河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

河南省郑州市2025届高三第一次质量预测卷

数学试题

注意事项:

1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写

在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条

形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的

答题区域内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合"=—2〉°},，={1,2,3,4},则的子集的个数为()

A.8B.7C.4D.3

2.若复数z满足(l+i)(z+i)=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为()

A.-1B.1C.-2D.2

3.设向量5=(2,0),3=(1,1),下列结论正确的是()

A同=冈B.a-b=\C.(a-b^VbD.a//b

4.将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有1〜8八个数字，记录骰子与地面接

触的面上的点数，用表示第一次和第二次抛掷的点数，则尸(max(X,y)=8|min(X,y)=4)=()

5.若X1=；,是函数/(x)=sin0x(0>O)两个相邻的最值点，则。等于()

31

A.2B.-C.1D.-

22

6.关于函数/(x)=2c°sx+(fcw,下列结论错误的是()

A.函数/(x)的图象关于y轴对称B.函数/(x)的图象关于直线x=］对称

C.函数/(X)的最小正周期为2irD.函数/(X)的最小值为2

7.如图，直四棱柱4BC。—451cl2,点N,P分别为44，8c和2。的中点，底面4SCQ为菱

形，/。48=60°且48=&441•记”乂与所成的角为"N与平面4BC。所成的角为广，二面

)

C.y>a>/3D.a>y>/3

8.已知函数/(x)=eX-ln(x+l)-l,g(x)=lnx-ax,对\/国e，3x2e(0,+oo),使得

/(xj2g(X2)成立.下列结论正确的是()

A.3x0e(O,2),使得/'(%)=0

B.函数y=/(x)的最大值为0

C.a的取值范围为-,+°o

e

D.过(0,0)作y=/(x)的切线，有且只有一条

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是()

A若随机变量X〜g

,则£>(3X+1)=18

B.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为片，耳和s：,s；

若吊=元2，则总体方差52=+S2）

C.某物理量的测量结果服从正态分布N（10,a2）,。越大，该物理量在一次测量中在（9.8,10.2）的概率

越大

D.已知某4个数据的平均数为5,方差为3,现又加入一个数据5,此时这5个数据的方差为2.4

10.已知数列｛%｝,q=1,a“+i=2%+l（〃eN*）,数列｛"｝满足a=21og2（l+%）—l.若在数列｛"｝

中去掉｛4｝的项，余下的项组成数列｛4｝,则（）

A,q+%+/+%=26B,b5=10

C.a4<bi5<a5D,cx+c2-\----Fc10=170

11.如图，经过坐标原点。且互相垂直的两条直线NC和5D与圆（x—1）2+3—1）2=4相交于/,C,B,D

四点，M为弦的中点，下列结论正确的是（）

A./。长度的最大值为2亚B.线段5。长度的最小值为20

C.点M的轨迹是一个圆D.四边形/BCD面积的取值范围为[4/6]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.已知双曲线C：土—21=1,双曲线C上一点P到一个焦点的距离为4,则尸到另一个焦点的距离为

169

13.已知正方形48co的边长为2,E,尸分别为4D,48上的点，当△/£户的周长为4时，△4£产面积

的最大值为.

14.甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1,2,3,4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮

比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自

舍弃此轮所选卡片(舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相

同的情况共有种.

四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.记V45c的内角B,C的对边为a,b,c,已知/+°2=血灰;，2sin(C-Z)=siaS.

(1)求sinC;

(2)设8C=10,求5c边上的高.

16.已知两定点£(-1，0),F2(1,0),动点尸满足|尸片|+|尸月卜四片片.

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)过乙。，0)的直线/与动点尸的轨迹交于两点4,B,与直线乂=2交于点C,设。为坐标原点，若

，O4C：，0BC=3：1，求直线/的方程.

17.如图，在斜三棱柱4BC-451G中，〃为Bq的中点，底面A48C为等腰直角三角形，且

(1)若4在底面4BC内的射影为点-求点/到平面48。的距离;

(2)若4在底面4BC内的射影为BC的中点，求平面与平面8。。1片夹角的余弦值.

18.已知函数/(x)=logaX(a>0且a/1),y=/(x)关于歹=》对称的函数记为y=g(x).

