湖南省长沙市重点学校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

湖南省长沙市重点学校2024-2025学年

八年级上学期开学考试数学试卷

注意事项：

1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.

2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚.

3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回.

4.本试卷共三道答题，25道小题，满分120分，时量共120分钟.

一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，请将每个小题所给四个选项中唯一

正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）

4271

1.实数3,一血，0,6,3,3.121121112…（相邻每个2之间依次多一个1）,°-6,其中无理数的

个数为（）

A3B.4C.5D.6

2.下列方程中，是二元一次方程的是（）

2

A.3x-2y=4zB.x+4y=6C.6x2+9x-1=0D.x=—+1

y

3.如图，直线AB〃CD,AF交CD于点E,ZCEF=135°,则/A等于（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

4.下列问题最适合全面调查的是（）

A.了解一批冷饮的质量是否合格

B.神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查

C.了解某省初中生每周上网时长情况

D.了解全国七年级学生的视力情况

5.在平面直角坐标系中，点4（—2024,2025）落在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.如图，已知N1=N2,从下列条件中选一个，不能得到△A8D且△ACD的是（）

H

A.ZADB=ZADCB.AB=ACC.BD=CDD.ZB=NC

7.如果关于龙的不等式2x-5<2a+l只有4个正整数解，那么。的取值范围是（）

Al<a<2B.l<a<2C.l<tz<2D.l<a<2

8.《九章算术》中有这样一道题，大意是：假设有5头牛、2只羊，值10两金；2头牛、5只羊，值8两

金.问I头牛、1只羊各值多少金？设I头牛、I只羊分别值x,y金，则列方程组正确的是（）

5x+y=10,f5x+2y=10,f5x+y=8,f5x+2y=8,

A<B.4C.4D.<

x+5y=8.[2x+5y=8.[尤+5y=10.[2x+5y=10.

9.若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁

丝分为两段的是（）

A.①②都可以B.①②都不可以

C.只有①可以D.只有②可以

平分NA5C，ZZMC=60°,Zl=95°,则/C46的度数为（

B.60°C.70°D.80°

二、填空题（本答题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案写在答题卡相应的横

线上）

11.若忖—2|+（y+3）2=0,则了=

12.如图所示，，，P与y轴交于点A（0,5）,8（0,T）,与x轴的正半轴交于点C.若NACfi=45°,则点C

的坐标为.

2x+y=3

13.方程组｛1的解为______.

Ix-y=l

14.一个多边形的内角和比它的外角和多540。，则这个多边形的边数是.

15.某校为了了解初二年级600名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对30名学生每天完成作业所用

时间进行了抽查，这个问题中的样本容量是.

16.如图，已知VA3C中，是5c边上的中线，E为AD的中点，若_CDE的面积为8cm?,则△A3。

的面积为cm2•

三、解答题(本大题共9小题，每小题8分，共72分。每个题目都要求在答题卡的相应位置

写出计算、解答或证明的主要步骤)

17-(I)计算：+W-8+|A/3—2|

x-3(x-l)>l

(2)解不等式组:

I+3x>x—I

18.已知代数式双2+区+0,当x=l和x=—3时，它值都为5,当x二—I时，它的值为I.

(I)求a,b,c的值;

(2)当％=-2时，求代数式依2+区+c的值.

19.如图，VA8C中，AZ)是5C边上的中线，E,方为直线AD上的点，连接BE,CF,且

BE//CF.

B7?

(1)求证：ABDE等ACDF；

(2)若AE=13,AF=7,试求的长.

20.如图，VAfiC的顶点4(—1,4),6(-4,—1),C(l,l).若VA3C向右平移4个单位长度，再向下平

移3个单位长度得到AB'C,且点A、B、C的对应点分别是点A'、B'、C.

(1)画出cAB'C,并直接写出点C坐标;

(2)求VABC的面积.

