第4届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分标准（数学类）

1试题解答15分)设Γ为椭圆抛物面z=3x2+4y2+1.从原点作Γ的切锥面.求切锥面方程.解答:设(x,y,z)为切锥面上的点(非原点).存在唯一t使得t(x,y,z)落在椭圆抛物面上(5分).于是有tz=(3x2+4y2)t2+1,并且这个关于t的二次方程只有一个根(10分).于是,判别式∆=z2−4(3x2+4y2)=0.这就是所求的切锥面方程(15分)□15分)设Γ为抛物线,P是与焦点位于抛物线同侧的一点.过P的直线L与Γ围成的有界区域的面积记为A(L).证明:A(L)取最小值当且仅当P恰为L被Γ所截出的线段的中点.解答:不妨设抛物线方程为y=x2,P=(x0,y0)(1分)P与焦点在抛物线的同侧,则y0>x2分)设L的方程为y=k(x−x0)+y0.L与Γ的交点的x坐标满足x2=k(x−x0)+y0,有两个解x1<x2满足x1+x2=k,x1x2=kx0−y06分)L与x轴x=x1,x=x2构成的梯形面积D=抛物线与x轴x=x1,x=x2构成区域的面积为∫12x2dx=−x)8分).于是有36A(L)2=(x2−x1)6=((x1+x2)2−4x1x2)3=(k2−4kx0+4y0)3(12分),等式成立当且仅当A(L)取最小值,当且仅当k=2x0,即x1+x2=2x015分)□10分)设f∈C1[0,+∞),f(0)>0,f′(x)≥0∀x∈[0,+∞).已知∞dx<+∞,求证∞dx<+∞.解答:由于f′(x)≥0,有1分).取极限8分).故由已知条件有10分)10分)设A,B,C均为实n阶正定矩阵,P(t)=At2+Bt+C,f(t)=detP(t),其中t为未定元,detP(t)表示P(t)的行列式.若λ为f(t)的根,试证明:Re(λ)<0,这里Re(λ)表示λ的实部解答:设λ为f(t)的根,则有detP(t)=0,从而P(t)的n个列线性相关.于是存在α0使得P(λ)α=0,进而α∗P(λ)α=0.4分)具体地,α∗Aαλ2+α∗Bαλ+α∗Cα=0.令a=α∗Aα,b=α∗Bα,c=α∗Cα,则由A,B,C皆为正定矩阵知a>0,b>6分).注意到,当b2−4ac≥0时.当b2−4ac<0时,√,从而Reλ=−b/2a<0.□已知0aixi,|x|<1,n为正整数解答:由于Σ恰为展开式中xn−1的系数(2分),而2其xn−1项系数等于的xn−1项系数(6分),也就等于的xn−1项系数,它等于故有10分)□,dx=0,且f′(x)解答:由于f(0)=f(1),故存在c∈(0,1)使得f′(c)=0(2分).又f′(x)1,由导函数介值性质恒有f′(x)<14分).令g(x)=f(x)-x,则g(x)为单调下降函数(6分)故12分).于是有15分)325分)已知实矩阵.证明:(1)矩阵方程AX=B有解但BY=A无解的充要条件是a2,b=4/3;(2)A相似于B的充要条件是a=3,b=2/3;(3)A合同于B的充要条件是a<2,b=3.解答(1)矩阵方程AX=B有解等价于B的列向量可由A的列向量线性表示,BY=A无解等价于A的某个列向量不能由B的列向量线性表示(2分)对(A,B)作初等行变换:知,B的列向量组可由A的列向量线性表示当且仅当a26分).对矩阵(B,A)作初等行变换:由此知A的列向量组不能由B的列向量线性表示的充要条件是b=4/3.所以矩阵方程AX=B有解但BY=A无解的充要条件是a2,b=4/3分)(2)若A,B相似,则有trA=trB,且|A|=|B|,故有a=3,b=2/3分).反之,若a=3,b=2/3,则有A和B的特征多项式均为λ2-5λ+2.由于λ2-5λ+2=0由两个不同的根,从而A,B都可以相似于同一对角阵.故A与B相似(15分)(3)由于A为对称阵,若A,B合同,则B也是对称阵,故b=316分)矩阵B对应的二次型g(x1,x2)=4x+6x1x2+x=(3x1+x2)2-5x.在可逆线性变换y1=3x1+x2,y2=x1下,g(x1,x2)变成标准型:y-5y18分).由此,B的正,负惯性指数为119分)类似地,A对应的二在可