(1)若a〉l,方程/(x)-g(x)=0有且只有一个实数解，求a的值；

(2)讨论方程g(x)-=0在(0,+。)上实数解的个数；

(3)若。=0,设函数/(X)=2五一/(力，若尸(xj=尸(%2)(刀户工2)，求尸(七)+/(》2)的取值范

围.

19.如果数列｛4｝满足％=0,1%—M2为常数，n>2,〃eN）,则称数列｛4｝为a数列，已知

项数为n的数列｛4｝的所有项的和为Tn,且｛%｝为a数列.

（1）若"=4,p=l,&=1,写出所有可能的7；的值；

⑵若“=101,p=5,证明：“须1=500”是啜列｛4｝为递增数列”的充要条件；

（3）若“22,p=5,证明：若（,=0,则72=4左或〃=4左+1,（左eN*｝

参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

2

A=lx\x-2\0）8=（1234）彳n

1.设集合L'>,则NcB的子集的个数为（）

A.8B.7C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合A,求出/C8,进而判断其子集个数.

［详解］:集合幺=卜卜2_2〉0｝=｛》|》<一行或；（；〉正｝,B=｛1,2,3,4）,

.•.Zc8=｛2,3,4｝,

.•・/nB中元素的个数为3,子集个数为23=8.

故选：A.

2.若复数z满足（l+i）（z+i）=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的运算化简判断.

【详解】由（l+i）（z+i）=2,

22（l-i）

得2='—r-i=T；―TH一工-1=1-21,其虚部为-2.

1+1+—1）

故选：C.

3.设向量1=(2,0),B=下列结论正确的是()

A.同=同B.a-b=lC.(a-b^A-bD.a//b

【答案】C

【解析】

【分析】对A,由向量坐标求出模判断；对B,由数量积坐标运算求解；对C,由两向量垂直的坐标运算

求解判断；对D,由两向量平行的坐标关系判断.

【详解】对于A,*••2=(2,0),3=(1,1),

.•.同=2,|可=后，故同=忖不正确，即A错误；

对于B,•.•展3=2，故B错误；

r「「

对于C,由(万―3)石=展3-店=2—2=0,所以(a—故C正确；

对于D,•.2=(2,0)3=(1,1),2xlw0x1,1//B不成立，故D错误.

故选：C.

4.将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有1〜8八个数字，记录骰子与地面接

触的面上的点数，用X,y表示第一次和第二次抛掷的点数，则尸(max(X,y)=8|min(X,y)=4)=()

【答案】B

【解析】

【分析】设事件/为：min(X,7)=4,事件2为：max(X,7)=8,用列举法写出事件事件4B和事件

A的各种情况，计数后由条件概率公式计算.

【详解】设事件/为：min(X,y)=4.

当min(X,y)=4时，

分两种情况：

第一次掷出4,第二次掷出大于等于4的数，即第二次可以是4,5,6,7,8,共5种情况;

第二次掷出4,第一次掷出大于等于4的数，即第一次可以是4,5,6,7,8,共5种情况,

两种情况都有第一次和第二次都掷出4,共1种情况，

所以事件A包含的基本事件数为5+5-1=9.

设事件8为：max(X,n=8,

则事件48为:max(X,7)=8且min(X,7)=4,

有X=4,丫=8和万=8,y=4两种情况.

由条件概率公式:

2

9

故选：B.

5.若西=；,Z=?是函数/(》)=5M。武0>0)两个相邻的最值点，则。等于()

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得到函数/(x)的最小正周期，再用最小正周期公式可解.

【详解】由玉=；，迎=｝是函数/(力=5由。武0〉0)两个相邻的最值点，

T_3兀71_71

•,,一丁H，

2兀

所以丁二兀，即——=2.

71

故选：A.

6.关于函数/(x)=2c°"+(；)a,下列结论错误的是()

A,函数/(X)的图象关于y轴对称B.函数/(x)的图象关于直线x=］对称

C.函数/(x)的最小正周期为2nD.函数/(x)的最小值为2

【答案】C

【解析】

【分析】对A,利用偶函数定义判断；对B,利用函数对称性的定义判断；对C,根据周期函数的定义判

断；对D,令t=2EG1,2,则/(7)=/+；,利用基本不等式求出最小值.

