空间向量与立体几何（典型例题与跟踪训练）-2025年高考数学一轮复习

空间向量与立体几何专题突破(典型例题与跟踪训练)-2025年高考数

学一轮复习

一、单选题

1.己知〃=(3,a+6,。-3(。/61<)是直线/的方向向量，"=(1,2,3)是平面。的法向量，若/_La,则

()

A.a=1,b=8B.a=—l,b=—2

〃3715n1573

C.a=-,b=D.a=—,b——

2222

2.直三棱柱ABC-AqG中，若C4=a,CB=6,CCj=c,则()

C.-a+b+cD.—a+b—c

3.在正方体中ABCO-ABG2,直线AB与平面BG2所成的角为（）.

/G

\\1/

1\'/

\/

AB

,2兀_71_7tc兀

A.—B.—C.一D.-

3643

UULl

4.如图，正四棱台ABCD—ABiG。］中，AB=2,AlBi=1，则AC】在AB上的投影向量是()

%_______Cx

AB

3——535

A.-ABB.-ABC.-ABD.-AB

4688

5.在棱长为2的正方体ABC。-ABGA中，E,尸分别为棱A4，3用的中点，G为棱4片上的一

点，且AG=4(OvXv2),则点G到平面厂的距离为()

A.yB.72C.D.正

335

6.已知二面角-尸的棱/上有A,B两点，直线BD,AC分别在平面a,夕内，且它们都垂直于/.若

AB=5,AC=3,BD=6,CD=2岳,则平面a与夕的夹角为()

A.30°B.60°C.120°D.135°

7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点A(-3,4)的直

线/的一个法向量为(1,-3),则直线/的点法式方程为：lx(x+3)+(-3)x(y-4)=0,化简得

尤-3y+15=0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点”(1,2,3)的平面的一个法向量为

丽=(1,2,T),则该平面的方程为()

A.x-2y-4z+7=0B,x+2y-4z+7=0

C.%+2y+4z+7=0D.x+2y-4z-7=0

8.沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为CH4,且分子结构是正四面体结构，其结

构简式如图所示.记上顶点为区，底面三个顶点分别为82，4,4,Cd=C4=C&=C4,设

二、多选题

9.在平行六面体ABCD-A'B'C'D中，若A3所在直线的方向向量为(-2,1,3),则C-'所在直线的方

向向量可能为()

A.(2,1,3)B.(2,-1,-3)

C.(—4,2,6)D.(4-2,6)

Q

10.如图，4石=3。=2,715=?10=1,。尸=—，贝|J()

7

A.BD±EC

B.3歹〃平面ADE

C.平面EBD与平面ABC。夹角的余弦值为g

4

D.直线CE与平面3DE所成角的正弦值为§

11.如图，在正三棱柱ABC-44G中，E,尸分别为BC,AC的中点，AC=2,则下列说法正确的

是（）

A.若用=6，则异面直线AF和BC所成的角的余弦值为:

B.若A4,=6,则点C到平面AEP的距离为2叵

13

C.存在44-使得3CL平面AE尸

D.若三棱柱ABC-AgG存在内切球，则44,=理

三、填空题

12.已知是空间的一个基底，^m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(Jb+c)+3(a+c),若mHn,则

x

y

13.四棱锥尸-ABC。中，PD,底面ABC。，底面ABC。是正方形，且尸。=1,AB=3,G是VABC

的重心，则PG与平面PAD所成角e的正弦值为.

14.某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装礼盒.包装礼盒如图所示，VABC与；DEF均

为正三角形,平面ASC//平面DEF,同D,E,F在底面ABC上的投影分别是线段AB,AC,的中点，

AB=4,且三棱锥D-ABC的体积为4石，则平面b与平面C即所成角的余弦值为

四、解答题

15.已知a=（3,4,x）,b=（2,y,-2）.

⑴若（a+2匕）〃Q-b）,求x,y的值;

⑵若仅+山心-凡且忖=5,求尤的值.

