2023九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用第1课时 增长（降低）率问题教学设计 （新版）湘教版

2023九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第1课时增长（降低）率问题教学设计（新版）湘教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程2.5节，重点讲解一元二次方程的应用，其中第1课时聚焦于增长（降低）率问题。本节课旨在引导学生运用一元二次方程解决实际问题，提高学生的数学建模能力和应用意识。具体内容包括：通过实例分析，理解增长（降低）率问题的数学模型；掌握一元二次方程的解法，应用于解决增长（降低）率问题；培养学生在实际问题中提取关键信息，建立数学模型的能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算。学生通过解决增长（降低）率问题，能够抽象实际问题中的数量关系，形成数学模型；通过方程求解过程，锻炼逻辑推理和数学运算能力；在建模过程中，提升解决实际问题的意识和能力。学情分析九年级学生在经过基础数学学习后，已经具备了一定的代数基础和解题能力。他们对一元二次方程的理解相对成熟，能够在教师的引导下独立求解简单的方程问题。然而，在解决实际问题，尤其是涉及增长（降低）率的问题时，学生可能存在以下情况：

1.知识层面：学生可能对一元二次方程的解法掌握较好，但在应用方程解决实际问题方面存在困难，特别是在理解题意、建立方程模型等方面。

2.能力层面：学生的数学建模能力有待提高，他们可能难以从实际问题中提取有效信息，无法准确建立数学模型，从而影响方程求解的准确性。

3.素质层面：学生在解决问题的过程中，可能缺乏耐心和细心，容易忽略题目的细节，导致错误。

4.行为习惯：部分学生在学习过程中存在依赖心理，遇到难题时容易放弃，缺乏独立思考和解决问题的勇气。

5.对课程学习的影响：上述情况可能导致学生在增长（降低）率问题的学习上兴趣不高，影响他们对数学的应用意识和实际操作能力的提升。

因此，在本次教学中，教师需要关注学生的这些特点，通过实例分析和问题引导，激发学生的学习兴趣，同时通过逐步分解问题、强化练习，帮助学生克服困难，提高他们在数学建模和解决实际问题方面的能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有湘教版九年级数学上册第2章相关教材，以便学生跟随教材内容学习。

2.辅助材料：准备与增长（降低）率问题相关的图片、图表、案例视频等多媒体资源，以丰富教学内容，增强直观性。

3.教学工具：准备计算器、黑板或电子白板，以便进行现场计算和展示解题过程。

4.教室布置：设置小组讨论区，方便学生分组讨论问题，并预留空间进行实际操作演示。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，如“请学生预习一元二次方程的基本概念和解法，并尝试解决简单的增长（降低）率问题”。

设计预习问题：围绕“一元二次方程的应用”，设计问题如“如何将实际增长率问题转化为数学模型？”和“一元二次方程在解决增长率问题时有哪些注意事项？”。

监控预习进度：通过平台查看学生的预习进度，并通过课堂提问了解预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生阅读预习资料，理解一元二次方程的基本概念和解法。

思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：学生通过自主阅读和思考，培养自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台和微信群，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解一元二次方程的应用，为课堂学习做好准备。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实际案例，如“某商品价格每年增长5%，求五年后的价格”，引出增长率问题。

讲解知识点：讲解一元二次方程在增长率问题中的应用，如“如何建立方程模型来表示增长率？”。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据案例建立方程模型。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，思考讲解中的关键点。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，尝试解决类似的问题。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解，帮助学生理解一元二次方程在增长率问题中的应用。

实践活动法：通过小组讨论，让学生在实践中应用所学知识。

合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解一元二次方程在增长率问题中的应用，掌握解决这类问题的技能。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置涉及增长率问题的练习题，如“某城市人口每年增长3%，求20年后的人口数量”。

提供拓展资源：推荐相关书籍或网站，如“数学建模入门”等，供学生进一步学习。

学生活动：

完成作业：学生认真完成作业，巩固课堂所学。

拓展学习：学生利用拓展资源，进行更深入的学习。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：学生通过自主完成作业和拓展学习，提高解决问题的能力。

反思总结法：学生通过反思作业和解题过程，发现并改进自己的不足。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的知识，通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。拓展与延伸一、提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

