湖北省随州市部分高中2024-2025学年高一年级上册1月期末联考数学试题（含解析）

湖北省随州市部分高中2025年元月期末联考

高一数学试题

本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考

证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答

题卡上的非答题区域均无效.

4、考试结束后，请将答题卡上交.

一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知a,6为不相等的实数，记=/>“—"，则"与N的大小关系为()

A.,W>AB.A/=.VC..W<5D.不确定

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法即可比较/与N的大小.

【详解】因为例-A'=|(厂-a||方a-从产Ia-I,

又…，所以即V〉N.

故选：A

2.关于K的方程『—(a+l)x+a=0的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为()

A.(0,2)B.(QI)C.(L2)D.I0.HU(1.2)

【答案】D

【解析】

分析】

根据根的分布可得不等式组，解不等式组可得答案.

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【详解】•.•方程有两个不相等的实数根且两个不等根小工都在(0.2)之内,

又由二次方程根的判别式有，

A=[-(a+1)「-4a>0

/(0)>0

'/(2)>0=>0<a<2*1.

故选：D

3.已知函数/(x)的定义域为A,设甲：/(x)在［0,2］上单调递增,乙：“X)满足〃1|</(2),则甲

是乙的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用函数的单调性和函数的值的关系，利用充分条件和必要条件的应用求出结果.

【详解】由题意，函数/(W的定义域为R,当在［0,2］上单调递增，

则/(R满足/(1)</(2)成立，当/(H满足/(1)</|2|成立，

/(X)在［0,2］上不一定单调递增，

故甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

4.若函数〃X)=JF(°>0,且。Hl)满足则/("的单调递减区间是()

A.2)B,(2,+0O)

C.(-N+oo)D.(—，臼

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间.

【详解】因为=

第2页供13页

,111

所以/(1|=aMV=1，即a=d,解得或。=-、(舍)，

9

PT

所以/(x)=

令〃=|2x-4],则

由于“=|2K4|在IK,2］上单调递减，在［2,+oo)上单调递增,

由指数函数知，1'=(；)在定义域上单调递减,

/1xl2T

所以在(-8,2］上单调递增,在［2,#，I上单调递减.

故选：B.

4x+—+4>x<0<...

5.已知函数/(')=.V，若函数*(x)=/IN〃？恰有3个零点，则实数机的取值范围是

xJ-3x-l,x>0

(

C.(0,1)3-31D.(T』3-3

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数研究函数单调性，作出函数f(x)的图象，结合图象即可得解.

【详解】依题意可得，/(xI的图象与直线阳有3个公共点,

4x+—+4,x<0,

因为函数/(x)=x

x'-3x-l>x>0»

4x2-1(2x+l)(2x-l)

,xvO,

所以/'(X)=，x

3x2-3=3(X4-1)(X-1),X20

当或x>l时，f'(x)>0；当彳<x<0或°—<1时，f'(x)v(r

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所以在卜8,-；),(I,+M上单调递增，在(-；,。)(0川上单调递减.

故JI$的极小值为/(1)=-3,极大值为-；)=0.

作出的大致图象，如图所示.

由图可知，实数机的取值范围是11.01u3：.

26

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦函数的定义，结合特殊角的余弦值进行求解即可.

【详解】依题意点P的坐标为I0PI=

故选：B.

2

7.在.48(‘中，一C=|：。'，lan4+tan8=—^―,贝！|tan」lan8的值为(

Ili5

-4B.—3C.-2zD.—3

【答案】B

【解析】

tan4+tan8rr

【分析】由题得;------:——-=V3,代入已知条件化简即得解.

1-tanJ-tanB

第4页供13页

【详解】由题得1•8:60,

,,…tanA+tanBrr

所以tan(,4+S)=-----------------=v3,

I-tan4tan8

2G

所以------2----------=6tanJtan5=—,

1-tanJ-tan53

故选：B

【点睛】方法点睛：解三角形时，遇到【anJ+tanfi.ianLian8，要联想到和角的正切公式

n、tanA+tanB

tan（』+B）=--------------求解.

1-tanAtanB

8.已知函数二sinJcos（2r-PI脩£[°C）为偶函数，则S=（）

nn

A.0B.-C.-D.R

【答案】C

【解析】

【分析】利用函数为R上的偶函数，取/（-1）=/（：）化简得3W4,即得S的值.

