江苏省常州市2024-2025学年高一年级上册期末质量调研数学试题（含答案解析）

江苏省常州市2024-2025学年高一上学期期末质量调研数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合力=—,B={x|0<x<2},则4UB=()

A.{x|0<x<1}B.{x|-l<x<2}

C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<0}

2.若P(T〃z)为角a终边上一点，且tana=；,则cosa=()

33-44

A.--B.-C.——D.-

5555

3."x>l是的()

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列函数中，是奇函数且在(0,+e)上单调递减的为()

_22」J_

A.y_x3B.y=C・y=xD.y=

5.函数y=22i2的值域为()

A.[2,+^)B.(F,2]C.D.(0,2]

21

6.已知1cx<2,«=(log2x),b=\og2xfc=log2(2x),贝ij()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

7.形如2*+1(〃eN)的数称为费马数，记为£,凡是一个冽位数，则加的值为(参考数据:

lg2«0.3010)()

A.19B.20C.21D.22

8.若直线了=加与函数〃x)=|bg3x|的图象从左至右交于点A,B,直线了与/'(x)

的图象从左至右交于点C,D,记线段/C和2。在无轴上的投影长度分别为。，b,则当机

变化时，的最小值为()

a

试卷第1页，共4页

A.2V2B.2A/3c.3V2D.3也

二、多选题

9.已知函数/(x)=2cos(gx+|^,贝I]()

A.1(x)的最小正周期为兀

B./(x)在区间[0,可上单调递减

C.点Y，o1是/(X)图象的一个对称中心

D.将/(尤)的图象向右平移g个单位长度后，得到的图象关于V轴对称

io.已知函数/卜)=忙¥：X：,，若/(/.))=1,则实数“的取值可能为()

12—1,XSU.

A.-2B.-C.1D.27

3

11.若函数/(%)在定义域内存在为,使得/(%+1)=/(/)+/(1)成立，则称函数/卜)具

有性质下列函数中，具有性质M的有()

A.=：B./(x)=3，C./(x)=lgp^jD./(x)=x2+2'

三、填空题

12.已知扇形的周长为4cm,圆心角为2rad,则该扇形的面积为cm2.

13.若函数/(无)="2-。0&¥+”1在(-1,1)上恰有一一个零点，则实数。的值为.

14.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x20时，/(x)=a、(a>l).若对任意的

xe[0,t+l],1[^+：]2[/(力丁恒成立，则实数/的取值范围是.

四、解答题

、2

?10&21

15.(1)求值:lg4+21g5+27+3

试卷第2页，共4页

(2)已知tan(兀+。)=2,求的值.

1，3=例y=cos2x+2sinx+加｝.

16.设加为实数，集合/小尸lg77r

（1）当加=1时，求Zc5；

（2）若（金工）。8=8,求机的取值范围.

17.已知函数/(x)=Zsin(ox+0)A>0,1,0>0,忸区5的部分图象如图所示.

⑴求函数/（X）的解析式;

⑵若6小04],且〃0)=”求tane的值.

18.已知函数且⑴二三匚，令下（"=%，xeR.

（1）判断函数尸（x）的单调性，并用定义证明:

⑵若存在x«ln21n3）,使得尸［/（2x）］+尸［2反（x）-3］>0,求实数2的取值范围.

19.苏教版必修一教材中有这样一段话：对于等式〃=c（a>0,aWl）,如果将。视为自变量

x,6视为常数，c为关于。（即x）的函数，记为了，那么>=/,是幕函数；如果将。视

为常数，6视为自变量尤，。为关于6（即x）的函数，记为那么y=",是指数函数;

如果将。视为常数，c视为自变量x,b为关于c（即x）的函数，记为了，那么y=bg“x,

是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.

如果c为常数e（e为自然对数的底数），将。视为自变量x（x>0,尤R1）,贝1］6为x的函数，记

为九将了表示成x的函数/（x）.

（1）直接写出函数/（X）的定义域、值域、单调性、奇偶性：（不用证明）

试卷第3页，共4页

⑵若不等式(X-(X)＞o对任意的Xe(0,1)u(1,y)恒成立，求实数用的值:

(3)当函数〃(x)在区间［a,6］上连续，对任意X］,x2&［a,b］,

若恒有彳土产)＞，叫，⑷，则称函数〃(x)是区间桢,可上的上凸函数，

若恒有h［七强］＜，则称函数〃(x)是区间［凡可上的下凸函数，

当且仅当玉=%时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性.试判断函数/(x)

在。,+⑹上的凹凸性，并证明你的结论.