【详解】对于A,/("的定义域为R,

Z[Xcos(-x)Z[XcosX

因为/(-X)=28S(T)+&J=2C°"+[£|=/(X)，

所以/(x)是R上的偶函数，所以函数/(X)的图象关于V轴对称，故A正确；

对于B,对于任意的XER,

Z[XCOS(7U-X)Z[X-COSXZ[XCOSX

/(兀-x)=2c°s(n)+QJ=2一剑+、)=QJ+2-=/(X)-

所以函数/(x)的图象关于直线x=3对称，故B正确；

Z[XCOS(7T+X)Z[X-COSXZ[XCOSX

对于C,因为/(兀+力=22(。)+g=2-cosx+|=g+2C0SX=/(x),

所以兀为函数/(x)的一个周期，故2兀不是函数/(X)的最小正周期，故C错误；

对于D,因为一IWCOSXWI,设/=—,2,

1_

111

则/(7)=/+；,因为7+?22,当且仅当/=7,即/=1时等号成立，

所以函数/(x)的最小值为2,故D正确.

故选：C.

7.如图，直四棱柱4BC。—451G2,点、M,N,P分别为44，5c和的中点，底面48CD为菱

形，ND45=60°且48=血幺4.记〃乂与幺4所成的角为1，"N与平面45C。所成的角为广，二面

角M—PN—8的平面角为7,则()

/3>y>aC.y>a>(3D.a>y>/3

【答案】C

【解析】

【分析】证明理，平面48C。，然后以以P为原点，分别以直线尸4尸丛理为x,外z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，利用空间向量法求出//后可比较大小

【详解】解：连接PB,DB,由底面ABCD为菱形,NDAB=60°>

所以△Z5Q为等边三角形，故尸

取49中点8，连接尸耳，

因为4BC。—481GA是直四棱柱，所以小，平面45CD,

又AD,尸8u平面48CD,所以必_LN£>,PP11PB.

不妨设44]=&，所以48=2,故尸4=1,PB=6

由尸耳，AD,尸8三线两两互相垂直，故以尸为原点，

尸4尸民坨所在方向建立x,y,z轴，如下图所示:

[/Q

贝1」尸(0,0,0),2(1,0,0)同0,百,0),4(1,0,正),河,N(—I,G,O),

MN=,P?V=(-1,V3,0)，M=(0,0,A/2),

\7

由Z4，平面/BCD,所以平面4BCD可取加=(0,0,1)，

设平面PAW的法向量为〃2=(x2,J2,z2),

_,3-

%•MN——%2-----%-^2^2—0

所以22

n2-PN=-x2+V3y2=0

取》2=26，则％=2,z?=-戊，故〃2=(2G,2,-

由MN与44所成的角为。，"N与平面45c。所成的角为分,

二面角M—尸N—5的平面角为7,

其中

,_,_..\MN-AAX

所以cose=cosA/M/4।HI_Vio

11\MNV\AA.V5xV25

sin/?=\cosMNnI丽可上西—加

9x丽卜同V5xl5

所以cos£二

cos/

11

因为了=co少在0,］上递减,a，A/e(0,^

七岳回底

乂---->---->-----

5511

所以/〉0>，.

故选：C

8.已知函数/(x)=e"-ln(x+l)-l,g(x)=lnx—办，对\/西e(―1,+e),3x2e(0,+oo),使得

/(xj2g(x2)成立.下列结论正确的是()

A.3x0e(O,2),使得/'(%)=0

B.函数y=/(久)的最大值为0

C.。的取值范围为一,+(»]

D.过(0,0)作y=/(>)的切线，有且只有一条

【答案】D

【解析】

【分析】利用单调性说明/'(x)=0的解判断A,由导数求最值判断B,由a26(0,+"),使得

g(X2)〈/(X)mm求解判断C,设切点坐标为(%,%)),代入所过点坐标求与，引入新函数，由导数确定方

程只有一个解演，从而判断D.

【详解】对于A,/'(x)=e「击，

因为y=e*在(―1,+力)上单调递增，j=——匚在(―1,+。)上单调递增，

X+1

所以/"(X)=二—一匚在(—1,+“)上单调递增，

又r(o)=e°-=0,

所以当0<久<2时，/，(x)>/，(0)=0,故A错误；

对于B,由A的分析可知，当—l<x<0时，/'(“</'(0)=0,

当x>0时，/,(x)>/,(0)=0,

所以/(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，

所以/(x)在x=0处取得最小值：/(0)=e°-ln(0+l)-l=0,无最大值，故B错误；

对于C,由前面分析知/(x)min=0,

由题可知：加e(0,+e),使得g(X2)W0.

