黑龙江省哈尔滨市某中学2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试题（解析版）

精诚高中2023-2024学年度下学期期中考试

高二数学试卷

本试卷分I卷（选择题）和n卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟，考

试结束后，将答题卡上交.

第I卷（选择题，共58分）

一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，兄有丁

项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）

1.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则

不同的选法有（）

A.种B.种C.种D.种

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】只需再从其他7名队员中选3人，即C1种选法.

2.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

A.24B.48

C.60D.72

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5,其他位置共有

用种排法，所以奇数的个数为32：=72,故选D.

【考点】排列、组合

【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注

意整个事件的完成步骤.在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个

位置.

3.从集合｛0」,2,3,4,5,6｝中依次任取两数。，6组成复数a+所，其中虚数有（）

A.30个B.42个C.36个D.35个

【答案】B

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【解析】

【分析】运用间接法，可放回地抽取两个数，得所有的复数个数，减去所有可组成的实数个数即得.

【详解】依题意，当且仅当6/0时，复数历表示虚数，

故可用间接法，先考虑从｛0』,2,3,4,5,6｝中可放回地任取两个数作为有7x7=49个复数，

再去掉6=0时实数的个数7,即得虚数有49-7=42个.

故选：B.

4.已知随机变量J服从正态分布N"/)若尸(4〉3)=0.012,则尸(-”自41)=().

A.0.976B.0.024C.0.488D.0.048

【答案】C

【解析】

【分析】由题意结合正态分布的对称性求解P(-的值即可.

【详解】由正态分布的性质可知正态分布N(1,CT2)的对称轴为》=1,

则P(4<—l)=P(J>3)=0.012,故P(—J。.。；-0.012=0488.

本题选择C选项.

【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记尸。/—cW5u+c),P(/i_2u<X<p,+2(r),尸(o一的值.

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

5.已知(1+x)"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为().

A.212B.211C.210D.29

【答案】D

【解析】

【详解】因为(1+x)"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C：=C[,解得,：二10,

所以二项式(l+x)i°中奇数项的二项式系数和为!

考点：二项式系数，二项式系数和.

6.已知X〜贝IJP(X=1)=()

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【答案】B

【解析】

【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.

【详解】因为X〜所以尸(x=l)=C；x；x[g]=1^.

故选：B

7.设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6、0.4,汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9、

0.8,则甲正点到达目的地的概率为()

A.0.72B.0.96C.0.86D.0.84

【答案】C

【解析】

【分析】设事件N表示甲正点到达目的地，事件8表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目

的地，由全概率公式求解即可.

【详解】设事件/表示甲正点到达目的地，事件8表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目

的地，由题意知尸(5)=04,尸(0=0.6,尸(/田)=0.8,P(N|C)=0.9.

由全概率公式得口/)=尸(的尸()⑻+尸(0尸(410=0.4x0.8+0.6x0.9=0.32+0.54=0.86.

故选：C

8.某班级要从4名男生，2名女生中随机选取3人参加学校组织的学习小组活动，设选取的女生人数为X,

则第X)=()

486

A.—B.—C.—D.1

355

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知随机变量X可能的取值为0、1、2,计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可

求得£(X)的值.

【详解】由题可知，X可能的取值为0、1、2,

3

且P（X=0）=告r°r=1，P（X=1）=专/3P（x=2）=C皆2cl2

66^65

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i31

所以£（丫）=0义1+1义二+2*二=1.

故选：D.

二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.全部选对的得6分，部分选对得部分分，

有选错的得0分）

9.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球

的个数为X,则下列结论正确的是（）

Q

A.P（X=1）=—B.随机变量X服从二项分布

Q

C.随机变量X服从超几何分布D.£（x）=-

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意知随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可.

【详解】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；

。41Q

X的取值分别为0,1,2,3,4,则尸(XnCOn/n二,0(X=1)=釜邑=T,

Go14/21

C2c23C3Cl4C41

尸(X=2)=^^=—,尸(X=3)=^y^=——，尸(X=4)=T=—

/7Qo35QQ210

8

£m=0x—+lx—+2x-+3x—+4x=

故A,。正确.

故选：ACD.

10.若随机变量X服从两点分布，其中P（x=o）=；,E（x）,O（x）分别为随机变量X的均值与方差,

则下列结论正确的是（）

A.P(X=1)=£(X)B.£(4X+1)=4

D(X)=—D.£>(4X+1)=4

,)16

【答案】ABC

【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求£（x）,O（x）,再根据£（4X+1）=4£（X）+1,

r>(4x+i)=42r>(x),计算期望和方差.

