函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（5题型+限时提升练）-2025年上海高考数学复习专练（解析版）

重难点03函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性

明考情・知方向

2025年考向预测：函数的奇偶性与单调性、由导数求函数的最值结合

新定义的解答题

重难点题型解读

题型1函数的单调性

1.(2024・上海•三模)已知〃回=卢|,函数/=/")是定义在(-2,2)上的奇函数，且/⑴=；

⑴求/(X)的解析式；

(2)判断>=/(x)的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.

【答案】(1)/。)=三r(-2<x<2)

(2)/(x)在区间(-2,2)上为严格增函数，证明见解析

【分析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得〃0)=0,求出b的值，结合函数的解析式求出“的值，计算

可得答案；

(2)根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案.

【详解】(1)根据题意，=是定义在(-2,2)上的奇函数，

4-x2

则有/'(0)=4=0,解得6=0，

4

又由「⑴二三二:，解得。=1,

所以…占，"X)定义域为(-2,2),

且〃f)=7Z7TV=I?1=-/«，所以/«=7^(-2<x<2)；

4—y—x)4—x4—x

(2)“X)在区间(-2,2)上为严格增函数.

证明如下：设任意一2<±<%<2,则/(为一/(%)=占-枭=七:j),

由一2<再<马<2,得一4<项/<4，

BP4+XjX2>0,x1-x2<0,(4-x；)(4-x；)>0,

所以“xj-/(%)<0,BP/(X1)</(X2),

故〃x)在区间(-2,2)上为严格增函数.

2.(2023・上海•模拟预测)函数/(x)=a'+x(a>0),且〃l)=e+l.

(1)判断/(x)在R上的单调性，并利用单调性的定义证明；

⑵g(x)=/(x)-&,且g(x)在(。,+为上有零点，求X的取值范围.

【答案】(1)单调递增，证明见解析；

(2)2>e+l

【分析】(1)由题意解出。的值，再利用单调性的定义证明即可；

(2)转化问题为e'+x-2x=0在(0,+功上有解，贝！U=h+l有解，利用导函数求《+1的单调性，进而求

XX

得取值范围即可.

【详解】(1)由题意可得/(l)=a+l=e+l,解得“=e,所以/(x)=e，+x,

/(x)在R上单调递增，证明如下：

X2x,%2

任取X]>x2eR,则/(西)-/(%)=炉+xl-e-x2=e-e+x1-x2,

因为y=e，在R上单调递增，且再>々，

1

所以e*-e*2>0,xt-x2>0,

所以/(须)-/(无2)>。，即/(再)>/(%),

所以f(x)在R上单调递增.

(2)由(1)得g(x)=e*+尤-Ax,

g(x)在(0,+动上有零点，即e*+x-&=0在(。,+8)上有解,贝(U=《+i有解，

X

令尸(x)=f+l,则/卜)=丑”=虫曰，

XXX

令尸'(x)>0解得x>l,令尸'(x)<0解得0cx<1,

所以尸(x)在(0,1)单调递减，在(1,+«0单调递增，

所以/(x).=/(l)=e+l,没有最大值,

所以；lNe+1.

3.(2023•上海青浦•二模)设y=/(x)、y=g(x)是定义域为R的函数，当g(xj*g(%)时,

〃西)一/。2)

5(西,切=

g(xj-g(x2)

(1)已知y=g(x)在区间/上严格增,且对任意再,％e/,无产/，有5(%户2)>0,证明：函数>=/(尤)在区

间/上是严格增函数；

(2)已知8。)=；/+如2-次，且对任意尤“XzeR,当g(xjwg(x2)时，有5(%,％)>0,若当x=l时，函数

>=/(》)取得极值，求实数。的值；

(3)已知8(力=$.%/停)=1,/]-|^=-1,且对任意Xi,zeR,当g(xjwg(x2)时，有忖(西,工2)|W1,证明：

/(x)=sinx.

【答案】(1)证明见解析

(2)a=l

⑶证明见解析

【分析】(1)利用函数单调性的定义证明即可；

(2)结合(1),利用极值的定义进行求解即可；

(3)利用题目条件，代入，分情况进行讨论即可证明.

