几何模型综合训练（二）解析版

几何模型综合训练（二）

1.（202”陕西•西北工业大学附属中学模拟预测）如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC、,已知=6,

AC=CD,ZACB=45°,NACO=90。，则对角线8。的最大值为.

【答案】6A/2+6

【详解】解：以N8为边向下作△/£8,使得E4=EB,BL4EB=90°,

AT)「ADAT)—

EL4c=C£),EL4C£>=90°,EEZZ4c=45°,——=V2,0一=——=J2,

ACAEAC

的£%8=血4C+SCAB,

SCAE=^\EAB+^\CAB,^DAB=^CAE,^DAB^CAE,回器=&，®BD=^EC,

团当EC取得最大值时，BD取得最大值，

以为边向上作A/OB,使得。4=08,EL405=90°,030/8=45。，

以点。为圆心，04为半径作团。，

的4。8=90°,ZACB=45。0点。在4尸2上，

在R/A/OB中，^iOA2+OB2=36,田OA=OB=3④,回。。=30,

^OAE=^\EAB+^OAB=90°,EL4EB=90°,EL4OB=90°,XOA=OB,

IB四边形。/匹为正方形，回£。=/2=6,EICE4OE+OC=6+3应，

回当点。在E。的延长线上时，CE取得最大值，最大值为6+3&,

^BD=y[2CE<&（6+3应）=60+6,

即8。长的最大值为6应+6.

故答案为6&+6.

DF

2.（2021•广东清远•二模）如图，正方形4BCZ）中，E在射线5C上，连48、DE,则七的最小值是

【详解】解：作NAZ*=NA£D交作于点F,如图,

DEFD

・・・，

ZDAF=NEAD,ADAFsAEAD~AE~~AD

「ADAF

又..左ADAD正方形边长设为2a,

ABAF

,/AD=AB=2a,

~AE~~AB

又・.・44F=NE4B,，八RAFs八RAR,ZAFB=ZABE=90°f

・・•点产在以45为直径画圆为直径的半圆上，如图所示，

要求D专F=FWD的最小值，4。是定值，当且仅当厂点在OG上〃点时时Ob有最小值，此时D专F=FDW有最

AEADAEAD

小值，AG=GF=GB=HG=a,AD=2a,

(DE\(FDAPH-Ba-a^-1

/.DG=J(2a)2+〃2-,:.DH=DG-HG==

IL-IADLAD_2a=I-

3.（2021・广东•广州市第二中学二模）如图，E,尸是正方形/BCD的边上两个动点，满足连

接CF交8。于点G,连接交/G于点，.若正方形的边长为2,则线段。〃长度的最小值是.

【答案】V5-1

【详解】解：在正方形ASCD中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,ZADG=ZCDG,

AB=CD

在AABE和&DCF中，＜NBA。=ZCDA,:.AABE=ADCF(SAS),：.4=N2,

AE=DF

AD=CD

在A^DG和ACDG中，］ZADG=ZCDG,.-.AADG^ACDG(SAS),

DG=DG

二./2=/3,二/1=/3,

•/ZBAH+Z3=ABAD=90°,Zl+ZBAH=90°,ZAZ7B=180°-90°=90°,

取AB的中点。，连接OH、OD,

则OH=AO=—AB=1,

2

在•△AOO中,ODNACP+AD?=五+展=5

根据三角形的三边关系，OH+DH>OD,

.•.当0、D、//三点共线时，。”的长度最小,

最小值=0。-OH=逐-1.

故答案为：75-1.

4.（2021•四川成都•二模）如图，菱形ABCO的边长为2,锐角大小为60。，与8C相切于点£,在上

任取一点P,则PB+^-PD的最小值为

2

【答案】

2

【详解】解：在上截取/#=1.5,连接尸H、AE,过点8作AR3D4延长线，垂足为尸,

BAB=2,0ABe=60°,WE=AF=1,AE=BF=布,0—=—=

AHAP3

^PAD=^PAH,^ADP^APH,0—=—=,^PH=—PD,

PHAP32

当8、尸、”共线时，PB+且尸。的最小，最小值为8〃长，

2

BH=dBFi+FH?=J（退）2+2.5?=等；故答案为：异.

5.（2020•湖北•武汉二中广雅中学二模）如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动

点，且BE=2DF,若AB=1,BC=2,则ME+2AF的最小值为

【答案】V26

【详解】解：如图，过点”作皿，8。于^DF=x,则3E=2x.

