2025届山东省滕州市第三中学高三两校联考数学试题

2025届山东省滕州市第三中学高三两校联考数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（）A．2 B． C．3 D．42．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A． B． C． D．3．若复数满足，则的虚部为（）A．5 B． C． D．-54．已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，，则（）A．2 B． C．1 D．5．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（）A． B． C． D．6．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．∅7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为()A．3 B．3.4 C．3.8 D．48．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（）A． B．C． D．9．中，点在边上，平分，若，，，，则（）A． B． C． D．10．已知复数，为的共轭复数，则（）A． B． C． D．11．函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）12．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B．4 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．14．设平面向量与的夹角为，且，，则的取值范围为______.15．已知实数满足则点构成的区域的面积为____，的最大值为_________16．某公园划船收费标准如表：某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为______元，租船的总费用共有_____种可能.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.18．（12分）在中，内角的对边分别是，已知．（1）求的值；（2）若，求的面积．19．（12分）求函数的最大值．20．（12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．21．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设与交于、两点，中点为，的垂直平分线交于、.以为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求的直角坐标方程与点的直角坐标；（2）求证：.22．（10分）如图1，四边形是边长为2的菱形，，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

根据等差数列的求和公式即可得出．【详解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故选C．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．A【解析】

根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．3．C【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．D【解析】

说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值．【详解】由知函数的周期为4，又是奇函数，，又，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．5．D【解析】

设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，设，得，求出的值，即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，所以，.设，则，又.故，所以.故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．B【解析】试题分析：由集合A中的函数y=lg(4-x2)，得到4-x2>0，解得：-2<x<2，∴集合A={x|-2<x<2}，由集合B中的函数考点：交集及其运算．7．D【解析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.【详解】由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为和一个底面半径为，高为的圆柱组合而成.该几何体的表面积为，解得，故选：D.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.8．B【解析】

根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】在复平面内对应的点的坐标为，则，，∵，代入可得，解得.故选：B.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.9．B【解析】

由平分，根据三角形内角平分线定理可得，再根据平面向量的加减法运算即得答案.【详解】平分，根据三角形内角平分线定理可得，又，，，，..故选：.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.10．C【解析】

求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.11．B【解析】

根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【详解】根据题意，函数满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，若函数在上单调递减，则在上递增，所以要使，则有，变形可得，解可得：或，即的取值范围为；故选：B．【点睛】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。12．A【解析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.【详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循环，输出结果为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．【详解】解：函数的定义域为，，，设曲线与曲线公共点为，由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．由，可得．联立，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14．【解析】

根据已知条件计算出，结合得出，利用基本不等式可得出的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.【详解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.15．811【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：数形结合可知，可行域为三角形，且底边长，高为，故区域面积；令，变为，显然直线过时，z最大，故.故答案为：；11.【点睛】本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.16．36010【解析】

列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.【详解】当租两人船时，租金为：元，当租四人船时，租金为：元，当租1条四人船6条两人船时，租金为：元，当租2条四人船4条两人船时，租金为：元，当租3条四人船2条两人船时，租金为：元，当租1条六人船5条2人船时，租金为：元，当租2条六人船2条2人船时，租金为：元，当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：元，当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：元，当租2条六人船1条四人船时，租金为：元，综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.故答案为：360，10.【点睛】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）存在；常数，定值【解析】

（1）设出的坐标，利用以及，求得曲线的方程.（2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程，写出根与系数关系，结合以及为定值，求得的值.当直线的斜率不存在时，验证.由此得到存在常数，且定值.【详解】（1）解析：（1）设，，由题可得，解得又，即，消去得：（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为设，由可得：由点到的距离为定值可得（为常数）即得：即，又为定值时，，此时，且符合当直线的斜率不存在时，设直线方程为由题可得，时，，经检验，符合条件综上可知，存在常数，且定值【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.18．（1）；（2）.【解析】

（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；（2）由正弦定理，,利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.【详解】（1）由题意，得.∵.∴,∵，∴.（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19．【解析】

试题分析：由柯西不等式得试题解析：因为，所以．等号当且仅当，即时成立．所以的最大值为．考点：柯西不等式求最值20．（1）证明见详解；（2）.【解析】

（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.【详解】（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：在中，因为为的中点，，且，又为的中点，，，且，，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面，即证.（2）取中点，连结，，则，平面，以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，则，令．则，同理得平面的一个法向量为，则，故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.21．（1），；（2）见解析.【解析】

（1）将曲线的极坐标方程变形为，再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出点、的坐标，即可得出线段的中点的坐标；（2）求得，写出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求得的值，进而可得出结论.【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，即，将代入曲线的方程得，所以，曲线的直角坐标方程为.将直线的极坐标方程化为普通方程得，联立，得或，则点、，因此，线段的中点为；（2）由（1）得，，易知的垂直平分线的参数方程为（为参数），代入的普通方程得，，因此，.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.22．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由题意可证得，，所以平面，则平面平面可证；（2）解法一：利用等体积法由可求出点到平面的距离；解法二：由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线，垂足，证明平面，计算出即可.【详解】解法一：（1）依题意知，因为，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.由已知，是等边三角形，且为的中点，所以.因为，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在