【详解】(1)不妨设玉<》2，=g")在区间/上严格增，

对任意X[,X2€I,Xj<x2,有g(t)-g(%2)<。，

又5(占,上)=/„(x,)-/(x2)<0,

g(尤

；・函数y=/(x)在区间/上是严格增函数；

(2)由(1)可知：y=g(x)在区间/上严格增时，y=/(x)在区间/上是严格增，

当y=g(x)在区间/上严格减时，y="X)在区间/上是严格减，

又当x=i时，函数y=〃x)取得极值，当x=l时，函数y=g(x)也取得极值，

g'(x)=/+2ctx—3,g，(l)=l~+2iz-3=0,可得a=1)

当a=l时，g<x)=(x+3)(x-l),g'(x)在x=l左右附近两侧异号，

满足条件，所以。=1.

(3)当左EZ)时，

由条件知1，/[卜sinx,

I2Jsinx+1

5%^=--""<l.\/(A)>sinx,/./(»=sinx.

(2)1-sinx

当x=E+](左EZ,左wO)时，对任意，!■，!•],有Hi：]

BP2sinZ-l</(x)<l,

又"sinf-l的值域是(-3,1),/(尤)=1,

当工=析_](后eZ,后WO)时，对任意有B(x,。归';二；；'<1,

-1</(x)<l+2sin/,

又•.•l+2sinf的值域是(-1,3),f(力=-1,

综上可知，任意xeR,/(x)=sinx.

4.(2023・上海长宁•一模)若函数N=/(x)与y=g(x)满足：对任意Xp^eR,都有

|/(x1)-/(x2)|>|g(x1)-g(x2)|,则称函数y=/(x)是函数y=g(x)的“约束函数”.已知函数y=/(x)是函数

了=g(无)的"约束函数

⑴若〃x)=/,判断函数y=g(x)的奇偶性，并说明理由：

(2)若〃x)=ax+x3(a>0),g(x)=siwc,求实数。的取值范围；

(3)若y=g(x)为严格减函数,/(0)</(1),且函数y=〃x)的图像是连续曲线，求证：y=〃x)是(0,1)上

的严格增函数.

【答案】(i)y=g(x)是偶函数；理由见解析

⑵a21

(3)证明见解析

【分析】(1)根据题意结合偶函数的定义分析证明；

(2)根据题意结合y=〃x)的单调性分析可得/(xj+g(xjw/(x2)+g(xj,/(^)-g(x1)</(x2)-g(x2),

设〃(x)=/(x)+g(x),v(x)=f(x)-g(x),可知y="(x)与y=v(x)均为R上的严格增函数,利用导数分析求

解；

(3)根据题意分析可得任意再〈尤2,都有/(占)片/仁)，利用反证法先证当0<x<1时，〃0)</(尤)</⑴，

再明当0<1时，/(%1)</(%2),即可得结果.

【详解】(1)因为〃x)=x2,故对任意的x」R都有〃X)--(T)=0.

又因为函数y=/(尤)是函数y=g(x)的“约束函数,'，

则对任意再,凡eR，都有|/(xJ-/(X2)|2|g(X])-g(X2)|,

取再=xeR,X2=-x,可得0=|/(X)-/(-X)|N|g(x)-g)|恒成立，

即g(x)=g(-x)对任意的尤eR成立，故y=g(x)是偶函数；

(2)因为y=G(a>0)/=x3是R上的严格增函数，则>=是R上的严格增函数，

设再<%,则/(占州/仁)，

进而|g(再)-g(%)|v/(%)-/(%)，

可得g(再),g(x2)-g(xl)</(x2)-/(x.),

所以/(xj+g(工Jw/(工J+g(三)，/(x1)-g(x1)</(x2)-g(x2),

设"(x)=/(x)+g(x)，v(.x)=/(x)-g(x),

则y=〃(x)与y=v(x)均为R上的严格增函数，

因为〃'(%)=〃+3%2+cosx20,v'(x)=Q+3r一cosx20恒成立，

对于v'(x)=Q+3/-cosx20恒成立，

因为3/20,-cosx>-l,当且仅当x=0时，等号成立，

所以a+3x2-cosx>a-l>0，解得得a>\,

当a21时,=Q+3工2+cosx2〃+cosx20'恒成立,

所以实数。的取值范围为“21.