21.4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调

查问卷，并全部收回.根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：

月阅读册数(本)12345

被调查的学生数(人)205015105

请你根据以上信息，解答下列问题：

(1)被调查的学生月平均阅读册数为本；

(2)被调查的学生月阅读册数的中位数是；

(3)在平均数、中位数这两个统计量中，更能反映被调查学生月阅读的一般水平；

(4)若向阳中学共有学生2000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？

22.2022年5月18日，成都市政府正式发布了《成都建设践行新发展理念的公园城市示范区行动计划

(2021—2025年)》.某学校同学为此积极设计了两款文创产品共100件，其中1件A产品与1件B产

品，需成本25元；3件A产品与2件5产品，需成本60元.

（1）这两款文创产品的成本分别是多少元？

（2）同学们决定将这两款文创产品拿到社区公园销售，销售计划如下：投入资金不超过1300元，利润不

低于4500元，A产品定价50元/件，B产品定价65元/件，同学们怎么分配设计两种文创产品的数量，以

及最大利润是多少？

23.如图，AC平分/B4。，CE且AB于E,于尸，且8。=。。.

(1)证明：BE=DF；

(2)若AB=20,DF=6,求A。的长度;

24.对于实数X,y,定义新运算：当时，x®y^ax+by；当xNy时，左㊉丁二分一所，其中

a,6是常数，且"W0,等式右边是通常的加法和乘法运算.

(1)若a=l,b=2,求3㊉4的值;

（2）已知1㊉1=2,且2㊉3=9,求。，6的值;

3（p-1）+z?<5

（3）在（2）问的条件下，若关于"的不等式组《⑺22小恰好有2个整数解，求加的取值

范围.

25.如图，VABC的两条高A。与座交于点。，AD=BD,AC=6.

（2）/是射线5C上一点，且5=40,动点P从点。出发，沿线段08以每秒1个单位长度的速度向

终点8运动，同时动点。从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时,

P,。两点同时停止运动，设运动时间为f秒，当&AOP与-FCQ全等时，求f的值.

湖南省长沙市重点学校2024-2025学年

八年级上学期开学考试数学试卷

注意事项：

1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.

2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚.

3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回.

4.本试卷共三道答题，25道小题，满分120分，时量共120分钟.

一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，请将每个小题所给四个选项中唯一

正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）

42n

1.实数3,一券，0,4,3,3.121121112-（相邻每个2之间依次多一个1）,°6,其中无理数的

个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了无理数的概念，无理数即无限不循环小数，解题关键是掌握初中范围内涉及到的无理

数有三种：开方开不尽的数，如血；特定意义的数，如乃；特定结构的数，如Q3030030003….据此

解答即可.

2

【详解】解：4—是分数，属于有理数；

3

强是无理数；

。是整数，属于有理数；

a=2是整数，属于有理数；

TT

一是无理数；

3

3.121121112…（相邻两个2之间依次多一个I是无理数；

0.6是分数，属于有理数；

即无理数的个数是3,

故选：A.

2.下列方程中，是二元一次方程的是（）

2

A.3x-2y=4zB.x+4y=6C.6x2+9x-1=0D.x=—+1

y

【答案】B

【解析】

【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案.

【详解】解：A、含有三个未知数，故A不是二元一次方程；

B、符合二元一次方程的概念，故B是二元一次方程；

C、最高次数项为2次，没有两个未知数，故C不是二元一次方程；

D、不是整式方程，故D不是二元一次方程.

故选：B

【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个

未知数；（2）含未知数项的次数都为1；（3）方程是整式方程.

3.如图，直线AB〃CD,AF交于点E,NCEF=135°,则/A等于（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由邻角互补得到“石尸=45°,再由两直线平行，同位角线段

即可得到ZA=ZDEF=45°.

【详解】解：：NCEF=135。，

NDEF=180°-/CEF=45°,

■：AB//CD,

：.ZA=ZDEF=45°,

故选：C.