16.在长方体A3CD-A4GA中，AA=AO=1,£为线段CZ）中点.

(1)求直线BE与直线AR所成的角的余弦值;

(2)在棱A4上是否存在一点尸，使得DP//平面耳AE?若存在，求小的长；若不存在，说明理由.

17.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为正方形，上4,底面ABC。，AB=AP,E为棱PB的

中点.

⑴求直线PD与CE所成角的余弦值；

(2)求直线C。与平面ACE所成角的正弦值;

18.如图，在四棱锥尸—ABCD中，84_L平面ABC。，PA=AD=CD=2,BC=3,PC=26,E为

中点，.

P

⑴求CE的长度；

PF

(2)在棱P8上是否存在一点尸，使得AF〃平面PCD?若存在，求二的值；若不存在，请说明理由

FD

从①CDLBC；②8C〃平面这两个条件中选一个，补充在上面问题的横线中，并完成解答.

19.正四棱柱0ABe-。4与£中08=0，点尸，。水分别在的，期,CG上，且O,P,Q,R四点共面.

(1)若O尸=OR,记平面。尸0R与底面的交线为/,证明：AC//h

(2)已知==若［+〃=£,求四边形。尸。尺面积的最大值.

参考答案:

题号12345678910

答案DDBADBBCBCBCD

题号11

答案AB

1.D

【分析】根据线面垂直可得〃=筋，故可求参数的值.

【详解】因为/，0，故〃〃〃，

3=2

故存在实数4,使得〃=加，故。+6=2彳，故；，

a-b^3A^=--

,I2

故选：D.

2.D

【分析】由空间向量线性运算法则即可求解.

［详解］48=耳8+4耳=_CC］+hCA+CB)=_a+b_c.

故选：D.

3.B

【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可.

如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

则4(1,0,1),5(1,Lo),A(o,o,I),G(0,1，1)，

所以网=(0,—1,1),BG=(—1,0,1),BD「=(-1-1,1),

设平面BCR的一个法向量为力=(x,y,z),

直线43与平面BG2所成的角为

n•BD.=-x-y+z=Q,

则＜,令x=l=y=O,z=l,即〃=(1,0,1)x,

n•BC[=-x+z=0

I।\n-^A\ii

।个同.画|0x夜2’

所以a=g

o

故选：B

4.A

【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，再利用投影向量公式求解即可.

【详解】设正四棱台A88-ABC2的高为〃，

所以四边形ABCD,4用CA是正方形，设其中心分别为凡E,连接CAG4，

如图，以F为原点建立空间直角坐标系，且作CQLCF,

由勾股定理得C4=2逝,GA=亚,所以CF=e，GE=今,

由题意得CZ//CT,CfiUEF,所以四边形EFGG是平行四边形，

所以CiE=GF=g,EF=CiG,故CG=^,得到G(-g,g,/z),

333

而A(LT0),3(l』,0),所以A5=(0,2,0),AC]=(-5,3，h),所以AC[=2x^=3,

UUULAB,AC,AB3

由投影向量公式得AC|在AB上的投影向量为网,网=1,故A正确.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐

标，再利用投影向量公式得到所要求的投影向量即可.

5.D

【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可.

【详解】以。为坐标原点，”所在直线为X轴，OC所在直线为V轴，。2所在直线为z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系,

则G（2，,2）,D,（0,0,2）,E（2,0,l）,尸（2,2,1）,

所以EQ=（-2,0,1）,EF=（0,2,0）,£G=（0,2,1）.

/、n•ED,--2x+z=0

设平面D跖的法向量为w=（x,y,z）,则1,

n•EF=2y=0

取X=1,得。=（1,0,2）,

所以点G到平面DXEF的距离为d==［也,

\n\五5

故选：D.

6.B

【分析】由C£>=CA+A8+8r>，两边同时平方代入可得cosCA3D=-J,即可求出平面a与夕的夹

角.