(3)设占<<2,因为y=g(<是严格减函数,所以g(xj>g(z)，即g(xJ-g(x；!)>0,

而|/(工2)-/(%)闫g(xj-g(x2)|,所以|/(*)-/(三)|>0,

所以对任意王<马，都有/(尤1)片/k2),

①首先证明:当0<x<l时,/(o)</(x)</(l),

假设存在0<%<1,且/⑴</(%),

设〃(工)=/(工)-/⑴，则〃⑼<0,A(x0)>0,

所以存在斗e(0,%),使得〃(.匕)=0,

得/(三)=/⑴，与结论对任意王<马，/(XJN/(XJ矛盾，

所以不存在0<%<1,使得/⑴</(%),

同理可得：也不存在0<%<1,使得/(/)</(0),

所以当0<x<l时,/(O)</(x)</(l).

②再证明：当0〈占〈三〈1时，/(^)</(^2),

假设存在0〈』〈x2〈l,使得/(再)>/(%),则/(())</(9)</&)</⑴，

设g)=/(x)-/(xj,贝!]〃(0)<0,A(Xj)>0,

所以存在三«0,再),使得〃(三)=0,

得/(退)=/(%)，与结论对任意王<马，/(七)片/卜2)矛盾，

所以假设不成立，即对任意士,尤2<0,1),都有"再)<"%)

所以y=〃x)是(0,1)上的严格增函数.

【点睛】关键点睛：“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然

后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解,

(3)中也结合反证法分析求解.

5.(2024•上海杨浦■一模)已知y=/(x)是定义域为[0』的函数,实数pe(O,l),称函数

了=(-。)/(。)+0'(力-/(加)广€[0,1]为函数卜=/(力的“夕-生成函数”,记作y=/(x),xe[0,l].

⑴若/'(X)=COS2TU,求函数〉=、(》)的值域；

2

⑵若/■(x)="2+in(i+x),函数夕=々3满足4(》)2。对任意的0«处1恒成立，求实数。的取值范围；

33

(3)若y=/(x)满足:①/(0)=0；②y=/(x)在(0,1)上存在导函数产/'(X),且产/'(尤)在(0,1)上是严

格增函数；③对于任意pe(o,l)j=/(x)的“。-生成函数"尸耳(x),xe[0,l]的图像是一段连续曲线，求证:

函数>=在(0,1)上是严格增函数.

X

【答案】(1)-7,2

_4_

⑵

(3)证明见解析

【分析】(1)由题意得到耳(x)=(cos欣-xe[0,l],结合cosae[-l,l],求出函数的最值，得到

值域；

(2)(x)=|o?+^ln(l+x)-ln|1-Ux|,xe[0,l],故2a/+』ln(l+x)-ln(l+Lb0对任意的0VxW1

§93V3793<37

恒成立，构造函数Mx)=|ax2+；ln(l+x)-l"l+$j,xe[0,l],结合特殊点函数值，多次求导，由端点

值效应得到时，满足要求，并得到a<1时，不满足要求，得到答案；

22

(3)得到遥(x)="(x)-/(px),xe[0』,求导得到g：(尤)=p[r(x)-r(px)],

由V=/'(x)的单调性，得到Fp(x)在(0,1)上单调递增,又g(o)=o,故加'(x)>/(px),两边同时除以必

得工区证明出结论.

xpx

【详解】(1)々(x)=m(o)+：/(@-/&d=TcosOJcos2rx-eos兀J

：2

11(1Y

22L,XG[0,1],

=一+COSTIX----COS7LX=COSTIX-COS7TX=COS71X——--

22I2

因为Xe[0,l],所以7LT£[O,7l],COS7LXG[-1,1],所以当COS7LX=g,

即X=g时，/-；取得最小值，最小值为一；,

当COS7LX=-1,即X=1时，/(X)=]cOS7lX-；]取得最大值，最大值为2,

故函数值域为「-；21；

(2)/(x)=ax2+In(1+x),故/⑼=0,=；办?+i“l+gx

W=|/(O)+1/W-/f1^=1^2+|ln(l+x)-16ZX2-lnfl+1.

