湖南省衡阳市衡阳县某中学2023-2024学年高一年级上册期中数学试题（含答案）

衡阳县二中2023-2024年上期高一期中考试

数学

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.不等式卜+同一卜一"<3恒成立的一个充分不必要条件可以为（）.

A.一5（加<3g-4<m<2

C1<m<3D—2<m<2

【答案】D

【解析】

【分析】利用绝对值三角不等式解得一4<切<2,再由充分条件、必要条件的定义即可求解.

［详解］k+制w+4<3,解得—4V加<2,

故不等式卜+同一卜—“<3恒成立的一个充分不必要条件可以为-2（加<2.

故选：D

2.下列各组函数中表示同一函数的是（）

x2+2x

A./X)--x-,g(x)=x+2

B/(X)=X2—3X,g(/)=『—3/

C/(x)=(GA,g(x)=xD/(x)=7?,g(x)=x

【答案】B

【解析】

【分析】

利用函数的定义判断.

【详解】A.x的定义域为g（x）=x+2的定义域为尺，故不是同一函数;

B./（力=/一3%与g（/）=/—3/定义域都为凡且解析式相同，故是同一函数;

C.〃x）=（«）2的定义域为g（x）=x的定义域为R,故不是同一函数;

D./（X）==|x|与g（x）=x解析式不同，故不是同一函数；

故选：B

3.设函数/(X)的定义域为R,且八2龙-1)是偶函数，/(X+D是奇函数，则下列说法一定正确的有(

)

①/(x-8)="x)；②/Q+x)=—/(l—x)；③/(一3)=0；④/(2+x)=/(2-x)

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】

【分析】由/(X+D是奇函数得到了(“)的图象关于点(1°)对称，可判定②正确；由/(2x-D是偶函数,

得到/(x)的图象关于x=-1对称，可判定③正确；在/(T—x)=/(T+x)中，分别将x用x—7替换,

将x用x—5替换，再将x用x+4替换，可判定①正确.

【详解】由题意，函数/(X+D是奇函数，可得/(“)的图象关于点工°)对称，

所以/(l+x)+/(l-x)=°,所以②正确；

令x=0,则/⑴=°,

又由〃2x-l)是偶函数，所以/(2x)的图象关于“］对称，

所以/0)的图象关于x=T对称，则有了(T—x)=/(T+x),令尤=2,

则/(-3)=/(1)=0,所以③正确.

在/(T—x)=/(T+x)中，将x用x-7替换,则/(x-8)=/(6-x),

在/(l+x)=—/(l-x)中,将X用X—5替换,则/(6-x)=_/(x_4),

所以/(X_8)=_/(X—4),再将x用x+4替换，则/(x—4)=_/(x),

所以/(x-8)=/(x),所以①正确；

对于④中，由/(2-%)=—/(x)J(2+x)=—/(r),无法推出其一定相等.

故选：B.

X2V2

----+——

4.已知正数x,y满足x+y=l,且>+1x+i>m,则优的最大值为()

16£

A.3B.3C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

£+£(1-J)i21(l-x)24144।4

根据题意y+1x+l=y+1x+1=(J+1%+1)口5,由基本不等式的性质求出y+1x+l=

144x2j2

-----------1--------------------1----------

3(y+1x+1)©+1)+什+1)]的最小值，即可得>+1x+1的最小值，据此分析可得答案.

【详解】根据题意，正数x,y满足x+y=l,

上+工(I"।(J-I

则V+1x+l=y+1x+1

4444

--------------------------------------1----------

=什+1)+了+1U4+(x+l)+x+l―4=(y+lx+1)—5,

44144

----------1--------------------------1----------

又由y+ix+i=3(y+ix+1)[(x+i)+(j+i)],

14(X+1)14(v+l)16

=§[8+V+1»I]>3,

J_

当且仅当X=y=2时等号成立，

1J2414>161

所以y+1x+l=(y+l^+l)05-3Z5=3,

27

」+工1

即y+ix+i的最小值为3,

i

所以加W3,则加的最大值为3；

故选：B.

【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.

5.下列对应/：N-8是从集合A到集合3的函数的是()

2={小〉0}5={小20}/.

