集合和常用逻辑用语（讲义）-2025年高考数学二轮复习专项提升

专题01集合和常用逻辑用语

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧...........................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲题型突破...........................................................12

题型一：集合的基本概念12

题型二：集合间的基本关系15

题型三：集合的运算18

题型四：充分条件与必要条件21

题型五：全称量词与存在量词25

重难点突破：以集合为载体的创新题28

差情;奏汨•日标旦祐

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分

值5分.近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能

力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练.

考点要求目标要求考题统计考情分析

理解集合，掌握基

集合的基本概念2023年上海卷第13题，4分

本要素

预测2025年高考，多

以小题形式出现，也有可

2024年北京卷第1题，5分

能会将其渗透在解答题的

年甲卷（文）第题，分

202425表达之中，相对独立.具

熟练掌握集合的

2024年天津卷第1题，5分体估计为：

集合的运算并'交、补集运算

2023年I卷第1题，5分（1）以选择题或填空

方法

2022年I卷第1题，5分题形式出现，考查学生的

综合推理能力.

2021年I卷第1题，5分

（）热点是集合间的

2024年北京卷第5题，5分2

基本运算、数轴法的应用

2024年甲卷（理）第9题，5分

理解充分必要，掌和体现集合的语言工具作

2024年天津卷第2题，5分

充分条件与必要条件握逻辑判断，熟练

用.

2023年天津卷第2题，5分

应用题解

2022年天津卷第2题，5分

2021年甲卷第7题，5分

㈤3

1、集合中的逻辑关系(备注：全集为/)

(1)交集的运算性质.

ACtB=BC\A,XnBAC\BQB,AC\I=A,AdA=A,XCl0=0.

(2)并集的运算性质.

4UB=BU4XexUS,BU4UB,AU1=1,AV)A=A,XU0=X.

(3)补集的运算性质.

C/(CM)=X,C/0=/,C//=0,(CM)nX=0,Au(CM)Z.

补充性质：AClB=A^AUB=BoAUBoQBUC/4oAClC/B=0.

(4)结合律与分配律.

结合律：4U(BUC)=Q4UB)UC,4n(BClC)=G4ClB)ClC.

分配律：xn(BuC)=(Xn5)u(,4nC),xu(BnC)=(XuB)n(4uC).

(5)反演律(德摩根定律).

GQ4ns)=(CM)U(GB),C/(4uB)=(CM)n(JB).

即“交的补=补的并”，“并的补=补的交

2、由n(nGN*)个元素组成的集合4的子集个数

4的子集有2n个，非空子集有加―1个，真子集有小―1个，非空真子集有2n—2个.

3、容斥原理

Card^AUB)=Card(力)+Card(B)—Card(A05).

4、从集合与集合之间的关系上看

设4={x|p(x)},B={x|q(x)].

(1)若4UB,则p是q的充分条件(p=q),q是p的必要条件；若4家B,贝！Ip是q的充分不必要条件，q

是p的必要不充分条件，即p今q且q分p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小=大”.

(2)若BU4贝Up是q的必要条件，q是p的充分条件;

(3)若H=B,贝3与q互为充要条件.

0

心真题砒标•精御皿\\

1.(2024年新课标全国n卷数学真题)已知命题0：Vxe/?,|x+l|>l；命题q：Bx>0,x3=x,贝U

()

A.〃和q都是真命题B.-ip和g都是真命题

C.p和->q都是真命题D.-ip和->q都是真命题

【答案】B

【解析】对于P而言，取久=一1,则有|尤+1|=0<1,故p是假命题，->p是真命题，

对于q而言，取％=1,则有/=13=1=居故q是真命题，rq是假命题，

综上，->p和q都是真命题.

故选：B.

