几何证明压轴题分类训练2（原卷版）-2025年重庆中考数学复习专项训练

专题18几何证明压轴题分类训练2

(3种类型30道)

目录

【题型1几何证明与翻折综合】..................................................................1

【题型2几何证明与旋转综合】..................................................................5

【题型3特定条件下(最值)求面积】..........................................................10

【题型1几何证明与翻折综合】

1.如图，在△2BD中，BCLAD,S.AC=BC,点£是8c上一点.

⑴若NC4E=15。/£=4,求4B.

(2)过点。作(:”||48,N为4C上一点，连接MN/M,恰有NMNC=45。+乙4BN,求证：BN=MN+AM

(3)如图3,若△4BD为等边三角形，尸为4B上一点，连接DF,点尸是△48。内部一点，连接DP,将线段BD

绕点。逆时针旋转得到线段DQ,使NBDQ=N&DP,将△4DP沿DP翻折到同一平面内的△DKP,在线段DQ

上截取DG=DP,连接GK,已知GK=6,PK=8,DG=10,请直接写出△DGK的面积.

2.△ABC中，AB=8C,点。在边4C上，连接BD,将绕点。顺时针旋转至DE,且点£落在直线A8上.

(1)如图1,若NABC=90°,点£是线段的中点，若CD=2近,求力。的长.

(2)如图2,若NABC=60°,点M是线段BD的中点，连接CM、ME,求证：CM1ME.

(3)如图3若N4BC=60°,BC=4,同一平面内将△力BD沿着BD翻折得到△PBD,使得点尸落在BC下方,

连接PC,过点尸做PH1BC交于点X,点C关于PH的对称点为点C',连接PC',AC,当P//-WC'最大时，直

接写出△4BC'的面积.

3.如图1,在△ABC中，ABAC=90°,AB=AC=4,。是线段48上的一点，连接CD,将线段CD绕点。顺

时针旋转90。，E为C的对应点，连接CE、BE,F为CA延长线和ED延长线的交点.

图1

⑴如图1,当2D=3BD时，求此时四边形力DEC的面积;

(2)如图2,连接4E,若。、H分别是4E、BC的中点，连接D。、HO,猜想。。和H。的关系，并证明你的猜想;

(3)如图3,当。在射线AB上运动时，将△BCD沿着EC翻折，得到△B'C。，连接4。，2E与DC交于点M,当

5小以?=25人“»，时，直接写出4D的长.

口4ALL)

4.如图，在△4BC中，ABAC=90°,点。是BC边上的一个动点，连接4D.

(1)如图1,^AB=AC,过点C作CH12。于点“，若4H=2,BD=运,求CD的长;

(2)如图2,若CD=C4将4D绕点/逆时针旋转90。得到力E,连接DE交力C于点尸，在DE上截取DM=FC,

过点M作BC的垂线交BC于点G,交4C于点K,当FC=2BO时，求证：GK=KF+FE;

⑶如图3,若"BC=60。，点。是射线BC上的一个动点，点尸是4C边上一点，连接DP,将△ADP沿4D翻

折得到△2DP，，连接BP-N是8P的中点，连接CN,当CN取得最小值时，求生的值.

5.如图，在△2BC和△2DE中，/.BAC=^AED=90°,AB^AC,EA=ED.

1

(1)如图1,当点4C、。在同一直线上时，连接CE、BE、BD,满足tan乙4DB=5，CD=2,求△BE。的面

积;

(2汝口图2,当点4、C、D在同一直线上时，连接CD,BD,尸为CD的中点，连接EF,试猜想线段EF与BD关系;

(3)如图3,若4。=3五，N为2D边上一动点，连接EN,将△DEN沿EN所在直线翻折，点。的对应点为

”为DE中点，连接0月、AD',请直接写出当+取最小值时，直接写出线段4V的长度.

4Z

6.在△ABC中，^ABC=90°,AB=BC,点。是平面内一点.

(1)如图1,当点。为BC中点时，连接2D,作乙48c的平分线交4。于点E,BD=2,求线段BE的长；

(2)如图2,点。为线段4C上一点，将线段BD绕点。顺时针旋转90。得到线段DF,连接力F,BF,点G是线段OF

中点，连接4G交延长线于点H,当N/L4B=60。时，求证：^-CD+AG=BC；

⑶如图3,点D为线段力C中点，连接BD,。为平面内一动点，将线段。。绕点。逆时针旋转90。得到线段。M,

连接DM.过B作。。的平行线，交直线DM于点N,连接4N.将△8DN沿2N翻折得到△B'D'N,当线段AN

最短时，直接写出此时整的值.