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1Q

【详解】因为随机变量X服从两点分布，且p（x=o）=i,所以尸（X=l）=j

133

£（X）=Ox-+lx|=1,所以P（X=1）=£（X）,故A正确；

3

£（4X+l）=4JE（X）+l=4x-+l=4,故B正确；

D（X）=1o-jx；+1l-jx|=^,故C正确；

3

D（4X+l）=42D（X）=16x—=3,故D不正确.

故选：ABC

【点睛】本题考查两点分布的期望和方差，以及期望和方差的性质，属于基础题型.

22

11.已知椭圆C：L+L=1内一点频1,2）,直线/与椭圆C交于4,8两点，且M为线段A8的中点，则

48

下列结论正确的是（）

A.椭圆的焦点坐标为（2,0）、（-2,0）B.椭圆。的长轴长为472

C.直线/的方程为x+y—3=0D.\AB\=—

113

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误，设直线/为x=k（y-2）+1,Z（X],%）,B（x2,y2）,且

乂+%=4,联立椭圆方程应用韦达定理即可求左值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求以国，即可判

断C、D的正误.

【详解】A：由椭圆方程知：其焦点坐标为（0,±2）,错误；

B：/=8，即椭圆C的长轴长为2a=4J5,正确;

C：由题意，可设直线/为x=-y—2）+1,B（x2,y2）,则乂+%=4,联立椭圆方程并整理得:

(242+i)j?+4-1—24)y+8左2—8左一6=0,M为椭圆内一点则A>0,

竺学3=4,可得上=-1,即直线/为x+y-3=0,正确;

♦♦%+歹2=2/+1

M+%=4,%%=?，则|/同=y/1+k2-必+8)2-4凹”=，正确•

D：由C知:

33

故选：BCD.

第n题（非选择题，共92分）

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中的横线上.）

12.在[工-x]的展开式中，常数项为.

【答案】-20

【解析】

【分析】写出二项式的展开式的通项，使得尤的指数为0,得到相应的「，从而可求出常数项.

【详解】解：展开式的通项为？；+]=屐•]!]（_,，=（_1），玛》2-6

令2-6=0可得r=3

常数项为（-球C：=-20

故答案为：-20

13.设X〜N（0」），则尸（―1<X<1）=

4

【答案】0.9545

【解析】

【分析】由题意可得出〃=0,b=g,可得出p（—1<X<1）=P（〃—2b<X<〃+2b）,然后利用3b

原则可得出所求概率的值.

【详解】•」X~,则〃=0,。=；，所以P（—1<X<1）=P（〃—2cr<X<〃+2cr）=0.9545.

故答案为：0.9545.

【点睛】本题考查正态分布概率的计算，考查计算能力，属于基础题.

14.某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何区别），现从这8件产品中随机抽

取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为.

【答案】—

28

【解析】

【分析】设取出的3件产品中次品的件数为X,3件产品中恰好有一件次品的概率为P（X=1）计算即可.

C1^215

【详解】设取出的3件产品中次品的件数为X,3件产品中恰好有一件次品的概率为P（X=1）=^^=—.

C/g28

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15

故答案为:

28

四、解答题(本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.

(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；

(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.

13

【答案】(1)-(2)-

95

【解析】

【分析】

2

(1)由题知，在放回抽样中一次抽取得到白球的概率为二，故可得两次都取得白球的概率；

(2)记事件A：第一次取出的是红球，事件第二次取出的是红球.，由条件概率公式可得所求的概率

P(8⑷.

221

【详解】解：(1)两次都取得白球的概率尸=-x—=

669

(2)记事件A：第一次取出的是红球；事件8：第二次取出的是红球,

4x524x32

则尸(4)=——=—,P(AB)=

6x536x55

P(AB｝233

利用条件概率的计算公式，可得P(B\A)=47r=-x-=-

【点睛】本题主要考查了放回抽样与不放回抽样中古典概率计算，条件概率计算，考查学生的理解辨析与

运算求解能力.

16.在等差数列｛%｝中，%=-7,4+%+=3.

(1)求｛%,｝的通项公式；

(2)求｛an｝的前n项和S.,及S“的最小值.

【答案】(1)%=2〃—13

2

(2)Sn=n-nn,S“取最小值为-36

【解析】

【分析】(1)利用等差数列通项公式列方程求出q=-11,d=2.由此能求出｛%｝的通项公式.

