集合、逻辑用语和不等式（解析版）-2025年高考数学复习易错题（新高考）

模块01集合.逻辑用语和不等式

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（24-25高三上•甘肃•期末）设集合/={x|lnx<l},5={x|-l<x<1},则/口8=（）

A.{x|-l<x<l}B.{x|-l<x<e}C.{x|0<x<l}D.{x|0<x<e}

【答案】C

【分析】解不等式lnx<l,化简集合A,根据交集的定义求结论.

【详解】因为“={x|lnx<l}={x[0<x<e},

所以/cB={x[0<xWl}.

故选：C.

2.（24-25高三上・安徽・阶段练习）命题“*€1</-4》-5<0”的否定是（）

A.eR,x2-4x-5>0B.VxR,x2-4x-5>0

C.R,x2-4x-5>0D.VxeR,x2-4x-5>0

【答案】D

【分析】根据存在命题的否定即可求解.

【详解】1^^t3xeR,x2-4x-5<0,,&t）;S^>VxeR,x2-4x-5>0,

故选：D

3.（24-25高三上•山东烟台•期末）设集合/={1,。},8={0,1-若A=B,则。=（）

A.-1B.1C.yD.0

【答案】D

【分析】利用子集的概念计算可求。的值.

【详解】因为集合/={1,。},8={0,1-。,2。一1},且ZC,

所以。=0或a=l-a或解得。=0或。=!或。=1,

2

当a=0时，/={1,0},8={0,1,-1},符合集合元素的互异性,

当a=g时，S=jo,1,oj,不符合集合元素的互异性，故舍去，

当“=1时，/={11},不符合集合元素的互异性，故舍去.

综上所述：«=0.

故选：D.

4.(23-24高三上•山西吕梁•阶段练习)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，

参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售

卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价

每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的

销售单价x(单位：元)的取值范围是()

A.(10,20)B.[15,20)C.(16,20)D.[15,25)

【答案】B

【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可.

【详解】由题意，得x[45-3(为一15)]>600,

即/-30x+200<0,(x-10)(x—20)<0,

解得10<x<20.又每枚的最低售价为15元，，15Vx<20.

故选：B.

5.(23-24高三上•湖北•阶段练习)命题“Vxe(1,2),x，-0>0”为真命题的一个必要不充分条件是()

A.a<1B.a<1C.«<0D.a<2

【答案】D

【分析】根据题意结合恒成立问题可知a<1,根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.

【详解】因为丁一。>0,即

且xe(l,2),则，e(l,4),由题意可得aWl,

选项中只有选项D满足41}是<2}的真子集，

2

所以命题“Vxe(l,2),%-«>0”为真命题的一个必要不充分条件是a<2.

故选：D.

6.(2024•河南•模拟预测)已知命题“lreR,x2-m+机<0”是假命题，则实数的取值范围为()

A.[0,4]B.(0,4)C.[0,2]D.(0,2)

【答案】A

【分析】已知原命题为假命题，那么它的否定“VxeR,，-机x+加之0”为真命题.对于一元二次函数

y=x2-mx+m,要使其对于任意实数x都大于等于0,则需要考虑其判别式△的取值范围.

【详解】已知原命题为假命题，那么它的否定“VxeR,，一如+加之0”为真命题.

对于一元二次函数y=f一机x+加，要使其对于任意实数x都大于等于0.

因为>=一一加x+加20怛成立，所以A<0,即加2—4加W0，解得0«加《4.

故选：A.

7.（24-25高三上•四川•阶段练习）已知：^:-^>l,^:log2（x-fl）>l.若。是4的充分不必要条件，则实

数的取值范围为（）

A.(0,1)B.(0,1]C.(-»,0]D.

【答案】C

【分析】a

解分式不等式、对数不等式求对应x范围，结合充分不必要条件有。+2W2,即可得范围.

11r-3…-3)叽2<1；

【详解】由P：-->1^1—-==土=(0,可得

x-2x-2x-2x—2w0

由q:log2（X-6Z）>1=>X-6Z>2^>X>«+2,

因为夕是9的充分不必要条件，贝1」。+2（20。（0.

故选：C

21

8.（2024•山东淄博・二模）记max{x,y,z}表示x,y,z中最大的数.已知羽y均为正实数，则maxj-,-,x2+

的最小值为（）

A.yB.1C.2D.4

【答案】C

21?1

【分析】设“="^{—,一,/+4向，得3M2—+—+/+4/,两次应用基本不等式求最小值，注意等号

xyxy

成立的条件即可.

