抛物线（五种题型）（解析版）

专题10搪物线

匾恒恒晅

》思维导图

我（口把平面内“和一条定直

线、”）睡离台的点蹦

迪1U的峨线.

注意事项：

❶抛物线的定义（1）定点环在定直线上，否则动点，的

轨迹不是抛物线，而是过点蓬直于直线1

的一条直线.

（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点

到焦点的距离与到准线的距离的等价性，

故二者可相互转化，这也是利用抛物线定

义解题的实质.

g抛物线的标准方程

2

标准方程v=2/xx(p>0)v"--2px(p>ayr=2/zi-(p>o)?=-2ftr(p>0)

死讨yM

oV工T二-,r

仁y/rX

阳=PM|PF|=|PAi阳平Mm=i产“I

康京

F(y.0)F(-<0)F(0.与)F(0.

…R>=-f)•=£

2z_

抛物线的几何性质魂v>0,yeRv<0,yeRx€R.y>0ve/?,y<0

顶总底京口0）

'轴|-*»

通过抛物维］焦点且垂直例称轴的直线被抛物线所截得的维叫做旭物

线的通径.

;'刻画了抛物断口的大小，P磁大，开加宽；；'值越小，开口越窄.

设尸do为抛物线上一点

俨F|=f苦"卜月得

设过焦点F的直线与抛够交于"Gr8G""J两点

网=x：-4+p网=Y'+a-p网“二心+p

e=le=l€二1e=l

❹方法技巧

❺二皴结论

»核心考点聚焦

考点一.抛物线的定义

考点二.抛物线的标准方程

考点三.抛物线的几何性质

方法四.方法技巧

考点五.二级结论

考点一.抛物线的定义

1、定义：我们把平面内与一个定点口和一条定直线/(/不经过点歹)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点.

3、准线：直线1叫做抛物线的准线.

4、集合表示：尸={"||凶^=%4为点加到准线/的距离}.

5、注意事项：

(1)定点F不在定直线1上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线1的一条直线.

(2)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这

也是利用抛物线定义解题的实质.

考点二.抛物线的标准方程

1、推导过程

如图，以过尸且垂直于/的直线为无轴，垂足为K.以RK的中点。为坐标原点建立直角坐标系

xOy.

设|"|=0(p>0),那么焦点厂的坐标为g,0),准线/的方程为》=-勺

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到/的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合

P=[M\\MF\=d]

归

+y2>d=x+-|

.•小一g+y-

将上式两边平方并化简，得;/=2px(p>0).①

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在X轴的正半轴上,坐标是g,0)它的准线方程

是.-2

2

2、抛物线标准方程的四种形式：

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式

标准方程图形焦点坐标准线方程

1P

y=2px(p>0)LXx=—

\F（例2

y2=-2px(p>0)X--P

2

x2=2py(p>0)1

卜H)2

2P

x=-2py(p>0)y二­

产卜)2

知识点诠释：

①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；

②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如

抛物线犬=-20〉的一次项为-20y,故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下）

③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线d=-20y的一次项-20y的

系数为-20,故其焦点坐标是（0,-5）.

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数.用待定系数法求抛物线的标准方程时，

首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定

型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.

⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程

的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要

遗漏某一种情况.

考点三.抛物线的几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

*M

J?二

M

图象\D

匚/

1M

\PF\=\PM\\PF\=\PM\PF=PM\PF\=\PM\

焦点

“，。）F(—g0)尸（。，9b(0,一g

准线方程p

TTy=­

22

范围x>0,yeRx<0,yeRxeR,y>0x^R,<0

顶点原点(0,0)

对称轴x轴y轴

通径2P通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径.

p刻画了抛物线开口的大小，p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄.

设为）为抛物线上一点

焦半径

PF]=xo+yPFX尸耳=-兄+光

1||=-0

设过焦点F的直线与抛物线交于A（西，M）,3（X2,为）两点

焦点弦

\AB\=xx+x2+p\AB\=一(%1+%2)+P网二弘+%+p网=一（弘+上）+2

离心率e=le=le=le=l

考点四.方法技巧

由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法

1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参

数p,从而得焦点坐标与准线方程，要注意p>0；

2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。

直线与抛物线的位置关系

1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：

相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点).

