立体几何常见压轴小题全面总结与归纳解析（9大题型）练习-2025年高考数学二轮复习

专题14立体几何常见压轴小题全面总结与归纳解析

目录

01模拟基础练.................................................................2

题型一：球与截面面积问题.....................................................2

题型二：体积'面积、周长、角度'距离定值问题.................................4

题型三：体积、面积'周长'距离最值与范围问题.................................7

题型四：立体几何中的交线问题................................................12

题型五：空间线段以及线段之和最值问题........................................14

题型六：空间角问题...........................................................17

题型七：轨迹问题.............................................................20

题型八：翻折问题.............................................................23

重难点突破：以立体几何为载体的情境题........................................26

02重难创新练................................................................29

题型一：球与截面面积问题

1.（2024.内蒙古包头.一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥

的高之比为1:3,它们的体积之和为4兀，则该球的表面积为（）

A.1871B.167rC.12兀D.9兀

【答案】B

记该截面和球的半径分别为乙尺，由于两个圆锥的高之比为1:3,

故球心到该截面的距离为6,从而JR2T2=日,r=^R.

222

DQD1R3R2

而两个圆锥的高分别是胃，蓝，故体积之和丫=3兀产-—+一=—nr27R

223

3

从而产R=：R3=6,i^r=\/3>R=2.

4

该球的表面积S=4成2=16兀.

故选：B.

2.已知正四面体尸-ABC内接于球O,E为底面三角形ABC中边3C的中点，过点E作球。的截面，若

存在半径为2⑺的截面圆，则此四面体的棱长的取值范围（）

A.[2叵2向B.[273,276]C.[4立4向D.[4石,4如

【答案】C

【解析】如图，在正四面体尸-ABC中，设顶点P在底面的射影为。1,

2

则球心。在Pq上，。1在AE上，且|4。1|=§|4回,连接OE、

设正四面体的棱长为。，则恒闻=孝“,\AOl\=^\AE\=^-a

则正四面体的高尸。|=[pA-O#=>不了=%，

设外接球半径为R,

在RtAOQA中，。4=。。：+0质2,即&=（半4一尺）2+（（4）2,解得R=生,

.•.在RtAOO,£中，OE=Joo；+0^2=^a）2+（^a）2=^a，

过E点作外接球。的截面，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小,

此时截面圆的半径为/=一。炉=特°）2_（£4=la>

最大截面圆为过球心的大圆，半径为尺=逅°,

4

由题设存在半径为2道的截面圆，,aV2后解得404屋46，

24

故选:C.

3.（2024.陕西榆林.一模）已知”是球。的直径AB上一点，AH:HB=1:2,AB_L平面。，〃为垂足，。

截球。所得截面的面积为兀，M为a上的一点，且MH二,过点M作球。的截面，则所得的截面面积

最小的圆的半径为（）

A.叵B.姮rV14D.叵

2442

【答案】c

【解析】如图，设截得的截面圆的半径为「，球。的半径为R,

B

因为AH:/汨=1:2,

所以0〃=；R.由勾股定理，得a2,由题意得兀/=兀/=1,

所以尺2=1+&氏：，解得心=|,

此时过点M作球。的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.