试卷第4页，共4页

《江苏省常州市2024-2025学年高一上学期期末质量调研数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BAACDBBDBCABD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】根据并集的定义直接求解即可.

【详解】因为4={X|T<X41},B={x|0<x<2},

所以/UB={x|-l<x<2}.

故选：B

2.A

【分析】由条件结合三角函数的定义列方程求加，再结合三角函数定义求cose.

【详解】因为尸(-3,〃?)为角c终边上一点，

所以tancc=,由已知---=一，

-333

所以加=-4,故点尸的坐标为(-3,-4),

所以点P到原点的距离为^(-3)2+(-4)2=5,

--33

所以cosa=1-=一二.

故选：A.

3.A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

11_

【详解】解：由上<1,得二r<0,即(x-l)x>0解得x<0或x>l,

尤X

所以X>1是<1”的充分且不必要条件，

X

故选：A

4.C

【分析】根奇偶函数的性质和幕函数的性质对选项一一判断即可得出答案.

_21

【详解】对于A,y=x3=『的定义域为{小片0},

答案第1页，共11页

x2

且加了一席，所以在定义域内为偶函数，故A错误；

2

对于B,y=x3=^的定义域为R,

且再守=击，所以y=/在定义域内为偶函数，故B错误；

_11

对于C,y=x3=-T=,的定义域为{x|xwo},

vx

1111

且玳=j=一正是奇函数,因为-所以y=x^在(0,+°0)单调递减，故C正确;

对于D,>=£=近的定义域为R，且步习=-次是奇函数，

因为g>0,所以了=/在(0,+8)单调递增，故D错误；

故选:C.

5.D

【分析】令:2尤--4],所以了=2'(/Vl),结合指数函数的单调性即可求出答案.

【详解】令/=2x-x2=_(x_l『+lVl,所以了=2(W1),

因为y=2'在R上单调递增，所以0<2'42,

所以函数〉=22*4的值域为(0,2].

故选：D.

6.B

【分析】先根据l<x<2求出/=log2xe(0,l),作差比较出c>b>a.

【详解】因为1cx<2,所以f=log2^e(0,l),

2

故a=/=log2x=21og,x=2t,c=log2(2尤)=l+log2无=1+t,

。―6=1+/—2%=1—，>0,c>b,

b—ci=2t—t2=t(2—t^>0,故Z?〉a,

所以

故选：B

7.B

答案第2页，共11页

【分析】r=264+1,设/=264，两边取常用对数估算m的位数即可.

【详解】•.乜=264+1,设”264,则两边取常用对数得

1g/=1g2'4=641g2=64xOjo1。=19,264.

J=10以26%ip,

故片的位数是20,

故选：B.

8.D

【分析】设/,B,C,。的横坐标分别为网用,马,匕，根据题意得到再=,，W=',

X?X4

i2

2b—XAm+

乙=3",,匕=3罚，再由£=广3=%"4=32"求解.

【详解】设4B,C,。的横坐标分别为士,马,巧,匕，

贝Ulog,X]=-m,logx=m,logx=--——-,logx=-——-

32332m+1342m+1

112

再“2=1,%3,％4=1，所以再=屋，/=£，/=3"/4=3利，

D21/cC2113

又mT------=—(2m+1)H---------->2——=—,

2m+l2、)2m+l222

当且仅当：i(2/+1)=17；,即机=:1时，等号成立，

2''2m+l2

3

所以马233=3/，

故选：D

9.BC

【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象

平移写出解析式判断奇偶性可判断D.

T=空=4兀

【详解】对于A,/(%)的最小正周期为1,故A不正确；

2

丫TT7T1TT

对于B,当xe[0,句时，-+-e,由余弦函数的单调性可得函数〃x)在[0,划单调

答案第3页，共11页

递减，故B正确;

对于C,因为H=2cos]；x；+m]=2cosT=0,故go）是/⑺图象的一个对称中心,

故C正确；

=2cos[$+I,显然不关于了轴对称，故D

不正确

故选：BC.

10.ABD

【分析】由题意可得1（。）=3或/（。）=-1,分类讨论。>0和。<0,代入解方程即可得出答

案.

【详解】令/（。）=乙所以/（〃叫=〃/）=1,

当/>0时，〃。=1限，=1,解得：/=3,所以/■⑷=3,

当°>0时，/（a）=log3a=3,解得：a=27,

当a<0时，f（a）=2-a-l=3,解得：°=-2,

当/W0,/（0=2-/-1=1,解得：t=-l,所以=

当a>0时，/（a）=log3c!=-l,解得：=j,

当aWO时，=无解，

综上：实数。的取值可能为：（27,-2.

