第6届全国大学生数学竞赛决赛数学类三、四年级试卷

第六届中国大学生数学竞赛决赛三、四年级试卷,,姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:题号一二三四五总分满分得分注意:1.前5大题是必答题,再从6–11大题中任选两题,题号要填入上面的表中.2.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效.3.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.4.如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号.,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线得分评阅人得分评阅人(1)实二次型2x1x2-x1x3+5x2x3的规范型为 .级数的和为-----.(3)计算第一型曲面积分的值:dS=-----.,(4)A=(aij)为n阶实对称矩阵(n>1),rank(A)=n-1,A的每行元素之和均为0.设2,3,...,n为A的全部非零特征值.用A11表示A的元素a11所对应的代数余子式.则有A11=.,,得分评阅人二、(本题15分)设空间中定点P到一定直线l的距离为p.一族球面中的每个球面都过点P,且截直线l得到的弦长都是定值a.求该球面族的球心的轨迹得分评阅人姓名:准考证号姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:,,得分评阅人,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线,,其中C表示复数域.试证明:8A∈Γ,A的Jordan标准形JA仍然属于Γ;进一步还存在可逆矩阵P∈Γ使得P-1AP=JA.得分评阅人求满足不等式得分评阅人,五、(本题10分)设a(t),f(t)为实连续函数ßf(t)>0,a(t)>1,8t∈R.,0∞f(t)dt=+∞.已知C2函数x(t)满足得分评阅人,姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:x,,(t)+a(t)f(x(t))≤0,8t∈R.求证:x(t)在[0,姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线,,得分评阅人的非常值整函数f(z).六、(本题10分)设a,b是两个不同的复数.求满足方程(f,(z))2=(f(z)-a)(f(z)-b)(1),,得分评阅人姓名:姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线,,七、(本题10分)设f(x)是R1上的Lipschitz函数,Lipschitz常数为K,则对任意的Lebesgue可测集ECR1,均有m(f(E))≤K·m(E),其中m(·)表示一维Lebesgue测度.八、(八、(本题10分)设三维空间的曲面S满足:(1)P0=(0,0,-1)∈S;'≤1ß其中O是原点.证明:曲面S在P0的Gauss曲率K(P0)≥1.得分评阅人得分评阅人九、(本题10分)考虑求解线性方程组Ax=b的如下迭代格式得分评阅人,(QD-C)x(k+1)=((Q-1)D+CT)x(k)+b,姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:其中D为实对称正定方阵,C是满足C+CT=D-A的实方阵,Q为实数.若A是实对称正定方阵,且QD-C可逆,Q>1/2.证明:上述迭代格式对任何初始向量姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线,,得分评阅人十、(本题10分)设R为[0,1]上的连续函数环ß其加法为普通的函数加法ß乘法为普通的函数乘法.I为R的一个极大左理想.证明:8f,g∈I,f与g在[0,1]上必有公共的零点得分评阅人时不要超过此线时不要超过此线iiiiiiiii得分评阅人,十一、(本题10分)设在国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量X(单位:吨)是随机变量,X服从[100,200]上的均匀分布.每出售这种商品一吨,可以为国家挣得外汇3万元;若销售不出而囤积于仓库,得分评阅人,姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:费保养