4.下列问题最适合全面调查的是（）

A.了解一批冷饮的质量是否合格

B.神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查

C.了解某省初中生每周上网时长情况

D.了解全国七年级学生的视力情况

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时

间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似.适合普查的方式一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；

③不具有破坏性；④可操作性较强，据此逐一进行判断即可得到答案.

【详解】解：A、了解一批冷饮的质量是否合格，适合抽样调查，不符合题意；

B、神舟十七号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合全面调查，符合题意；

C、了解某省初中生每周上网时长情况，适合抽样调查，不符合题意；

D、了解全国七年级学生的视力情况，适合抽样调查，不符合题意；

故选：B.

5.在平面直角坐标系中，点4(—2024,2025)落在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限

(+,+)；第二象限(一,+)；第三象限(—,一)；第四象限(+,—).

【详解】解：：—2024<0,2025>0,

在平面直角坐标系中，点4(—2024,2025)落在第二象限，

故选：B.

6.如图，已知N1=N2，从下列条件中选一个，不能得到且△ACD的是()

A.ZADB=ZADCB.AB=ACC.BD=CDD.ZB=ZC

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得N1=N2,AD=AD，再根据全等三角形

的判定定理逐一判断即可.

【详解】解：添加条件N/4DB=NADC,结合条件N1=N2,AD=AD,可以根据ASA证明

AABD^AACD,故A不符合题意；

添加条件AB=AC,结合条件N1=N2,AD=AD,可以根据SAS证明△ABD且△ACO,故B不

符合题意；

添加条件=8,结合条件N1=N2,AD=AD,不可以根据SSA证明△ABD且△ACD,故C

符合题意；

添加条件N3=NC,结合条件N1=N2,AD=AD,可以根据AAS证明△ABD2△ACO,故D不

符合题意；

故选：C.

7.如果关于x的不等式2x-5W2O+1只有4个正整数解，那么。的取值范围是（）

A.l<a<2B,l<a<2C.l<a<2D.\<a<2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了求不等式的解集.根据正整数解的个数确定关于。的不等式是解题的关键.

求出不等式的解集，根据不等式只有4个正整数解即可求得。的取值范围.

【详解】解：解不等式2x—5V2a+1得：x<a+3,

又；不等式2x-5V2«+1只有4个正整数解，

二4个正整数解是1、2、3、4,

.'.4<a+3<5,

解不等式组得：

故选：C.

8.《九章算术》中有这样一道题，大意是：假设有5头牛、2只羊，值10两金；2头牛、5只羊，值8两

金.问1头牛、1只羊各值多少金？设1头牛、1只羊分别值x,y金，则列方程组正确的是（）

5x+y=10,5x+2y=10,5x+y=8,5x+2y=8,

B.<C.<D.《"

x+5y=8.2x+5y=8.x+5y=10.2x+5y=10.

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找准等量关系列出相

应的方程组.每头牛、每只羊分别值金x两、y两，根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，

值金8两”列出方程组即可得答案.

详解】解：设每头牛、每只羊分别值金尤两、y两,

5x+2y=10

由题意可得,

2x+5y=8

故选：B.

9.若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁

丝分为两段的是（）

5cm

A.①②都可以B.①②都不可以

C,只有①可以D.只有②可以

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可.

【详解】解：•••5>4,

根据三角形的任意两边之和大于第三边，需要将5cm的直铁丝分为两段，

即只有①可以，②不可以，

故选：C.

10.如图，AD//BC,3。平分，ABC,ZZMC=60°,Zl=95°,则/C46的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知

识.由平行线的性质可得NC=NZMC=60。，再根据三角形的外角性质可得NCBD=N1—NC=35°,

然后由角平分线的定义可得NABC=70°,最后根据三角形的内角和定理，即可求解.

【详解】解：AD//BC,ZDAC=6Q°,

ZC=ZDAC=60°,

Zl=95°,Z1=ZC+ZCBD,

ZCBD=Z1-ZC=95°-60°=35°,

平分，ABC,

ZABC=2NCBD=7D。,

ZCAB=1800-ZC-ZABC=180°-60°-70°=50°,

故选：A.