2

N={x|xNO}8={y|y>0}/y=x

C.Z={X|X是三角形},8={了|了是圆},f：每一个三角形对应它的内切圆

D.N={X|x是圆},5={々夕是三角形},/：每一个圆对应它的外切三角形

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的定义，分别判断即可.

【详解】A.集合A中的任意一个元素，在集合B中有唯一的对应，满足条件，A正确；

B.集合A中的0,在集合B中没有对应，不满足条件，B不正确；

C.集合A,B不是数集，不满足条件，C不正确；

D.集合A,B不是数集，不满足条件，D不正确；

故选：A

6.已知/（X）是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点（一1'°）成中心对称的是（）

Ay=(x-l)/(x-1)BJ=(x+l)/(x+l)

cy=xf(x)+iD.y-xf(x)-i

【答案】B

【解析】

【分析】分析函数gQ）=移（X）的奇偶性，结合函数图象变换可判断ABCD选项.

【详解】构造函数g（"）=犷（X）,该函数的定义域为尺，

所以，，（一'）=一/（一％）=一"（X）=—，（%）,函数gG）为奇函数，故函数目⑺的对称中心为

原点.

对于A选项，函数卜=（1）"1）的图象可在函数g（“）的图象上向右平移1个单位，

故函数kat）/（"T）图象的对称中心为a°）；

对于B选项，函数>=（"+1）/（"+1）的图象可在函数g（“）的图象上向左平移1个单位，

故函数V=（x+l）/（x+l）图象的对称中心为（-1,0）；

对于c选项，函数歹="，。）+1的图象可在函数且口）的图象上向上平移1个单位，

故函数丁="3+1图象的对称中心为（°J）；

对于D选项，函数〉=犷（共）-1的图象可在函数g（x）的图象上向下平移1个单位,

故函数少=虫》）-1图象的对称中心为（QT）.

故选：B.

/（x）=,（2_/卜_1城＜1

7.已知函数W'T,x»l（。＞0且awl）,对任意占，/€尺，当再H/时总有

/（%）-/（3））0

国一马，则实数a的取值范围是（）

AG收）B3）C［⑷DS

【答案】A

【解析】

【分析】由题意，函数/（“）在定义域R上是增函数，列出不等式组，解出即可.

【详解】•.•对任意“1,JGR,当玉7%时总有玉一马,

...函数/（X）在定义域R上是增函数，

2-a2＞0

＜a＞l

1'2-YT,解得：1〈”行.

故选：A.

/（X）_J2021-办

8.已知函数。-1在10」］上单调递减，那么实数。的取值的范围是（）

A（一90）0（1,2021］B.（一叫°）。（°，2021］

C（一叫0）u（1,+co）D.（一叱°）U（0,1）

【答案】A

【解析】

【分析】分别讨论。＜°、a=°、。＜。＜1和。＞1情况下，J=J2021.办单调性及a―1的正负,综合分

析，即可得答案.

【详解】当时，歹=:2021-ax在［0,1］上单调递增,且。一1＜0,

所以/⑴在［01］上单调递减，符合题意，

当。=0时，/（x）=-j同无单调性，不符合题意，

当0<°<1时，J=J2021-ax在［0,1］上单调递减,且a-1<0,不符合题意，

当。>1时，J=J2021-ax在［0,1］上单调递减,a-l>0,符合题意，

2021-OxQ>0

还需［2021-IxaNO,解得1<.2021,

综上实数。的取值的范围是（一叫0）°（1，2021］

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

--------1--------

9.（多选）已知x,>为非零实数，代数式।团的值所组成的集合为"，则下列判断错误的是（

）

A.0把AfB1eMc.-2eMo2e711

【答案】AB

【解析】

【分析】分x,y都大于零，x,y中一个大于零，另一个小于零和x,y都小于零求解判断即可

上+上=1+1=2

H|v|

【详解】当x,y都大于零时，

当x,y中一个大于零，另一个小于零时，四田；

±+上=.1.1=-2

当x,y都小于零时，国W

根据元素与集合的关系，可知OwM,1任/,-2eM,2GM.

故选：AB.