故选：ABD.

11.BCD

【分析】假设各选项中的函数具有性质求对应的%,若/存在则判断该选项所给函数

具有性质W,反之则说明该函数不具有性质由此确定正确选项.

【详解】A,设函数/（尤）=，具有性质则存在看,满足条件〃/+1）=/（%）+”1）,

所以--1,化简可得工0=X0+1+%+%0,即X；+%o+l=O,

+1XQ

该方程无解，即满足条件的X。不存在，矛盾，所以函数/（》）=：不具有性质W,A错误；

答案第4页，共11页

B,设函数/(x)=3,具有性质”，则存在天,满足条件〃/+1)=/(/)+〃1),

所以3'川=3,。+3,化简可得2了。=3,即3*。=],解得％=1-1叫2,

所以函数/(x)=3"具有性质/，B正确；

C,设函数/(尤)=lgW■具有性质则存在修,满足条件〃x°+l)=/(x0)+/(l),

所以lg(x+；1+]=坨六+上；，化简可得(X。+1)2+1=(片+1)2，

解得分=2或%=0,

所以函数/(x)=lgV1具有性质”，C正确；

D,设函数/'(x)=x2+2,具有性质/，则存在/,满足条件〃/+1)=/&)+〃1),

所以(x0+1『+2'邮=片+2。+3,化简可得2x0+2.-2=0,

因为函数了=2苫-2/=2工在(-00,+8)单调递增，

所以函数了=2x+2工-2在(-吟+⑹单调递增，

而x=0,y=\-2=-1,当x=l时，y=2f

所以方程2%+2与-2=0在(0,1)内有解，

所以函数/(力=炉+2-'具有性质M,D正确；

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算

五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助

于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新

题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

12.1

【分析】设扇形的半径为五,然后根据题意列方程求出尺，再由扇形的面积公式可求得结果.

【详解】设扇形的半径为R,

因为扇形的周长为4cm,圆心角为2rad,

所以2R+2R=4,得夫=1,

答案第5页，共11页

所以扇形的面积为1尺％=：XFX2=1.

22

故答案为：1

13.2

【分析】易知当。=0时不符合题意；当awO时，利用转化的思想可知函数了=cos尤与

g(x)=ox2+a_i图象在(T,I)上恰有一个交点，结合余弦函数与二次函数的图象与性质分析即

可求解.

【详解】当0=0时，/(x)=-cosx-l,令〃x)=0,解得x=(2斤+1)匹左eZ,

当左=0时，x=?t免(-1,1),不符合题意；

因为函数/(无)在(-1，1)上恰有一个零点，

则方程办2-cosx+a-1=0在(TJ)上恰有一个实根，

即函数V=cosx与g*)=ax?+a-1图象在(-1,1)上恰有一个交点.

当。<0时，g(x)的图象为开口向下、顶点位于了轴的抛物线，

此时ga)max=g(0)=a-l<0,与了=cos无图象无交点，不符合题意；

当a>0时，COSXG[-1,1],

要使函数了=。。$》与g(x)=a?+a-1图象在(-1,1)上恰有一个交点.

只需g(0)="l=l,解得a=2.

综上，a=2.

故答案为：2

【分析】首先可得/(x)的单调性，再由[〃X)T=〃3X),即可得到对任意的尤+

x+；213M恒成立，从而得到对任意的x«0J+l]，(4x—)(8x+t)40恒成立，再分:0、

t>0、1<0三种情况讨论，分别解出(4XT)(8X+/)W0,即可得到不等式组，从而求出参数

t的取值范围.

【详解】因为当x"时，=所以f(x)在[0,+s)上单调递增且

[/(x)T=(，J=/*=/(3x)，

又函数/(尤)是定义域为R的偶函数，

答案第6页，共11页

则当x<0时，〃x）=〃-x）=「（a>l）,所以/（x）在（--0）上单调递减且

[/（尤）T=（「）=。一”=/（玄），

所以[/（x）T=/（3x）,（xeR）,

因为对任意的xe[Oj+l],+；%[f（x）/恒成立,

即对任意的xe[O,/+l],/（x+；〉/（3x）恒成立，

显然％+1>0,即"一1；

所以对任意的xw[O#+l],X+：2|3引恒成立，

即对任意的xe[Oj+l],8x2-fx--^-<0恒成立，

即对任意的xe[Oj+l],（4x-f）（8x+f）V0恒成立,

当1=0时，不等式（4xT）（8x+f）W0,解得x=0,显然不成立;

/>0

当f>0时，不等式（4x-f）（8x+f）W0,解得一则-540,解得摩0；

O

->t+l

14

t<0

-<0

4Q

当/<0时,不等式（4xT）（8x+f）V0,解得x<--,则<解得-1<%；

O

8

，>—1

综上可得：实数才的取值范围是1-1,-1

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的单调性与奇偶性将函数不等式转化为对任意的

xe[0j+l],x+；2|3x|恒成立.