设球心。到所求截面的距离为“，所求截面的半径为/,则

所以只需球心。到所求截面的距离d最大即可，

而当且仅当加与所求截面垂直时，球心。到所求截面的距离“最大，

故选：C

题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题

4.（多选题）如图，正方体ABCD-ABCQ的棱长为1,线段耳2上有两个动点及/，且所=g,则下

列结论中错误的是（）

A.AC//A尸B.EF//平面ABC。

C.三棱锥A-5E/的体积为定值D.△AEF的面积与△3EF的面积相等

【答案】AD

【解析】对A,不妨取点尸与点耳重合，

因为ACc平面ABBM=A，A瓦在平面AB与A内，且不过点A,

所以AC,4蜴异面，即此时ACA尸异面，A错误；

对B,因为耳2u平面4B]GA，且平面AB|CQ〃平面ABCD,

所以瓦。〃平面245c£）,所以所〃平面ABCD,B正确，不符合题意；

对C,易知，点A到平面B3a。的距离为定值，又5即=汐网=3,

所以三棱锥A-3跖的体积为定值，C正确；

对D,记AC,4G的中点分别为O,Q,连接。O1,。/,

易知。。_L平面ABC。，AOu平面ABCD,所以OO]_LAO,

因为BR1.AG，OQ,。。1,AG是平面AAGC内的两条相交直线,

所以平面441aC,

又AQu平面AACC，所以AO1，瓦R,所以AQ=必谖了后=年，

所以S,曲=!所,4。1=诿，D错误.

28

故选：AD

5.（多选题）在正八面体M-ABCL>-N中，所有棱长均为1,点。为正方形ABCD的中心，点P为正八面

体内切球球面上的任意一点，下列说法正确的是（）

A.正八面体内切球的表面积2与7r

B.正八面体的体积为逑

PM•尸4的范围是,]+"

D.若NPAB=a/PAD=0,二面角3-AP-。的平面角为。，则tanatan尸tan。为定值

【答案】ACD

【解析】A.由题意得，可以只分析正四棱锥"-ABCD,易得正四棱锥的高为理,

2

侧面正三角形的高为由，因此由等面积法可得走厂=走，解得『=逅，

2246

所以表面积为4a2=与，故A正确；

B.正四面体的体积为两个正四棱锥的体积之和，VMABCD，Sh=^

IVL—t\Dx^L)3$

因此小八面体=,，故B错误；

C.取中点

PMPA=^PH+HM^PH+HA^=PH2-HA"=PH2

而点。到〃的距离为

因此PH的最小值为1-，最大值为1+，r=叵,

226

代入数据可得PM的范围是上费,二员,故C正确;

OO

D.过点尸作尸E_LAP,交AB于点M,PF_LAP交AO于点下,

因此ZPAB=ZPAM=a,/PAN=0,/EPF即为二面角B-AP-D的平面角(P,

在三角形肱W中，EA2+AF2=EF2>

在三角形以小'中，EF2=PE2+PF2-2PEPFcos(p,

所以EA2+Ap2=尸石2+尸尸2—2PE•尸尸.cos。，

化简可知2PE-PF-cos(p=(PE2-EA2)+(PF2-FA2)=-2AP2

PMPN

因止匕--------cos"=tanatan；0cos0=-l,因止匕D正确.

APAP

故选：ACD

题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题

6.（多选题）在正方体ABCD-ABIGR中，点尸满足第=，其中2e[0,l],则

()

A.当彳=〃时，A,〃平面ACD]

B.当〃=1时，三棱锥尸-ABC的体积为定值

C.当4=1时，△PBD的面积为定值

7171

D.当4+〃=1时，直线4。与RP所成角的范围为y,-

【答案】ABD

【解析】对于A选项，如下图，当彳=〃时，P点在面对角线2G上运动，

又Pe平面AGB,所以APu平面AGB,

在正方体ABCD-A瓦G2中，4B//G2且AB=G2,则四边形ABG2为平行四边形,

所以，ADJ/BC},AR①平面A^G，平面A^G，〃平面ABG，

同理可证ACH平面,

ADtAC=A,所以，平面AGB〃平面AC。，

APu平面4BG，所以，4尸〃平面AC。，A正确；

对于B选项，当M=1时，如下图，P点在棱用G上运动，

三棱锥尸-ABC的体积LMBC=5“BCA耳为定值，B正确;

对于C选项，当4=1时，如图，尸点在棱CC|上运动，过尸作于E点,

贝其大小随着PE的变化而变化，C错误;

对于D选项，如图所示，当4+〃=1时，P,C,q三点共线,

因为A瓦//CD且44=8,所以四边形44CD为平行四边形，所以AD//BC，

所以NRPBi或其补角是直线\D与D.P所成角，

兀TT

在正△A4C中，NA/4的取值范围为万,D正确.