10.下列说法正确的是（）

A.很小的实数可以构成集合

B.集合｛x［y=N・i｝与集合4,是同一个集合

C由‘2'4'2’这些数组成的集合有4个元素

D.集合《"J）孙"}是指第二或第四象限内的点集

【答案】CD

【解析】

【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而很小的数标准不确定；B选项：点集和数集无法相等;

C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出x和y异号；

【详解】A选项：很小的实数标准不确定，故不能构成集合；

B选项：其中第一个集合是数集，第二个集合是点集，故不是同一集合.

--=-=0.5

C选项：因为22,故这些数组成的集合有4个元素.

D选项：因为孙<0,故点（x,y）是第二或第四象限内的点.综上，CD正确.

故选：CD

11.下列说法正确的序号是（）

1

Q—

A.偶函数〃x）的定义域为Pa—1，刈，则3

B设4={x|—+3x—10=0},8={x|ax=1},若AuB=4,则实数0的值为万或5

C.奇函数/（X）在Rd］上单调递增，且最大值为8,最小值为-1,贝|2/（-4）+/（-2）=-15

D.若集合/={刈一°必+4》+2=0}中至多有一个元素，则a<_2

【答案】AC

【解析】

【分析】根据偶函数定义域关于原点对称可得2a-1=一°,进而可判断选项A；

根据集合之间的关系可得8《A,对集合3的取值分类讨论，即可判断选项B；

根据奇函数的定义与单调性可得/（—2）=L/（-4）=-8；计算进而可判断选项c；

对a的取值分为。=0和a7°两种情况讨论，求出对应的范围，即可判断选项D.

【详解】A：因为函数/（X）为偶函数，所以它的定义域关于原点对称,

2。一1——aa=—

有3,故A正确；

B："={-5,2},由=4得8《幺，

当3=0时，°=0；当8={-5}时，“5；当8={2}时，“2.

I-1

所以。的取值为0,2,5,故B错误；

C：由/(X)为奇函数，/⑵=—I"4)=8,得/(—2)=—/(2)=1,/(—4)=—/(4)=—8,

所以"(-4)+/(-2)=-16+1=-15(故c正确;

4={—}

D：由4中至多有一个元素，得当。=0时，2,符合题意；

11

A=16+8Q<0—QV—

当°7°时，2,所以。的取值为2或0=0,故D错误.

故选：AC

12,设函数/⑺=初〃上一2"'卜+2|}其中加〃{xJ,z}表示”,z中的最小者.下列说法正确的有(

)

A,函数,I)为偶函数

B.当xe[l,+。)时,</(x-2)</(x)

C当xeR时,/(“MX"》)

D.当xe[-4,4]时，|/(x-2)"(x)

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据题意画出〃x)的大致图像,然后依据图像逐个检验即可.

【详解】画"X)的图象如图所示：

|x+2|,-1,

/(%)=<x2,-1<x<1,

对A选项，xA'所以/（-x）=/（x）恒成立，故选项A正确；

对B选项，当众1时，/(x)=W一2|,/G一2）可以看做是fGO向右平移两个单位，经过平移知

/（x-2）</（x）恒成立，故选项B正确;

对C选项，由图知，当xeR时，/（x）20,可令+=/（X）,由>=/（'）和y的图

象知，当后°时，了=，在歹="'）的上方，所以当刃0时，传内）,即/（/3>）&（X）成

立，故选项C正确;

对D选项，根据函数图像向右平移2个单位的图像不完全在原来函数图像上方知选项D错误.

故选:ABC

第n卷（非选择题）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13已知Z={x|—4x+3<0,xeR}5={x|2^x+a<0,x2-2（a+7）x+5<0,xeR}若Z=5

则实数a的取值范围是.

［答案］_4Va《_l

【解析】

【分析】化简集合A,解指数不等式并借助包含关系求。的范围，再分析求解一元二次不等式，结合包含

关系求a的范围，然后综合得解.

［详解］2={x|x2_4x+3<0,xeR}={x|l<x<3},由2i+a<0,得2i<_q,

则且l_xWlog2（—a）,即x»l_log2（_a）,而/=于是l-logzJ。）《1,解得aW—］；

由不等式x?-2（a+7）x+5V0得A=［2（<?+7）］~-4x5=4a~+56。+176〉0

且有a+7-Va2+14a+44<x<a+7+Ra2+14/+44,而/q8,

a+7-Ja~+14a+44V1

<q+7+Ja~+14a+44>3

a2+14a+44>0

因此〔，解得。2—4,

所以实数a的取值范围是一4

111

------1-------——

14.若正实数。，6满足。+1b+22,则ab+a+6的最小值为.