2171

【详解】设初=0^*{—,x?+4y2},贝|.2—>0,M>->0,M>x2+4v2>0,

xyxy

：.3M>-+-+x2+4y2>-+-+4xy,当且仅当x=2y时取等号，

xyxy

又丁21二"刃2的1出丑当且仅当2厂1厂4x九即x=2y=l时取等号,

所以MN2,

所以〃的最小值是2,

故选：C.

21

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出“2—>0,M>->0,M>x2+4y2>0,相加后基本

x>

不等式求得最小值.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2025高三•全国•专题练习）已知a,6eR,则下列结论正确的是（）

A.若a>b,,贝!J“b<0B.若a>b,且则台>

aba-ba+b

C.若a<b<0,贝！a—6D.若a<b<0,贝！I丁--

b0-1

【答案】ACD

【分析】根据作差法即可求解AD,举反例即可求解B,根据不等式即可求解C.

【详解】选项A：由。>b可得a-6>0,由可得色/<0,故仍<0,故A正确.

abab

选项B：当。=0,6=-1时，满足a>6,且但一J=-l,，==0,不等式一组〉，一不成立,

a-ba+ba-ba+b

故B错误.

选项C：因为a<bv0,所以一Q>—6>0,i^L—a—b>2y[ab>y[ab,故C正确.

aa—\a(b—\\-b(a—1)b—a八aa-\

选项D：由a<6<0可得人一。〉0,且6—1<0,故工一17~^二----\\---------=：,即7~~7,

bb-1b^b-X)byb-\\bb-1

故D正确.

故选：ACD

10.(2024高三,全国,专题练习)已知集合/={xwR|一一3%-18<0},5GR|x2+tzx+6Z2-27<oj,则

下列命题中正确的是（）

A.若A=B,则。=一3

B.若NqB,则a=-3

C.若2=0,则。4-6或。26

D.若a=3,则2|"|3={"一3<》<6}

【答案】ABC

【分析】先求出集合A,然后令8(月=/+办+/一27,对于A,由题意可得T6是方程g(x)=o的两个根,

g(-3)<0

利用根与系数的关系列方程可求出。，对于B,由题意可得g⑹V。’可求出对于C，由题意可得

A<0,可求出。的范围，对于D,求出集合3,再求出两集合的交集判断即可.

【详解】由已知得,A={x\-3<x<6},令g(x)=x，+ax+a2-27,

\—a=3

对于A,若4=5,即-3,6是方程g(%)=0的两个根，贝！2”IQ，解得。=-3,所以A正确;

a-2/=-lo

g(-3)=a2-3a-18<0

对于B,若解得。=-3,所以B正确;

g(6)=a2+6a+9<0

对于C,当2=0时，废/一人/-2?、。，解得一6或。26,所以C正确;

D：当a=3时，S={xeR|x2+3x-18<0)={x|-6<x<3},所以/口5={乂-3<工<3},所以D错误.

故选：ABC.

II.(24-25高三上・贵州遵义•阶段练习)星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线

222

。:小+户=”伍〉。)上的点到x轴的距离的最大值为1,则()

B.C上的点到原点的距离的最大值为1

C.C上的点到原点的距离的最小值为变

2

D.当点(%,%)在C上时，Vo<|

O

【答案】ABD

【分析】令x=0得了=同=1，即可求解AB,根据基本不等式即可求解CD.

【详解】对于A,•..星形线。上的点到x轴的距离的最大值为1,令x=0得帆=何=1,Va>0,可得

Q=1,故A正确；

对于B,由图可得。上的点到原点的距离的最大值为1,故B正确;

/2A3/2、3

22—[一

对于C,设点P(Xo，yo)在C上，则需+元=1，：尤;+M=xj+羽=

\J\J

/22丫

(22、(4224、(22丫2-I2%0+歹0

卜不+年[焉一xj耳+%=xjf另xj+年-3(xoyo)-=1-3(XOJO)->1-3^^=~'

当且仅当闻=闻=1等号成立，即星形线上的点到原点距离的最小值为9故C错误；

对于D,当点(工0，%)在C上时，Vx3+y3=|^|7+>2-^|x0_y0|3=2|x0^0|3)得|%乂)|(W，

当且仅当闯=|%|='等号成立，即星形线上的点到4了轴距离的乘积的最大值为，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(24-25高三上•天津河东•阶段练习)已知集合4=卜|4》+5>/},B^{x\x2+ax+b<0},若

Ap\B=0,AVJB=(-1,6],贝lJa+6=.

【答案】19

【分析】由题意可得5={x|5WxW6},所以5和6是方程x2+ax+b=0的两个根，代入解方程可求出“力,

即可求出6的值.

