贵州省遵义市2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

贵州省遵义市2024-2025学年高二(上)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合P={-1,0,1,2},Q=[0,2],则PCQ=()

A.[0,2]B.{0,1,2}C.{1,2}D.{1}

2.已知直线1经过点4(2,—3),B(—3,4),贝〃的斜率为()

7575

A-5B-~7C--5D-7

3.已知z=2-3i,则5的虚部是()

A.3B,3iC.-3D.2

4.已知向量五=(3,2),b=(A,4),c=(1,A+1),若@+24)〃矢,则正数2=()

A.B.C.1D.擀

5.已知角a满足cosa=则cos2a=()

777979

A.§B.—§C,-D.一五

6.已知点在直线47nx-y+n=0(m>0,n>0)上，则士+工的最小值为()

55C25D

25一

A.2-B.4

7.已知抛物线C:y2=32%的焦点为F,点H(4,2),P是抛物线C上的一个动点，贝U|PF|+|PH|的最小值为()

A.8B.10C.12D.16

8.已知定义在R上的函数/(%)满足f(%+2)+/(%)=0,/(-x+l)=-/(x+l),/Q)=1,则/6)+

啕+/(1)+•••+/管)=()

A.-1B.1C.2D.0

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知曲线。卷+1=1的两个焦点为0,F2,P为曲线C上不与6,尸2共线的点，则下列说法正确的是()

A.若m=l,则1PF/+IPF2I=6B.若血=一1,则IIP&I-IPF2II=6

C.若爪=8,则APAB的周长为7D.若rn=—8,则C的离心率为千

第1页，共9页

10.如图，在边长为6的等边A4BC中，CD=2DB,AE=ED，点P在以AB为直径的半圆上(不含点4B),则

下列结论正确的是()

A.AB-AC=18B.~PA-FB=0

C.BE=^AB+^ACD,而在荏上的投影向量为J荏

5o6

11.在长方体ABCD-a/iCiDi中，AB=AD=1,AA1=2,E为&劣的中点，动点P在长方体4BCD-

4/164内(含表面)，且满足和=4前+乩荏，记动点P的轨迹为。，则()

A.。的面积为出会

O

B.平面4BG与。所在平面平行

C.当4=3时，存在点P,使得&PJ.BD1

D.当〃=1时，三棱锥P—ABC的体积为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数/(%)=%2+(m-1)光是偶函数，则m=

13.仇章算术•商功》中将正四面形棱台(即正四棱台)建筑物称为方亭.现有一方亭ABCD-久邑的劣，已

知48=1,且该方亭的高为6,体积为26,则4/1=.

14.已知函数/(%)=sin2cox-V_3cos2cox(o)>0).若方程/(%)=0在区间(0,9内无解，则3的取值范围

是.

第2页，共9页

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在-ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin24=sinA.

(1)求角4的大小；

(2)已知a=c=3,求-ABC的面积.

16.(本小题12分)

为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随

机抽取200名学生的日均数学自主学习时间(单位：分钟)作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自

主学习时间均在［45,105］内，绘制的频率分布表如下表所示：

日均数学自主学习时

[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95)[95,105]

间

频率0.050.100.250.350.150.10

(1)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数；

(3)现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在［85,95)与［95,105］内的学生中抽取5名学生进行个案分

析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学

生的日均数学自主学习时间在［85,95)内的概率.

17.(本小题12分)

已知圆C的圆心在直线2x-3y=0上，且经过点(2,2)和点(3,1).

(1)求圆C的标准方程；

(2)一条光线从点4(-2,3)射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程.

18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—ABC。中，底面4BCD是直角梯形,201AB,CD//AB,^^PAD_L平面ABC。，PA=PD,

AD=CD=2,AB=4.

第3页，共9页

(2)若平面PBC与平面4BCD的夹角为去求点C到平面P4B的距离.

19.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y),总存在一点Q(x',y')满足关系式［禽。>0,“>0),

则称W为平面直角坐标系中的伸缩变换.

(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换四,使得圆/+y2=1变换为椭圆9%2+4y2=1.

1

--X

2

(2)在同一直角坐标系中，椭圆蓑+y2=1经平面直角坐标系中的伸缩变换0：-得到曲线c.

3y

①求曲线C的方程；

②已知4(—2,0),B(—2,3),过点B的直线交C于E,F两点，直线4E,4尸与y轴的交点分别为P,Q,证明:

线段PQ的中点为定点.

