2024-2025学年新教材高中数学 第三章 函数概念与性质 3.1 函数的概念及其表示（2）教学设计 新人教A版必修第一册

2024-2025学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.1函数的概念及其表示（2）教学设计新人教A版必修第一册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容2024-2025学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.1函数的概念及其表示（2）教学设计新人教A版必修第一册

本节课主要围绕函数的定义、表示方法、性质等内容展开，重点讲解函数的定义域、值域、单调性等基本概念，以及函数的图像表示方法。通过本节课的学习，使学生掌握函数的基本性质，能够熟练运用函数的性质解决实际问题。二、核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过函数概念的学习，让学生能够从具体事物中抽象出数学模型；提升逻辑推理能力，引导学生运用定义和性质进行推理，解决相关问题；增强直观想象能力，通过函数图像的观察和分析，培养学生的空间想象能力；提高数学建模能力，使学生能够将实际问题转化为数学问题，并运用函数进行解决。三、重点难点及解决办法重点：

1.函数定义域和值域的确定：重点在于理解函数的定义域是使函数有意义的输入值的集合，值域是函数输出值的集合。

2.函数单调性的判断：重点在于掌握单调性的定义和判断方法，包括利用导数判断单调性。

难点：

1.函数性质的理解与应用：难点在于如何将函数的性质与实际问题相结合，灵活运用。

2.复杂函数的图像分析：难点在于如何通过图像分析函数的性质，如周期性、奇偶性等。

解决办法：

1.通过实例讲解和练习，帮助学生理解定义域和值域的概念，并掌握确定方法。

2.利用图形计算器和导数概念，帮助学生直观理解函数的单调性，并通过练习巩固。

3.通过小组讨论和问题解决活动，引导学生将函数性质与实际问题相结合，提高应用能力。

4.通过绘制函数图像和观察图像特征，培养学生的直观想象能力，增强对函数性质的理解。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生携带新教材必修第一册，以便随时查阅相关章节内容。

2.辅助材料：准备函数图像的动态演示视频、函数性质相关的图表和图片，以增强直观教学效果。

3.实验器材：准备图形计算器或计算机软件，用于辅助函数图像的绘制和性质分析。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习；准备实验操作台，便于进行函数图像绘制实验。五、教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：以生活中的实际问题引入，如询问学生是否遇到过需要根据输入值得到输出值的情况，激发学生对函数概念的兴趣。

-回顾旧知：简要回顾上一节课中学到的函数基本概念，如函数的定义、自变量和因变量的关系等。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：详细讲解函数的定义域和值域，包括如何确定函数的定义域和值域，以及它们对函数性质的影响。

-举例说明：通过具体例子，如分段函数、二次函数等，展示如何确定函数的定义域和值域。

-互动探究：组织学生分组讨论，要求他们根据给定的函数表达式，共同确定其定义域和值域，并讨论不同情况下的变化。

3.新课呈现（续）（约15分钟）

-讲解新知：介绍函数的单调性概念，包括单调增和单调减的定义，以及如何判断函数的单调性。

-举例说明：通过具体的函数例子，展示如何判断函数的单调性，并讨论单调性与导数的关系。

-互动探究：引导学生运用导数的基本概念，尝试判断一些函数的单调性，并讨论结果。

4.新课呈现（续）（约10分钟）

-讲解新知：介绍函数的奇偶性概念，包括奇函数和偶函数的定义，以及如何判断函数的奇偶性。

-举例说明：通过具体的函数例子，展示如何判断函数的奇偶性，并讨论奇偶性与函数图像的关系。

-互动探究：让学生观察函数图像，判断其奇偶性，并讨论图像特征与奇偶性的关系。

5.新课呈现（续）（约10分钟）

-讲解新知：介绍函数的周期性概念，包括周期函数的定义，以及如何判断函数的周期性。

-举例说明：通过具体的周期函数例子，展示如何确定函数的周期，并讨论周期与函数图像的关系。

-互动探究：引导学生分析周期函数的图像，讨论周期函数的特点和周期性对函数性质的影响。

6.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：发放练习题，让学生独立完成，包括确定函数的定义域和值域、判断函数的单调性、奇偶性和周期性等。

-教师指导：巡视教室，解答学生在练习过程中遇到的问题，并提供必要的帮助。

7.总结与反思（约5分钟）

-教师总结：回顾本节课的主要知识点，强调函数定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性的重要性。