二、填空题(本答题共6个小题，每小题3分，共18分，请将正确答案写在答题卡相应的横

线上)

11.若卜_2|+(丁+3)2=0,则.

【答案】9

【解析】

【分析】本题主要考查非负数的性质和有理数的乘方，根据非负数的性质求出羽y的值，再代入计算即可.

【详解】解：；.卜一2|+(y+3)2=0,且W一2|N0,(y+3)2»0,

x—2=0,y+3=0,

x=2,y=-3,

=(-3)2=9,

故答案为：9.

12.如图所示，P与》轴交于点A(0,5),5(0,-4),与x轴的正半轴交于点c.若NACfi=45°,则点C

的坐标为.

【答案】(炳,0)

【解析】

【分析】本题主要考查了写出直角坐标系中点的坐标，勾股定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握勾股定理

及圆周角定理是解题的关键.

根据点A、B坐标求出AB，再根据勾股定理求出AP，进而可求出AC，然后在RtAOC中根据勾股定

理求出CO,即可得解.

【详解】解：：点4(0,5),8(0,-4),

AO=5,BO—4,

AB=9，

•••ZACB=45°,

?.ZAPB=90°,

；AP=BP,根据勾股定理，得：

AP2+BP2=AB2，

解得：AP=妪,

2

:•AC=9日,

在Rt.AOC中，AO=5,AC=9叵,

根据勾股定理可得：CO2=AC2-AO2，

解得：CO=V137,

.・•点C的坐标为(JH7,0),

故答案为：(疝7,0).

2x+y=3

13.方程组《的解为_____.

x-y=1

.4

x=一

【答案】；3

r3

【解析】

【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可.

由①+②可得：3x=4,

4

4

x=—

3

故答案为：

7=3

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法.

14.一个多边形的内角和比它的外角和多540。，则这个多边形的边数是.

【答案】7

【解析】

【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为360°是解题的关

键.根据多边形的内角和公式以及外角和为360。建立一个关于边数的方程，解方程即可.

【详解】解：设多边形边数为〃，根据题意得：

(〃-2)x180°-360。=540°,

解得〃=7,

故答案为：7.

15.某校为了了解初二年级600名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对30名学生每天完成作业所用

时间进行了抽查，这个问题中的样本容量是.

【答案】30

【解析】

【分析】样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位，根据定义即可确定此题的样本容量.

【详解】•••某校为了了解初一年级300名学生每天完成作业所用时间的情况，从中对30名学生每天完成作

业所用时间进行了抽查，

这个问题中的样本容量是30.

故答案为：30.

【点睛】本题主要考查了总体，样本及样本容量，解题的关键是熟记样本容量的定义.

16.如图，已知VA3C中，是5c边上的中线，E为AD的中点，若一CDE的面积为8cm?,则△A3。

的面积为cm2•

A

【答案】16

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可.

【详解】解：E为A。的中点，的面积为8cm工

ACE的面积为8cm匕

.'.2.ACD的面积为16cm2,

AD是5c边上的中线，

二则的面积等于ACD的面积，即为16cm

故答案为：16.

三、解答题（本大题共9小题，每小题8分，共72分。每个题目都要求在答题卡的相应位置

写出计算、解答或证明的主要步骤）

17.（1）计算：（8『+存+|百一2|

（2）解不等式组:

1+3x>x—1

【答案】（1）3-百;（2）-1<X<1

【解析】

【分析】（1）先分别计算乘方、立方根、绝对值，然后进行加减运算即可;

（2）先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集.

【详解】（1）解：（73）2+0+|73-2|

=3-2+2-73

（2）解:

1+3x>x—1

x—3（%—1）N1,

去括号得，x-3x+3>l,

移项合并得，-2x2-2,

系数化为1得，xWl,

l+3x>x—1,

移项合并得，2%>-2,

系数化为1得，x>—1,

...不等式组的解集为—1<XWL

【点睛】本题考查了乘方、立方根、绝对值，解一元一次不等式组.解题的关键在于正确的运算.