7.（多选题）（2024•湖南常德•一模）已知正方形ABC。边长为4,将VABC沿AC向上翻折，使点B与点

。重合，设点S为翻折过程中点B的位置（不包含在点£（处的位置），则下列说法正确的有（）

A.无论点S在何位置，总有ACLSD

B.直线SD与平面ACD所成角的最大值为:

C.三棱锥S-AC。体积的范围为

D.当平面&1C，平面ACD时，三棱锥S-ACD的内切球的半径为40-2斯

对于A,设。是正方形ABCD的中心，则。4=OB=OC=OD=2近.

过。在正方形ABCZ）上方作直线OP,使得OP1•平面ABCD,OP=2应,

再在平面尸3。内以。为圆心，20为半径作圆0，

则S的轨迹为圆。位于正方形ABC。上方的部分（不含点民。）.

由于OP_L平面ABC。，AC在平面ABCD内，故OPJ_AC.

而AC23D,O尸和2。在平面尸3。内交于点。，所以AC_L平面尸3D.

又因为SD在平面PBD内，所以AC_L5D,A正确；

对于B,由于。P_L平面ABCD,平面尸3D的两直线。尸和5。相交，

故直线SD与平面ACD所成角即为ZSDB,

而当S在圆。的上半部分（不含点氏。）运动时，NSDB的范围是[a]],B错误;

对于C,由于S到平面ABCD的距离d的取值范围是0<dw|OP|,即0<d42加，

而三棱锥S-ACD的体积匕78=；548/=34必14。以=,，故其取值范围是[。,竽1,C正确;

对于D,若平面S4CJ_平面AC。，由于AC_L平面P5D,S0在平面P5D内，

故S0LAC.

而平面S4C_L平面ACD,S0在平面SAC内，SOIAC,平面9IC和平面ACD的交线是AC,

故SO_L平面ACD.

而。尸，平面ABCD,故0,尸,S位于同一直线上，而|。4=|。5|=2/，且RS均在正方形ABCD上方，故

点S和点尸重合.

设三棱锥尸-ACD的内切球半径为r.

由于河=附同期=明=附=4,故5.=5懑=£*42=4收

PAC=^\OP\-\AC\=^-2y/2-4^2=8,SACD=^\AD\-\CD\=-4-4=8,且由C选项的计算可知

y_虫

vP-ACD-3.

故1厂（5）=，/（［6+84），得r=’6拒=4向2&，D正确.

故选：ACD.

8.（多选题）（2024•福建厦门•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体45co中，点E,E分别是

和BR的中点，则（）

C.点尸到平面E4c的距离为逅

3

D.过E作平面a与平面ACE垂直，当a与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为

【答案】BCD

【解析】在棱长为2的正方体ABC。-A瓦G2中，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),C(2,2,0),A(0,0,2),0(0,2,0),E(0,2,1),Ct(2,2,2),F(1,1,1),

对于A,C/=(-l,-l,-l),AE=(0,2,1),显然£户与AE不共线，即与AE不平行，A错误;