【答案】40+5

【解析】

【分析】

111b+4,4

-------1-------——d-------=1H—

由a+lb+22,得仍=6+4,bb代入必+a+b中化简，再利用基本不等式可求得

答案

111

------1--------——

【详解】解：由。+1b+22,得aZ)=b+4,

因为。，6为正实数，

b+4

a二----=i+3

所以bb

ab+a+b=b+4+l+—+b=2b+—+5>2.2b--+5=4亚+5

所以bb\b,

当且仅当b,即b=,2时，取等号(此时a=l+2j2),

所以ab+a+b的最小值为4/+5,

故答案为：4返+5

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方

15.已知命题P：V—2（a+l）x+a（a+2）V0；命题q:-2<x-1<5,若P是0的充分不必要条件，则实

数。的取值范围为

【答案】曰，4〕

【解析】

【分析】解一元二次不等式求命题?的解集，解一元一次方程求命题夕的解集，再由?是“的充分不必要

条件列不等式组，求”的取值范围.

【详解】由题设，命题°为aVxVa+2,命题夕为一l<x<6,

a>-\

<

若「是夕的充分不必要条件，必有［"+2V6,解得

故答案为：［T，勺

x2,x<1,

心卜（X-2）,肉,

若关于尤的方程/（X）="（X-1）有且仅有4个不等实数根，则

16.已知函数〔2

。的取值范围是.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数解析式，作出函数图象，将方程有4个不等实数根，转化为函数>=/（"）的图象与直

线>="（"一1）有四个不同的交点，利用数形结合的方法，即可求出结果.

x2,x<1,

/（X>

【详解】因为12,

作出其图象如下：

因为关于x的方程/（"）="（X—1）有且仅有4个不等实数根,

所以函数尸/⑺的图象与直线”"（1）有四个不同的交点，

由图象可知，当。时，显然不满足题意；

当心。时,因为/（3））。）+（）；"5月"3）1,

横坐标为5对应的空心点的坐标为I*

由图象可得，当直线”""々）过点I'刃时，直线>="xT）与函数>=/a）的图象有五个不同的

1-01

a=8_」

交点，此时5-132.

当直线片“1）过点I勾时，直线蚱"GT）与函数>=""）的图象有三个不同的交点，此时

因此，为使直线>="（"—1）与函数V=/（x）的图象有四个不同的交点，

11

—<a<—

只需3216.

故答案为：（3216；

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

Z=-6x+8<o]B=^x\x2—4ax+3a2<ol

17.已知集合JJ,tlJ.

（1）若a=L求以Be"；

（2）若a〉0,设0：xe4q：xe8,已知P是4的充分不必要条件，则实数。的取值范围;

［答案］(］)(BeZ={x134x<4}

(2)

【解析】

【分析】(1)先化简集合A5,再利用集合的补集和交集运算求解；

a<2

(2)易得'=岗"<"<”},根据且p是q的充分不必要条件，由⑶“，且等号不同时成立求解.

【小问1详解】

解：当"1时，"EV—4x+3<0}={xg<3},则小{x1x〈l或电},

/二刎%2-6x+8<o}=国2<%<4}

所以18cz={x|3<x<4}；

【小问2详解】

。〉0时B=g,-4ax+3a2<0卜国a<x<3。}

设"：xe4q：xe8,且P是1的充分不必要条件，

a<2

<

所以13"24,且等号不同时成立，

-<a<2

解得3

所以实数。的取值范围是3.

18.已知正实数x,y满足4x+4j=l.

(1)求孙的最大值；

41

—I—Na2+c5。

(2)若不等式x歹恒成立，求实数a的取值范围.

1

【答案】⑴64；⑵卜9,4].

【解析】

【分析】（1）根据4直接求解出中的最大值，注意取等条件;

4141]

--1-->a+5a

（2）利用T”的代换结合基本不等式求解出%>的最小值，再根据I%y）求解出加的取

值范围.