2、以抛物线V=2px(p>0)与直线的位置关系为例：

(1)直线的斜率左不存在，设直线方程为x=a,

若a>0,直线与抛物线有两个交点；

若a=0,直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；

若直线与抛物线没有交点.

(2)直线的斜率上存在.

设直线/:>=区+6,抛物线丁=2px(p>0),

直线与抛物线的交点的个数等于方程组0,的解的个数，

LX=2px

即二次方程左2尤2+2(g-pU+Zx2=0C^k2y2-2py+2bp=0)解的个数.

①若k^O,

则当A>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；

当△=()时，直线与抛物线相切，有个公共点；

当A<0时，直线与抛物线相离，无公共点.

②若左=0,则直线y=6与抛物线丁=2pxO>0)相交，有一个公共点.

考点五.二级结论

1、点P(Xo，%)与抛物线y2=2px(p>0)的关系

(1)P在抛物线内(含焦点)oy：<2px0.

(2)P在抛物线上oy；=2px0.

(3)P在抛物线外oy；>2px0.

p为焦点尸到准线/的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.

3、焦点弦

若为抛物线/=2p无5>0)的焦点弦，A®,%),B(x2,y2),则有

以下结论：

(1)x1x2=.(2)%%=一。2.

(3)焦点弦长公式1：\AB\=xx+x2+p,+x2>2y[x^=p,当玉=%时，焦点弦取最小值2夕，即所

有焦点弦中通径最短，其长度为2/7.

焦点弦长公式2：\AB\=^-(a为直线AB与对称轴的夹角).

sina

(4)AAO3的面积公式：SMOB=-^—(a为直线AB与对称轴的夹角).

2sina

(5)ZMFN=90°；

(6)以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或者3尸为直径的圆与y轴相切；

(7)过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上；

(8)A,O,N三点共线，B,O,M三点共线.

4、抛物线中的点差法

已知直线了=区+相与=2px(p>0)交于4(再，%),B(x2,%)两点，中点加(玉)，y0)

y：=2p玉①

将A,B两点代入抛物线方程，o：,

，2=2Pxi②

①—②n—1=二^,即心JL.

占-%2%+为y0

结论①：在抛物线中，弦中点〃(而，y0)与斜率左的关系式为：k=J

%

结论②：抛物线上一点8见,为)处的切线方程为：yoy=p(x+xo),斜率(存在时)心切=工；

>0

结论③：过抛物线外一点P(Xo,y0)引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：yoy=p(x+xo).

2

结论④弦长公式：[AB]=+k|xj—x2|=+y21(kAB=A;0)

结论⑤直线AB的方程为y-%='(x-％)

为

结论⑥线段AB的垂直平分线方程为y-%=-比。-%。)

P

0®®®

一.抛物线的定义(共2小题)

1.(2023春•上海市复旦附中高二第二学期期中)已知直线4:x—2y—16=0和直线/2：x+l=0,则抛物

线丁=4x上的动点p到直线/1和12的距离之和的最小值为.

【答案】375

【分析】利用抛物线的定义将距离和最小值转化为点到直线的距离求解即可.

【详解】直线4：x+l=0为抛物线V=4x的准线，尸（1,0）为抛物线的焦点,

过点P作PH工"于H,作于过/作FN_U］于N,

由抛物线的定义可得|「尸|=|加|,

\PH\+\PM\=\PF\+\PM\>|7W|,当工P',N三点共线时等号成立，

X|F^|=t^=375,

11V1+4

即动点P到直线4和k的距离之和的最小值为375.故答案为：3A/5.

2.（2023.4上海市虹口区二模）抛物线=4x上的点P（/,4）到其焦点的距离为.

【答案】5

【分析】确定抛物线的准线为1=—1,尸（4,4）,再计算距离即可.

【详解】抛物线V=4x的准线为x=—1,则42=4%,故/=4,

P（4,4）到焦点的距离等于到准线的距离，为4+1=5.故答案为：5

二.抛物线的标准方程（共1小题）

1.（2023春•上海市奉贤中学高二第二学期期中）设抛物线丁=8%的准线方程为.

【答案】x=-2

【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.

【详解】由抛物线方程：/=8x可得2夕=8,则^1=2,故准线方程为1=—2.故答案为％=—2.

三.抛物线几何性质的简单应用（共2小题）

1.（2023.4上海市黄埔区二模）以抛物线/=4x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为

【答案】（x-1）?+/=4

【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，确定圆心和半径，从而求出圆的标准方程.