对于B,4。=(0,2,-2),QF-^Z)=-lx2-lx(-2)=0,因此6尸,耳，B正确；

对于C,AC=(2,2,0),AE=(0,2,1),设平面ACE的法向量为=(x,y,z),

n-AC=2x+2y=0

则{，令y=—1,得〃二(1,一1,2),而Ab=(i,i,i),

n-AE=2y+z=0

点尸到平面ACE的距离为〃=电见=多=坐，C正确；

\n\V63

对于D,过点E垂直于平面ACE的直线与平面4片。。相交，令交点为N,

113

则EN==(X,—X,24),点N(42—42X+1),由24+1=2,得％=万,即N(n，2),

当平面a经过直线EN并绕着直线EN旋转时，平面a与平面的交线绕着点N旋转，

当交线与线段4。，GA都相交时，。与正方体所成截面为三角形，

令平面。与平面A4GA的交线交A。于点G,交GA于点〃，设GA=a,HR=b,

G(0,2—a,2),7/(ZJ,2,2),NG=—a,0),AT/=(Z)——,—,0),由NG//NH,

ab

得a+b=2ab,a,6e[2],Rt斜边G/f上的高"=

22

则截面.EHG边上的高力=^ED;+h'2=ab

22222

截面EHG的面积S=-\Ja+b~~J1+7=--Ja+b+ab

■EGH2a2+b22

=1^a+bY-ab+crb-=|小a2b?—2ab=；^5(^-1)2-1,

上r2cia1a,1[(2a-1)+1]2l/c,1c、「4,

当〃£[—,21时，b=-------,ab=---------------------=—(2a—Id----------1-2)e[1,—],

32a-\42a-142a-13

所以SEGHC[走,恒]，D正确.

故选：BCD

题型四：立体几何中的交线问题

9.（2024.山东枣庄.一模）在侧棱长为2的正三棱锥A-BCD中，点E为线段3c上一点，且则

以A为球心，血为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（）

A.B.舟C.D.3后

42

【答案】C

【解析】取BC中点B，连接AF、DF,则有A3C,DF工BC,

又AFcDF=F,AF,DFu平面ADR,故3C_L平面ADb,

又ADu平面AM,故3C_LAD,又AD1.AE,

BCAE=E,BC、A£u平面ABC,故ADJL平面ABC,

又AC、ABu平面ABC,故AD_LAC,ADJ.AB,

由正三棱锥的性质可得A£＞、AB,AC两两垂直，

故A方=（122+22=应,即以A为球心，血为半径的球面与侧面A8C的交线长为:

qx友="兀,即与该三棱锥三个侧面交线长的和为3*变兀=也.

2222

故选：C.

10.（2024•江西宜春•模拟预测）在正六棱柱ABCDEF-A4G〃46中，AA{=2AB=2,。为棱人片的中点,

则以。为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（）

【答案】D

【解析】因为球。的半径为2,所以球。不与侧而AB44及侧面ABIA相交,

连接。G，AG，o昂Ag.由题得。4=1，AG=A4=VL所以0G=2,

所以球。与侧面BCC#交于点C-c,与侧面£叫片交于点耳，E.

在正六边形ABIGREE中，易得AG^GA，因为cq_L平面ABCQEE，ACu平面耳用弓刀心用.

所以CG^AG，又GRCG=G，G2，CG<=平面CD。。，

所以AG，平面a)2G，即。G,平面a)2G，且OG=百，又看-(回=1,OH=ocl=oc=2.

所以球。与侧面CDDG的交线为以CG为直径的半圆，同理可得球。与侧面即2月的交线为以E4为直径

的半圆.

由题易得/EdG==7t,则球。与上底面ABC2片片及下底面ABCDEF的交线均为1:个半径为目的圆.

36

[12O

所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为2X7TX1+2XWX27tx6=2+4-兀.

63।

11.(多选题)已知在正方体ABCD-A4GR中，AB=4,点、P,Q,T分别在棱2月，C。和A3上，且

B】P=3,GQ=1，BT=3,记平面PQT与侧面APRA,底面ABCD的交线分别为"?，"，贝I]()

A.加的长度为％5B.m的长度为迪

33

C.〃的长度为冥ID.〃的长度为巫

33

【答案】AD

【解析】如图所示,

连接OP并延长交CB的延长线于E,连接ET并延长交AD于点S,

交CD的延长线于点目，连接交于点R,连接SR,

则加即为SR,〃即为ST,

,,PBEB1

由M//QC,得前二赤匚^,所以硒=2,EC=6,

AqAT1

由AS//EB,^―=—=-,则AS=-EB=-

EBTB333

所以〃=巫，故c错误，D项正确；

3

由SD/EC,得些=丝二，

ECHE9

又易知SR〃PQ,得察=票，所以螯［，

舅匕tltLy

所以5氏=*石=3,℃2+改2=半,故A项正确，B项错,

故选：AD.

