)的导函数，/⑶(X)为了"(X)的导函数，以此类推).已知函数

/(x)=ta(x+l).

(1)记)(X)为/(X)在x=0处的［1,1］阶帕德逼近,判断函数g(x)=/(x)-R(x)的单调性;

(2)Vx>0,a(x+l)/(x)<x2+2x,求。的取值范围；

(3)求证：V〃wN*・分方>上一；,.——>e3(e为自然对数的底数).

ynn-4n)L(M+1)M+1-V«+1J

广州市真光中学2025届市一模适应性考试

高三数学参考答案

1.【答案】B2,【答案】A3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】B

6.【答案】D

7【答案】D

8.【答案】C

[9题答案】【答案】BC[10题答案】【答案】AB[11题答案】【答案】AC

12.【答案】号

13.【答案】

设,贝ij6a2=6，解得a=l.

连接4G,BR,A,C,则4GJLBR,

因为CG，平面，所以CG，耳A,

因为4qncG=G，4G，cqu平面4G。，所以4口，平面4qc,

所以4幺，4c.

因为笠=U7=2,所以尸G〃用2,所以4c，尸G,

A,B,AD,

同理可得4。，EG,

因为EGcEG=G,FG,EGu平面EFG,所以4C，平面EFG,

连接ZC,过点E作4c的平行线与NC交于点因为芸=几，所以EF=C入，

A,/L

在△z/c中，第=i—4，所以Eg=,

易得7EFG为正三角形，所以SVEFG="@＞

则三棱柱EFG-£田仁的体积F（2）=S、EFG•Eg=T（分—分）"右（0,1）,

则『（刈=|（2/1_3%），

9

令/”）=0,解得4=（,

当时，r（2）＞0,当时,厂（田＜0,所以「（㈤

故当三棱柱EFG-EXFXGX的体积取得最大值时,

故答案为：一.

3

15■【解析】

(1)

cb1+bc4口…。o

—+——，得至U6+c=bc+l,

bcbe

7,2,2_222

由余弦定理知，cos/=3^——b+c-l_be_1

2bc2bc2bc2

因为Ze（O,兀），所以/='.

（2）

bc+l^b-+c2>2bc，得到6cVI，当且仅当b=c=l取等,

所以Sv/M=，AsiiL4vY3,（当且仅当b=c=l取等.）故VN5c面积的最大值为

V4BC244

16【答案】(1)存在，CW=2叵

111

⑵2

3

【解析】

(1)

依题意得GC，平面平面Z5cD,

所以GCLNC.取的中点N,连接CN,

因为ZN=8C=』AD,ZN//BC,

2

所以四边形ABCN是平行四边形，

所以CN=ZB=LAD,

2

所以CD,幺C.

又QCcCD=C,C[C,CDu平面CXCDDX,

所以平面GCDD],

因为G£)U平面C]C£>2，

所以

故要使得平面ZCM,假设存在点

只需GDLCN,此时，显然RtVGCQ:RtvqMC

CMC.CL

则加=才有，易得CC、=3,CD=母,

所以G。=y/ccf+CD2=ViT,

所以存在点且。1河=见亘.

111

(2)

以C为坐标原点，国，而，西的方向分别为X轴，

》轴，Z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

Z,

因为BC=1,所以C(0,0,0),2(1,1,0),

。(1,一1,0),。(0,0,3),

则第=(1,1,0),CC{=(0,0,3),彳=(1,-1,-3),

则由=西+杀=(%—43—3X).

因为CG，平面45CO,CDu平面ABCD,

所以CG_LC。，又由(1)知CZ)_LNC,

CCXIAC=C,所以c。，平面GZC，

所以平面CXAC的一个法向量为CD=(1,-1,0).

设平面NCM的法向量为方=(xj,z),

，---------»

n-CA-x+y=0,

则《—,

n-CM=+(3-32)z=0,

取x=3X-3,则y=3—34z=22,

则为=(34—3,3—342%).

设平面C/C与平面4cM的夹角为巴

因为tan8=2^2,所以cos。二士

317

•月

所以cos8=\cos(CD,n\\=Ie5二

1、71\CD\\n\

32-3|3V17

71U2-182+9*

2

解得2=—或4=2（舍去）,

3

C.M2

所以m=§.