2.(2024年上海秋季高考数学真题)定义一个集合。，集合中的元素是空间内的点集，任取Pi，P2,3e。，

存在不全为0的实数人也以3,使得％加1+%2讴+%3鬲=3.已知(1,0,0)e。，则(0,0,1)的充分条件

是()

A.(0,0,0)enB.(-1,0,0)en

c.(o,i,o)enD.(o,o,-1)en

【答案】c

【解析】由题意知这三个向量加i，尾，鬲共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，

对A,由空间直角坐标系易知(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(一1,0,0),(1,0,0)CQ无法推出

(0,0,1)4d故A错误；

对B,由空间直角坐标系易知(一1。0),(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当(0,0,0),(1,0,0)6。无法推出

(0,0,1)iQ.故B错误；

对C,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)三个向量不共面，可构成空间的一个基底，

则由(1,0,0),(0,1,0)ec能推出(o,o,i)tc,

对D,由空间直角坐标系易知(1,0,0),(0,0,1),(0,0,—1)三个向量共面，

则当(0,0,—1)(1,0,0)e。无法推出(0,0,1)c。，故D错误.

故选：C.

3.(2024年北京高考数学真题)设a,石是向量,则“Q+1)(4—刃)=0"是咆=—石或2=例的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为Q+B)•(豆一书)=32=0,可得五2=1,即画=同,

可知(1+b)-(a—b)=0等价于同=|b|,

若汇=办或a=—可得向=|矶HP(a+d)•(a—&)=0,可知必要性成立；

^(a+h)-(a—b)=0,即|矶=|同,无法得出五=1或3=—1,

例如五=(1,0)3=(0,1),满足同=|山，但2力刃且2力一反可知充分性不成立；

综上所述，“G+b)-(a-b)=0”是唱中君且34—萨的必要不充分条件.

故选：B.

4.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)设向量五=(x+1,尤)方=Q,2),贝U()

A.“x=—3”是传1针的必要条件B.“久=一3”是传〃针的必要条件

C.“x=0”是唱1砂的充分条件D."x=—1+8”是*//"的充分条件

【答案】C

【解析】对A,当五_L*时,则为不=0,

所以x♦(x+1)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当％=0时，a=(1,0),^=(0,2),故五•3=0,

所以五，丸即充分性成立，故C正确；

对B,当0万时，贝i]2(x+l)=/,解得x=l±g,即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=—1+遍时，不满足2(x+l)=%2,所以勿加不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

5.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)已知集合4={1,2,3,4,5,9},8={刈石64},则以(4cB)=

()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】因为4={1,2,3,4,5,9},3={利近64},所以8={1,4,9,16,25,81},

则4nB={l,4,9},CA(AnB)={2,3,5)

故选：D

6.(2024年天津高考数学真题)已知a,b€R,则七3=43”是“3。=3匕”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，。3=不和3。=3b都当且仅当。=从所以二者互为充要条件.

故选：C.

7.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知等差数列{总的公差为等，集合S={cosan|neN*},若

S—{a,b},则ab=()

A.-1B.C.0D.1

【答案】B

【解析】依题意,等差数列5}中，an=ai+(n-l)-y=yn+(ai-y),

显然函数丫=85[争1+(。1一御的周期为3,而716N*,即cosan最多3个不同取值，又{cose1nlneN*

}={a力},

贝U在cosai,cosa2,cosa3中，cosa^=cosa2丰cosa?或cosa】Wcosa2=cosa?或COSQLCOS%Hcosa2

于是有COS0=COS(0+争或COS。=COS(0+y),

即有9+(9+g)=2kji,keZ,解得。=左兀一款GZ；

或者e+(0+y)=2kn,kEZ,解得8=kn-pfcGZ；

所以keZ,ab=cos(/c兀一今cos[(/c兀-今+y]=—cos(fc7r—^)cosfc;i=—COS2/CKCOS^=-5或ab=cos(々兀一

y)COSfc7l=—

故选：B

x

8.(2023年北京高考数学真题)若孙力0,贝『％+y=0"是v?+7=—2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】解法一：

因为%ywo,且]+?=—2,

所以％2+y2=—2%y,即％2+y2+2%y=0,即(％+y)2=0,所以％+y=0.

所以“X+y=0"是十+9=—2”的充要条件.

解法二：

充分性：因为%yHO,且无+y=0,所以％=—y,

所以充分性成立;

必要性：因为xy#O,且1+?=—2,

所以%2+y2=—2盯，即久2+y2+2盯=0,即(x+y)2=o,所以x+y=0.