题型五：空间线段以及线段之和最值问题

12.在正方体A8C。-A瓦GR中，AB=2,G为棱C。的中点，P,。分别为BC“CG上的动点，贝iJPQ+QG

的最小值为.

【答案】当

【解析】将正方体的侧面BCC国与DCCR展开到同一平面

在同一平面内可知PQ+QG的最小值就是点G到B'ct的距离，

正方体A8C。一A4G。中，43=2,G为棱CD的中点，所以CG=1,B'G=3,

CB'AG是正方形，所以6”=还

2

故答案为：述

2

13.（2024・安徽・模拟预测）已知正方体ABC。-A耳GA的体积为8,且。田=405（0<2<1）,则当

AE+E1。取得最小值时，三棱锥片-£CR的外接球体积为.

.32,32»

【答案】y^/—

【解析】由题意得，AB=2,BG=20将平面BCq展成与平面ABG2同一平面，

当点A,E,C共线时，此时AE+EC最小，

在展开图中作QVLAB,垂足为N,

因为BCG为等腰直角三角形，所以8C=CG=2,BN=CN=®,

由二年"得，五=不=忑=5,解侍郎=2后-2，

如图，以〃为原点，D4,OC,OR所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则A（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,石（加,2,2-0）,4（2,2,2）,0（0,2,2）Q（0,0,2）,

则AQ=（-2,2,2）,耳。=（―2,0,—2）,4R=（―2,—2,0）,

因为AG-4C=0,AG-4A=0,所以AC]_L8]C,AG_LBQ,

又因为4GB}Dlu平面BCR,且BtCnB}Dt=Bx,

所以AG，平面CBQ,

因为ADt=ABt=AC,G2=C\B[=QC,

所以三棱锥旦-ECR外接球的球心在AG上，

设球心为0,设40=左AG=(-2左,2人,2%)伏NO),则0(2—2。2左,2左),

因为OC=OE,

所以(2-24『+(2左一2『+(2左『=(2-24一&y+(2A-2『+(2左一2+夜J,

解得左=1,即0(0,2,2),所以外接球R=0C=2,

43?

所以三棱锥B}-EQ外接球的体积V=兀炉=争，

故答案为：争32.

14.如图，在三棱锥A-44G中，441平面AB。，NABC=90。，AXBX=2AXA=2BXCX=2,尸为线段

A片的中点，M,N分别为线段AC1和线段8c上任意一点，则石尸M+MN的最小值为.

【解析】因为的，平面A片G,A耳，B£u面ABC］，所以例，耳£,明，A4,

又因为“©=90°,4G144,

因为惧A耳=4，AA，A用u平面AB出，所以与平面AB出，

又因为ABtU平面A耳A,所以BG±A瓦，

在RtA4|耳中，可得阴=小村+4欧=亚,

在.□△AgC］中，SAB、M+S4Mq=SAB1c、，

故gX正XPMsinZMPB1+|xlxMNsinZMNQ=1x1x,

则退PMsinNMPBi+MNsinZMNQ二#>,

又因为行尸Msin/MP4<45PM,MNsmZMNCx<MN,

所以旧PMsinNMPB、+MNsinAMNC、＜亚PM+MN,

柳展节PM+MN,当且仅当/加尸4=90。,/政76=90。时，等号成立,

当NMP瓦=90。时，M为AG的中点，此时当/MNG=90。时，N为qG的中点,

综上所述，舟M+MN的最小值是

故答案为：出

题型六：空间角问题

15.正三棱锥尸-ABC和正三棱锥。-ABC共底面ABC,这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上,

点P和点。在平面48c的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面45c所成的角分别为夕，?，则当a+尸最

大时，tan(a+0=

4

【答案】-j

【解析】如图：设尸在平面ABC的射影为P,根据正三棱锥和球的对称性知：球心。在线段尸。上.