§3j\jJjjyVj

21(1

——ctx^H—In(1+x)—In1H—x，xe[0』],

93v7I3

—ax2+—ln(l+x)—ln^l+—xj>0对任意的0<x<1恒成立,

令=+gln(l+x)-ln[l+；x),xG[0,1],

则/(。)=0，其中%'(X)=_QXH------------,xG[0,1],

93+3%3+x

显然(0)=0,令q(x)=«x),XG[0,1],

贝xe[0,l],

/\rf\31,

令w(x)=g(x)、”"+而产xe[0r,l],

,(x____18_______2_________2_________2___

"x)=(3+3x厂my=M可彳7，

令e(x)=亍,则e(x)=/在(0,+8)上单调递减,

又r(x)=^+小一(3+x)=4■-3+(51卜在xe［0,l］上单调递增，

r(l)=V3-3+V3-l<0,故肉病<3+x在xe［0,l］上恒成立，

22

故叫上…孑一1>"4。』恒成立，

故/(x)在xe［0,l］上单调递增，

4o1

其中,(。卜^加?若4'(0)20，即心］时，，(x)20在xe［0,l］上恒成立,

f(x)=-ax+—-----匚在xe［0,1］上单调递增，［(x)"⑼=0,

93+3%3+x

故'(x)=~+§ln(l+x)—ln[l+在xe[0,1]上单调递增，

t(x)>t(O)=O,满足要求，

若a<,贝lj/⑼=(-1。，故存在适当的再«0,1),使得xe(O,xJ时，q'(x)<0,

故q(x)=t'(x)在xe(0,匹)上单调递减，又，(0)=0,

故，(x)<0在xe(O,xJ恒成立，不合要求，

综上，实数。的取值范围是

(3)^6(0,1),Fp(x)=(l-p)f(o)+pf(x)-f(px),xe[o,l],

由于/'⑼=0，故g(x)=犷(x)-f(px),xe[0,1],

与'(x)="(x)-"(px)=P(x)-f(px)],

因为了=/'(x)在(0,1)上是严格增函数，x>px,

所以/'(x)-/'(px)>0,(x)p\_f｛x)-f\px)\>0,

故g(X)="(X)-/(px)在(o,1)上单调递增，

又々(0)=0,故加(x)>y(px)在(0,1)恒成立，

两边同时除以"得-"'>,

xpx

由于。为(0,1)上的任意数，故函数>=在(0,1)上是严格增函数.

X

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一

端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.

二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函

数图象确定条件.

题型2函数的最值

i:石行江瀛蒲二超7前集吝A赢'定薪赢甚匚冗5二Tx彘:百丁

f(x+t)-f(x)^A,则称/(X)是关于/的同变函数.

⑴当N=(O,+8)与(0,1)时，分别判断/'("=2'是否为关于N的同变函数，并说明理由；

(2)若/(x)是关于｛2｝的同变函数,且当xe[0,2)时，f(x)=岳,试求〃x)在[2后,2左+2)(左eZ)上的表达

式，并比较[(X)与x+；的大小；

(3)若〃为正整数，且/(x)是关于的同变函数，求证：〃x)既是关于加2"｝(加eZ)的同变函数,

也是关于[0,+8)的同变函数.

【答案】⑴当4=(0,”)时,/("=2'是关于(0,+8)的同变函数;当4=(0,1)时,〃尤)不是关于(0,1)的

同变函数，理由见解析.

⑵=《2(x-2k)+2k,当x=2左+；(keZ)时，〃x)=x+；；当xw2斤+；(keZ)时，f(x)<x+~-

(3)证明见解析.

【分析】(1)当么=(0,+8)时，运用定义证明即可；当/=(0,1)时，举反例说明即可.

(2)由定义推导出了=/(x)-x是以2为周期的周期函数，进而可得〃尤)在[2左,2左+2乂左eZ)解析式，再

运用作差法后使用换元法研究函数的最值来比较〃x)与x+!的大小.

(3)运用定义推导出/'(x)-x是以2-"为周期的周期函数，再用定义分别证明""2一"®eZ)与/目0,+8)

两种情况即可.

【详解】(1)当/=(0,+8)时，对任意的f”,xeR,/(x+?)-/(x)=2x(2,-l),

由T>1，可得2'-1>0,又2*>0,所以,

故/■(无)=2*是关于(0,+8)的同变函数；

当/=(0,1)时，存在2eR,使得〃x+fH/(x)=22(正即/(x+/)-/(x)任/,所以〃x)

不是关于(0,1)的同变函数.