，.,四边形ABCD是矩形，\?fi4D?B?D90?,

MH±BC,\1MHB90?,.,.四边形是矩形，\AM=DM=BH=1,AB=MH=\,\EH=1-2x,

\ME+2AF=+(1-2x)2+2722+x2=+(1-2x)2+y/42+(2x)2,

欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q(2x,0),使得点。至I」40,4),和K(l,l)的距离之和最小(如

下图)，

j

V

O~1Q

t»

J,

作点•/关于X轴的对称点人，连接A1/C交X轴于Q,连接JQ,此时相+QK的值最小，最小值=心?，

Q"0,4),K(l,l),\口？"彳=痴，\ME+2AF的最小值为亚，故答案为回.

6.(2019•江苏南京•二模)如图，在a48c中，a4c8=90。，BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上

有一个动点。连接40、BD、CD,则Z4D+3Ao的最小值是.

【答案】12M

【详解】如下图，在CA上取一点E,使得CE=4

E

回AC=9,CD=6,CEM,回一=一

CECD

EDDC62f

回团ECD二回ACD,mDCE^ACD,回一=——=-,回ED二一A。

ADAC93

2

在回EDB中，ED+DB>EB,团ED+DB最小为EB,即ED+DB=EB,^\-AD+DB=EB

在RtElECB中，EB=7122+42=4^/10>^\~AD+DB=4y/1002AD+3DB=12.>/io

故答案为：12面.

7.（2020•四川省内江市第六中学二模）如图，在4ACE中，CA=CE,0CAE=3O",回。经过点C,且圆的直径

AB在线段AE上.点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD,当AB=4时，贝UgCD+OD的最小值

是.

【答案】6

【详解】解：作OF平分回AOC,交回。于F,连接AF、CF、DF,如图所示,

0OA=OC,EI0OCA=0OAC=3O0,00COB=6O°,贝峋AOF=IBCOF=；13Aoe(180°-60°)=60°.

EIOA=OF=OC,E0AOF.0COF是等边三角形，0AF=AO=OC=FC,回四边形AOCF是菱形，回根据对称性可得DF=DO.

过点D作DH0OC于H,贝！］DH=DC»sin0DCH=DC«sin3O0=1-DC,回《CD+OD=DH+FD.

根据两点之间线段最短可得，当F、D、H三点共线时，DH+FD（即gcD+OD）最小，

[3OF=OA=；AB=2,即比时FH=DH+FD=OF«sin0FOH=—x2=73,即;CD+OD的最小值为6.

222

故答案为：V3.

8.（2020•陕西•西安市铁一中学二模）如图，在矩形ABGD中，AB=1,AD=拒,E为BC边上一动点，F、

G为边上两个动点，且NFEG=45。，则线段FG的长度最大值为.

【答案】273-2

【详解】解：如图，作出回EFG的外接圆过点。作0H回FG于点H,

EHFEG=45°,fflFOG=20FEG=9O°,

又回OG=OF,OHEFG,EFG=2HG=2OH,BOFG=0OGF=45O,

El在RtEDHG中，0OGF=45°,0HG=^OG,El当。。的半径最大时，FG的长度取得最大值,

2

如下图，当O。经过点B、D时，即点E、G分别与点B、D重合时，FG的长度取得最大值,

在矩形PCDH中，PC=DH=x,PH=CD=1,回BP=BC-PC=6—x,0P=PH-0H=Lx,

在RtEIBOP中，BP2+OP2=BO2,0(73-x)2+(1-x)2=(V2x)2,解得，x=g-l,EIFD=2x=26-2,

故答案为：26-2.