【详解】抛物线V=4x的焦点（1,0）,准线方程为：%=-1,

团以抛物线V=4%的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2,

团圆方程为；（x—1）2+丁=4,故答案为：（x—1）2+丁=4.

2.（2023.4上海市闵行区二模）已知抛物线G：/=8%,圆G：（%—2）2+/=1,点知的坐标为（4,0）,

p、O分别为G、G上的动点，且满足|PM|=|PQ|,则点P的横坐标的取值范围是.

【分析】求出圆。2的圆心、半径，设出点P的坐标，利用圆的性质得出|PC21Tqp。因PC2I+I,结合

已知建立不等式，求解作答.

【详解】圆。2：（尤―2）2+/=1的圆心。2（2,0）,半径厂=1,设点尸«,s）,有$2=8，

依题意，|PC21Tqp0凶0021+1，当且仅当尸,QC三点共线时取等号，1^\PM\=\PQ\,

即有|PC2ITP”凶PC21+1,于是«—2)2+5_1<«-4)2+$2<«—2)2+$2+1,

即—2)2+81—1WJ(，—4)2+&W—2)2+&+1，整理得1+1WJ〉+i6wf+3,解得

715

62

所以点P横坐标的取值范围是.故答案为:［二号

6262

四.直线与抛物线（共2小题）

1.（2023春•上海市复旦附中高二第二学期期中）占,马是关于X的二次方程的2—2%+8—3m=0的两个

不同实数根，则经过两点A（%，k）,君）的直线与抛物线V=8x公共点的个数是（）

A.2B.1C.OD.不确定

【答案】A

【分析】先利用二次方程根与系数的关系求出的+%,占々，，然后代入经过两点A（X，x；），8（九2,君）的直

线方程，整理后可得直线恒过定点，根据定点和抛物线的关系可得直线与抛物线的公共点个数.

【详解】「Xi，%是关于尤的二次方程"a2—2x+8—3m=0的两个不同实数根，

.2

再+%=--

.m

.8—3m8：

再12-------二----3

、mm

又△=4-4m（8-3m）>0,得m<=或“z〉,,且

经过两点人（国,4），可马，々?）的直线为丁一片=无~—（X-X；）,整理得y=（石+%2）%-%送2

该直线恒过点4（4,3）,且斜率不为零，

根据图像可得直线与抛物线V=8x公共点的个数是2,故选：A.

2.（2022秋•宝山区期末）已知。为坐标原点，点A（l,1）在抛物线C：7=2py（p>0）上，过点2（0,

-1）的直线交抛物线C于尸、。两点：①抛物线C的准线为y=-1；②直线AB与抛物线C相切；③

\OP\'\OQ\>\OA^-,®\BP\'\BQ\^\BA^,以上结论中正确的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【分析】由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系逐一判断即可得解.

【详解】解：已知。为坐标原点，点A（1,1）在抛物线C：f=2py（p>0）上,

则2P=1,即即抛物线C的方程为7

对于①，由抛物线方程可得抛物线C的准线为y='，即①错误；

y4

'v=2x-1

对于②，由A(l,1),B(0,-1),则直线A3的方程为y=2x-1,联立(\'贝!J/-2x+l=0,

x也y

则A=0,即直线A3与抛物线C相切，即②正确；

对于③，由题意可得直线尸。的斜率存在，设直线产。的方程为y=fct-1,联立消>得f-

x"=y

2

依+1=0,贝U△=F-4>0,即斤>4,设p(X],x1),Q(x2>x22),则犬1+m=左，xix2=l,则|。*。。|

=2+xJ24=IXIx211/1+(X2+X22)+(XX2)2=yj(x+x)2=Ik|>2'又

^X2+X2I11t2

|OA|2=12+12=2,即|。尸|・|。。|>|。4|2,即③正确；

2X2=22

对于④，|BP||BQ|=V1+kIX[-0|V1+k|x2-0|(1+k)|xtx2I=l+k>5>又下『=

(1-0)2+(1+1)2=5,即|BP|・|3Q>|A4|2,即④错误，故选：B.

五.抛物线有关的最值，定值问题及综合应用（共2小题）

1.（2023春•上海交大附中高二第二学期期中）已知抛物线圆。2：（%—2）?+y2=l,若点P、

。2上运动，且设点M（4,0）,则愕J的最小值为（）.