取AB中点连接则PM又尸Q1平面ABC,

所以NPMP',NQMP'分别为两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角,

记NPMP'=a,ZQMP'=13,

Q

不妨设尸尸〜QP',PP=m,QP'=n,OP=空4,OP'=，n~"

BP'=AP'=yJoA2-P'O-=

nMP'y/mn

2

n

所以tan(&+0=_m__2

当且仅当m=〃=1时等号成立,

由于仪£,a+夕£(0,冗),

4

故当a+力最大时，tan(a+/7)=_§

4

故答案为：-§

16.(2024•山东青岛,三模)已知长方体A5CO—4用6。1中，A3=2,3C=3,AA=4,点P为矩形4耳CQi

内一动点，记二面角尸-AD-B的平面角为。，直线PC与平面A5CD所成的角为夕，若a=j3,则三棱

锥P-BBXDX体积的最小值为.

【答案】霍

【解析】如图，作〃欣_1_平面48。£),垂足为再作MN1AD,垂足为N,

连接PN,PC,PM,,则cr=NPM0,。=NPCM,由a=£,贝ijNPM0=NPCM,

又MN、MCu平面ABCD,故.PMLMN,PM±MC,则MN=MC,

由抛物线定义可知，"的轨迹为以C为焦点，以AD为准线的抛物线一部分，

所以尸的轨迹为以G为焦点，以AR为准线的抛物线一部分，

当点尸到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥尸-2片已体积最小,

取GR中点01为原点，建立如图所示平面直角坐标系，

则G(i,o),〃(TO),4。,3),

则直线4A的方程为：y=不一(％+1),即3x-2y+3=0,

抛物线的方程为y2=4x=>y=2A/X(0<y<2),则丁'二£，

134广4

由题意，令丁=，得x=X，代入y=2«,得y=z，

㈠293

所以点P的坐标为,所以尸到直线BR的最短距离为：

—x3—x2+3/—t------.—

，935413,因为4〃=屈,

T？T?39

二匚11rrr5^010

XXXX4=,

所以网口=VB_P%B=~-^39~9"

所以三棱锥P-BBR体积的最小值为5.

17.（2024•河南周口•模拟预测）已知点S,A,B,C均在半径为4的球。的表面上，且平面A3C,

2兀

&4=4,ZBAC=—,AB=20,点Af在BC上，当直线SM与平面ABC所成的角最大时，AM=

【答案】拒

设VABC的外接圆的圆心为H,半径为R,设&4的中点为E,

外接球的球心为。，连接OE,O",A",A"，则OHJ_平面ABC,OE1SA,

因为SAL平面ABC,椒OHHSA,故E,A,O,Zf四点共面,

而AHu平面ABC,故&4LAH,故.AHHEO,

故四边形外。归为矩形.

“1BCBC

R—_x___—___2

而266，故+RI=16,故5c=6.

2

在VABC中，BC2=AB2+AC2-2ABxACx

故36=12+3+2岔AC,故AC=26，故AC=AB,

故NCR4=ZACB=30°,

因为SAL平面ABC,故/SM4为直线SM与平面ABC所成的角,

当4W长度最小时，/SM4最大值，止匕时4WLBC,故AM=2括x；=G.

故答案为：73

题型七：轨迹问题

18.（2024•全国•模拟预测）在三棱锥尸-MC中，已知VABC与均是边长为4的正三角形，

PC=6,。为侧棱外的中点，E为三棱锥尸-MC的外接球。表面上一动点，若异面直线AB,DE始终

保持垂直，则动点E的轨迹围成图形的周长为.

［答案］必！近/必鼠

33

【解析】如图，取A8的中点连接。0,PM,OM,

则ABJLCM,AB1PM,CMcRW=",。",尸加u平面PCM,

所以AB_L平面PCM,贝I」PM=CM=2G，

又PC=6,所以cos/PCM/PC2+CM2PM2=2,所以ZPCM=/CPM=工.

2PCCM26

过。作于H,设动点E的轨迹所在平面为。，则平面a经过点H且ABJ_a,

所以点E的轨迹为平面a截三棱锥P-ABC的外接球所得的截面圆.

