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第六届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案(非数学类,2015年3月)答案：解：记p=y'，则p'-ap2=0，就是（4）不定积分dx是————。(1,0),(01)(1,0)(0,-1)(1,0),(01)(1,0)(0,-1)（6）设D是平面上由光滑封闭曲线围成的有界区域,其面积为A>0,函数f(x,y)在该区域及其边界上连续,函数f(x,y)在D上连续且>0.记Jn=,求极限limJn.量之间的夹角为若函数f(x,y)在点P0有连续偏导，证明,B2均为n阶方阵，其中A2,B2可逆。证明：存在可逆阵P,Q使PAi证若存在可逆阵P,Q使PAiQ=Bi(i=1,2)，则B2-1=Q-1A2-1P-1，所以B1B2-1=PA1A2-1P-1，故A1A-12和B1B-12相似。...........(6分)反之，若A1A-12和B1B-12相似，则存在可逆阵C，使C-1A1A2-1C=B1B2-1。于是C-1A1A2-1CB2=B1。令P=C-1，Q=A2-1CB2，则P,Q可逆，且满足PAin+1yn+1n五（1）展[-π,π)上的函数f(x)=|x|成傅里叶级数,并证明.（2）求积分du的值.解(1)f(x)为偶函数,其傅里叶级数是余弦级数.由于由于f(x)连续,所以当x∈[-π,π)有记g，则在上成立记该级数的前记该级数的前n项和为Sn(u)，余项为rn(u)=g(u)-Sn(u).则由交错（单调）级数的性质du................六设f(x,y)为R2上的非负的连续函数,若I=t2+y2≤t2f存在有限,则称广义积分收敛于I.存在且收敛于I.设eax2+2bxy+cy2dσ收敛于I,其中实二次型ax2+2bx标准型为λ1u2+λ2v2.证明λ1和λ2都小于0.解.(1)由于f(x,y)非负,当t→+∞,上式中左右两端的极限都收敛于I,故中间=实对称,存在正交矩阵P使得PTAP=,其中是A的特征值,也就是标准型的系数.由tIt=I和(1)所证得v2dudv=I.在矩形上分离积分变量得,因为I

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