(2)由1(X)是关于｛2｝的同变函数，可知/(x+2)=/(x)+2恒成立，

所以/'(x+2)-(尤+2)=/(x)-x恒成立，故y=f(x)-x是以2为周期的周期函数.

当xe[2后,2/+2)(无eZ)时,x-2ke[0,2),由/(x)-x=/(x-24)-(x-2%),

可知/'(x)=/(x—2左)+2左=也卜_2。+2k.

(提示：/(无)=/(x-2左)+2人也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证)

对任意的xeR,都存在(左eZ),使得尤e[2人,2左+2),故/(x)=j2(x-2都)+21.

所以/(x)-+5J=)2(x-2k)+2k—x——

____________2

令j2(x-2左)=1,贝!]x-2左=g,可得/e[0,2),

所以/'卜)一「+1)="[一：=一；(”1)240(当且仅当仁1,即x=2上+；时取等号).

所以当x=2左+；(左eZ)时，/(%)=%+-；

当x片2左+g(后eZ)时，/(x)<x+g.

(3)因为/(可是关于［2-",2〜］的同变函数，

所以对任意的］,xeR,都有〃x+/)-〃x)e［2f,2,

^/(x+2-)-/(x)>2-\用x+2-"代换x,可得/(x+2~)-+

所以［/(x+2f)-/(x)］+［/(x+2“)-/9+2f卜2，"，即+

又/卜+2~)_/(%)22~,故/(尤+2j)-/3=2~,且/1+2-")-〃”=2二

所以/(x+2-')-(x+2-')=/(x)-x,故〃x)-x是以2-"为周期的周期函数.

对任意的，=m2f(meZ),xeR,由/(x+加・2一")-卜+加-2一")=/(x)-x,

可得/(x+加(*)

所以/(无)是关于｛“2-"｝(meZ)的同变函数.

对任意的相［0,+8),存在非负整数%,使+

所以”(m-1)2"42-",2~］,对任意的xeR,/(x+f)-/(x)=

>2-"+(m-l)-2-"^m-2~">0,即/卜+。_/卜)e［0,+”)，

所以/"(x)是关于［0,+e)的同变函数.

故/'(x)既是关于｛“21(〃?")的同变函数，也是关于［0,+司的同变函数.

2.(2023・上海金山・一模)网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客

户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.

7T

⑴为避免冰箱内部制冷液逆流’要求运送过程中发生倾斜时’外包装的底面与地面的倾斜角a不能超过

且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形/BCD,

TT

AD=0.8mAB=2Am,而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够.若以倾斜角。的方式进客户家

f4

门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由.

（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收.为了省力，小金选择将冰

箱水平推运（冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）.推运过程中遇到一处直

角过道，如图2所示，过道宽为1.8米.记此冰箱水平截面为矩形EFG/Z,EH=12m.设乙PHG=0,当

冰箱被卡住时（即点H、G分别在射线PR、尸。上，点。在线段所上），尝试用月表示冰箱高度跖的长，

并求出跖的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结

果精确到0.1m）

【答案】（1）冰箱能够按要求运送入客户家中，理由见解析；

⑵EF最小值为电|二巨米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为2.6米.

【分析】（1）过4。作水平线4,4,作CFLhDEU，由〃=。£+。尸可得；

（2）延长样与直角走廊的边相交于M、N,由EF=MN-ME-NF表示出EF,设

/=sin£+cos£=^sin（£+£|进行换元，利用单调性即可求解.

【详解】（1）过/,。作水平线4,4,作C/，/2，。E，/l如图，

JT

当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）

4

/z=£>£,+CF=0.8sin-+2.4cos-=—<2,3,

445

故冰箱能够按要求运送入客户家中.

(2)延长£尸与直角走廊的边相交于M、N,

1Q1Q17

则JW=(W+ON=—+—,EM=—,m=1.2tan〃，

sin/}cos°tan/?

又EF=MN-ME-NF,

则EF=上一+上一一1.2(tan/7+^―)=M11-T.2,

sin0cosPtan0sin/?cos/?2J

设％=sin夕+cosP=V2sinI/?+—|,

因为所以6+：€],手；所以/],

H“H---1-.-8--Z---1-.-2-----6--3--t-—---2

则一封_「5〜，

EF=0♦=巴e(1,36-21

再令％=3-2,则5[加+2]_]5/M_A+4'」，

I3J-m，

易知，y—mF4在上单调递增，

所以了=?不'优e(L3sL2]单调递减，

m--------F4

m

故当加=3后一2,即/=正，£=]时，跖取得最小值应|二上土2.69.