第4页，共9页

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】1

13.【答案】3

14.【答案】(0,|］

15.【答案】解：(1)由sin24=sin/,可得2sinAcosA=sin/,

又0<AV兀，所以sinA。0,

所以cos/=提所以/=(

(2)由⑴知4=皋

由余弦定理可得标=廿+-2bccosg,又a=VI夙c=3,

所以19=b2+9-3h,解得b=5或5=-2(舍去)，

所以S/VIBC=^bcsini4=1x5x3xsing=

ZZ34

16.【答案】解：(1)依题意可得日均数学自主学习时间的平均数为：

50X0.05+60X0.1+70X0.25+80X0.35+90X0.15+100X0.1=77.5；

(2)因为0。5+0.1=0.15<0.3,0.05+0.1+0.25=0.4>0.3,

所以第30百分位数位于［65,75),设为X,

贝！］0.15+(%-65)X0.25+10=0.3,解得久=71,

第5页，共9页

所以第30百分位数为71；

(3)依题意［85,95)中抽取5x瑞£=3名学生，分别记作a、b、c,

［95,105］中抽取5x0121=2名学生,分别记作4B,

从这5名学生中，随机抽取3名学生，则可能结果有：

ABa,ABb,ABc,Aab,Aac,Abe,Bab,Bae,Bbc,abc共10个;

其中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在［85,95)有：

Aab,Aac,Abe,Bab,Bae,Bbc,abc共7个，

所以至少有2名学生的日均数学自主学习时间在［85,95)的概率P=5；

17.【答案】【详解】(1)设圆心为C(3a,2a),

贝!)r=yj(3d—2)2+(2ci—2)2=(3d—3)2+(2a—I)2,

即(3a-2)2+(2a-2)2=(3a-3)2+(2a-I)2,解得a=1,

r=J(3—2尸+(2—21=1,

.•.圆C的标准方程：(％-3尸+(y—2)2=1.

(2)如图：4式-2,—3)是4点关于x的对称点.

*

Ai|

显然，当反射后的直线斜率不存在时，反射后的直线与圆不相切,

所以反射后的直线的斜率一定存在，

二设/：y+3=+2),即/：kx—y+2k—3=0,

•••反射后的直线与圆相切，.•・圆心C(3,2)到直线的距离d=r,

・•・1332+223|=1,整理得12k2-25k+12=0,

・•・反射后的光线所在直线的方程：1：4%—3y—1=0或3汽—4y—6=0.

第6页，共9页

18.【答案】【详解】(1)证明：因为平面PAD，平面28C。，4。

所以AB1平面PAD因为4Bu平面PAB,所以平面P4B_1_平面PAD.

(2)取4。的中点。，连接P。.因为P4=PD,所以P014D.

因为平面PAD_L平面4BCD,所以P。！平面4BCD.

以。为坐标原点，0A,声的方向分别为x,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

贝必(1,0,0),B(1,4,0),C(—1,2,0),£)(-1,0,0).

设P(0,0,a),平面PBC的法向量为元=(x,y,z),

因为前=(-2,—2,0),BP=(-1,-4,a),

匚匕2保•BC=-2%—2y=0人/日..

所以L—,,令7=£1,得ri=(一a,a,3).

{n•BP=-x—4y+az=0

平面ABCD的一个法向量为记=(0,0,1).

因为平面PBC与平面4BCD的夹角为为所以|cos或用=7斗=噂，所以a=孚.

6J2a2+922

设平面R4B的法向量为五=(%Lyi，Zi),

因为希=(0,4,0),乔=(-1,—4,苧)

n7-AB=-4yi=0,

所以一一

ri],BP=_%]—4yl+—zt=0,

令%1=y/~6,得4=(V-6,0,2).

因为方=(2,2,0),所以点C到平面P2B的距离d=忸学=斐=若.

19.【答案】解：(1)将伸缩变换为:｛；；二窑：(％>0,%>0)代入9(/)2+4(y')2=1,

得到9(乙%)2+4(%y)2=1,

将上式与%2+y2=」比较,得9屑=1,4后=1,

1

-

2-

第7页，共9页

(x'=

所以所求的伸缩变换处为:;

(y'=5y

r

{八/_工Q"叫与(x=〃2x

代入各y2=i,可得第+(/)2=1,

则呼+好=i，

所以曲线C的方程为T+券=1；

4zf

②证明：由题意可知，直线EF的斜率存在,

设E尸的方程为y=kQ+2)+3,斤(％2，%)，

y=k(x+2)+3

联立方程/X2

—H——=1

V94

消去y得(41+9)x2+8k(2k+3)x+16(fc2+3k)=0,

2

则4=64k2(26+3)-64(41+9)(/+