【详解】因为CD=C4+A2+2D,所以|a>F=|CA|2+|A8|2+|8DF+2al•4B+2A84D+2c

因为C4-A2=0，ABBD=0,AB=5,AC=3,BD=6,CD=2屈,

所以（2万J=52+32+62+2X3X6COSCA,BD,

所以COSCA,2D=-L.

2

因为cos（C4,BD）e[0°,180°],所以cosCA,B£>=120。,

故平面a与夕夹角为180。—120。=60。60。.

故选：B.

7.B

【分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论.

【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点P(元,％z),则MP=(x-l,y-2,z-3),

-平面的法向量为根=(1,2,-4),.•.lx(x-l)+2x(y-2)-4x(z-3)=0,

所以该平面的方程为x+2y-4z+7=0.

故选：B.

8.C

【分析】根据几何关系，结合向量数量积的几何意义，即可求解.

1.21

【详解】因为甲烷的结构为正四面体，所以息=--«2-

2

又CH\=CH,=CH3=CH",同理可得CH,-H,H3=-1a,CHr乜&=-;/，

所以CH】•(W区+H1H3+H/J=一|".

故选：C

9.BC

【分析】由已知可得/出〃CD,所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各

个选项.

【详解】由已知可得/出〃CD,故它们的方向向量共线，

对于B选项，(2,-1,-3)=-(-2,1,3),满足题意；

对于C选项，(-4,2,6)=2(-2,1,3),满足题意；

由于A、D选项不满足题意.

故选：BC.

10.BCD

【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可.

【详解】根据题意可知两两垂直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

可得3(1,0,0),C(1,2,0),。(0,1,0),E(0,0,2),尸[1,2。],

贝UBD=(-1,1,0),EC=(1,2,-2),BE=(一1,0,2),

所以3O-EC=Txl+lx2+0x(—2)=lw0,所以3。，EC不垂直，故A错误;

依题意，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量，

又8歹=(0,2,g],可得3尸.43=0,则8尸_1_45,

又因为直线3/0平面ADE,所以3尸〃平面ADE,故B正确；

设"?=(a,。,c)为平面3DE的一个法向量，贝y，

m•BE=-a+2c=0

令b=2=>a=2,c=l,可得m=(2,2,1),

而AE=(0,0,2)即底面ABC。的一个法向量，设平面£B£>与平面ABC。夹角a,

।।\m-AE\21

贝|]85。=卜0$九4同=;^~7=--=-,^C正确；

11\m\-\AE\3x23

设直线CE与平面m所成角为6,CE=(-l,-2,2),

।।|c£.ml

则sind=cosCE,m=J―r—L=4-,故D正确.

11\CE\-\rh\9

故选：BCD.

11.AB

【分析】根据题设条件建系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式求

解判断A项，利用点到平面的距离公式计算判断B项，利用向量数量积的结果排除C项，根据内切

球的特征求出其半径即可排除D项.

【详解】

如图，过点E作2用的平行线交&C于点M，则平面ABC,

又AE_L8C,故可分别以EA,EC,EM所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则A(0,5/3,0),B(T,0,0),C(l,0,0).

对于A,依题意，A(O,66)，G(I,O,百)，吗¥，"»,

则A歹=d,_走,A),BC=(2,0,0),由C0S〈A/,8C〉=＞尸

22\AF\-\BC\4

可得异面直线AF和3c所成的角的余弦值为:，故A正确；

对于B,依题意，EA=(0,V3,0),£F=(1,^,V3),

设平面AEF的法向量为”=(x,y,z),

EA-n=5/3y=0

则，'也/-，故可取九二(-26,0』)，

EFn=一%+二一y+J3z=0

I22，

又EC=(1,0,0),故点C到平面但的距离为〃=空刈=坐=坐^,故B正确；

|n|71313

对于C,设AA]=f,则£/=(；，¥/),

由2C・E^=lw0可得，BC与斯不垂直，故不存在44-

使得3C，平面AEF,即C错误；

对于D,若三棱柱ABC-4瓦£存在内切球，不妨设其半径为，，则抽=2r，

且内切球在底面上的射影是底面三角形的内切圆，故由正义22=3乂!*27,解得「=在,

423

然=半，故D错误.

