夜雨极限讲义 终版

第一章极限主讲人夜雨13

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1）形如21

2）形如22

倒代换解2极限计算的游戏规则我们计算极限要遵守极限的四则运算及四则运算的推广，不要凭空捏造新的运算，无法用极限的四则运算

及四则运算的推广来说明的东西都是错误的极限的四则运算若存在，则若存在，且若存在，则如下三条是四则运算的二级结论1）分子或分子的因子可进行等价量的替换（其本质是极限乘法运算）同理分母或分母的因子可进行等价量的替换2）分子的非零因子可直接计算（其本质是极限乘法运算）同理分母的非零因子可直接计算

分子的零因子不可直接计算经典错误3）拆成两个式子的和，如果其中一个极限存在，那么它可直接计算极限（其本质是极限加法运算）如果两个都是，则不可以拆经典错误极限的四则运算的推广若若若若可以写成如果两部分相乘，一部分极限为非零常数，一部分为无穷大，则可拆

若，存在，则可以写成3如果两部分相加，一部分极限存在，一部分为无穷大，则可拆

若可以写成如果两部分相加，两部分都为正无穷大，则可拆利用极限的四则运算或四则运算的推广说明如下两条结论

利用等价无穷小（重点）求极限求极限4求极限（2013年真题）求极限一个特殊的等价关系若）原理：，做大题的时候就像这样提等价量拆成两部分5设，求讨论函数的连续性6求极限（2010逆用等价无穷小（重点）若其核心作用是降低运算等级，去指数，去根号求极限求极限7求极限提项+逆用等价无穷小如果是两个式子相减的形式，且两个式子比值趋于，那么我们可以提项再逆用等价无穷小：若8设在的某一邻域内有定义，对任意，，则求，其中设且为常数，则为何值时，极限存在，并求出此极限值9的等价量，那么的等价量是什么？1）同阶但不等价，设2）不同阶，则高阶被低阶吸收，例如当利用拉格朗日中值定理与“提项+逆用等价无穷小”的效果无异当中形式不一样时，可以把他们变成指数函数求，其中10拉格朗日中值定理适用情形探讨等价时，此时等价，如果我们知道，可得的等价量，此时一定可以用

拉格朗日中值定理不等价时，此时的等价量找不到，那么等价量就可能找不到，那么拉格朗日中值定理就不一定有效比如求的等价量（不可以用）比如求的等价量（可以用）（2018年真题）凑项法（重点）方法一：根据等价无穷小凑项求11求方法二：找中间项凑项12差分法（非重点）比如要求，可以考虑一个数列把的形式完全一致，所以求它们的极限实际上就是一个极限即的极限，去求转换成去求及13（网红题）14利用洛必达法则（重点）型洛必达法则若有如下三个条件时，函数（2）在点的某去心邻域内，都存在且存在或为无穷大则型洛必达法则（不要求分子趋于无穷大）若有如下三个条件时，函数（2）在点的某去心邻域内，都存在且存在或为无穷大则利用洛必达法则去积分符号，确定的范围（2011年真题）15确定常数的值，使得（1998年真题）被积函数带求导变量方法一：可利用含参变量求导公式方法二：可以通过区间对称公式，变量分离，换元来除去被积分函数的求导变量含参变量求导公式：特别地，变上限积分求导公式：特别地，设函数连续，且（2005年真题）提示：分子可利用含参变量求导公式，或者变量分离，除去被积分函数的求导变量16求（2017年真题）求极限（张宇八套卷）二重积分除以一个式子型极限设是区域上可微函数，，且，求极限17设函数在上连续，且，设曲线与直线所围的区域为（李艳芳三套卷）求极限利用洛必达法则确定阶数当（201318求的等价无穷小量高阶无穷小的运算（下面式子从左到右成立）泰勒展开利用泰勒展开求等价无穷小（重点）

设的泰勒展开第一个不为零的项为，则

求的等价无穷小量19当（2013年真题）确定泰勒展开的阶数（重点）分母多少阶，分子就展开到多少阶（此时高阶无穷小的部分可仍掉）错误做法等价无穷小本质是低阶的泰勒展开，这里只展开到精度不够，不存在，故不可扔20不常见的泰勒展开（次重点）1）形如的泰勒展开提项转变成，求设及，使当2）形如的泰勒展开

提项转变成存在，求此极限21两个函数乘积的泰勒展开（次重点）若的阶数分别是展开到阶，则分别只需展开到阶（不记）带高阶无穷小的部分为即欲展开到核心：看两项将展开到四次，求复合函数的泰勒展开（次重点）的阶数是，怎么使得展开到第一步：将展开到阶，得到，其中第二步：注意，此时第三步：再考虑的展开22提示：变上限积分函数的等价无穷小（重点）（阶数为）231）的证明如下首先我们证明当，故即故2）的证明类似设求的等价无穷小24极限与无穷小的联系（重点）若（2000年真题）若，则当是）等价无穷小量同阶但不等价的无穷小量高价无穷小量低阶无穷小量设在25换元法（重点），这处理的好处是方便发