DC

7.在△ABC中，NB4C=90。，AB=4C,点。为BC边上一动点，连接4D,将4D绕着。点逆时针方向旋转90。

得到DE,连接

(1)如图1,4H1BC,点。为CH中点，AE与8c交于点G,若48=8,求4E的长度；

(2)如图2,DE与AB交于点F,连接BE,在①1延长线上有一点P,/.PCA=^EAB,求证：AB^AP+^BD；

(3)如图3,DE与AB交于点F,且48平分NE4D,点M为线段AF上一点，点N为线段4。上一点，连接DM,

MN,点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线翻折至△BDK所在平面内得到△8QK,连接DQ,在M,

N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且NDKQ=45。时，请直接写出第I勺值.

DC

8.已知：△2BC中，48=AC=2,点。为8c边上一动点，连接4D,将4。绕着点。逆时针方向旋转与NB2C

相等的度数得到DE,连接4E.

⑴如图1,当NB4c=120°,NC4D=30。时，求力E的长：

(2)如图2,当NB4C=90。时，连接BE,再将线段4E绕点力逆时针方向旋转90。得到4F,连接CF.求证：

CF=AC-&BD；

(3)如图3,当NB2C=90。，BD=1时，点P是平面内任意一点，将△PBD沿直线P8翻折得到△PBM,点。

的对应点为点M,点N是BC边上另一动点，当EM最小值时，直接写出N4+NM的最小值.

9.已知△4BC为等边三角形，。是边AB上一点，连接CD,点E为CD上一点，连接BE.

(1)如图1,延长BE交4c于点F,若NCBF=45。，BF=3五，求CF的长；

⑵如图2,将△BEC绕点C顺时针旋转60。到△4GC,延长BC至点H,使得CH=BD,连接4H交CG于点N,

求证CE=DE+2GN；

(3)如图3,AB=8,点”是BC上一点，且BD=2CH,连接D”，点K是4C上一点，CK=4D,连接DK,BK,

将△BKD沿BK翻折到△BKQ,连接CQ,当△4DK的周长最小时，直接写出ACKQ的面积.

10.如图，△力BC是等腰直角三角形，N48C=45。，AB=AC,点。是4C上任意一点，点H是射线BC上一

点，连接BD,AH.

(1)如图1,当点H在线段BC上时，若AH1BD,AB=6^2,4H=3后，求HC的长；

(2)如图2,将△4BD绕点D顺时针旋转90。得到△FED,连接CE,连接力F,CE和4F相交于点M.求证：

AD=五FM；

(3)如图3,连接将△力沿4”翻折得到连接B。，若点尸是的中点，且N4BD=30。,

AD=2,当CF取最小值时，求器的值.

cn

【题型2几何证明与旋转综合】

⑴如图1,2。=4,连接4C,过点C,作CE1AB于点E,当4018=45。时，求8E的长度

(2汝口图2,若点P为线段BD中点，连接AP,将线段CB绕点C按逆时针方向旋转60。，得到线段CF,连接4F交

BD于点G,求证：AP=^-(CD+2BG)

⑶如图3,点Q为直线CD上一动点，连接BQ将线段BQ绕点B顺时针方向旋转60。，得到线段BQ，，点P为线段

BD中点，AD=4,连接PQ,将ABPQ沿直线BQ翻折至四边形4BCD平面内，得到ABPQ,请直接写出线段

P0，的最小值.

12.如图，在Rt^ABC中，N4CB=90。，AC=BC,点。为2B边上一点，连接CD,过点B作BE1CD交CD的

⑴如图1,若乙BCE=2乙DBE,BE=2,求△力8c的面积；

⑵如图2,延长E8到点尸使EF=CE,分别连接CF,AF,4尸交EC于点G.求证：BF=2EG；

⑶如图3,^AC=AD,点M是直线AC上的一个动点，连接MD,将线段MD绕点D顺时针方向旋转90。得到

线段M'。，点P是4。边上一点，AP=3PC,Q是线段CD上的一个动点，连接PQ,QM,.当PQ+QM'的值最

小时，请直接写出NPQM，的度数.

13.在△4BC中，。为BC边上一点，连接4D,E为4D上一点，连接CE,乙4EC=120。.