所以必要性成立.

所以"％+y=0"是5+?=—2”的充要条件.

解法三:

充分性：因为%ywO,且久+y=0,

gr-IZ_/+y2_%2+丫2+2久丫—2久丫___(%+丫)2_2町___2盯__

加'yx~xyxyxy~xy~，

所以充分性成立;

必要性：因为xy力0,且]+?=—2,

,yx2+y2x2+y2+2xy-2xy(x+y)2-2xy(x+y)2

所以亍+1=[T=-----石-----=—石—=fT—2n=-2n,

所以(x：；)2=。所以(x+y)2=0,所以x+y=0,

所以必要性成立.

Xv

所以“x+y=0"是1+?=—2”的充要条件.

故选：C

9.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUCu

N=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【解析】由题意可得G/N={2,4,8},则MUQN={024,6,8}.

故选：A.

10.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设甲：sin2(z+sin2/?=1,乙：sincr+cos/?=0,贝！|()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】当si/a+sin2£=1时，例如a==0但sina+cos0K0,

即sin2a+sin2s=1推不出sina+cos/?=0；

当sina+cos0=0时，sin2a+sin2/?=(—cos^)2+sin2s=1,

即sina+cos8=0能推出sin2a+sin?。=1.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

11.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设全集U=Z，集合

M={x\x=3/c+l,kEZ},N={x\x=3fc+2,keZ},Q(MUN)=()

A.{x\x=3k,kGZ)B.{x\x=3/c—l,kGZ]

C.{x\x=3/c—2,kEZ}D.0

【答案】A

【解析】因为整数集Z={%|%=£Z}U{%.=3々+1,/cEZ}U{汽=3/c+2加EZ},U=Z,所以，Cu

(MUAZ)={x|x=3fc,fcGZ}.

故选：A.

12.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设集合U=R,集合M={%|%V1},N={%|—1<%<2},贝!！

{x\x>2}=()

A.Q(MUN)B.NuCuM

C.Q(MnN)D.MUCuN

【答案】A

【解析】由题意可得MUN={%[%v2},贝!JCu(MUN)={%|%之2},选项A正确；

CuM={x\x>1],则NUQM={%[%>—1},选项B错误；

Mn^={x|-l<x<l],贝1」0/(“口可)={%|%4_1或%21},选项C错误；

C°N={%|%<一1或%22},则MUC〃N={%|汽<1或汽之2},选项D错误；

故选：A.

13.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知集合时={-2,—N=[x\x2—%—6>0则M八N=

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【解析】方法一：因为N={%|%2—%—62o}二(―8,—2]U[3,+8),而时={—2,—

所以MCN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={—2,—将一2,—1,0,1,2代入不等式%2一%一620,只有一2使不等式成立，所以

MCN={-2}.

故选：C.

14.(2023年新课标全国n卷数学真题)设集合4={0,—研，B=(l,a—2,2a—2},若A旦B,则。=().

2

A.2B.1C.-D.-1

【答案】B

【解析】因为4UB,则有：

若a—2=0,解得a=2,此时力=｛0,—2｝,B=[1,0,2),不符合题意；

若2a—2=0,解得a=l,此时4=｛0,—1｝,B=｛l,-l,0｝,符合题意；

综上所述：a=L

故选：B.

15.(2023年新课标全国I卷数学真题)记又为数列｛斯｝的前几项和，设甲：｛an｝为等差数列；乙：｛曰｝为等差

数列，贝U()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】方法1，甲：｛an｝为等差数列，设其首项为由,公差为d,

FHilc„_।Sfi—X-ddS+iSd

则S九=71al+--—d,—n=Qi+—a=/+Qinn

因此｛书为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙：曲为等差数列，即鬻一手=学牖些=制方为常数，设为t,

即=t，则Sn=nan+1-t-n(n+1),有S”1=(n—l)an-t-n(n-l),n>2,

两式相减得：an=nan+1—(n—l)an—2tn,即an+i—厮=2a对n=l也成立，

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛an｝为等差数列，设数列｛斯｝的首项的，公差为d,即Sn=nai+*^d,