9.(2018•江苏泰州•中考模拟)如图点E、F分别是边长为2的正方形ABCD边BC、CD上的动点，且BE=CF,

连接DE、AF相交于P点，作PN0CD于N点，PM0BC于M点，连接MN,则MN长的最小值为

【答案】A/5-I

【详解】连接CP,fflPNC=fflPMC=0C=9Oo,国四边形PMCN是矩形，EPC=MN,

回四边形ABCD是正方形，00ADC=0BCD=9O°,AD=BC=CD,

又E)BE=CF,0EC=FD,0AADFEISDCE,EBDAP=E1EDC,

fflEDC+EIADP=0ADC=9Oo,fflDAP+0ADP=9O°,0EAPD=9O°,

团在运动过程中团APD=90。保持不变，回点P的路径是一段以AD为直径的圆弧，

设AD的中点为0,连接C。交弧于点P,此时CP的长度最小，即MN长度的最小值，

EHAPD=90°,。为AD中，点，0PO=OD=yAD=1,

在RtACOD中，8=JcD?+OD?=五+『=石,EICP=CO-OP=75-1,即MN长的最小值是正-1,

故答案为6-1,

10.(2021•四川成都•二模)如图，平行四边形/BCD,AB>AD,4)=4,ZADB=60。，点£、尸为对角线

8。上的动点，DE=2BF,连接/£、CF,则AE+2cb的最小值为.

B

【答案】4币

【详解】解：如图，在直线。8的上方作NBDT=60。，且使得OT=28C.

过点7作交/。的延长线于“，连接£7、AT.

团四边形48。是平行四边形，0BC/7AZ）,AD=BC=4,ZADB=ZDBC=60°,国NCBF=NTDE,

BCBFCFBC

团----=----由YCBFgATDE团---=----国ET=2CF,

DTDE2ETDT2

IEZTDH=180°-60°-60°=60°,ZH=90°fDT=2BC=8,

EID"=OT-cos600=4,HT=^3DH=4A/3,SAH=AD+DH=8

回AT=4AH2+HT?=〃+（4A/3）2=477,

0AE+2CF=AE+ET,AE+ET>AT,0A£+2CF>4-y/7,回AE+2CF的最小值为4疗.

故答案为：4币.

11.（2022・广东•育才三中一模）如图，正方形48co中，AB=6,。是8C边的中点，点£是正方形内一动

点，OE=2,连接DE,将线段DE绕点。逆时针旋转90。得。尺连接/£、CF.则线段。厂长的最小值为

【答案】3屈-2

【详解】如图，连接。O,将线段。。绕点。逆时针旋转90。得连接。凡FM,OM,

^B\EDF=WDM=90",^SiEDO=BFDM,

^DE=DF,DO=DM^EDO^\FDM(SAS),^\FM=OE=2,

团正方形/8C。中，48=6,。是8c边的中点，回0c=3,

团在RtAOCD中，OD=-JCD2+OC2=762+32=36，回在等腰Rt^ODM中，OM=y/2OD=夜x3如=3屈.

SOF+MF>OM,S\OF>OM-MF=3M-2,

团线段。厂长的最小值为3JQ-2,故答案为：3710-2.

12.（2021•陕西渭南•模拟预测）如图，已知正方形中，/8=6,点£是边AD的中点，点尸是边CD

上的动点，点。是正方形内一动点，且满足勖0c=90。，则尸E+PQ的最小值是.

【答案】60-3

【详解】解：回财。C=90。，回0点在以8c为直径的圆上，

作E点关于CD的对称点尸，连接。尸交回。于。，交CD于P,如图,

S^E+PQ=PF+PQ=FQ=OF-OQ,

团此时PE+尸。的值最小，

连接。£,如上图，

站点为的中点，回。砸4D,

在RZ0OEF中，^OE=AB=6,EF=2DE=6,®OF=梃OE=6四,MQ=6&-3,

即PE+PQ的最小值是60-3.

故答案为：6^-3.

13.（2021•河南洛阳•三模）四边形N8CD中，AB=6,BC=8,EL4=05=9O°,EIC=60。，点£,M,N,F

分别是边BC,CD,。/上的动点，尸是线段EF的中点，且斯=4,则即周长的最小值是.

【答案】8A/3

【详解】解：如图.作点尸关于胡8C、CD的对称点P、分别交3c于点加，交CD于点N.连接尸/C、

P2C、PC.贝PN=P?N,^\PMN局长=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN.

当P、M、N三点在同一直线上时，，SPMN周长最短为PP2.

^PC=P1C,PC=P2C,^P1C=P2C=PC,^P2CD=^PCD,^P1CB=^PCB,

^P2CD+^P1CB=SPCD+SPCB=^BCD=60°,

o

fflfflP/CPj=120,^\PiP2=-J3PiC=73PC,

连接4P.即是线段£尸的中点，且£尸=4,0Ap=/£尸=2,AC=^AB2+BC2=762+82=10»

^POAC-AP,团当4、P、C三点在同一直线上时，尸C最短，PC=AC-AP=W-2=8.

针IP2=KPC=8C-即MAM周长的最小值是8百.