18.已知代数式公2+法+5当x=l和1=—3时，它的值都为5,当x=—1时，它的值为1.

⑴求a,b,c的值；

(2)当％=-2时，求代数式依2+Z?x+c的值.

【答案】(1)a=1,b=2,c=2

(2)2

【解析】

a+b+c=5®

【分析】(1)由题意知，9a—3b+c=5②，计算求解即可；

a-b+c=1(3)

(2)由(1)可知，ax2+bx+c=x2+2x+2f把x=—2,代入求解即可.

【小问1详解】

〃+b+c=5①

解：由题意知，9〃-3"。=5②，

a-b+c=1(3)

①+③得，2a+2c=6,即。=3—a,

②—①得，8。-46=0,即〃=2。，

将。=3—a,b=2a,代入③式得，a—2a+3—a=1,解得a=l,

:・b=2,c=2,

=b=2,c=2；

小问2详解】

解：由(1)可知，ax2+bx+c=x1+2x+2,

把x=—2,代入/+2%+2=(—2)?+2x(—2)+2=2,

ax2+bx+c的值为2.

【点睛】本题考查了解三元一次方程组，代数式求值.解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算.

19.如图，VABC中，AD是5C边上的中线，E,产为直线AD上的点，连接BE,CF,且

BE//CF.

(1)求证：△BDE^^CDF；

(2)若AE=13,AF=7,试求。E的长.

【答案】(1)见解析(2)3

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；

(1)利用中点性质可得5D=CD,由平行线性质可得=,再由对顶角相等可得

ZBDE=ZCDF,即可证得结论；

(2)由题意可得上‘F=AE-A尸=6,再由全等三角形性质可得DE=小，即可求得答案.

【小问1详解】

证明：4。是6。边上的中线，

二.BD=CD，

BE//CF,

;.ZDBE=ZDCF,

在V3DE和中，

ZDBE=ZDCF

<BD=CD,

ZBDE=ZCDF

：.BDE^CDF(ASA)；

【小问2详解】

解：AE=13,AF=7,

:.EF=AE-AF=13-7=6,

BDEgCDF,

:.DE=DF，

DE+DF=EF=6,

DE=3.

20.如图，VAfiC的顶点4（—1,4）,8（-4,—1）,C（l,l）.若VA3C向右平移4个单位长度，再向下平

B、C的对应点分别是点A、B'、C.

（1）画出,ABC,并直接写出点C'的坐标;

（2）求VABC的面积.

【答案】⑴见解析，（5,-2）

⑵9.5

【解析】

【分析】本题考查了平移作图，割补法求面积，掌握平移的性质是解题关键.

（1）先把平移后的对应点求出，A平移后得对应点4（3,1）,B平移后对应点5,（0,-4）,C平移后的对应

点C'（5,-2）,在描点画图即可；

（2）把三角形面积看成矩形面积减去三个直角三角形面积即可.

【小问1详解】

解：解：如图，一A8C'为所求，C的坐标为（5,—2）；

21.4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调

查问卷，并全部收回.根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下:

月阅读册数（本）12345

被调查的学生数（人）205015105

请你根据以上信息，解答下列问题:

（1）被调查的学生月平均阅读册数为本；

（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是；

（3）在平均数、中位数这两个统计量中，更能反映被调查学生月阅读一般水平；

（4）若向阳中学共有学生2000人，用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍多少本?

【答案】（1）2.3（2）2

（3）中位数（4）4600

【解析】

【分析】（1）根据平均数的概念求解;

（2）根据中位数的概念求解；

（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平;

（4）用人数x平均数即可求解

【小问1详解】

1x20+2x50+3x15+4x10+5x5

解：平均阅读册数为:=2.3（本）；

20+50+15+10+5

【小问2详解】

解：••,共有100名学生,

...第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数，即——=2；

2

【小问3详解】

解：在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；

【小问4详解】

解：2.3x2000=4600（本）.