则手=的+^d=*i+ai—*因此由为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：由为等差数列，即然一知=D^=Si+(n—l)D,

即Sn—nSi+n(n—1)。，Sa—i—(n—1)S1+(n—l)(n—2)D,

当nN2时，上两式相减得：Sn—Sn_t=St+2(n—1)£),当n=l时，上式成立，

于是an=%+2(n—1)D,又an+i—an=由+2nD—[ar+2(n—1)D]-2。为常数，

因此｛aj为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

16.(2022年新高考全国II卷数学真题)己知集合力=｛—l,l,2,4｝,B=｛x||x—1|W1｝,则4CB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】［方法一］:直接法

因为8={用0＜久＜2},故anB={1,2},故选：B.

［方法二］:【最优解】代入排除法

x=-1代入集合8={划比—1降1}，可得2W1,不满足，排除A、D；

%=4代入集合8={加化—1］＜1},可得3W1,不满足，排除C.

故选：B.

17.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)设全集U=口,2,3,4,5},集合〃满足Q/M={1,3},贝|()

A.2eMB.3EMC.4电MD.5gM

【答案】A

【解析】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：集合的基本概念

【典例1-1】（2024・广东•模拟预测）若me{1,3,4,62},则〃?可能取值的集合为（

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4}

【答案】B

【解析】由{1,3,4,爪2},得7712K1,则7n中1,

由m6口,3,4,62},得6=3,此时巾2=9,符合题意；

或6=4,此时血2=16,符合题意；或爪=爪2,则7n=0,此时m2=0,符合题意，

所以加可能取值的集合为{034}.

故选：B

【典例1-2][新考法]（2024•河南新乡•三模）下列集合中有无数个元素的是（）

A.[XEN\^EN]B.{久ezgeN}c.[%eyv||ez]D.Q\^EN]

【答案】D

【解析】对于A,因为:6N,xeN,贝咏=1,2,4,{xeN《eN}={1,2,4},故A错误;

4

对于B,因为以CN,XEZ,贝！]x=l,2,4,

所以|%ezqeN}={l,2,4},故B错误；

对于C,xeN,gez,所以{%eNEez}={l,2,4},故C错误；

对于D,卜€（2E€7}有无数个元素.故口正确.

故选：D.

巧

集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和

无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异

性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。

【变式1-1]（2024•高三•江西赣州•期中）已知a、bER,若={次"+Ao},贝必2020+人2021的值为

A.-1B.0C.1D.-1或0

【答案】C

【解析】由Oe［a,£l］且aKO,贝在=0,

<aJa

.,.b=O,于是a2=l,解得a=l或a=—1,

根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去，

因此a=-1,b-0,

故a2020+b2021=（-1）2020+Q2021=

故选：C.

【变式1-2］（2024•四川乐山•三模）已知集合4={—1,0,1}川={1,2},C={x|x=a+b,a€eB},则集合C

的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】由题意知，a£{-1,0,1）,be{1,2},

当ae{—l,O,l},b=l时，a+be{0,1,2},

当ae{—l,O,l},b=2时，a+be{1,2,3},

所以C={0,1,2,3},

所以集合C中的元素个数为4.

故选：C.

【变式1-3］（2024・四川绵阳•模拟预测）已知集合4=伍€^|"22"},则集合力的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.无穷多个

【答案】C

【解析】由2n2n2（neN*）,可得n=1,2,4,

所以集合4的元素个数为3个.

故选：C

［命题预测J

1.［新考法］集合M={〃>)/©)/'(久),…}，则以下可以是/⑶的表达式的是()

A.sinxB.exC.In%D.x2+2x+3

【答案】C

【解析】对于选项A,因为f(%)=sin］,所以r(%)=cos%,/(%)=—sinx,/"(%)=—cos%,(/〃'(%))'=sin

%=/(%),不满足集合的互异性，所以选项A错误,

对于选项B,因为/(%)=/,所以/(%)=e%=/(%),不满足集合的互异性，所以选项B错误，

对于选项C因为/(%)=ln%,所以r(%)=：,/〃(%)=_*,用,(%)=*所以选项C正确，

对于选项D,因为/(%)=壮+2%+3,所以1(%)=2/+2,,'(%)=4%,广〃(%)=4,(尸〃(%))，=0,后面再

求导，导数均为0,不满足集合的互异性，所以选项D错误，

故选：C.