图1图2图3

⑴如图1,若4D18&CE=6/E=3DE,求△4DC的面积；

(2)如图2,连接BE,若NCBE=60。/5=CE,点G为2B的中点，连接GE,求证：BC=BE+2GE；

(3)如图3,若△ABC是等边三角形，BC=9,。为直线BC上一点，将力。绕点/逆时针方向旋转90。到2K,

连接DK,M为线段BC上一点，BC=3BM,尸为直线2B上一点，分别连接PM,PK,请直接写出PK+MP的

最小值.

14.如图，将△ABC绕点/顺时针旋转得到△4NM,点、B,C的对应点分别为N,M.

F

图1图2图3

(1)如图1,当点N落在BC的延长线上时，且NACB=90。，AB=10,AC=6,求BN的长；

(2)如图2,绕点力顺时针旋60。转得到△4NM,延长BC交力N于点D,连接8N并延长BN至点F,使得

FN=AD,连接DF,连接ZF交MN于点H,猜想线段HN,MH,CD之间存在的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图3,连接BN,CM,直线CM交BN于点G,点R为BC的中点，连接RG.若乙4cB=90。，715=10,

2C=6,在旋转过程中，GR是否存在最小值？若存在，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由.

15.如图，将△ABC绕点4顺时针旋转得到△4NM,点、B,C的对应点分别为N,M.

(1)如图1,当点N落在8c的延长线上时，且乙4cB=90。/。=6,AB=10,求8N的长;

(2)如图2,△4BC绕点/顺时针旋转60。得到△ANM,延长BC交2N于点。，使得FN=4D,连接DF,猜想

线段CD之间的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图3,连接BN,CM,点火为BC的中点，连接RG.若NACB=90。,47=6,=10,在旋转过程中，求

出GR的最小值；若不存在，请说明理由

16.如图，在Rt^ABC中，N4CB=90。，AC=BC,点。为AB边上一点，连接CD,过点8作BE1CD交CD

的延长线于点E.

图1图2图3

⑴如图1,若乙BCE=2乙DBE,BE=4,求△ABC的面积；

(2)如图2,延长EB到点尸使EF=CE,分别连接CF,AF,AF交EC于点G.求证：BF=2EG.

(3)如图3,若4。，点”是直线AC上的一个动点，连接MD,将线段MD绕点。顺时针方向旋转90。得

到线段MD,点尸是4C边上一点，AP=3PC,0是线段CD上的一个动点，连结PQ,QM'.当PQ+QM'的值

最小时，请直接写出NPQW的度数.

17.如图，△48。和44。£'中，ABAC=A.DAE=90°.

(2)如图2,AB^AE,AC=AD,且点4B、。不共线时，点〃为线段8。的中点，判断4"与CE的数量关

系，并证明.

⑶如图3,若力B=AC,4D=AE.点/、B、。不共线时，点G为CD的中点，△ADE绕点/旋转过程中，连

接BG,若AB=5五，AD=3即直接写出线段BG的取值范围.

18.在△力BC中，ZC=9O°,AC=BC=4,将一块三角板的直角顶点放在斜边2B的中点尸处，将此三角

板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线4。、CB与点。、点£,图①，②，③是旋转得到的三种图

形.

AAA

图①图②

⑴观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明;

(2)观察线段CD、CE和BC之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明;

⑶把三角板绕尸点旋转，点£从C点沿射线C8方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写

出NPEB的度数；若不能，请说明理由.

19.已知三角形△ABC绕点/旋转得到△4DE.

1

⑵如图，连接BD,EC,若乙BCE=乙4EG且NG4D=^CAE,若点F是线段CE的中点，连接GF,BF,求证BF1GF.

(3)如图，三角形△48C绕点/旋转得到△ADE,若4B=3,AC=1,^CAE=90°,ED和所在的直线交

于点P,直接写出BP的最大值.

20.如图，在RtZXABC中，乙4。8=90。，在CB上截取CD=C4,连接AD,过点C作CE1AB于点E,交于

点F

图1图2图3

(1)如图1,若。为BC边的中点，且CE=1,BE=2,求线段4D的长度.

(2)如图2,过点C作CG1AD于点G,延长CG交4B于点连接8G,若41=42,求证：CF+BH=&

BG.

(3)如图3,过点C作CG14D于点G,把△4GC绕点C顺时针旋转，记旋转后的△4GC为△A'G'C,过点4

作直线AM||G£交AC于点M,连接BM.当4。=。8=四时，直接写出线段BM的最小值.

【题型3特定条件下(最值)求面积】

21.在RgABC中，NBAC=90°,AB=AC.