-学生反思：鼓励学生反思自己在学习过程中的收获和不足，提出改进措施。

8.课后作业布置（约2分钟）

-布置课后作业，包括复习本节课的知识点，并完成一些相关的练习题，以巩固所学内容。六、知识点梳理1.函数的概念

-定义：函数是一种特殊的关系，每个自变量值对应唯一的因变量值。

-性质：函数的连续性、单调性、奇偶性、周期性等。

2.函数的表示方法

-代数表示法：使用数学表达式来表示函数，如y=f(x)。

-图像表示法：通过函数图像来表示函数，直观展示函数的性质。

-字母表示法：使用字母表示函数，如f(x)、g(x)等。

3.函数的定义域和值域

-定义域：使函数有意义的输入值的集合。

-值域：函数输出值的集合。

4.函数的单调性

-单调增：随着自变量的增大，函数值也增大。

-单调减：随着自变量的增大，函数值减小。

5.函数的奇偶性

-奇函数：满足f(-x)=-f(x)的函数。

-偶函数：满足f(-x)=f(x)的函数。

6.函数的周期性

-周期函数：满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T为周期。

7.函数的性质与应用

-利用函数的性质解决实际问题，如优化问题、最值问题等。

-利用函数图像分析函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

8.函数的图像分析

-通过观察函数图像，直观了解函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

-分析函数图像的对称性、渐近线等特征。

9.函数的应用

-在物理学、工程学、经济学等领域，函数用于描述和解决实际问题。

-利用函数模型分析现实世界中的变化规律。

10.函数的极限与连续性

-函数的极限：当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于某个确定的值。

-函数的连续性：函数在某个区间内连续，即在该区间内任意两点间的函数值都相等。

11.函数的导数与微分

-函数的导数：描述函数在某一点上的变化率。

-函数的微分：描述函数在某一点上的局部线性逼近。

12.函数的积分

-函数的积分：描述函数在某个区间上的累积效果。

-定积分与不定积分的概念和应用。七、内容逻辑关系①函数的基本概念

①.1定义：函数是一种映射，每个自变量值对应唯一的因变量值。

①.2性质：函数具有连续性、单调性、奇偶性、周期性等特性。

②函数的表示方法

②.1代数表示法：使用数学表达式来表示函数，如y=f(x)。

②.2图像表示法：通过函数图像来表示函数，直观展示函数的性质。

②.3字母表示法：使用字母表示函数，如f(x)、g(x)等。

③函数的定义域和值域

③.1定义域：使函数有意义的输入值的集合。

③.2值域：函数输出值的集合。

④函数的单调性

④.1单调增：随着自变量的增大，函数值也增大。

④.2单调减：随着自变量的增大，函数值减小。

⑤函数的奇偶性

⑤.1奇函数：满足f(-x)=-f(x)的函数。

⑤.2偶函数：满足f(-x)=f(x)的函数。

⑥函数的周期性

⑥.1周期函数：满足f(x+T)=f(x)的函数，其中T为周期。

⑦函数的性质与应用

⑦.1利用函数的性质解决实际问题，如优化问题、最值问题等。

⑦.2利用函数图像分析函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

⑧函数的图像分析

⑧.1通过观察函数图像，直观了解函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

⑧.2分析函数图像的对称性、渐近线等特征。

⑨函数的应用

⑨.1在物理学、工程学、经济学等领域，函数用于描述和解决实际问题。

⑨.2利用函数模型分析现实世界中的变化规律。

⑩函数的极限与连续性

⑩.1函数的极限：当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于某个确定的值。

⑩.2函数的连续性：函数在某个区间内连续，即在该区间内任意两点间的函数值都相等。

⑪函数的导数与微分

⑪.1函数的导数：描述函数在某一点上的变化率。

⑪.2函数的微分：描述函数在某一点上的局部线性逼近。

⑫函数的积分

⑫.1函数的积分：描述函数在某个区间上的累积效果。

⑫.2定积分与不定积分的概念和应用。八、课后作业1.已知函数f(x)=x^2-4x+4，求该函数的定义域和值域。

解：定义域为全体实数，值域为y≥0。

2.判断以下函数的奇偶性：

（1）f(x)=x^3+3x

（2）f(x)=1/x^2

解：（1）奇函数，因为f(-x)=(-x)^3+3(-x)=-x^3-3x=-f(x)。

（2）非奇非偶函数，因为f(-x)=1/(-x)^2=1/x^2≠f(x)且f(-x)≠-f(x)。

3.判断以下函数的单调性：

f(x)=x^2-4x+3

解：该函数的单调增区间为(-∞,2]，单调减区间为[2,+∞)。

4.求函数f(x)=x^2-3x+2的图像的周期性。

解：该函数是一个二次函数，不具有周期性。

5.已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求该函数的值域。

解：利用三角函数的和角公式，将函数f(x)=sin(x)+cos(x)转化为f(x)=√2sin(x+π/4)。因为正弦函数的值域为[-1,1]，所以f(x)的值域为[-√2,√2]。

6.设函数f(x)=2x+1，求该函数在区间[1,3]上的最大值和最小值。

解：因为f(x)=2x+1是一个线性函数，其斜率为正，所以在区间[1,3]上单调递增。因此，最大值在x=3时取得，最小值在x=1时取得。最大值为f(3)=7，最小值为f(1)=3。

7.求函数f(x)=|x-1|在x=2处的导数。

解：f'(2)=0，因为在x=1处函数具