。分别在C1、

1

3431

A.-B.-C.-D.-

5542

【答案】B

IPMIIPMI

【分析】要使旨/最小，贝HPQI需最大，根据抛物线的定义可得IPQLx=IP/l+「x+3,

6+16,然后整理换元转化为二次函数求最值.

x+3

【详解】如图，设圆心为尸，则尸为抛物线＞2=8x的焦点,

该抛物线的准线方程为x=-2,设尸(x,y),由抛物线的定义得IP户I=X+2,要使在云最小，则IPQI需

最大，

如图，IPQI最大时，经过圆心尸，且圆尸的半径为1,

IPQImax=1PFI+1=尤+3,且1PMi=7(x-4)2+y2=7(X-4)2+8X=&+16，

所以㈣£[=Jf+16,令X+3=/Q»3),则》=/一3,

\PQ\x+3

所以坨=近三用H,由o,j,

\PQ\t\t2tt3

K,,、256,pl3、,16,日131曰〜,.16\PM\4

而/«)==----+1=25(---)+—,得一=不〈二，/⑺取得取小值本，n则7二八；的取小值为二.

rtr2525t25325\PQ\5

故选：B.

2.(2023春•上海交大附中高二第二学期期中)已知尸是抛物线/=4%的焦点，A,B是该抛物线上的动点.

(1)尸(4,1)是一个定点,求|AP|+|AF|的最小值：

(2)若焦点厂是AAQB的垂心，求点A、B的坐标

【答案】(1)5(2)A(5,2A/5),B(5,-2A/5)A(5,-2A/5),B(5,2A/5)

【分析】⑴由抛物线的定义，得|阴+|4尸|=|4尸|+|4引，结合图形得最小值；

(2\/2、

⑵垂心为三条高线的交点，由对称性知A,3关于x轴对称，设点A％,B牛,-％,再利用垂直

I4JI4J

关系建立方程求解坐标.

【详解(1)1由抛物线产=4x知焦点尸(1,0),准线/:x=-1,

过A作AH，/,垂足为“，过点P作垂足为〃'，P(4,l),

由抛物线的定义，|AP|+|A耳=|加+|4时习W'|=4+1=5,

(1)

当且仅当AP,“三点共线时取等号，此时A-,1,

U)

所以|AP|+|AF|的最小值为5.

［详解（2）】由焦点尸是AABC垂心，则

即A,3关于x轴对称，且A06,

设A,，必，3号必,由频F%OB=T,

I4J\4y

MZ2L=_i

得才］才，化简得犬-4=16,解得％=±2A/5，

------1----

44

所以点A,3的坐标为A（5,26）,3（5,-2遥）或A（5,—2逐）,3（5,20）.

一、单选题

1.抛物线y=4尤②的焦点到准线的距离是（）.

A.—B.—C.2D.4

168

【答案】B

【分析】根据抛物线定义求解

【详解】由抛物线方程知：^=2py=\y,即p=：,根据抛物线定义知:焦点到准线的距离是p=;

48O

2.抛物线y=4尤2上的一点加到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是（）

【答案】B

【分析】化为标准式，根据抛物线定义求解

【详解】设M(x。,%),由抛物线方程y=4f化为得焦点尸(0,[),准线丫=一上，

41616

由抛物线定义可得|MF|=%+J=1,解得%=§.

1616

3.动点川(x,y)满足方程5,(无一丁+(y-2)=|3x+4y+12],则点〃的轨迹是()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】D

【分析】对方程进行变形，然后根据几何意义求解

【详解】由5"。-1)2+(y—2)2=|3x+4y+12|得J(x—l)2+(y_2)2=)x+?+12],

等式左边表示点(x,y)和点(L2)的距离，等式的右边表示点(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离,

整个等式表示的意义是点(羽田到点(L2)的距离和到直线3x+4y+12=0的距离相等，

且点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上，所以其轨迹为抛物线.

二、填空题

1.(2023春•上海市复旦附中高二第二学期期中)抛物线V=-24x的准线方程是.

【答案】x=6

【分析】根据抛物的标准方程，直接求出结果.

【详解】因为抛物线方程为V=—24x,所以准线方程为尤=6,故答案：x=6.