2.已知集合{%|(%—。2)(%一i)=o}的元素之和为1,则实数〃所有取值的集合为()

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1}

【答案】D

【解析】因为集合{%|。一@2)(%-1)=0}的元素之和为1,

所以一元二次方程(久一层)。—1)=0有等根时，可得久=4=1,即Q=±1,

当方程有两不相等实根时，%=a2=0,即Q=0,

综上，实数。所有取值的集合为{0,1,—1}.

故选：D

3.已知集合4={1,2,3},8={3,5},则C={%|%=2a+eE8}中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由题意，x=2a+b,

当a=l,b=5=>x=7,

当a=l,b=3=>x=5,

当a=2,b=5=>x=9,

当a=2,b=3=%=7,

当a=3,b=5=>x=11,

当Q=3力=3=>x=9,

由集合中元素满足互异性，所以C={5,7,9,11}.

故选：B

4.已知集合/={0,1,Q2},B={1,0,2a+3},若/=则。=()

A.-1或3B.0C.3D.-3

【答案】C

【解析】・・・/=B,

a2=2a+3,解得。=—1或3,

当a=—1时，Q2=2O+3=1,

不满足集合中元素的互异性，舍去.

当Q=3时，a2=2a+3=9,

此时4=8={0」9},满足题意.

综上，a=3.

故选：C.

题型二：集合间的基本关系

【典例2-1】(2024•河南•模拟预测)已知集合4={x|l<x<2},B={x|l<x<a},若B=4则实数a的取值

范围是()

A.(2,+8)B.(1,2]C.(-oo,2]D.[2,+8)

【答案】C

【解析】集合人={x|l<x<2},B={x|1<x<a],若BU力，

则若aWL则B=0=4满足题意；

若a>l,且BU4则l<aW2,

综上所述，实数a的取值范围是(―%2].

故选：C

【典例2-2](2024,宁夏•模拟预测)设集合M={x\x=4n+l,nGZ],N={x\x=3n+l,nGZ},

P={x\x=12n+l,nGZ},贝！J()

A.M^PB.N屋P

C.MCNXPD.MCN=0

【答案】C

【解析】由题意5CM,5CP,A错;4CN,4£P,B错;

Mr\N={x\x=12n+l,nGZ}羊0,D错，C正确.

故选：C.

巧

（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的

关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法.

（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满

足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析.

【变式2-1]（2024•江西新余•模拟预测）已知集合4={%|刀2一6%+8W0},B={y\y>a],若41贝}|a

的取值范围是（

A.(—8,2)B.(—oo,4)C.(—8,2]D.(—oo,4]

【答案】A

【解析】A={x|%2—6x+8<O}={x|2<%<4],B={y\y>a],

A^B,故a<2.

故选：A.

【变式2-2](2024・四川成都・模拟预测)若集合4={xeN|lW*W5},则集合/的真子集有()个.

A.7B.15C.31D.63

【答案】C

【解析】由题意可知：集合4={KCN|1WXW5}={1,2,3,4,5},共5个元素，

所以集合/的真子集有25—1=31个.

故选：C.

【变式2-3](2024•贵州遵义•模拟预测)已知集合4={0,1,2},B={1,2,3},

=(ZGN*|Z=xy,xeAJ!LyeB],贝！jC的子集的个数为()

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【解析】由条件可知，xy=0xl=0x2=0x3=0,xy=1x1=1,lx2=2xl=2,1x3=3,

2x2=4,2x3=6,

所以集合c={123,4,6},集合c的子集的个数为25=32个.

故选：C

【变式2-4][新考法](2024•江西新余•模拟预测)已知集合从B、C为全集U的子集，XnB=CuC*0,则

(AUB)nC=().

A.AU(BCtC)B.(CuA)C(CuB)

C.[C(/(XnB)]n(71uB)D.[C(/(XuB)]u(xnB)

【答案】C

【解析】•••anB=CuC,

(An8)UC=u,

.,.Cu(AnB)=c,

(AU8)cc=ccQ4U8)=[Cu(4ClB)]C(2uB).

