河南省安阳市第三十五中学2025年高三下学期第四次质量检测试题数学试题

河南省安阳市第三十五中学2025年高三下学期第四次质量检测试题数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（）A．年该工厂的棉签产量最少B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C．三年累计下来产量最多的是口罩D．口罩的产量逐年增加2．已知复数满足，则的共轭复数是（）A． B． C． D．3．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．4．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．05．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（）A． B． C． D．6．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A． B． C． D．7．若数列满足且，则使的的值为()A． B． C． D．8．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（）A． B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A． B．C． D．10．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（）A． B． C． D．11．已知向量，，则向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．12．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.14．若变量，满足约束条件，则的最大值为__________．15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a216．甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；（2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值.18．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.20．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.21．（12分）已知数列的各项均为正数，且满足.（1）求，及的通项公式；（2）求数列的前项和.22．（10分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：.组别频数（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额(单位：元)概率现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.附：参考数据与公式：，若，则，，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.故选：C.【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.2、B【解析】

根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.【详解】由，得，所以．故选：B【点睛】本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.3、D【解析】构造函数，令，则，由可得，则是区间上的单调递减函数，且，当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．4、C【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中，，为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.5、D【解析】

以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱，，取中点，以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，．设平面的法向量为，则取，得．设直线与平面所成角为，则，，∴直线与平面所成角的正切值等于故选：D【点睛】本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.6、B【解析】

变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得.【详解】解：依题：，又三点共线，，解得．故选：．【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参数方程：三点共线⇔(为平面内任一点,)7、C【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．8、D【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.【详解】因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有共37个，满足的整数点有7个，则所求概率为.故选：.【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.9、B【解析】

列出循环的每一步，进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图，执行循环前：，，，执行第一次循环时：，，所以：不成立．继续进行循环，…，当，时，成立，，由于不成立，执行下一次循环，，，成立，，成立，输出的的值为.故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10、A【解析】

先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值.【详解】已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因为，所以f（x）的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11、A【解析】

先利用向量坐标运算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12、D【解析】

三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.故选：D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.【详解】当时，令，解得，所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，单调递减，且，作出函数的图象如图：（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；（2）若，则当时，方程整理得，则，，此时各有1解，故当时，方程整理得，有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意；或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，或有0解同时有3解，则，解得，故，（3）若，显然当时，和均无解，当时，和无解，不符合题意．综上：的范围是，故答案为：，【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．14、【解析】

根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过时，取最大值，代入可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将化为，则最大时，直线在轴截距最大；由直线平移可知，当过时，在轴截距最大，由得：，.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.15、-2【解析】试题分析：∵a2考点：等比数列性质及求和公式16、【解析】

出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.【详解】甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，出场的两名运动员编号相同的事件数为3，出现的基本事件总数，则出场的两名运动员编号相同的概率为.故答案为：【点睛】本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，；（2）.【解析】

（1）利用公式即可求得曲线的极坐标方程；联立直线和曲线的极坐标方程，即可求得交点坐标；（2）设出点坐标的参数形式，将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.【详解】（1）曲线的极坐标方程：联立，得，又因为都满足两方程，故两曲线的交点为，.（2）易知，直线.设点，则点到直线的距离（其中）.面积的最大值为.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题，属综合中档题.18、【解析】

将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.【详解】由，得，，即圆的方程为，又由消，得，直线与圆相切，，．【点睛】本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.19、（1）(x－1)2＋y2＝4,直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.【详解】(1)由曲线C的参数方程(α为参数)(α为参数)，两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为(t为参数)．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，将(t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.20、（1）；（2）①可能是2件；②详见解析【解析】

（1）由一件手工艺品质量为B级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；（2）①先求得一件手工艺品质量为D级的概率为，设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，可知，分别令、、，可求出使得最大的整数，进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数；②分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率，