对于函数g(x)=lnx—ax,%>0,

当x.0时，g(x)f-8,

故无论a取什么值，均*e(O,+。),使得g(x)VO,

则。的取值范围为R,故C错误；

x

对于D,不妨设切点为(xo，e'o—ln(xo+l)-l),/(x0)=e»,

%0+1

(x1

rX

切线方程为J-[e"-ln(x0+l)-l]=p0__________(X-%),

、Xo+1

把(0,0)代入可得：o(0-%),

即：—l)e"°+ln(x0+1)H------=0.

%0+1

令/z(x)=(x-l)e"+ln(x+l)H——,x>-1,

11

//(X)=xe"+X1_

7-xex+万—Xe+

x+1(X+1)(x+1)-可‘

因为e、+~>°对x〉—1恒成立，

(x+1)

所以当一1<%<0时，h'{x)<0,当％>0时，

故无(无)在(-1,0)上单调递减，在(0,+e)上单调递增，

又丸(0)=0,

所以似X)只有一个零点0，

1

即只有X。=0时，(X。-1)砂。+In(x0+1)+―—=0成立，

%0+1

故过(0,0)作y=f(x)的切线，有且只有一条，故D正确.

故选：D.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:

一般地，已知函数>=/(x),可，j=g(x),xe[c,<7]

⑴若Vxe[a,可，V/e[c,d],总有/(xjvg®)成立,故/(明二<g6)1n；

⑵若Vxe[a,可，3x2e[c,d],有/(xj<g(%)成立，故/(力叱<g^Lx；

(3)若*1e[a,b],3x2e[c,6?],有/(%)<g(%)成立，故/(x)mm<g(%)min；

(4)若若Vxila,可,3x2e[c,J],有/(xj=g(3)，则/(x)的值域是g(x)值域的子集.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是()

A.若随机变量X〜519,g],则D(3X+1)=18

B.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为亏，方和s；,s；,

若用=元2，则总体方差/=1■1；+s2)

C.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,<r2),b越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率

越大

D.已知某4个数据的平均数为5,方差为3,现又加入一个数据5,此时这5个数据的方差为2.4

【答案】AD

【解析】

【分析】利用二项分布的方差公式计算出方差。(X),再由方差的性质计算判断A,根据方差的定义求解

判断BD,根据正态分布的性质判断C.

【详解】解：对于A,由X〜得0(幻=9、$]1_：]=2,则。(3'+1)=32。(工)=18,

故A正确；

对于B,由题意，总体均值为元=吊=元2，若两层样本容量依次为"?，"，

22

则§2=———+(x-Xj)H——--s\+(x-%2)1=———.S：H——S；,

m+nJm+n\_~vJm+nm+n

当且仅当切="时s2=g(s；+s；),故B错误；

对于c,。越大，该物理量在一次测量中在(9.8,10.2)的概率越小，故C错误；

对于D,加入数据5后，平均数为一二"=5,则这5个数据的方差为一4x3+(5-5)'=2.4,故D

55--

正确.

故选：AD.

10.已知数列｛叫，q=1,。“+1=2%,+l（〃eN*）,数列｛4｝满足a=2唾2（1+%）-1.若在数列｛4｝

中去掉｛%,｝的项，余下的项组成数列｛c.｝,则（）

A.%+?+/+4=26B,b5=10

C.%＜九＜。5D.c（+c2H—+c10=170

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,由递推关系4+1=2%+1求出通项公式4,运算判断；对B,将区,代入求出通项〃，求

解判断；对C,根据％,"的通项公式计算判断；对D,根据｛%｝与｛4｝的通项公式，找出它们相同的

项，从而可求｛4｝的前10项的和.

【详解】对于A,因为%+i=2a,+l,即4+|+1=2（%+1）,

故数列｛。“+1｝为等比数列，又4+1=2,所以%=2"-1,

贝I]%+%+/+%=1+3+7+15=26,故A正确；

对于B,〃=21og2（l+2"-1）-1=2〃-1,贝世=2x5—1=9,故B错误;

对于C,因为%=15,九=29,＜a5=31,所以为＜生＜。5，故C正确；

对于D,因为白=1,bn+l-bn=2,

所以数列也“｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

乙=%=1,44=27,b[5=29,Z?i6=31,

又％=15,%=31,4=63,

因为乙6=。5=31，

也｝为正奇数组成，｛%｝的项也是奇数，

由上面推理可得，。1+。2+-+。10是由抄"｝的前14项去掉｛%｝的前4项余下的项组成,

所以+。2-----l-^io

—(4+Z>2+,,,b14)-(+〃2++Q4)

=生丁―(1+3+7+15)

=170.故D正确

故选：ACD.