【详解】因/（X）的定义域为R,且为偶函数，

则/（-弓）=/（不），即-3SI7r）=C”（x+田），可得cos，=-cos@,即得cosg=0.

因「€|Q,".则得少=g,

当⑴=:时，fu）=-sinxsin（2x）为偶函数，满足题意.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知非空集合"满足：①"=,②若xeA/,则.「wM.则集合“可能是（）

A.!-M：B.1-1.1.2.4!C.川D.{1,-22

【答案】AC

【解析】

【分析】根据元素与集合的关系以及子集的定义求解即可.

【详解】由题意可知3g.M且4任M,而一2或2与4同时出现，所以-2g.1/且2£M,所以满足条件的

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非空集合Af有1-1,1},{1}

故选：AC

10.下列函数中，值域为（0.+8|的是（）

2

A.r：I'B.y=—

x

C.y=2'D.I-=r1

【答案】CD

【解析】

【分析】根据一次函数、反比例函数和指数函数的性质逐一判断可得.

【详解】对A,「［的值域为［0,+8）,A错误；

对B,尸？的值域为（x,0|u|0,+x|,B错误；

X

对C,丁=2'的值域为（0,+8），c正确；

对D,।；的值域为（0,+8），D正确.

故选：CD.

11.下列函数中，以4兀为周期的函数有（）

.x

Av=tan-B.v=sin—

44

C.।=sinxD.r=cosx|

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用三角函数的性质以及周期公式逐一计算判断即可.

【详解】对于A,因为.1'=tan：,所以最小正周期为2TL_=4兀，故A正确;

4-

4

_2n

r7==8o7r

对于B,因为j=sin：,所以函数的最小正周期为I,故B不正确；

44

对于C,因为J=sint,所以函数的最小周期函数为7=Y=7t,

所以4兀也是函数.1=sin«的周期，故c正确；

第6页供13页

对于D,因为,「二COS”,所以函数的最小周期函数为7=彳=兀，

所以4兀也是函数J二cosJ的周期，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.

12.若命题“3_匚二/?./+2<^+2-。=0是假命题”，则实数。的取值范围是.

【答案】-2<a<l##(-2,l)##1a-2<a<I；

【解析】

【分析】等价于Vxw凡+2仆+2-4=0,解△—4/一4(2-。)<0,即得解.

【详解】解：因为命题“3•1三凡/+2(八+2—。=0是假命题”，

所以V.veR、C4-2ar-\-2-a*0,

所以A=4/-4(2-a)=4a2+4“一X<().../+。一2<0,「.一2<。<1.

故答案为：-2<<1

13.己知函数及其导函数，(制定义域均为R,记函数g(W=/'(W,若函数AW的图象关于点

/312n24

(3,0)中心对称，g(2x+］J为偶函数，且8(1)=2*(3)=-3则£g(*)=.

【答案】678

【解析】

【分析】由的图象关于点(3,01中心对称结合导数可知g|3+x|=g(3-x\,再结合

(3)

812*+,］为偶函数可知0、|的一个周期为3,8(2)=8(1|=2.又注意到2。24=674x3+2即可得

答案.

【详解】因/(W的图象关于点(3,01中心对称，则

〃3+X)=-/(3-幻n/13+x)=广(37)ng(3+x)=g(3-x).

因g|2x+；；为偶函数，根据函数的伸缩变化可知g|K+［；也是偶函数，

\*•)\*•)

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则g(3-x)=g(-X),即#皿的一个周期为3.令r=：,由g-V+-=g--x可得

g|2)=g(l)=2.

注意到2024=674x3+2,则

2024

£g(&)=674x[g(1)+g|2)+g(3)]+g(2023)+g(2024)=674+g(l)+g(2)=678.

故答案为：678

,KIt

14.函数p=-2tan..t+3tanx-l,v€--的值域为.

.44.

【答案】-6,；

o_

【解析】

【分析】由、的范围求出tanx的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.

【详解】因为KW-7.7,所以tanxe[1』，

v=-2tan2x+3tanx-l=-2|tanx--|+—,

,I4j8

3-1

则当lank：时，/(X)Z=G，

4o

当tan、=1时，〃虫”=6

所以函数的值域为-6，!.