由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米.

3.(23-24高三上•上海浦东新•阶段练习)若存在使得1(x)4/(%)对任意xe。恒成立，则称毛为函

数/(X)在。上的最大值点，记函数/(X)在。上的所有最大值点所构成的集合为M

⑴若，(x)=*+2x+l,O=R,求集合M；

(2)若〃X)=(2：：)X,D=R,求集合M;

⑶设。为大于1的常数，若/(x)=^+asinx,D=[O,可，证明，若集合〃中有且仅有两个元素，则所有满足

条件的b从小到大排列构成一个等差数列.

【答案】(1)M={1}

⑵八{1,2}

(3)证明见解析

【分析】(1)配方得到当且仅当x=l时，〃同=-尤2+2尤+1取得最大值，得到”={1}；

(2)求导，得到函数单调性，求出当x=l或2时，/(x)取得最大值，故〃={1,2}；

(3)求导，得到函数单调性，并得到了'(x+2劝=/'(x),得到/(ah/CE-Tt-arccos：],结合

〃加)-/(3=2兀，得到如-4为定值,

故所有满足条件的6从小到大排列构成一个等差数列.

【详解】(1)/(X)=-X2+2X+1=-(X-1)2+2,

当且仅当x=l时，/(x)=r2+2x+l在R上取得最大值，故M={1}；

(2)定义域为R,

/,()[(2Iln2-l)x+2x-x]4r-(21-x)x-4xIn4

(2x-2x)(l-xln2)

—4X'

令夕(％)=2"—2%,则，(x)=2"ln2-2,

令尤)=0得X=log2=,

-m2

।2[bg/W

Xlog—

2m2

d(x)-0+

q(x)极小值/

其中ln2e(ln痴,lne)=(g,l],故上e(2,4),log2*e(1,2),

可以看出"(1)=002)=。，

故q(x)有且仅有2个零点，分别为1和2,

令厂(x)=0得》=白€(1,2)或1或2,

、忌)1

X(fl)12(2,+oo)

In2

/‘(X)+0-0+0-

/(X)/极大值极小值/极大值

其中〃1)=/(2)=：,

故当x=l或2时,/(x)取得最大值,故〃={1,2}；

(3)/(x)=x+〃sinx,Z>=[0,6],a>\,

(x)=1+«cosx,D=[0,b\,a>l,

令/'(x)=°得％=2而土arccos]-，)=2加±1兀一arccos，],kRZ,

当0<x<兀-arccosL时，/r(x)>0,/(x)单调递增，

a

当兀一arccos^vx<兀+arccosL时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

aa

当兀+arccos—<X<3TI-arccos，时，/"(x)>0,/(x)单调递增，

aa

当3兀一arccosL<x<3兀+arccosL时，/r(x)<0,/(x)单调递减,

aa

当37i+arccos—<x<5TI-arccos—,/z(x)>0,单调递增，

aa

由于/'(x+2兀)=1+QCOS(X+2兀)=1+QCOSX=/'(%),

故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合，

要想集合M中有且仅有两个元素，

则需要兀-arccos：)或/(仇)=/(3兀-arccos],

或/(4)=/(5兀一arccos),.......,f(bQ=/(2E—兀一arccos：,

其中/(x+Zit)=x+2兀+asin(x+27t)=x+27t+asinx,

f(x+27t)-/(x)=x+2jt+asin龙一x-asin尤=2兀，

又(4)=f+2K-7i-arccos—-f^lkn-n-arccos—=2%,

所有的外均处在单调递增区间上，

所以为+「人为定值，

故所有满足条件的6从小到大排列构成一个等差数列.

【点睛】函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进

行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解

问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.

4.(2023・上海闵行•一模)定义：如果函数＞=/(x)和y=g(x)的图像上分别存在点M和N关于x轴对称,

则称函数y=/(x)和〉=g(x)具有c关系.