故选：AB.

12.3

【分析】由〃2〃/，可得存在实数彳，使”=打〃，然后将见”代入化简可求得结果

【详解】m=a+2b-3c^n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c,

因为m//几，所以存在实数4,使〃=4机，

所以(x+3)Q+(%—y)b+(3—y)c=+2b-3c),

x+3=4

所以＜x-y=24,

3—y=-34

所以

所以*=3.

故答案为：3.

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面PAD的一个法向量加及PG，由尸G与平面PAD所成角6,

m-PG\

【详解】因为底面ABCD,底面ABCD是正方形，

所以。ADC,。尸两两垂直，以O为坐标原点，尸的方向分别为轴的正方向，建立如图

所示空间直角坐标系，

B/t：-

则。（0,0,0）,P（0,0,l）,A（3,0,0）,3（3,3,0）,C（0,3,0）,则重心G（2,2,0）,

因而PG=（2,2,-1）,D4=（3,0,0）,£>P=（0,0,1）,

设平面PAD的一个法向量为〃?=（X,y,Z）,

m•DA=3x=0,、

则，令y=l则机=（0,1,0）,

mDP=z=G

m-PG2

则sin6=cos（私PG

网•园1x33

故答案为:

14.-/0.125

8

【分析】利用体积公式可得DM=3,即可建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角求解.

【详解】取A8中点M,连接DAf,则D似，平面ABC,所以DWr为三棱锥A5C的高,

所以三棱锥D-ABC的体积为gSAABC-OM=gx乎x4?xOM=，解得DM=3.

连接CM,以/为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系,

则3(2,0,0),。(0,0,3),。(0,2后0),41,后3),石卜1,后3),

故9=(一2,0,3),DF=(1,A/3,0),EF=(2,0,0),CF=(1,一石,3),

m•BD=-2x+3z=0,

设平面BDF的法向量为m=（x,y,z）,则

m-DF=x+6y=0,

取尤=3,则而=9,一"2）,

同理平面CEF的法向量为n=（0,V3,l）,

,/、-3+2

贝I]cos{m,n)=/~,=所以平面班审与平面CEF所成角的余弦值为1.

79+3+4x73+1oO

【分析】（1）先求出〃+2）和〃—｝的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得;

（2）先根据向量垂直得（。+6〉（。-6）=0,进而同=忖=5,再根据向量模的坐标表示计算可得.

【详解】（1）,・•羊=（3,4,x）,石=（2,%-2）,

<7+2Z?=(7,4+2y,九一4),a-b=(l,4-y,x+2).

又(a+2b)〃(a—b)，

4『与，解得九=3t

14-yx+23

(2)

.-2,2，同=忖=5,即瓜=25,二32+42+%2=25,解得了=0.

,・a—b=0，

16.(1)0

(2)存在，AP=1

【分析】（1）建立空间直角坐标系，设钻=。，写出点的坐标，求出4后・叫=0,得到异面直线夹

角余弦值为0;

（2）设P（0,0,z°）,求出平面4AE的一个法向量〃=11,-,-aj,根据。p〃=o得到方程，求出z=g,

故存在点尸，使得上〃平面4AE,此时4尸=；.

【详解】（1）以A为坐标原点，AB,A2A4,所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=a,则与(。,0,1),£卜,1,0),4(0,0,0),2(。，1/)，

则耳E.AA=[_£,1,1)=1-1=0,

故直线B.E与直线ADX所成的角的余弦值为0；

（2）存在满足要求的点尸，理由如下：

设棱AA上存在点P（O,O,zo）,使得DP//平面耳AE,

£>(0,1,0),则QP=(O,-l,Zo),

设平面B]AE的一个法向量为n=(x,y,z),

n.AB1=(x,y,z).0,1)=QX+z=0

人,n-AE=(x,y,=-^x+y=0'

-a,,a।

取x=]得y=_j,z=_a,i^n=\l,--,-a\,

要使DP//平面4AE,则”_Lr)p,

即DP〃=(O,-l,Zo)[l,-?-\|=O,所以1一%=0,

解得z0=；，

故存在点尸，使得OP〃平面4AE,此时=

17.⑴3

2

⑵也

3

【分析】（1）由题意建系，利用空间向量的夹角公式计算即得;

（2）先求出平面ACE的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.