(1)如图1,点。是BC的中点，点E是AC上一点，连接DE,作DF1DE交4B于点F,若BC=2近，CF=|,求

线段BF的长；

⑵如图2,点。是8c延长线上一点，连接AD,以4。为直角边在4D上方作等腰直角△4DF,Z-DAF=90°,

点E是尸。的中点，连接BE并延长到点“，连接若2N”+N"BD=90。，用等式表示线段“E、EB、CD之

间的数量关系，并证明；

⑶如图3,点。是线段BC上一动点，连接AD,将4。绕点。逆时针旋转90。到MD,连接4M,点E是线段4C上

一点，满足2CE=AE=2,连接EM,点P是线段2D上一点，连接PM,当EM最小时，在平面内将△力PM沿

PM翻折至△可「〃，连接CN,当CN最小时，请直接写出AAPM的面积.

22.在△ABC中，^BAC=90°,AB=AC,。为线段BC上一点(点。不与2,C重合)，连接4D.

(2汝口图2,。为BC中点，E为平面内一点，连接。E,CE,AE,BE,将线段OE绕。顺时针旋转90。得到线

段DF,连接力F,NF4C+NECB=90。，G为线段EC上一点，AGICE,求证：CE=V^4F+24G；

⑶如图3,P,X为射线ZD上两个点，4BHA=90。,AP=2BH,将△BHP沿直线BP翻折至△B”P所在平

面内得至IJaBKP,直线PK与直线4B交于点T.若4B=VL当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的

面积.

23.在△4BC中，ZCXB=45°,BC2C交AC于点。，点尸在48边上，CF交BD于点、E.

(2)如图2,点E是CF的中点，点尸是力B中点，求证CF=CB；

⑶如图3,线段BC绕点8顺时针旋转90。得到线段BG,连接4G交BD于点MN是直线A8上一动点，连接

MN,将△MBG沿MN翻折得到△MB'G',连接4B',CB'.已知2M=屈，CD=2,当8G'最大时，请直接写

出△AB'C的面积.

24.已知△ABC为等边三角形，。是边42上一点，连接CD,点E为CD上一点，连接BE.

(1)如图1,延长BE交力C于点尸，若NCBF=45。，BF=2五,求CF的长；

(2)如图2,将ABEC绕点C顺时针旋转60。到△4GC,延长BC至点H,使得CH=BD,连接2口交CG于点N,

求证CE=DE+2GN；

(3)如图3,AB=4,点〃是BC上一点，且BD=2CH,连接。H,点K是AC上一点，CK=AD,连接DK,

BK,将△BKD沿BK翻折至连接CQ,当△4DK的周长最小时，直接写出ACKQ的面积.

25.△4BC是等边三角形，点。为线段8C上任意一点，连接2D,£为直线上一点，

AAA

(1)如图1,当点。为BC中点时，点£在48边上，连接。E,若AE=1,BE=3,求DE的长；

⑵如图2,若点£为48延长线上一点，且BE=CD,点尸为C8延长线一点，且NR4D=60。，猜想线段力尸,

EF,4D之间的数量关系，并证明你的猜想；

⑶如图3,在(1)的条件下，M为线段2。上一点，连接ME,将线段ME绕点E顺时针旋转60。，得到线段

EN,连接MN,当BN+DN的值最小时，直接写出aAEM的面积.

26.已知如图，在内△ABC中，NB4C=90。，点。是4c上一点，BD=DC；

(2)如图2,若2B=a。，DELAC,BD=DE,连接BE,若点F是BE的中点，连接4F,试猜想BC与4尸的数

量关系，并说明理由；

(3)如图3,若乙4cB=30。，4B=V^，点P是直线BC上一点，点2关于DP的对称点是4,连接B4,CA',当

84—C4取最大值时，请直接写出△48C的面积.

27.如图，在△4BC中，NACB=90。/4=60。，点。是边4B上一动点，连接CD,将CD绕点。顺时针旋转120。

得到线段

图1图2图3

⑴如图1,求证：^ACD=^ADE；

⑵如图2,CG是△ABC的中线，连接EG,点口是EG的中点，连接D”，试猜想D”、BD、4C的数量关系,

并说明理由.

(3汝口图3,在(2)的条件下，若力C=2,点Q是CG的中点，点P是BC上一点，将APCQ沿PQ翻折，得到

△PC'Q,点D、P在运动过程中，当C'E最短时，请直接写出△48E的面积.

28.△4BC为等腰直角三角形，ABAC=90°,AB^AC,线段C4绕C点旋转至线段CF,点4的对应点为F,

连接4F.

图1图2图3

⑴如图1,若CF在△ABC外部，且乙4CF=60。，4尸交BC于点N