故选：C.

命题预测T

1.已知集合4=sgez},B=|ngez},c={n|^ezj,则（）

A.力nB呈CB.B\JC=AC.C^AnBD.BnC^AnB

【答案】A

【解析】依题意，A=[n\n=3k,kEZ},B={n|n=4k,kEZ},C={n|n=6k,k6Z},

则2Ci8=min=12k,keZ},易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误；

因BcC={nm=12k,keZ},即BnC=4nB,故D错误；

对于B项，任取3C4因3《B,3eC,贝U3CBUC,故B错误.

故选：A.

2.（多选题）已知{见切={1,2,3},（。力）€{（%4）|4=兀+1},则2。"的值可以为（）

A.2B.64C.256D.1024

【答案】AC

【解析】当a=l时，由（a,b）6{（x,y）|y=x+1}得b=2,满足b6{1,2,3},所以2。"=21=2；

当a=2时,由(a,b)€{(x,y)|y=x+1}得b=3,满足be{1,2,3},所以2#=28=256；

当a=3时，由(a,b)C{(x,y)|y=%+1}得b=4,不满足6C{1,2,3};

综上,则2d=2或256.

故选：AC.

3.(多选题)已知集合2={1,2},3={0,1,2,3,4},集合C满足则()

A.1GC,2GCB.集合C可以为{1,2}

C.集合C的个数为7D.集合C的个数为8

【答案】AC

【解析】由题意得4={1,2},8={0,1,2,3,4},又4星CUB.

所以16C,2EC,故A正确；

当。={1,2}时，不满足4星C,B错误，

集合C的个数等价于集合{0,3,4}的非空子集的个数，

所以集合C的个数为23—1=7,故C正确，D错误，

故选：AC.

4.(多选题)若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M,N可能是()

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.M={x\x2<1},N={x\x>—1}

C.M—{x\y—\gx],N—{y\y=e，+5}

D.M={(x,y)|x2=y2},N={(x,y)|y=x]

【答案】ACD

【解析】根据Venn图可知N&M,

对于A,显然N曙M,故A正确；

对于B,M={x|-1<x<1],N={x\x>-1},则MIN,故B错误;

对于C,M={x\x>0],N={y\y>5},则N&M,故C正确；

对于D,M={(x,y)1y=x,或丫=—%},N==久},

则故D正确.

故选：ACD

题型三：集合的运算

【典例3・1】已知集合/={%|—1W%<0卜8={%|log2(%2—%)<1},则An8=()

A.{%|—1<x<0}B.{x|—1<x<0}

C.{x|—1<%<0}D.{x|—1<%<0]

【答案】C

【解析】因为log2(%2-%)41=k)g22,所以0</一％42,解得1V%W2或一14%<0,

故B={%|-1<%<0或1<%<2},又/={%|-1<%<0},所以/AB={x|—1<%<0}.

故选：C

【典例3-2】(2024•广东广州•模拟预测)已知全集U=CUB={%EN|0W%W10}/C(CUB)={L357},则

8=()

A.{1,3,5,7}B.{2,4,6,8}C.{1,3,5,7,9}D.{0,2,4,6,8,9,10}

【答案】D

【解析】已知全集u=XuB={xeN|0<x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

An(CuB)=口,3,5,7},B集合中没有1,3,5,7,

若OCB,贝则0ean(Cu8),与条件矛盾，故OeB,

同理可得2£8,4GB,6GB,8E5,9eB,10eB,

则B=[0,2,4,6,8,9,10).

故选：D.

巧

凡是遇到集合的运算(并、交、补)问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、

并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.

【变式3-1](2024・高三•黑龙江佳木斯•期中)已知集合2={加1<久<3},B={x|白>0},则AUB=

()

A.{x|2<x<3]B.{x|2<%<3}C.{x\x>1}D.{x\x>2}

【答案】C

【解析】由书>。，解得x>2,则8={%|%>2},

■■■AUB—{x\x>1].