2.(2022秋•嘉定区期末)已知抛物线7=3y,动点A自原点出发，沿着y轴正方向向上匀速运动，速度大

小为v.过A作y轴的垂线交抛物线于8点，再过8作无轴的垂线交x轴于C点.当A运动至(0,100)

时，点C的瞬时速度的大小为.

【答案】近V

20

【分析】根据题意对函数丫二4%2求导数，求出抛物线在该点处沿y轴正方向向和沿x轴正方向的瞬时速

度比值，再根据v求出点C的瞬时速度大小.

【详解】因为抛物线/=3y,所以y=JLf,所以＜=2X；

33

当y=100时，x=10j§,所以y'=2义10«=空巨；

33

又因为抛物线在该点处沿y轴正方向向和沿x轴正方向的瞬时速度比值为二工=*=变巨，

vxvx3

所以以=3==亚1，，即点C的瞬时速度大小为近V.故答案为：亚v.

20/3202020

三、解答题

1.(2023春•上海市复旦附中高二第二学期期中)已知抛物线。的方程为V=4x.

(1)求过点Q2)且与抛物线。只有一个公共点的直线的方程；

(2)已知直线/过焦点，且与抛物线交于A,8两点，点M为该抛物线准线上一点，求证：MA-MB>0

【答案】(1)y=-x+2,尤=0和y=2；(2)证明见解析.

-2

【分析】(1)考虑直线斜率不存在和与抛物线对称轴平行的直线，再在斜率存在时，设方程V=丘+2,由

它与抛物线相切得结论.

(2)直线/方程为％=%+1,设A。,%)]小,%)，设直线方程代入抛物线方程应用韦达

定理，代入双？.该计算可得.

【小问1详解】

显然直线x=Q和直线y=2都是与抛物线只有一个公共点，

再设直线方程为y=kx+2,代入抛物线方程得廿£+4(4-l)x+4=0,

由A=16(k—I-—16左2=0得A=；,直线方程为y=gx+2,它与抛物线相切.只有一个公共点.

所以所求直线方程为y=gx+2,%=0和y=2；

【小问2详解】

由已知抛物线焦点为尸(1,0),设直线/方程为％=阳+1,设4(七,%),8(々,为)，

[x=my+l

由《7”得：/一4根y—4=0,%+%=4根，

y=4x,一」

准线方程是1=—1,设

所以MA-MB=(X1+1,—t)•(x,+1,%—t)=(X]+l)(x,+1)+(y—/')(y,—t)

=(根乂+2)(m%+2)一(%一)(%T)=(m2+1)%为+(2加一。(%+%)+4+/

—t2+4mt+4m2-(t+2m)2>0.

2.(2023春•上海市杨浦高中高二第二学期期中)已知以尸(1,0)为焦点的抛物线G的顶点为原点，点尸是

抛物线Ci的准线上任意一点，过点P作抛物线C1的两条切线以、PB,其中A、B为切点,设直线24、

尸3的斜率分别为％、k2.

(1)求抛物线G的标准方程；

(2)若点P的纵坐标为1,计算匕•七的值；

(3)求证：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标.

【答案】(1)y2=4x(2)匕？&-1(3)证明见解析，(1,0)

【分析】(1)根据抛物线焦点坐标即可求出抛物线G的标准方程；

(2)设出切线方程，与抛物线联立，得到关于斜率々的方程，求解匕•乂即可・

(3)求出A3所满足的方程即可得到直线方程，再求出其恒过的顶点坐标.

【详解(1)1因为抛物线C1的顶点为原点，焦点在x轴上，

所以设抛物线方程为丁=2px,(p>0),

因为b(1,0)为焦点，所以］=lnp=2,

所以抛物线方程为/=4x.

【详解(2)】抛物线方程为：/=4x,所以其准线方程为x=—1,

点P是抛物线G的准线上点，且纵坐标为1，所以P(-M)

过尸作抛物线切线，由题知斜率存在且不为0,设其斜率为上

则切线方程为丁=左5+1)+1=工=二—1,

k

y2=4x44

联立<y-l=>y----+—+4=0,

x=^--lkk

、k

—

A=fj—4(g+4]=0=>/+左一1=0,其两根kx,k2,

所以K?左2-1.

【详解(3)］设点A(x，x)、3(无2,%)，

下面证明抛物线。2在其上一点A处的切线方程为=2x+2x1；

y2

联立厂=4Cxc可得/9_2%尸