O_

故答案为：-6,).

O

四、解答题：本题共5小题，共75分.

15.己知a,b,c都是非负实数，求证:Ja2+b°++c,++a?26(a+b+c).

【答案】证明见解析

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【解析】

【分析】利用基本不等式证明.

a2+A2(a+b'Xa'+b:-2ab(a-b):

【详解】因为---------------^0,

2I2J44

所以粤i.竽［即叵还之与,当且仅当「卜时取得等号，

2121V22

/------历

则有J"・bz2(a+h)，

同理得“二4c*£(b+c),Jc24«;>^-(c+o).

相加可得Ja?+b，+，b，+(2+42+42之一^(a+b)+—(h+c)+-^-(c-a)=7r(a+6+c),当且仅

当。=/>=i•时等号成立.

16.已知二次函数./I-v)=ax:-x+2a-1.

(1)若在区间［L2］上是减函数，求。的取值范围.

(2)若。>0,设函数.〃力在区间［L2］的最小值为g(a),求月(。|的表达式.

/1

【答案】⑴(一工，0)|0.-

,21

3a-2.a2—

2

,1c1,11

(2)g(o|=Uo----l,-<o<-

4a42

6a-3,0<a<—

4

【解析】

【分析】(1)分a>0和。<°两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解；

(2)分丁4I、：之2和1<：<2三种情况，结合二次函数性质分析求解.

2a2rtla

【小问1详解】

由题意可知：a*0,且二次函数/(X)=ar'-x+2a-l的对称轴为K=k，

2a

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若a>0,则，>2,解得0<a4)；

2a4

若。<o,则-L<o<］,符合题意；

2a

综上所述：〃的取值范围(-巴0),

【小问2详解】

因为则/(封开口向上，且的对称轴为》=乙，

2a

若即〃之:时，则./(“在区间［L2］上单调递增，

2a2

可得g(a)=/(』=3。2；

若《22,即时，则/(R在区间|L2］上单调递减，

可得g(a)=/(2)=6t?3；

若即:<“<:时，则在区间L'-］上单调递减，在区间;‘，-.2上单调递增,

2a42/\2a

可得g(。)=/IT-|=--1；

k2aJ4a

、、、

3a-2・。2—1

2

♦1,11

综上所述：g(a)=、2a———1,_<a<一

4a42-

6a-3,0<a<—

4

17.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定

成本为3万元，每生产尤万件，需另投入流动成本为万元.在年产量不足8万件时，

+x万元；在年产量不小于8万件时，=6'+吧-38万元，每件产品售价为5元.通

3x

过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.

(1)写出年利润Llx)万元关于年产量x万件函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本

)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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一7x~+4x-3・0<x<8

【答案】=

35.3,x28

(2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元

【解析】

【分析】(1)根据已知，分0<x<8以及X28,分别求解，即可得出函数解析式；

(2)分为0<x<8以及x28两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案.

【小问1详解】

因每件产品售价为5元，则x(万件)商品销售收入为5x万元，依题意得：

/11I

当0<x<8时，L\x\=5x-l+.rI-3=--x2+4.r-3,

当x28时，A|x|=5x-^6x+--38J-3=35一IT，

【小问2详解】

1.2

当0<x<8时，£(x)=--(x-6)*+9<9,

当I=6时，取得最大值9；

当x28时，Z,(.r)=35-fx+—…cI100，《

435-2dx•--=15,

此时，当》=如即.1=|()时，Ixi取得最大值15>9.

x

综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.

18.已知扇形的圆心角是半径为R,弧长为.

(1)若〃=？，R=l°cm,求扇形的弧长.

(2)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大?

(3)若a=^，R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.

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10兀

【答案】⑴一^-cm

(2)a=2时，面积最大

(3)|-&Icm2.

\3)

【解析】

【分析】(1)直接利用弧长公式即可；

(2)由扇形的周长得2R+/=20,表示出扇形的面积，求最值即可;

(3)弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积.

小问1详解】

由a=y,/?=10cm,则扇形的弧长/=|a|/?=gxio=4^(cm).

【小问2详解】

由己知得，/+2R=20,则!’=201R,

11,、|「(20-2町+2行

AS=^IR=-{2O-2R)R<^----------------=25