11.如图，经过坐标原点。且互相垂直的两条直线/C和3。与圆（x—l）2+（y—Ip=4相交于N,C,B,D

四点，M为弦的中点，下列结论正确的是（

A.NO长度的最大值为B.线段8。长度的最小值为2A/5

D.四边形/BCD面积的取值范围为[4后,6]

C.点M的轨迹是一个圆

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据圆的一般方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断B；由/。长度表示圆上点到原点的

距离，即可判断A；若M,H,G,尸分别是BC,CD,4D的中点，圆心（1,1）到直线/C,8。的距离

4，&且d；+d；=2,易证四边形尸为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定点M

的轨迹判断C；根据邑Be。得到四边形/BCD的面积关于血%的表达式，结合二次函数

性质求范围，判断D

【详解】由已知可得圆心为（U）,半径r=2,

由圆的性质知：圆心与直线距离最大为近，

线段/。长度最大，则圆心与4。共线且在它们中间，

此时|ZO|=r+拒=2+也，故A错误；

由圆的性质知：当圆心与直线8。距离最大为隹时弦8。的长度最小,

此时\BD\=2<4-2=2V2，故B正确；

若“，H,G,尸分别是BC,CD,ND的中点，

则板////G//8D且pWF|=|8G|=^\BD\,MH//FG//AC>\MH\=|FG|=||^C|,

22222

又AC_LBD,易知：四边形MHG尸为矩形，而=\MF\+\MH\=!（|5£>|+\AC\）,

若圆心（1,1）到直线NC,2。的距离4区6[°，&]且片+段=2,

2+%+2=

所以;忸口d2+2x4=8，

则;（忸£）|2+\AC\2）=6,^\FH\=4e,

所以点M在以PM=遥为直径，HF,MG的交点为圆心的圆上，故C正确；

由以上分析：以。=2也-片,\BD\=2JI；,

而邑即，

所以S刖8=2,16_4（片+成）+&42）2=258+（44）2，

令％=d；=2—dye[0,2],则sABCD=2j8+t（2-t）,

当/=1,即&=4=1时，（S”CQ）max=6,

当，=0或2,即4=。，出=也或d[=A/2,6?2=0时，（S45cz））min=4^2,

所以邑[4后,6],故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知双曲线C：工—匕=1,双曲线C上一点尸到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦点的距离为

169

【答案】12

【解析】

【分析】根据双曲线定义求解.

【详解】由双曲线上—2^=1,得a=4,b=3,c=J/+/=5,

169

设其左右焦点为片，片，

则由双曲线的定义，得忸双卜|「的||=2。=8,

可设|尸耳|=4,则有|尸闾=-4(舍去)或12,

故尸在左支上，尸到另一个焦点的距离为12.

故答案为：12.

13.已知正方形/BCD的边长为2,E,尸分别为ND,N8上的点，当尸的周长为4时，/面积

的最大值为.

【答案】12-80

【解析】

【分析】设ZE=x,=(0<x<2,0Wy<2),根据已知有x+y+JTT7=4,再应用基本不

等式求犯的最大值，即可求面积的最大值.

【详解】设ZE=x,AF^y,(0<x<2,0<j<2),则跖=&+『,

因为△ZER的周长为4,所以《++=4,

因为x+y+G+V=422而+户天，当且仅当了=>时取等号,

故一=4-2^2,贝U町<24-16后，则△4E77面积满足^孙<12-8挺.

故/XAEF面积的最大值为12-872.

故答案为：12-872.

14.甲、乙两人各有4张卡片，每张卡片上分别标有1,2,3,4四个数字之一.两人进行四轮比赛，在每轮

比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，数字大者胜，然后各自

舍弃此轮所选卡片（舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛中，甲、乙每轮所出数字大小均不相

同的情况共有种.