,,_i-=x+y>2^xy^<—

【详解】（1）4Xr+4lJ-1,所以4，解得64

x=v=-

当且仅当‘8取等号，...孙的最大值为64.

4141（4x+4j）=20+^+—>20+2

⑵x。—+—

（xy）xJ

x=-y=—

当且仅当6,12取等号，

..a2+5a<36,解得一9WaW4.

即。的取值范围是1—9,4].

19.设函数/（x）*+”.

（1）当6=2时，若对于xe[1,2],有/（x"0恒成立，求。的取值范围；

（2）已知。>%若°对于一切实数x恒成立，并且存在不€反，使得⑪：+4/+"=°成立，求

a1+b2

a-b的最小值.

a>——i—

【答案】（1）2⑵4/2

【解析】

、241

aN-t=-P■，八=-2/2

【分析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为XX恒成立，设X,则J—

根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.

（2）由题意，根据二次函数的性质，求得a6=4,进而利用基本不等式，即可求解.

【详解】（1）据题意知，对于xcR'21,有ax2+4x+2N0恒成立，

-4x-224„>[24j

a>——=—「mW

即XxX恒成立，因此<XX；max,

设"（则”小〔，所以g（t）=一如2-4t=-2（t+iy+2,

・•・函数g。）在区间〔5'」上是单调递减的，

（2）由‘（'）"°对于一切实数*恒成立，可得2>0，且“4°,

由存在x。eR,使得aXo2+4xo+b=O成立可得ANO,

二.A=16-4ab=0,/.ab-4

a2+b2（a-b）"+2ab（a-b）2+8>2^（a-b）2x84行

a-ba-ba-b—a-b,当且仅当a—b=2正时等号成立，

.•.丘44也

a-b

【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数

法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着

重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

20.已知定义域为实数集R的函数2+2-

（1）判断函数"X）在R上的单调性，并用定义证明.

（2）若不等式/（2'—3/）〉/（2-/）成立，求实数/的取值范围.

【答案】（1）函数"X）在R上单调递减，证明见解析；（2）R

【解析】

、11

J（X）=--------

【分析】（1）1+2、2,进而判断函数为减函数，再根据函数单调性的定义证明即可;

（2）由（1）得2/-3/<2-「，再解不等式即可得答案.

“、1-2，2—（271）11

22x+12（1+2V）1+2V2

【详解】解：（1）+

因为函数2'+i为R上的增函数，

所以可判断函数,a）在尺上为单调递减函数，证明如下:

设看,々6火X]<%?

1+2*2—0+22）

1口_______L_

/&）-小）=/41+2*2）1+2』1+2打（1+2处）（1+22）

则

2句2*1

（1+2%）（1+2五）

因为2e&且再<%,所以孕4〉0,（1+2*）（1+2』）>0

所以/（%）一/（”2）>。，即/（苞）>/（》2）,

所以函数"X）在R上为单调递减函数.

（2）由（1）知函数“X）在灭上为单调递减函数,

所以/（27-3厂）〉/（2—广）等价于27-3/<2-/，即/-/+1〉0

产-r+1=p--l+->0

由于I2J4恒成立，

所以实数/的取值范围为R

21.为减少人员聚集，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当S中有

x%（0<x<100）的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：

30,0<x<30

"x）=11800

v72x+———90,30<x<100

〔x,（单位：分钟）而公交群体中的人均上班路上时间不受x的影响，

恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：

（1）当x取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？

（2）已知上班族S的人均上班时间计算公式为：g（x）=/（x）x%+50（100-x）%,讨论g（?）的单调

性，并说明实际意义.（注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.）

【答案】（1）》=20或x=45；（2）当xc（°，35）时g（x）单调递减，当苫,（35,100）时8（%）单调递增,

实际意义答案见解析

【解析】

【分析】

30,0<x<30

/(x)=<

2X+1^2£-90,30<X<100

(1)根据自驾群体的人均上班路上时间为:x，分0<30,

30<x<100两种情况讨论求解.

(2)根据上班族S的人均上班时间计算公式为：g(x)=/(x>x%+50000-x)%,分0<