设PAB,VABC的中心分别为。一。2,连接。。一。。2，OP,易知。平面上钻，。。2,平面

ABC,

且。，。1，02,M四点共面,

由题可得Nog=17171弓，O[M，PM=正,所以Oq=QMtan/OMQ=2.

71------------

663133

又==殍，则三棱锥P-ABC的外接球半径r=OP=J。。；+。]半=28

易知平面a//平面。。M。?，点。到平面a的距离d==1,

故平面a截外接球所得截面圆的半径/=介一屋=孚，

所以截面圆的周长/=2跖=工）叵，即所求周长为电叵.

133

故答案为：邛1

19.如图，在棱长为V6的正方体ABCD-A.B^D,中，M为面\BD上的动点，\CXM\=^Q,

则动点M的轨迹长度为

【解析】如图，连接AC”由正方体的性质可得，BOLACBOLCCrACcCqnCACCqu平面

ACG,

则3D，平面ACG，又AC|U平面AQG，则B£＞，AC],

又ADt±\D,A。±CD，AD{cD©=D,,AD,,2Gu平面ARG，

则A。，平面A，G，又AGu平面A〃G，则A。LAG，

因为ADc5D=£»，42BDu平面48。，则AG_L平面A/D,不妨设垂足为0,

贝"£0=卞£*=2a,

又因为1GM『=IGO『+|OA/|2,解得|0M|=JL所以动点M的轨迹是在平面AB。中,

以正，4BD的中心。为圆心，血为半径的圆弧，如图4,即动点/的轨迹为劣弧£F,G",PQ；

如图5,过。作4。的垂线，垂足为K,连接A。，在MK。中，ZOA.K=30°,ZA.OK=60°,

l4^l=1lA0I=73,

所以。幻=委

1IAK|=1,又因为|0E|=|0M|=&,所以/EOK=45°,所以幺OE=15。,

所以皿I。。，所以动点〃的轨迹长度为IX会向与

故答案为:与

20.已知菱形A58的各边长为2,NO=60。.如图所示，将ACD沿AC折起，使得。到达点S的位置,

连接S3,得到三棱锥S-ABC,此时S3=3,E是线段SA中点，点/在三棱锥S-ABC的外接球上运

动，且始终保持EE,AC,则三棱锥S-ABC外接球半径为,则点/的轨迹的周长为.

【解析】取AC中点Af,则AC_L3M,AC±SM,BM]SM=M,BM,SMu平面SMB,

平面SMB,SM=MB=y/3,又跖=3,

ZSBM=ZMSB=30°,

作硝，AC于//,设点尸轨迹所在平面为a,

则平面a经过点H且AC_Lc,

设三棱锥S-ABC外接球的球心为0,S4C,一54c的中心分别为。1,02,

易知OOi，平面SAC,。2，平面R4C,且0,。1，02,“四点共面,

由题可得NOMQ=JNQMO?=60。，0、M=；SM=与,

在RtAORM,得OOi=6O[M=l,又QS=|SM=¥

则三棱锥S-ABC外接球半径r=Joo；+oS=卜与

易知0到平面a的距离d=

2

故平面a截外接球所得截面圆的半径为匕=Jr?一/==乎,

截面圆的周长为/=2叫=孚兀，即点尸轨迹的周长为手兀.

故答案为：叵，9*

33

题型八：翻折问题

21.（多选题）己知平行四边形ABC。中，BCLBD,将沿着8。翻折使点A到达点P且P不在平

面BCD内，则下列结论正确的是（）

A.直线BC可能与直线PB垂直

B.直线。可能与直线P3垂直

C.直线网）可能与直线尸B垂直

D.直线BC不可能与直线尸。垂直

【答案】AB

当平面P3Z）与平面38垂直时，平面PBD与平面BCD相交于BD,

由3C_L3D,可得BC_L平面尸30,PDPBu平面「皿，

此时3CJ_PB,BCLPD,则A正确，D错误；

而AB〃CD,即直线尸3与直线CD所成角为NP8A,只要=

此时为等腰直角三角形.用p在以AP中点为圆心，半径为亨胡的圆上,

jr

则根据直径AP所对圆周角为直角，即/PA4=E满足题意.