【答案】216

【解析】

【分析】甲，乙出卡片的种数均有A：=24种，不妨设甲出牌的数字依次为1,2,3,4,先求出甲、乙每

轮所出数字大小有相同的情况，分三种情况：甲、乙每轮所出数字大小有一张、有两张、有三张卡片数字

相同讨论，进而求出甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24—15=9种，则24x9=216,得

解.

【详解】甲出卡片的种数一共有A：=24种，同理，乙出卡片的种数也一共有A：=24种.

不妨设甲出牌的数字依次为1,2,3,4,

若甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况，

则乙每轮所出数字有以下三种情况：

①甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同，

不妨设乙第一轮所出数字为1,那么后面三轮所出卡片数字均不能相同，

有1,3,4,2和1,4,2,3两种情况，

则甲、乙每轮所出数字大小有一张卡片数字相同共有C*x2=8种情况；

②甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同，

不妨设乙第一、二轮所出数字为1,2,那么后面两轮所出卡片数字均不能相同，

有1,2,4,3一种情况，

则甲、乙每轮所出数字大小有两张卡片数字相同共有C：xl=6种情况；

③甲、乙每轮所出数字大小有三张卡片数字相同，那么第四张卡片也会相同,

则乙每轮所出数字只有1，2,3,4一种情况.

故甲、乙每轮所出数字大小有相同的情况共有8+6+1=15种，

所以当甲出牌的数字依次为1,2,3,4,

甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24-15=9种.

故甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况有：24x9=216种.

故答案为：216.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是不妨设甲出牌的数字依次为1,2,3,4,求出甲、乙每轮所出数

字大小有相同的情况，得到甲、乙每轮所出数字大小均不相同的情况.

四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.记V/8C的内角/,B,C的对边为a,b,c,已知/+c?=血加，2sin(C-Z)=siaS.

(1)求sinC;

(2)设8C=10,求5c边上的高.

【答案】(1)亚

10

(2)12

【解析】

【分析】(1)先利用余弦定理求出幺=£,再由2sin(C—N)=sin5,结合平方关系可求sinC的值;

(2)结合(1)可得siaB=sin(Z+C)==2,再利用三角形面积相等可求得8c边上的高.

【小问1详解】

在V48C中，

®be

•・•/+。2一/=加，...cosZ=♦+£；—a?

2bc2bc2

JT

而/为三角形内角，，2=二.

4

2sin(C-4)=sinB,

2sin^C-^=sin^y-C

整理得\/^(sinC-cosC)=飞-(cosC+sinC)得sinC=3cosC,

又sii?C+cos2c=1,且sinC>0,sinC=

10

【小问2详解】

由正弦定理得生=坦

SIIL4sinC

BC.「103V104r-

,AB-----xsinC=x-----=675

Z得Fsim4V210

由（1）得，sinC=3y,tanC〉0，cosC=

1010

/.sinB=sin（4+C）=sitUcosC+cosZsinC=—

5

9R

设8c边上的高为〃，则力=NBxsiiiS=66x飞一=12，

边上的高为12.

16.己知两定点£(—1,0),北(1,0),动点尸满足，片|+|尸可=四片鸟.

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)过乙(1,0)的直线/与动点尸的轨迹交于两点/,B,与直线x=2交于点C,设O为坐标原点，若

4c:邑。蛇=3：1,求直线/的方程.

V2

【答案】（1）—+v2=l

2.

(2)y=x-l或y=-x+l.

【解析】

【分析】(1)根据椭圆的定义求解；

(2)设直线/的方程为y=左(％-1),设2(与必)，8(孙歹2)，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定

理得X]+》2，孙超，再由面积比得出西,》2关系，两者结合起来求得左得直线方程.

【小问1详解】

依题意知比£|=2,|尸用+|尸闻=后山闻=2血〉2=|公闾，

.・•点P的轨迹是以《、月为焦点的椭圆，且焦点在X轴上,

设椭圆方程为=+与=1（。〉b〉0）,

ab

由2。=2A/2，2c=2,得。=-y/2，c=1rb—1f

故所求点P的轨迹方程为y+/=l.

【小问2详解】

依题意，设直线/的斜率为左（左。0）,则直线/的方程为^=左（》—1）,

设4（再，%），B（X2,%）,

联立＜，，消＞得（1+2左I]?—4左?x+（2左2—2）=0,A=8左2+8,

kxk

一，曰4k2小2k2—2

可得：X+x=------------7①，XX=------

12712?