答：用样本平均数估计四月份该校学生共阅读课外书籍4600本.

【点睛】本题考查了平均数、中位数等知识，掌握平均数、中位数的概念是解答本题的关键.

22.2022年5月18日，成都市政府正式发布了《成都建设践行新发展理念的公园城市示范区行动计划

（2021—2025年）》.某学校同学为此积极设计了两款文创产品共100件，其中1件A产品与1件8产

品，需成本25元；3件A产品与2件B产品，需成本60元.

（1）这两款文创产品的成本分别是多少元？

（2）同学们决定将这两款文创产品拿到社区公园销售，销售计划如下：投入资金不超过1300元，利润不

低于4500元，A产品定价50元/件，B产品定价65元/件，同学们怎么分配设计两种文创产品的数量，以

及最大利润是多少？

【答案】（1）A产品的成本是10元，8产品的成本是15元

（2）A产品的数量为40件，则8产品的数量为60件时，最大利润为4600元

【解析】

【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意，找

到相应的等量关系.

（1）可设A产品的成本是x元，3产品的成本是y元，从而可列出二元一次方程组进行求解；

（2）可设A产品的数量为加件，则B产品的数量为（100-加）件，利用“投入资金不超过1300元，利润不

低于4500元”，得到一元一次不等式组，解不等式组即可.

【小问1详解】

解：设A产品的成本是元元，3产品的成本是y元

x+y=25

3x+2y=60,

fx=10

解得：

[y=15

答：A产品的成本是10元，B产品的成本是15元；

【小问2详解】

设A产品的数量为机件，则8产品的数量为（100-件

10m+15(100-m)<1300

(50-10)m+(65-15)(100-m)>4500

m>40

解得：<

m<50

故不等式组的解集为：40<7K<50,

利润为：（50—10）加+（65—15）义。00—加）=一10"/+5000,

当m=40时，其禾I润最大，一10x40+500。=4600元

则8产品的数量为：100—40=60（件），

答：A产品的数量为40件，则B产品的数量为60件时.

23.如图，AC平分/R4D,CEJ.AB于E,。5，4。于尸，且6。=。。.

（1）证明：BE=DF;

（2）若A5=20,DF=6,求AD的长度;

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据AC平分/84。，CE1AB,得到CE=CF,NF=NCEB=90。，结合

BC=DC即可得到一5CE名-DCF（HL）,即可得到证明;

（2）根据△BCEgAQCF得到D尸=5石，根据CE=CF,AC=AC即可得到一ACF且_ACE（HL）,

即可得至|JAE=AF,结合AB=20,DE=6即可得到答案；

【小问1详解】

证明：：AC是角平分线，CE1AB,CF±AD,

：.CE=CF,ZF=ZCEB=90°,

在Rt3CE和Rt_DC尸中，

BC=DC

CE=CF

aBCE空DCF(HL),

•••BE=DF；

【小问2详解】

解：ABCE^ADCF,

/.DF=BE,

在△ACE和"CE中，

FC=EC

<AC=AC

/.ACF^ACE(HL),

/.AE^AF,

VAB=20,DF=6,

：.AF=AE=AB-BE=20-6=14-,AZ）=AF-DF=14-6=8,；

【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线得到三角形全

等的条件.

24.对于实数X,定义新运算：当时，x®y^ax+by-当xNy时，了㊉丁二分一所，其中

a,6是常数，且"wO,等式右边是通常的加法和乘法运算.

(1)若a=l,b=2,求3㊉4的值;

（2）已知1㊉1=2,且2㊉3=9,求。，。的值;

3(77-1)+p<5

（3）在（2）间的条件下，若关于P的不等式组<恰好有2个整数解，求机的取值

(°+1)㊉(p)22m-1

范围.

【答案】（1）11

<7=