⑴判断函数"X)=嚏2(8/)和g(x)=log；x是否具有C关系；

⑵若函数〃x)=ag和g(x)=r-l不具有c关系,求实数a的取值范围；

(3)若函数/(x)=xe，和g卜)=msinx(m<0)在区间(0,兀)上具有C关系，求实数优的取值范围.

【答案】⑴是

⑵卜凡2旬

⑶(fT)

【分析】(1)根据C关系的理解，令〃x)+g(x)=o,解得x=：,从而得以判断；

O

(2)利用换元法，结合二次函数的性质得到7+〃一2<0在［0,+8)上恒成立，分类讨论:0与"0,利

用基本不等式即可求得。的取值范围；

(3)构造函数〃(x)=xe*+机sin无，将问题转化为在(0,兀)上存在零点，分类讨论-1V机<0与机<-1,

利用导数与函数的关系证得加<-1时，〃(无)在(0,兀)上有零点，从而得解.

【详解】(1)八可与g(x)是具有C关系，理由如下：

根据定义，若/(力与g(x)具有C关系,则在与g(x)的定义域的交集上存在x,使得/(x)+g(x)=0,

因为/卜)=10历(8*),g(x)=log;，x>0,

所以/(》)+8(为)=1。82(&2)+1。83=10828+1082*-log2log2料3,

2

令〃x)+g(x)=0,即log2尤+3=0,解得x=J,

O

所以/(X)与g(x)具有C关系.

(2)令0(x)=/(x)+g(x),

因为"X)=ajx-l,g(x)=-JC-l,所以夕=

令t=Jx-l(t20),贝Ux=f2+1，故y=e(x)=由_(厂+1)_］=—广+at—2,

因为1(x)与g(x)不具有C关系，所以e(x)在［0,+<»)上恒为负或恒为正，

又因为y=-/+成-2开口向下，所以了=-『+必-2在［0,+8)上恒为负，即+必-2<0在［0,+℃)上恒成

立，

当，=0时，-/+血-2=-2<0显然成立；

2

当，>0时，。<，+：在［0,+8)上恒成立，

因为f+也，当且仅当1即f=后时，等号成立，

所以“+=26,所以°<2也，

\t7min

综上：a<242>即0€卜℃,2后).

(3)因为/(x)=xe"和g(x)=n?sinx(m<0),

令〃(％)=/(x)+g(x),贝!J=xe"+冽sinx,

因为/(X)与g(x)在(0,71)上具有c关系,所以力。)在(0,兀)上存在零点,

因为h'(x)=(x+l)ex+mcosx，

当一1(加<0且%£(0,兀)时，因为(x+l)e*>l,|mcosx|<|m|<l,所以〃'(x)〉0,

所以力卜)在(0,兀)上单调递增，则〃(%)>7/(0)=0,

此时〃(x)在(0,兀)上不存在零点，不满足题意；

当机<-1时，显然当xe；,兀卜寸，h\x)>0,

当时，因为"(x)在(0,£|上单调递增，且"(0)=1+加<0,”[曰=(1+1]/>0,

故“(X)在，上存在唯一零点，设为a,则”(a)=0,

所以当xe(0,a),〃'(x)<0；当xe>0；又当xe兀卜寸，A'(x)>0,

所以〃(x)在(0,a)上单调递减，在(4兀)上单调递增，4x)在(0,兀)上存在唯一极小值点C，

因为力(0)=0,所以/z(a)<0,

又因为〃(兀)=7te">0,所以为x)在(0,兀)上存在唯一零点力,

所以函数/(X)与g(x)在(0,兀)上具有C关系，

综上：m<-\,即we(-8,-1).

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到/(x)与g(x)具有C关系，则在定义域上存在七,

使得/(x0)+g(x0)=0,从而得解.

5.(2023•上海黄浦•二模)三个互不相同的函数了=/(%),了=8(%)与〉=/;("在区间。上恒有

/(x)>/z(x)>g(x)或恒有/(x)<A(x)<g(x),则称V=/?(X)为>=/(x)与y=g(x)在区间。上的“分割函

数”.

