概率论与数理统计总复习

例1设X具有概率密度,求Y=X2的概率密度.当

y>0时,解设Y和X的分布函数分别为和

，求导可得若则Y=X2

的概率密度为：

从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g(X)≤y}中解出X,

从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.例如，用代替{2X+8≤y}{X}用代替{X2

≤

y}这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率.这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.2、一台电子设备内装有5个某种类型的电子管，已知这种电子管的寿命（单位：小时）服从参数为1000的指数分布。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为95%，两个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率是70%，若两个以上的电子管损坏，则设备不能正常工作。求这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作的概率。（设各电子管工作相互独立）3、设有甲、乙、丙3门炮，同时独立向某目标射击，命中率分别为0.2,0.3,0.5,目标被命中1发炮弹而被击落的概率为0.2,目标被命中2发炮弹而被击落的概率为0.6,目标被命中3发炮弹而被击落的概率为0.9,求:(1)3门炮在1次射击中击落目标的概率(2)在目标被击落的条件下,是由甲炮击中的概率.2、解：设表示电子管寿命，表示5个电子管使用1000小时后损坏的个数。则又设：A=“电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作”由全概率公式，有3、解：设A，B，C分别表示甲、乙、丙3门炮击中目标D：表示目标被击落则：（1）由全概率公式（2）由贝叶斯公式M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数即有FM(z)=FX(z)FY(z)即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函数由于X和Y相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为

我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数.(i=1,…,n)用与二维时完全类似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函数是

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有例4解于是例如,5.设二维随机向量(X,Y)的分布律为XY1234510230405设二维随机向量(X,Y)的分布律为XY1234510230405棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理7.(1)试用切比雪夫不等式估计:废品率为0.03,1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。(2)利用棣莫弗-拉普拉斯定理计算(1)的概率。所求概率不小于0.709解:(1)设随机变量X表示1000个产品中废品的个数,则(2)用棣莫弗——拉普拉斯定理所求概率约0.936.显然,拉普拉斯定理比切比雪夫不等式精确第六、七、八章1.基本概念总体：被研究对象的全体称为总体或母体个体：组成总体的每一个对象称个体总体用X表示，个体用Xi表示样本：从总体中随机地抽取n个个体X1,X2,…,Xn组成一个n维随机向量(X1,X2,…,Xn)称为一个样本例8设是来自总体的样本,又设试求常数解因为所以且相互独立,于是故应取则有使服从分布.例9设随机变量随机变量均服从且都相互独立,令试求的分布,并确定的值,使解由于故由分布的定义知即服从自由度为4的分布:由例10设总体服从标准正态分布,是来自总体的一个简单随机样本,试问统计量服从何种分布解因为且与相互独立,所以再由统计量的表达式,即得似然函数为当时求导数得最大似然估计值为最大似然估计量为统计量观测值查表得临界值原假设H0的拒绝域为统计量观测值原假设H0的拒绝域为查表得临界值查表得临界值统计量观测值原假设H0的拒绝域为15.某种罐头的净重近似服从正态分布,按规定平均净重应为379克,标准差为11克,现在一批罐头中抽取10个,测得如下数据(单位:克)370.74,372.80,386.43,398.14,369.21,381.67,367.90,371.93,386.22,393.08,问这批罐头的净重指标是否符合规定？（符合规定是指：）而μ和σ的最大似然估计量分别为16.已知X1,X2,…,Xn

是来自正态总体N(μ,σ2)的样本,求P{X1≤a}的最大似然估计量（a已知）（未知参数的函数的似然估计量是参数的最大似然估计的函数）17.设X1,X2,…,Xn是取自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，试证：对任一固定的实数a，的无偏估计，其中是N(0,1)的分布函数。18.从正态总体N(μ,σ