数学建模讲义3省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

5.放射性核废料处理问题

以前美国原子能委员会将放射性核废料装在封闭圆桶里，扔到水深为91米海底。生态学家和科学家担心这种做法不安全，而原子能委员会向他们确保，圆桶绝不会破漏。经过周密试验，证实了圆桶封闭性确实很好，但工程师们提出疑问，圆桶是否会因与海底相撞而发生破裂，原子能委员会却说决不会。数学与信息科学学院

于是，工程师们经过大量试验发觉：当圆桶在海水中速度超出12.2米时，圆桶就会因碰撞破裂。现在问题是，圆桶抵达91米海底时速度是不是超出了12.2米问题。第1页

首先来建立直角坐标系。设海平面为x

轴，y

轴方向向下为正。数学与信息科学学院

依据牛顿第二定律：F=ma，其中圆桶质量为W=239.456kg，a为圆桶下沉加速度，假设

t

时刻圆桶下沉到y

处，则。第2页

圆桶在向海底沉过程中，受到三个力作用：一是重力，W=239.456kg；

二是圆桶受海水浮力B，已知海水浮力为1025.94kg/m3，圆桶体积为V=0.208m3，那么，B=1025.94×V=213.396kg

；数学与信息科学学院

三是圆桶下沉过程所受阻力D，工程师们做了大量试验得出结论：阻力与圆桶方位无关，而与下沉速度成正比，百分比系数k=0.12，于是，

第3页数学与信息科学学院依据牛顿第二定律得微分方程：其中

为重力加速度。方程（1）是t为自变量（但不显含t），y

为未知函数二阶微分方程，我们要求是当圆桶下沉到91米海底时圆桶下降速度，所以，把速度v

看成y函数v=v(y)。因为

，所以

，于是方程（1）化为一阶微分方程第4页数学与信息科学学院或求解微分方程（3）得其通解将初始条件v=v(0)代入（4）式得从而，方程（3）特解为第5页数学与信息科学学院

算到这里，我们似乎感到失望，因为不能从（5）式中解出显函数v=v(y)。不过，这个困难是能够克服。借助于计算机很轻易计算出v(91)，我们只需要为计算机提供一个v(91)很好近似表示式，近似表示式可按下述方法取得。第6页

在微分方程（3）中，暂时设k=0（无阻力），从而得新微分方程为了区分于方程（3）未知函数，方程（6）用u表示未知函数。直接对（6）式积分得数学与信息科学学院整理上式得尤其有第7页现在来说明u(91)就是v(91)很好近似。

第一，当不存在阻力时，圆桶下沉速度总要比有阻力时下沉速度快，即v(91)

<u(91)

；

第二，v=v(y)是关于y增函数，所以，当y≤91时，v(y)≤v(91)

。水作用在圆桶上阻力D总是小于0.12×u(91)=0.16kg，圆桶向下协力（W-B）近似于26.06kg，该值比D

大得多。所以，u(91)

就是v(91)很好近似。

数学与信息科学学院

经过上述分析、论证知：将装满放射性核废料圆桶扔到海里，当圆桶抵达深海底91m

时速度可抵达13.93m/s，超出了12.2m/s，所以，将放射性核废料装在封闭圆桶里扔到水深为91m海底是不安全。第8页上述分析是无道理。看下面分析：设u=u(y)是方程数学与信息科学学院特解，则再设ω=ω(y)是方程第9页特解，则设v=u+aω为方程数学与信息科学学院特解，其中a是待定参数，则从而第10页其中数学与信息科学学院（16）

因为

所以

第11页数学与信息科学学院所以，由式（3）、（18）~（20）得二次方程二次方程式（20）解为（22）第12页因为数学与信息科学学院所以

当不存在阻力时，圆桶下沉速度总要比有阻力时下沉速度快，所以v(91)<u(91)，又因为v(y)≥0，所以取a=0.66188，从而第13页计算机仿真由式（5）得数学与信息科学学院则所以当v(y)≥0时，

，所以y=y(v)有唯一反函数v=v(y)。

另首先，因为

第14页所以数学与信息科学学院将式（27）~（29）代入到式（14）得方程式（30）解为第15页由式（10），（12）得数学与信息科学学院所以设

，则第16页数学与信息科学学院所以

在区间[0,91]单调下降，于是所以从而第17页又因为

v(y)，故取因为方程式（25）可化为数学与信息科学学院

利用MATLAB

软件编程绘制出函数式(34)，(35)图像如图10-1所表示。仿真结果表明：用速度函数式(34)代替由隐函数方程式(35)确定圆桶运动真实速度，其拟合精度已经非常高。第18页数学与信息科学学院第19页6．水电站调压塔功效

当前我们使用电能，是发电厂发出电经过输电、变电和配电后供给。发电系统发电方式主要包含：水力发电，火力发电，核能发电等。

水力发电是当位于高处水（含有势能）往低处流动时势能转换为动能。此时装设在水道低处水轮机，因水流动能推进叶片而转动（机械能），假如将水轮机连接发电机，就能带动发电机转动将机械能转换为电能。水力发电普通可分为川流式、水坝（库）式发电。

对于水库式发电，水电站要把贮存在水库水经过长达数百米管道引到水轮发电机。在输送水流过程中会碰到严重水击作用致使管道破裂。数学与信息科学学院第20页

水利发电含有用电负荷突然发生改变时调整作用。当用电负荷突然上升时，要马上增加输送水量以增加发电量；当用电负荷下降时，又要使水流很快慢下来以降低发电量。因为水是不可压缩液体，管道本身弹性又非常小，致使水高压波沿管道传输，工程上称为“水击作用”，它是可能破坏管道。缓解这种作用方法是在输送管中水进入水轮机前先注入一个称为调压塔贮水箱中。数学与信息科学学院

当负荷需求较低时，水轮机需要水量较少，调压塔贮存下大量水，水位较高。当负荷需求突然变大时，能够用塔中水满足水轮机对水量需求增加，防止输送管道中水流速度发生突然大改变。

现在讨论当调压塔出口水流速度改变时，调压塔水位怎样改变，并分析水位改变过程与各参数之间关系。输水管—调压塔部分如图11-1所表示。第21页数学与信息科学学院

设输水管管长为L，截面积为s1，与地面成夹角α，水流速度u(t)，两端压强分别p1

和p2(t)。调压塔水液面高h(t)，截面积s0，顶部大气压p0，出口水流速度v(t)，出口截面积s2，水密度为ρ。假设水库水位不变，所以输水管始端压强为是p1

常数。水与水管均无弹性。

第22页

由流体运动学知，单位长度管壁对水流阻力与水流速度平方成正比，百分比系数c

为粘滞系数。数学与信息科学学院

依据以上说明及假设，作用在水运动方向力有：输水管两端压强差形成压力s1(p1-p2)；水柱本身重力Ls1sinαρg

；管壁对水流阻力cLu2(t)。依据牛顿第二定律得方程

因为调压塔进水口在塔底部，塔内水柱重力ρs0gh形成底部与顶部压力差s1p2-s0p0。于是得静力学方程第23页

依据守恒定律，调压塔进出水量之差等于塔内水位改变，所以对上三式加以整理，消去p2

和u(t)得微分方程数学与信息科学学院注：1.消去p2，由（2）式得

2.消去u(t)，由（3）式得

。进而

将上两式代入到（1）式第24页从而数学与信息科学学院第25页

这是一个非线性二阶微分方程，它求解相当困难。所以只能就尤其情形来讨论。数学与信息科学学院

设调压塔出口水流速度v(t)稳定，即v(t)=v0为常数，当v(