(1)设%(X)=4X,A2(X)=X+1,试分别判断y=%(x),y=h2(x)是否是y=2x?+2与y=-x?+4x在区间

上的“分割函数，，，请说明理由；

⑵求所有的二次函数J=a/+cx+d(a片0)(用。表示c,d),使得该函数是y=2x?+2与y=4x在区间

(-8,+00)上的“分割函数”；

(3)若［私”仁［-2,2］,且存在实数匕6,使得y=丘+6为了=苫4-4尤2与了=4工2-16在区间［72,〃］上的“分害I］函

数”，求〃一加的最大值.

【答案】(1)V=%(x)是y=2/+2与了=一，+4x在(-00,+oo)上的“分割函数”；

y=4(x)不是夕=2/+2与y=--+4x在(-℃,+℃)上的“分割函数”；

(2)y=ax2+(4-2a)x+a(fi<a<2)；

(3)2A/3.

【分析】(1)根据题意可得当xe(-8,+s)时2-+2242*+4》恒成立，结合”分割函数，，的定义依次判断,

即可求解；

(2)根据“分割函数”的性质，贝1］2-+22&+5+八4X对一切实数x恒成立，由导数的几何意义和恒成立

2

可得(2-a)(x-l)20且a(x-l)220对一切实数尤恒成立，结合图形即可求解；

(3)利用导数求出函数卜=--4/的极值，贝同=(4/-劭)力。=4/-3〃，作出其函数与函数y=4x2-16的图

象，设直线了=履+6与y=-16的图象交于点(国,必),(马,%),利用代数法求出弦长

2

\x,-x2\<^+16+/)0=V?-7s+8s+16(S=〃e［2,4］),结合导数研究函数MS)=S3-7S2+8S+16的性质即可求解.

【详解】(1)因为2，+2-4x=2(x-l)2±0恒成立,且4计(--+4%)=-20恒成立，

所以当&e(-*+8)时，2#+224x2--+以恒成立，

故V=4(x)是y=2/+2与y=+4x在(-s,+功上的“分割函数”.

又因为x+1-(--+4X)=/_3X+I,当x=0与1时，其值分别为1与一1,

所以似x)2-x?+4x与饱。)4-r+4》在(-℃,+«>)上都不恒成立，

故y=饱。)不是y=2/+2与了=一，+4x在(-00,+oo)上的“分割函数”.

(2)设y=公2+次+"。20)是3；=2/+2与夕=4彳在(-00,+oo)上的“分割函数”,

贝I2犬+2》o?+ex+"24x对一切实数x恒成立，由(2/+2),=4x,

当x=l时，它的值为4,可知y=2/+2的图象在x=l处的切线为直线y=4x,

它也是y=ax2+cx+"的图象在x=l处的切线,

2。+。=4Jc=4-2a,

所以可得

a+c+d=4Id=a.

所以2工2+2之中2+(4—2。)1+4241对一切实数犷恒成立,

即(2-a\x-I》20且。(x-之0对一切实数x恒成立，

可得2-心0且。>0,即0<。(2,

又。=2时y=。/+(4一加)X+Q与y=2/+2为相同函数，不合题意,

故所求的函数为V=a/+(4-2a)x+«(0<a<2).

(3)关于函数了=x"-4尤2,令y'=4/_8x=0,可得x=0,土立，

当xe板)与xe(0,后)时,y'<0；当xe(-0,0)与xe(V2,+oo)时,y'>0.

可知土也是函数>=X4-4X2极小值点，0是极大值点，

该函数与了=4x2-16的图象如图所示.

由y=Ax+b为了=X，-4无2与y=4/-16在区间上"产]上的"分割函数”，

故存在b„使得b<b0且直线y=h+d与y=/-4,的图象相切，

并且切点横坐标fe[-2,-6]U[V2,2],此时切线方程为y=(4/一8t)x+4/-3/,

即后=(4/_劭)力o=4/-3〃,

设直线了=米+6与y=4i-16的图象交于点(西,"),(马,%),

fy=kx+b,

则由I-z,2»可得4x2-H-16-'=°，

[y=4x~-16

=yl(t3-2/)2+16+4C-3Z4=46-71+8H+16=-7s2+8s+16(s=f~e[2,4]),

令后(S)=--7S2+8S+16(se[2,4]),

软s)=314-s-2)(s-4)V0(仅当s=4时，〃(s)=0),

所以左(S)严格减，故后(S)的最大值为*(2)=12，可知|XjI的最大值为JU=26,

所以〃一加的最大值为26.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去

解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概

念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，