【详解】因为/={x14x+5>/}={x|—1<x<5},B-^x\x2+ax+b<Q^,

A^B=0,Nu8=(-1,6],所以2={x|54x46},

所以5和6是方程-+“工+6=0的两个根,

所以[[3265+65。+*6=30

解得6=30,

所以a+6=-ll+30=19.

故答案为：19.

13.(2024・上海长宁•一模)已知a:2，+k)g2xW2,/?:x<w,若a是尸的充分条件，则实数加的取值范围

.

【答案】。,+⑹

【分析】通过构造函数"x)=2'+k)g〃,xe(0,+8),利用/'(x)的单调性解不等式，再由题意将。是/7的充

分条件转化为包含关系，进而求得参数加范围.

【详解】设/(x)=2"+log2X,xe(0,+s),

则〃x)在(0,+功单调递增,又/(1)=2,

所以2工+log2xV2,即/(x)v/(l),故0<x41.

贝！Ja:0<x«1.

由题意0<xWl是》<以的充分条件，则(0,1]=(-8,%),

所以有机>1,故实数加的取值范围是(1,+8).

故答案为：(1,+°°).

14.(24-25高三上•河北沧州•阶段练习)如图，曲线C:(X2+J/)3=32X2/是四叶玫瑰花瓣曲线，若点(x,y)

是曲线C上一点，则/+/的最大值为,玫瑰花瓣及其边界内包含整点(横、纵坐标均为整数)的

个数为.

【答案】817

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值；求出圆三+炉=8及内部的整点个数，再剔除在玫瑰

花瓣外的点即可得解.

22

【详解】由基本不等式(一+/、32//432.(匕匚)2=8,+/)2,解得/+廿48,

当且仅当，=/时取等号，所以/+；?的最大值为8；

在圆f+J=8及其内部的整点横向最上面一排有(-2,2),(-1,2),(0,2),(1,2),(2,2),共5排；

纵向每一列也有5个点，有5歹U,共25个，验证知只有坐标轴上除原点外的8个点不在花瓣内，所以共有

17个.

故答案为：8；17

【点睛】关键点点睛：确定圆f+炉=8及其内部的整点个数是解决第2空的关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

高三上・江苏扬州•阶段练习)已知集合

15.(24-254=]X|£|<0B={x|x2-4x<Oy.

⑴求1(NuB)；

(2)已知集合C=卜加+1<x<2/77-1},若“xeC”是“无e8”的充分不必要条件，求实数加的取值范围.

【答案】(1)[(/28)="|工40或xN6}

5

(2)«/<-

【分析】(1)解分式不等式以及一元二次不等式可得集合48,再由集合的运算可得结果;

(2)易知。口8,对集合C是否为空集进行分类讨论，列出不等式求解即可.

B-卜,-4x<o}=|x|x(x-4)<oj=1x|0<x<4},

可得4口3={工[0<]<6},

所以4(4u5)={x|x«0或xN6}.

(2)若是"工£月”的充分不必要条件,则。口5,

若。=0,贝IJ2加一1W机+1,解得机42；

2m-1>m+\

若CN0,则加+120,且等号不能同时成立，解得

2m-1<4

综上可知，实数加的取值范围为机4，

16.(24-25高三上•安徽合肥•期末)己知关于x的不等式/+〃优一”<0的解集为{x|-2<x<l}.

(1)求实数加，"的值；

(2)若正实数。，6满足'+:=2,求俏a+77b的最小值.

ab

【答案】(1)加=1,〃=2

⑵|

【分析】(1)根据不等式的解集得到-2和1是方程尤2+„^-"=0的两根，再由韦达定理即可求解;

(2)结合(1)中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】(1)因为关于x的不等式/+〃优-〃<0的解集为{止2Vx<1},

所以-2和1是方程x?+mx-n=0的两根，

—2+1=-m

由韦达定理得-2xl="解得〃I，"=2；

1?

(2)由(1)得一+不=2,

ab

ma+几b=Q+2b=g(a+2b)125+辿+包

—+—>15+2

abiab

当且仅当立=?,即。=6=1时取等号,

ab2

9

所以〃+2〃取得最小值2，

9

即ma+nb的最小值为,.

17.(2024・四川成都•二模)已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入

2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，销售收入为R(x)万元，且

1

(10.8——x92)x,(0<x<10)

器(注：年利润=年销售收入一年总成本)

R(x)=<

108-——,(x>10)

3x

(1)写出年利润少(万元)关于年产量》(千件)的函数解析式;

(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.

8.1x--------10,0<x<10

30

【答案】(1)少=

八。1000-s

98----------2.7x,x>10

3x

(2)9千件

【分析】(1)分段利用“年利润=年销售收入一年总成本”可得所求函数的解析式.

(2)分段求函数的最大值，进行比较可得结论.