1.《数学建模与实际问题》

-介绍数学建模的基本概念和步骤，以及如何将实际问题转化为数学模型。

-通过实例分析，展示如何应用一元二次方程解决增长率、增长率变化等问题。

2.《数学思维训练》

-提供一系列数学思维训练题目，涉及增长率、增长率变化等实际问题。

-通过练习，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.《高中数学竞赛辅导》

-介绍一元二次方程在数学竞赛中的应用，包括增长率、增长率变化等问题。

-通过竞赛题目的解析，拓展学生的解题思路和方法。

二、鼓励学生进行课后自主学习和探究

1.增长率问题在实际生活中的应用

-学生可以关注身边的事物，如商品价格、人口数量、经济数据等，了解增长率问题在实际生活中的应用。

-例如，调查某地区人口增长率的变化，分析其背后的原因，并预测未来人口趋势。

2.增长率变化的实际问题

-学生可以尝试解决一些增长率变化的问题，如“某商品价格每年增长5%，求连续三年后的价格”。

-通过解决这类问题，学生可以进一步理解一元二次方程在增长率变化问题中的应用。

3.建立增长率问题的数学模型

-学生可以尝试根据实际问题建立增长率问题的数学模型，如“某商品价格每年增长5%，求三年内价格翻倍时的起始价格”。

-通过建立模型，学生可以加深对一元二次方程应用的理解。

4.增长率问题的优化与拓展

-学生可以尝试将增长率问题与其他数学知识相结合，如概率、统计等，拓展解题思路。

-例如，研究某商品价格在连续增长过程中，其价格分布规律，并预测未来价格走势。

5.增长率问题的实际应用案例

-学生可以收集一些增长率问题的实际应用案例，如经济、环境、人口等领域的问题。

-通过分析案例，学生可以了解增长率问题在各个领域的应用，提高对数学应用的认识。

6.增长率问题的研究性学习

-学生可以选择一个感兴趣的增长率问题，进行深入研究，如“某城市人口增长率与经济发展水平的关系”。

-通过研究性学习，学生可以培养独立思考、团队合作和创新能力。典型例题讲解1.例题：某商品原价为200元，若每年降价10%，求三年后的价格。

解答：

设三年后的价格为x元，根据题意，每年降价10%，即每年价格变为原价的90%。因此，可以建立以下方程：

\(x=200\times(1-0.10)^3\)

\(x=200\times0.9^3\)

\(x=200\times0.729\)

\(x=145.8\)

所以，三年后的价格为145.8元。

2.例题：某市人口以每年1.5%的速度增长，如果目前人口为50万，求5年后的人口数量。

解答：

设5年后的人口数量为x万，根据题意，每年增长1.5%，即每年人口变为原数的101.5%。因此，可以建立以下方程：

\(x=50\times(1+0.015)^5\)

\(x=50\times1.015^5\)

\(x=50\times1.0826\)

\(x=54.13\)

所以，5年后的人口数量约为54.13万。

3.例题：某股票的价格从100元开始，以每年20%的速度增长，求5年后股票的价格。

解答：

设5年后股票的价格为x元，根据题意，每年增长20%，即每年价格变为原价的120%。因此，可以建立以下方程：

\(x=100\times(1+0.20)^5\)

\(x=100\times1.20^5\)

\(x=100\times2.48832\)

\(x=248.832\)

所以，5年后股票的价格约为248.832元。

4.例题：某产品成本为10元，销售价格每年提高5%，求连续三年后的销售利润。

解答：

设连续三年后的销售利润为x元，第一年的销售价格为10元，利润为0元，第二年的销售价格为10元乘以1.05，利润为\(10\times1.05-10\)元，第三年的销售价格为第二年的价格乘以1.05，利润为\(10\times1.05^2-10\)元。因此，可以建立以下方程：

\(x=(10\times1.05^2-10)\times1.05-10\)

\(x=(10\times1.1025-10)\times1.05-10\)

\(x=(11.025-10)\times1.05-10\)

\(x=1.0525-10\)

\(x=1.0525\)

所以，连续三年后的销售利润约为1.0525元。

5.例题：某企业年利润为100万元，若每年利润增长率为5%，求多少年后企业的年利润将超过200万元。

解答：

设n年后企业的年利润将超过200万元，根据题意，可以建立以下方程：

\(100\times(1+0.05)^n>200\)

\(1.05^n>2\)

对数运算得：

\(n\log_{1.05}>\log_{1.05}2\)

\(n>\frac{\log_{1.05}2}{\log_{1.05}}\)

\(n>\frac{0.3010}{0.0500}\)

\(n>6.02\)

由于n必须是整数年，所以n取7。

所以，7年后企业的年利润将超过200万元。板书设计①一元二次方程的应用

-一元二次方程的概念

-增长（降低）率问题的数学模型

-增长（降低）率的计算公式

②增长（降低）率问题的解题步骤

①确定增长率（降低率）

②确定增长（降低）周期

③建立一元二次方程

④求解方程，得出结果

③关键知识点

①增长率（降低率）的计算公式：\(增长（降低）后的量=原始量\times(1+增长率（降低率）)^{增长（降低）周期}\)

②一元二次方程的解法：公式法、配方法、因式分解法

③实际问题转化为数学模型的方法：提取关键信息，建立变量关系

④重点词句

①“增长（降低）率”：表示数量增长（降低）的百分比。

②“增长（降低）周期”：表示数量增长（降低）的周期性。

③“数学模型”：表示实际问题中数量关系的数学表达式。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生积极参与课堂讨论，对于增长（降低）率问题的数学模型建立和方程求解表现出较高的兴趣。

-大部分学生能够准确理解并运用增长率（降低率）的计算公式，展示出良好的数学思维和运算能力。

-学生在课堂活动中能够主动提出问题，并尝试通过小组合作解决，体现出团队合作和沟通能力。

2.小组讨论成果展示：

-学生在小组讨论中能够有效地分工合作，共同分析案例，建立数学模型，并尝试用一元二次方程解决问题。

-小组讨论成果展示环节，学生能够清晰地表达自己的观点，并能够听取他人的意见，提出合理的改进建议。

3.随堂测试：

-随堂测试包括选择题和解答题，旨在评估学生对增长（降低）率问题理解和应用的能力。

-选择题部分，学生能够正确选择答案，显示出对基本概念的理解。

-解答题部分，学生能够运用所学知识解决实际问题，但部分学生在建立数学模型和解题步骤上存在细节错误。

4.学生自评与互评：

-学生通过自评和互评，认识到自己在增长率问题解决过程中的优点和不足。

-学生在互评中能够提出建设性的意见，体现出对他人学习的尊重和关心。

5.教师评价与反馈：

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