17.【解析】

(1)

直线,的斜率人箕

设〃(XQJ,N(X2，%)，则再+。=5,%+%=2,

x；2

7f―I

22

因为M,N在椭圆上，贝人2,两式相减得)=0,

X22_,

y,-yx,+x55

整理可得^^2=方­2[=2,即左

%一％23(必+%)66

可得直线/的方程为

y-1=3x-|,经检验符合题意,

6

513

所以直线/的方程为y=—%——

612

由题意可得：F(2,^,M'\^,y},N'\3^,yX

2

显然直线/的斜率不为0,设直线/：x=my+2,

x-my+2

联立方程X227,消去X整理得（机2-3）了2+4z町+1=0,

---y=1

13,

4m

加2-3w0%+%=——

m-3

则

A=16m2-4（m2-3）=12m2+12>01

%为二

m-3

因为％%<0，可得加2<3,

X

因为直线MN的方程为'％341

“2—2

-小-j1

令y=0,得3—叼1%一不弘

x=-----------+-=------------+1'

y2f2%一必

%%1

因为-myy,=,可得一42”+3-7,

x%："

4九一

y2f24

所以直线MN过定点

7

由对称性可知直线跖V'过定点即直线与跖V'的交点为尸

4

m2+1

则风"网=/尸周卜―外上^义；

2，

m2-3^

令，=»?+l，则14/<4,

m2+1t_i

则m2一3、

因为函数了=7+”—8在区间［1,4）内单调递减,

所以当，=1,加=0时，△〃呐的面积取得最小值，最小值为也=@

4912

18.【解析】

【详解】（1）。"匕i—2（片—1）%+「4=On%（a；+i—1）=2（片一1）%+1

.•"%’=通匚=2.椀=211

an=2b.

aaa

%+ln+lnnJ

.,.也｝是公比为2的等比数歹！J,

,18,2〃+2

3

1)11

(2)S〃+<=a\+~+a2H—-----1~d+1

a\。27an)

(

<i丫(1丫

Q]---------+a?+…+an+2〃

<a\)\an)

I1+[l)-4+®⑷+…+04T+2〃

—(4n

n

=-2----------+2n=-(4-l)+2n

4-127V)

若S“+7；为整数，因为2〃eZl)eZ,即g(4"—l)eZ

4"—1=(3+1)"=C：3"+C：3"T+…+C733+c；-232+Qi3+c;_i

=C：3"+Cb+--+C^333+C"~232+C^3

.•.£-232+073能被27整除

9n2-3n

；32+c：i

C23=9,12,+3/7=2­

所以可得，。时，C/3。+C『3能被27整除

，〃的最小值是9

19【解析】

（1）

a+ax

由题意得R（x）=0x

1+bx

/(x)=ln(x+l),/,(x)=^—=-1,由/(O)=R⑼，得4=0,

•X十1〈人।1)

所以氏(x)=H—,则R(x)=:由r(O)=R(O),得q=l,

1+4%(1+4可

所以")=-八2：、3,由/"(O)=R〃(O),得则

(1+*)21+—%

2x4

故g(x)=ln(x+l)-----=ln(x+l)-2+----?x>-l,则

x+2x+2

,(\=_J_____4=(x+2)2-4(x+l)=/〉

g⑴―I+T—(x+2)2—(x+l)(x+2)2—(x+l)(x+2)2-，

所以g(x)在区间(-1,+")内单调递增.

(2)

依题意得a(x+1)In(x+1)一--2x<0在区间［0,+。)内恒成立.

令/z(x)=6z(x+l)ln(x+l)-x2-2x(x>0),注意到/z(0)=0,则=aln(x+l)+a—2x—2,

因为〃(x)(/z(O)在区间［0,+。)内恒成立，所以羽〉0,使〃(力在区间［0,%)内单调递减，

即当工£［0,%)时，故/(0)=a—2V0,则Q02.

当QW2时，=6z(x+l)ln(x+l)-x2-2x<2(x+l)ln(x+l)-x2-2x.

令H(x)=2(x+l)ln(x+l