,3,3

【详解】(1)当0<xW10时，FF=7?(x)-(10+2.7x)=10.8x----10-2.7x=8.1x----10；

3030

当x>10时，〃=R(x)-0O+2.7x)=108-幽L10-2.7x=98-竺”-2.7x.

3x3x

r3

8.lx--------10,0<x<10

30

综上：W=\

98—W22—2.7x,x〉10

3x

,3,2

(2)当0<xW10时，W(x}=S.lx----10,吗x)=8.1-土.

''30v710

由少'(x)>0n0<x<9；由次(x)<0=9<xW10.

所以少(x)在(0,9)上单调递增，在(9,10]上单调递减,

93

所以甲(x)"(9)=8.1x9-万-10=38.6.

当x>10时，沙(x)=98—甯—2.7x.

^,1000crc嘤*2.…，当且仅喈=2.7即号时取一

因ra为----+2.7x>2.

3x

此时少(x)V98-60=38.

因为38<38.6.

所以当年产量为9千件时，年利润最大.

18.(24-25高三上•安徽六安•期中)己知哥函数/(》)=(疗-4加+4)-x2：2在(—8,0)上单调递减.

⑴求函数/'(x)的解析式;

⑵解关于x的不等式“'㈤+办+出。(a<l)

⑶若对任意xe[l,2],都存在6e[l,2],使/(尤”次一+6+1成立，求实数/的取值范围.

【答案】(l)/(x)=x2

⑵答案见解析

U[l,+⑹

【分析】(1)由幕函数的定义结合单调性即可求解；

(2)通过。=0和两类情况讨论即可；

(3)由题意得到了3皿4疗T+6+1,再得到存在6e[l,2],使得次一+6+124,进而可求解.

【详解】(1)由基函数/(》)=(疗-4加+4)"2i在(y,0)上单调递减，

可得丁;I，解得加=3,所以Ax)*

[2m-4>0

(2)当。=0时，120,解集为R,

当时，ax2+tzx+1>0,得++1-^>0,

A=/-4a=Q(Q-4),

当avO时，A>0,

方程，+办+『。的两根为寸2三“三”

所以不等式的解为F+荷-4aAw-a-yja1-Aa

la2a

当0<Q<1时，/^=a2-4a=a(a-4)<0,不等式的解集为R,

..._.,»、rQ+*\/Q2—4。，一〃—JQ2-4a

综上可知‘当时,解集为X—五--x-―仁—

当时，解集为R.

(3)由(1)知〃x)=x2,因为对Vxe[l,2],使得/一+6+1都成立,

所以〃x)皿/产T+6+1，易知/(x)皿=4,

所以#T+6+1N4,

因为存在6e[l,2],使得/T+6+124成立，

可得(次一+6_3)>0,

\/max

因为〃+1>0,所以>=任+1)6--3是关于6的单调递增函数,

所以但2_/+6_3）m*=2（?2+l）-Z-3>0,

解得：/«-5或此1,

所以，的取值范围为u［1,+<»）.

19.（2024・重庆・模拟预测）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集A和8,

定义和集么+8=,+小”,北研.记符号|）|表示集合/中的元素个数.当|/|22时,设％,电，--，力是集合/

中按从小到大排列的所有元素，记集合G（/）=B+-%k=l,2,...，M|T}.

⑴已知集合/={1,3,5},5={1,2,6},C={l,2,6,x},^A+B=A+C,求|G（C）|的值.

（2）已知M=\B\=m（m>3,meN,）,记集合G（/,8）=卜卜6G⑷或xeG（2）}.

（i）当仅=3时，证明|/+B|=5的充要条件是|G（43）|=1；

（ii）若|G（/）|=1,\A+B\=2m,求|G（/,8）|的所有可能取值.

【答案】（1）2

⑵（i）证明见解析；（ii）|G（42）|=2

【分析】（1）先根据/+8=/+C求出x的值，可确定集合C,进而求|G（C）］.

（2）（i）先证充分性，再证必要性.

（ii）根据|G⑷|=1和|/+4=2加，分析4+8中元素的特征,求出G⑻，进而确定|G（45）|的值.

【详解】（1）因为/+8={2,3,4,5,6,7,9,11},由/+3=/+C,

所以N+C={2,3,4,5,6,7,9,11},

所以1+x,3+x,5+x£{2,3,4,5,6,7,9,11}且％w1,2,6,

所以必有x=4,所以C={1,2,4,6},所以G（C）={1,2},所以|G（C）|=2.

（2）（i）因为加=3,可设/={%,%,4}，8={4也，&}.

先证充分性：因为|G（4团1=1,所以G（4）=G（团且|G（/）