15.(1)13(2)2

【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可;

（2）利用诱导公式化简计算即可.

答案第7页，共11页

【详解】(1)原式=2(lg2+lg5)+3%+2=2+9+2=13；

(2)因为tan(兀+a)=tana=2,

c(—cosa)•(—sina)

所以原式二^^-----甘-----』=tana=2.

cosa

16.(1)/门2=1,3

1,

【分析】(1)解不等式求出集合A,再根据二次函数和正弦函数的性质求出集合B,然后利

用交集的定义可求出4c/；

(2)先求出集合A的补集，再由=得jB,再利用二次函数和正弦函

数的性质求出集合B,然后利用两集的包含关系列不等式组可求得结果.

【详解】⑴由2丫<一^5〉0,得(2x-5)(%+1)>0,解得x<-1或5

所以/=(-CO,-l)u[T，+8]，

当加=1时，^=l-sin2x+2sinx+1=-(siwc-1)2+3,

因为所以B=

所以何8=悖3；

(2)因为/=(-8,T)U(g,+sJ,所以a/=-1,|,

因为他2)口8=凡所以他

即=B.

=1-sin2x+2sinx+m=-^inx-1)2+2+m,

因为sinxG[-1,1],所以5=[-2+m,2+m],

—2+m<-1

所以c5,解得[V/MVL

2+m>—2

2

17.(1)/3=sinf2x+y

(2)tan。=1

【分析】(1)观察图象确定函数的最值，由此可求A,观察函数的周期，结合周期公式求。,

答案第8页，共11页

由求。，由此可得函数解析式；

（2）由/（e）=g,结合特殊角三角函数值及正弦函数的图象与性质求e,结合e的范围确

定其值，再求tan。.

【详解】（1）观察图象得函数/（X）的最大值为1,最小值为-1,故4=1,

观察图象可得7=2［善-白］=兀，xr=—,所以0=2,

V1212）co

由，［fl］=$出〔2*卷+=1,得0=5+2版,kwZ,

又冏W5,得夕=（，所以/（x）=sin（2x+；）；

（2）因为/⑻=$山（2。+：=；,

所以26+火=2版+殳，^26+-=2kTi+—,keZ

3636

jrjr

所以e=E---,或。=左兀+—,keZ,

124

又因为所以夕=：,

所以tan。=1.

18.⑴歹（x）是R上的增函数，证明见解析

7

⑵人-日

【分析】（1）先根据题意求得尸（无）=1-苫不，然后任取再,X2©R，且再〈无2,再化简变

形尸（尤J-尸仁2）进行判断符号,从而可判断其单调性；

（2）先判断尸（X）为奇函数，然后将不等式转化为尸［;•。尤）］〉尸［3-22g（x）］,再根据尸（x）

71

是R上的增函数，得/'。力＞3-24g（x）,令ye-e-，，换元后将问题转化为力＞：-g，

再构造函数可求得结果.

【详解】（1）尸（x）是R上的增函数.

证明：由题意得，尸（"=黑=矢!1X2

2x-2xXGR,

-Xe+l-e+l

任取AweR,且王＜龙2,

答案第9页，共11页

2(2、2(e2xi-e2v2)

则P(xj-尸(9)=1--------11——=/,1、/,)、,

」I"J，e2X|+1(e2x2+lj(e2ri+l)(e2x2+l)

2V12x2

因为无i<Z,所以2占<2X2,e-<e,

所以e2w-e2*<0,Xe2x*+l>0,e2%2+1>0,

所以b(xj-尸(％)<0,即尸(再)〈尸卜2),

所以尸(无)是R上的增函数;

(2)因为尸(f)=J上=-尸［),所以尸(x)是R上的奇函数，

ex+ex

由尸［〃2x)］+尸［2念(尤)-3］＞0,得/口(2切＞-尸［2志［)-3］,

所以网一2Xg(x)］,

又因为尸(x)是R上的增函数，所以/(2力＞3-2闻司,

J