故选：C

【变式3-2](2024・高三・福建三明•期中)某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个

兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学

有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人.

【答案】5

【解析】以集合4B、C表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：

设同时参加这三个兴趣小组的同学有x人，由图可得20+(9—%)+(11—x)+(15—x)+x=55—2x=45,

解得x=5.

故答案为：5.

【变式3-3](2024•江西九江•模拟预测)设用={5,6,7,8,9},若AnB={8},(C/1)C8={6},(CyX)n(Cy

B)=[5,9},则集合4=.

【答案】{7,8}

【解析】因为4nB={8},8eA8eB,

因为(CM)nB={6},；.6eB,6cA,

因为(CM)n(CuB)={5,9},5,9庄45,9庄B,

如果7eB,则(Q/4)CB={6,7},与已知矛盾，所以7e4

所以4={7,8}.

故答案为：{7,8}

命题预测

1.(多选题)设u为全集,集合48,。满足条件auB=auc,那么下列各式中不一定成立的是()

A.BQAB.CQA

c.An(C„S)=An(CyC)D.(CMnB=(CM)nc

【答案】ABC

【解析】当。={1,2,3},4=口}，8={2,3},C={1,2,3}时，满足Au8=auC,

此时，B,C不是4的子集，所以A、B不一定成立；

Cu8={l},C(/C=0，4n(CuB)={l}/C(CuC)=0，所以C不一定成立；

对于D,若v%e(Cu4)cB,贝！Uca,但xeB,因为AUB=4UC,

所以xeC,于是xe(C")nC,所以(CM)cBu《必)nC,

同理若v比e(CuA)nc,则％e(CMnB,(CyA)nC£(c^)nB,

因此，《必)。8=((：/)。。成立，所以D成立.

故选：ABC.

2.(多选题)已知集合4B均为R的子集，若ACB=0,贝U()

A.AcQRBB.CRAQB

C.AUB=RD.(CR4)U(CRB)=R

【答案】AD

【解析】因为集合48均为R的子集，且2CB=0,

画出韦恩图，如图所示：

结合图像：由4=CRB,所以A正确；由BUCRA,所以B错误；

由4U8UR,所以C错误；由(CR2)U(CRB)=CR(MnB)=R,所以D正确.

故选：AD.

3.已知集合Z={%|4%2—%—5>0},8={%|%>租},若zn=O,贝|(CRA)八8=；若AUB=R,则zn

的取值范围为.

【答案】{x|0<%<1}(―8,—1)

【解析】4x2—X—5>0即(％+1)(4%—5)>0,

则/=\x\x>|或％<—1},

所以CRA={X|-1<X<

若m=0,则B={x\x>0］,

(CR24)nS={x|0<x<1},

若ZUB=R,B=(x\x>m},

则1,故TH的取值范围为(一8,—1).

故答案为：{x|0<xW》；(-8,—1).

4.(2024•高三•重庆沙坪坝•开学考试)设集合M={x|—1@久<2},集合N={x|x—kW0},若MCCR

N=0,贝收的取值范围为.

【答案】［2,+oo)

【解析】由题意得N={%［%<上},故CRN=(乂+8),

因为MCCRN=0,所以kN2,故人的取值范围是［2,+8).

故答案为：［2,+8)

题型四：充分条件与必要条件

【典例4-1］（2024•高三・福建宁德•期中）对任意实数X€（2,+8）,“£1<%+勺是“£144”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】对于函数y=x+,根据均值不等式a+b22而（当且仅当a=b时取等号），

则y=%+322xx-=4.

X7X

当%=g即久=2时取等号，但是％E(2,+8),所以y=%+g>4

判断充分性：

若aV%+g,因为久€(2,+8)时久+(>4,那么。工4,所以充分性成立.

判断必要性：

44

若aW4,当xe(2,+8)时x+1>4,显然aCx+亍所以必要性成立.

所以“a<x+勺是“a<4”的充要条件.

故选：C.

【典例4-2]若“久>a”是“尤2一2光—3<0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()

A.(—8,—1)B.(-8,—1]C.(—1,+8)D.[—1,+8)

【答案】B

【解析】由/—2x—3<0得一1<x<3,