【详解】（1）

如图以点A为原点，尸所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

设筋=AP=2,则。(0,2,0),尸(0,0,2),C(2,2,0),3(2,0,0),E(l,0,1),

于是，DP=(0,-2,2),CE=(-1,-2,1),贝1］。尸-。£=6,|£＞尸|=2夜,|废|="，

DP-CE6

由cos〈DP,CE)

\DP\-\CE\~2^2x^/6~2

故直线即与CE所成角的余弦值为争

如图，连接AE,由上建系知，CD=(-2,0,0),AC=(2,2,0),AE=(1,0,1),

ACn=2x+2y=0

设平面ACE的法向量为几=(%,y,z),则＜，故可取〃1),

AE-n=x+z=0

设直线C。与平面ACE所成角为e，则sin0=|cos〈〃,CD)|=|—二产|=—

2xV33

即直线CO与平面ACE所成角的正弦值为心.

3

18.(1)选择见解析，叵

2

(2)存在，|-

【分析】(1)选择①，根根据条件得到ADLDC,从而有3C〃AD,以C为坐标原点，以BC,DCJ

所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出C,E两点的坐标，再利用空间两点间的距

离公式，即可求解;选②，根据条件，利用线面平行的性质定理得到3C〃仞，再结合条件得ADLOC,

从而有以C为坐标原点，以3CDC,/所在直线为x轴，＞轴，z轴，建立空间直角坐标系，

求出C,E两点的坐标，再利用空间两点间的距离公式，即可求解；

PF2

(2)利用3OMD,BC=3,AD=2,当诟=耳，作FH//BC,从而可得四边形AFHD为平行四

边形，从而得到AF//HD,再利用线面平行的判定定理，即可求解；

【详解】(1)选①，连接AC,因为PAL平面ABCD,又ACu面ABCD,所以申LAC,

XPA=AD=CD=2,PC=2。得至！J|AC|=_|尸4『=42-4=2&,

所以卜。「=|")『+|(为「，得到AD，。。，所以3C〃AD,

过点C作直线〃/AP,贝心，平面A5CD,又CDLBC,

以C为坐标原点，以BCDC,/所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0),尸(-2,-2,2),3(0,-3,0),又E为PB的中点，得到E(-l，-1,1),

所以他=1当+1=邛.

选②，因为BC//平面上4£>,又面B4DC面ABCD=AD,BCu面ABCD,

所以BC//AD,又因为上4,平面ABC。，又ACu面ABC。，所以B4LAC,

又PA=AD=CD=2,PC=2y/3,得至！J|阳=J|PC『一网2=必-4=26,

所以|AC「=|4)「+(£)「，得到AZ)_LOC,所以CD_L3C,

过点C作直线"/AP,贝心，平面ABC。，

以C为坐标原点，以BC,OC,/所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(O,O,O),P(-2,—2,2),8(0,-3,0),又E为尸3的中点，得到颐-1,-，1),

所以|CE|=Jl+?+l=f.

PF2

(2)存在，当==二，即尸为依靠近3的三等分点时，AF//平面PCD,理由如下,

PB3

如图，过F作FH//BC交PC于H,连接

因为黑=1FH//BC,所以黑=?,即但叫=：忸C,

IDjnCJJ

由(1)知3C7MD,又3C=3,AD=2,所以F"//AD,且PW=AD,

所以四边形AFHD为平行四边形，得到Ab//HD,又HDu面PCD,AFa面PCD,

所以AF〃面PCD.

PF2

即在棱尸3上存在一点尸，使得AF〃平面PCD,