(2)由(1)的结果，利用等差数列的求和公式即可求出S",进而求出最小值.

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【小问1详解】

解：在等差数列｛%｝中，%=—7,46+。7+。8=3

设数列｛%｝的公差为力

=a,+2d=—7

则C,。一，

+%+4=34+18d=3

解得q=—11,d=2.

{%}的通项公式%=—11+2(«-1)=2M—13.

【小问2详解】

解：：4=-11,d=2.

2

{%}的前n项和Sn=-Un+”(7)x2=n-Un

：.当n=6时，Sn取最小值为-36.

17.某校组织一次冬令营活动，有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从

这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学.

（1）求X的分布列；

（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率.

【答案】（1）分布列见解析；（2）

7

【解析】

【分析】（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的

概率，进而可得出随机变量X的分布列；

（2）由题意可知，事件“去执行任务的同学中有男有女”包括X=l、X=2,利用概率的加法公式可求得

所求事件的概率.

【详解】（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,

「4。）系丁，尸（z）=/噜…）=罟哈尸-3）售总

所以，随机变量X的分布列如下表所示:

X0123

112184

P

35353535

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(2)记事件/：去执行任务的同学中有男有女，

则P(/)=P(X=1)+P(X=2)=^^=，

【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，同时也考查了利用概率的加法公式求事件的概率，考查计算能

力，属于基础题.

18.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

(1)恰好出现5次正面朝上的概率；

(2)正面朝上出现的频率在［0.4,0.6］内的概率.

【答案】(1)袅

256

⑵-

32

【解析】

【分析】(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个

10重伯努利试验.根据正面朝上的次数服从二项分布，即可求解.

(2)根据条件由重复抛掷10次正面朝上出现的频率在［040.6］得到4WXV6,再结合二项分布即可求

解.

【小问1详解】

设/="抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则P(Z)=0.5,

设X表示事件/发生的次数，则X〜5(10,0.5).

则恰好出现5次正面朝上即X=5,

所以P(X=5)=xO.510=当~=图-,

101024256

故恰好出现5次正面朝上的概率为——.

256

【小问2详解】

由(1)知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为？(4)=0.5,

重复抛掷10次正面朝上出现的频率在［040.6］内，即4WXW6.

所以尸(4<X<6)=C1x0.5i°+C；。x0.5"+xOS］。=.

19.已知数列｛4｝,也｝,｛c“｝中，其中也｝为等比数列，公比4>0,且4一4=64，/=4=。1=1,

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X-4，*=%。小1=

Un+1

（1）求乡与凡的通项公式;

（2）记d〃=y^~-y—（HGN）,求证：4+&+4+…+d〃<4.

\an+\'\Un+2L）,°n3

13〃T+1

【答案】（1）q=~,a（2）证明见解析

32

【解析】

【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出乡和“，再根据"可求出c“，根据c”可求出％；

（2）化简口，并进行裂项可得媒=[[-~7一^]，再裂项求和可证结论成立.

3V3—13—1）

【详解】⑴因为血｝为等比数列，公比9>。，

所以4—62=663,所以可一z?a=，即6/+夕一1=0,解得9=；或=一;（舍）,

因为A=1,所以=

由q,+i=I，c“得上i=片-='=3,又q=l,所以C“=3"T,

6用c”*q"

所以%+1-4=cn=3小，

-2-3

所以%=%-an_x+an_x-an_2+•••+%—%+4=3"+3"+---+3+1+1

1—3"T3""+1

=1+

1-32

以d]+d[+t/j+,,,+d___----一-^+…+^_____L_

n3131-132-l32-l33-l33-l34-l3n-l3n4-l

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2fj______M1211

n+1--------x—------<一.

3(3-13-lJ333"+1-13

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了累加法求通项公式，考查了裂项求和法，关键是对通项4,

进行裂项，属于中档题.

（2021・四川成都市•高三月考（文））

22

20.已知椭圆C：\+4=l（a〉b〉0）,点片、月分别是其左、右焦点，点43分别为其左、右顶点.若两焦

ab

点与短轴两端点围成四边形面积为26，且圆必+/=—为该四边形的内切圆.

.4

（1）求椭圆C的方程；

（2）若以（1）中较圆的椭圆为研究对象，过大的直线/交椭圆于P，0两点，求A5尸0面积的最大值.

【答案】（1）土+匕=1或工+丫2=1;（2）

434.2

【解析】

【分析】（1）利用题设条件四边形面积为