故答案为8省.

14.（2021•河南周口•三模）如图，在边长为4的正方形4BCD中，动点E,尸分别在2C,48上移动，AF

=BE,/£和。尸交于点尸，点M为边N8上一动点，点N为平面上一动点，CN=\,则M0+儿。的最小值

是

【答案】2岳-3

【详解】解:如图,

团四边形/BCD是正方形，回回8=皿4尸=90°,AD=AB,

AB=DA

在蜘BE和EIZM尸中，｛=ZDAF,^ABE^EDAF(SAS),^\BAE^\ADF,

BE=AF

EE5/E+ED4P=90°,SBADP+WAE=90°,EEL4PD=90°,

回点尸在以4D为直径的圆上运动，设圆心为7,作点T关于的对称点R,以R为圆心，AR为半径作西，

则点尸关于N8的对称点乙在即?上，连接CT?,RL,ML.

回CN=1,回点N在以C为圆心，半径为1的田C上运动，

在RtACDR中，CR=yjDR2+CD2=V62+42=2而，

^RL+ML+MN+NC>CR,MP=ML,0PM+AGV>2V13-2-1,^PM+MN>2s/l3,m/+ACV的最小值为2旧3

15.（2022,湖北武汉•模拟预测）如图，在0A8。中，8=90。，AB=8,C是N8中点，E是BD中点,将

点£绕8点顺时针旋转90。为点F,则CF的最小值为.

D■F

E

/xy

ACB

【答案】275-2

【详解】解：如图，过点2作且=连接CE,C1EH,取2C的中点0,连接EO,OH

DF

、\/1

、、、/1

1

、*

、、

7

H

回将点E绕8点顺时针旋转90°为点尸，^BE=BF,回£8尸=90°=回。8〃，^EBH=^CBF,

EB=BF

在0£3〃和EIC8尸中，0<NEBH=NCBF,^EBH^CBF(SAS),SCF=EH,

BH=BC

国当有最小值时，CR有最小值,

EL4B=8,C是中点，E是AD中点，EICE04D,BC=4,

S^ADB=@CEB=90°,回点E在以3c为直径的圆上运动,

国当点£在线段上时，有最小值,

团点。是8c中点，勖。=2,回。/7=JOB?+BH?=J4+16=2后，

SET/的最小值=2•-2,

团CF的最小值为2君-2,

故答案为：26-2.

16.（2021・江苏•沐阳县怀文中学二模）如图，平面直角坐标系内有一动点尸，把点尸绕定点42,0）逆时针

旋转90。到点0,点。恰好在以点M3,2）为圆心，1为半径的加上，则。P的最小值为

【详解】解：过点尸作P/母轴交于点尸，过点。作轴交于£点,

回勿尸=90°,

330/£+回£/9=90°,EIQN£+a4QE=9O°,

3S\AQE=^EAP,ffiL4Q£H3B4尸(AAS),^AF=QE,AE=PF,

设尸(x,y),EL4(2,0),130(2-y,x-2),

团。点在以点M（3,2）为圆心，1为半径的IW上，回。河=1,

0(2-y-3)2+(x-2-2)2=1,0(x-4)2+⑶+1)2=1,

0P点在以（4,-1）为圆心，1为半径的圆上运动,

设N（4,-1）,®ON=后，的最小值为&7-1,故答案为：V17-1.

17.（2021,广东汕头•一模）在酎2c中，酎=45。，回2=60。，4B=4,点、P、M、N分别在边/5、BC、CA

上，连接PM、MN,NP,贝帼PMN周长的最小值为.

【答案】2乖

【详解】如图，作点〃■关于直线AB、直线/C的对称点K、H,连接HK交AB于P,交ZC于N.

HK

K

^PMN的周—PM+MN+PN=PK+PN+HN=HK,WK最小时APAW的周长最小，

根据对称性，AM=AK=AH,^MAC=^CAH,WG4H=2{^MAB+SMAO=90°,

BKH=eAM，EL4”最短时，APAW的周长最短=应/M,

当4WEI5C时，4Wr的值最短，在RtA/BW中，EL4〃B=90。，4B=4,鲂=60。，

0AM--^AB-2,JAB?-BM。=,4?-2?=2/,KH=2布,

回胪儿W的周长的最小值为2«.故答案为：26.

18.（2021,山东•东营市胜利第一初级中学一模）如图，在尺3