所以存在点P,使得PBLCD,B正确；

由可得ADJ_r>3,所以-4BD为锐角，则一尸3D为锐角，所以C错误.

故选:AB.

22.（多选题）如图，等边三角形A3C的边长为4,E为边的中点，即_LAC于D将VADE沿DE翻折

至△ADE的位置，连接AC.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（）

A.DELA.C

B.四棱锥A-BCOE的体积的最大值是友

6

c.存在某个位置，使4月，3万

D.在线段AC上，存在点M满足AM=《MC,使为定值

【答案】ABD

【解析】对于A：因为即J_AC,即OE7,CD,DEL^D,

因为CD4。=。，CD,AOu面ACO,则DEJ_平面ACD,

因为ACu平面AC。，所以故A正确；

对于B：当平面平面BCOE时，四棱锥A-8CZ）E的体积最大.

由A易知"DC为二面角\-DE-C的平面角，此时ZA^DC=90°.

即AO^OC,AQ1.DE,DEcDC=D,DE,DCU面BCDE,

此时A。，平面BCDE,即4〃为四棱锥底面BCZJE上的高，

由题意可得r>E=2x¥=石，AO=AD=2x；=l,

四棱锥A-BCDE的体积的最大值为：］冬42-卜1义臼、1=挛，故B正确;

3（42）6

B

对于C：假设存在某个位置，使得AELBE,连接CE,由正三角形性质得CE_LBE,

因为AECCE=E,AtE,CEu面ACE,所以平面^CE,

由ACu平面ACE,所以2EJ.AC,由A知

因为DEcBEuf,DE,BEu面3a汨，所以AQ_L平面BCZ®,

由CE>u平面BCDE,所以ACLCD,则4。=AO>CD,与题设矛盾，假设不成立，故C错误；

对于D：由题设，点M在线段4c上，且CM=2MA],

取AC的中点N,连接N8,则NBLAC,NB//DE,

29

由底面三角形ABC的边长为4,则BN=2A/LAlD=AD=l,MN=-AtD=-,

因为£）£_L平面AC。，所以琥_1_面A。。，MNu面AC。，所以BN上MN,

所以‘BMN为直角三角形，且BN=26,MN=：,故BM二JVN，+MN?=也为定恒,故D正确.

33

故选：ABD.

23.（多选题）在矩形ABC。中，AB=2AD,E为线段A3的中点，将△ADE沿直线£>E翻折成

AA'DE.若M为线段AC的中点，则在△入£»£从起始到结束的翻折过程中，（）

A.存在某位置，使得。ELAC

B.存在某位置，使得CELAQ

C.Affi的长为定值

D.MB与C。所成角的正切值的最小值为g

【答案】BCD

【解析】如图，

设。E的中点。，连接。COA,则。若ACLDE,由4。AC=A，AO，ACu平面4oc,

可得DEL平面A0C,OCu平面4OC,则可证出OCJ_DE,显然矛盾(CDwCE),故A错误;

因为CE_LDE,所以当0A，平面3CDE,由CEu平面BC£>E可得。4J-CE,由OAcDE=。,

OA，OEu平面ADE,即可得CEL平面再由AOu平面ADE,则有CELAQ,故B正确;

取CD中点N,MN//A}D,MN=；AD,BNIIED,且NMNB/AQE方向相同，

所以ZMNB=Z^DE为定值，所以BM=7MN2+BN2-2MN-BMcosZMNB为定值，故C正确；

不妨设A8=20，以OE，ON分别为苍y轴，如图建立空间直角坐标系,

设NAON=e,则4（0,cos。,sin。），8（2』,0）,C（l,2,0）,M+浮］,。（-1,0,0）,

DC=（2,2,0）,6，等,s*

,设MB与CO所成角为。,

DCBM3-cos022石2石］

则cose=---=J_=V-，即MB与CD所成最小角的余弦值为2,此时tan夕二，故