1+2左21+2左2

由S^OAC:S&OBC~3：1,.­.|^C|:|5C|=3:1,AC=3BC，

2—X]=3（2—X。），整理得3%-玉=4③，

左2-13左2+1

由①③得再=金』代入②，解得左=±1,

2k~+1

直线I的方程为y=x-l^y=-x+l.

17.如图，在斜三棱柱45C-4与。中，M为8£的中点，底面A4BC为等腰直角三角形，且

（1）若4在底面48c内的射影为点8,求点/到平面48c的距离;

(2)若4在底面4BC内的射影为BC的中点，求平面与平面8。。避1夹角的余弦值.

【答案】⑴隹；

(2)—.

8

【解析】

【分析】(1)取5c的中点。，可得NOLBC,证明面48C，幺。即点/到平面48c的距

离，得解；

(2)取8c的中点。，易得4。,Z。,8c两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出平面"34和平面

5。。田1的一个法向量，利用向量夹角公式运算求解.

【小问1详解】

如图，取8c的中点O,连接/0.

B、

•.•△Z5C为等腰三角形，AB=AC,:.AOLBC,

又；4在底面ABC内的射影为点B,

...48，面A8C,又ZOu面Z8C,\48AAO,

又•；4BcBC=B,且48,8Cu面48C,

.•.2。_1面幺四，

AO即为点A到平面4BC的距离.

又•.•△4BC为等腰直角三角形，且48=NC=2

:.AO=j2.

•••点A到平面AXBC的距离为低.

【小问2详解】

如图,

・••4在底面ABC内的射影为BC的中点,

.•.4。，面45c.

•••△48C为等腰三角形，AB=AC,:.AOLBC.

建立如图所示的空间直角坐标系，易知4。=旧，

:.M(0,-42,414),5(-V2,0,0),4(0,0,V14),B卜也「也，呵,

:.加=1-几几-呵,A4；=(V2,0,V14),画=10,一几呵,

设平面的一个法向量为7TJ=(比1，月*1),

设平面5。。1片的一个法向量为〃2=(x2,y2,z2),

J-V2X2+y/ly2-yl\Az,=0人_]-_/p.\

由＜LI——，令z,—1,胃〃2—(),

-V2J2+V14Z2=0''

I——I"1."211

,〃2=I—III=~]=

则1COS1一7=—~，

\n^n2\V8xV88

所以平面A[MB与平面BCC&i夹角的余弦值为L

8

18.已知函数/(》)=1。8/：(口＞0且4/1),y=/(X)关于歹=X对称的函数记为y=g(x).

(1)若a〉l,方程/(x)—g(x)=0有且只有一个实数解，求a的值;

(2)讨论方程g(x)-X”=0在(0,+。)上实数解的个数;

(3)若。=6,设函数/(X)=2五一/(力，若尸(xj=尸(%2)(刀户工2)，求尸(七)+/(》2)的取值范

围.

【答案】(1)LL-v

(2)答案见解析(3)(8-4ta2,+w)

【解析】

【分析】(1)求出g(x)，设y=/(x)与歹=g(x)有公共点(X0，%)，解由/'(%)=8'(%)及

/(%o)=g(x0)组成的方程组求出与可得答案；

InvIn//Inv

(2)由优=x“(a〉O,awl),两边同取对数得一=—.令>=——，利用导数判断出其单调性，分

xax

0<a<l、。〉1、。=0讨论方程8(》)-/=0在(0,+。)上实数解的个数可得的答案；

(3)由77'(%1)=尸'(兀2)得少(%])+77(》2)=2'^京'—111^^2，设J%%=〉4)，贝！I

〃(7)=2t-2lnt,利用导数判断出〃(/)在(4,+动上的单调性可得答案.

【小问1详解】

=关于>=X对称的函数为y=优，，g(x)=a工，

设y=f。)与>=g(x)有公共点(不，%)，

由对称性可知，(玉),％)在^=》上，

・•・"熹,g'（x）=a工Ina,

1

------=aX01]na=I1\i

，解得飞=「，得〃.康;

uc

xIna~

[%=a。=logax0

【小问2详解】

由（1）知，g（x）=av,由/=x"（a〉O,awl）,xe（0,+oo）.

两边同取对数，xlna=ahu,即^^