山东省泰安市2025届高三年级下册一轮检测数学试题

山东省泰安市2025届高三下学期一轮检测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若全集。={0,1,2,3,4,5},4={1,2,3},3={1,5}「则44）门3=（）

A.{5}B.{2,5}C.{0,5}D.{2,3,4}

2.已知i为虚数单位，若（1-i）（2+oi）是纯虚数，则实数。=（）

A.-4B.-2C.1D.2

3.己知。,方为空间中两条直线，a为平面，aaa,bua,则是。_1_。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

4.已知向量同=归|=l,|c|=Ma+b--2c=0,贝(Jcosv扇E>=()

B.一且j_D.B

A.--C.

2222

5.若（9-2d的展开式的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为〈

A.-240B.-60c.60D.240

6.已知tan[a-1]

=3,则cos2c=()

B.-3_2

A.--c.D.-

55-55

a

7

-2^+log5a=16*+21og25(7b)>贝U()

si

A.a<bB.a>bc.a>8bD.a<8b

8.已知直线/：M+盯+/=0（疗+/卜0）与圆C:f+（y+3）2=8交于两点,若一〃，/成

等差数列，则NACB的最小值为（）

7171-2兀5兀

A.-B.-C.——D.—

3236

二、多选题

9.下列选项正确的是（）

A.若随机变量X~816,g],则D（X）=g

B.若根据分类变量X与¥的成对样本数据，计算得至lJ/=4.974,贝IJ依据。=0.05

（尸（X2..3.841）=0.05）的独立性检验，认为变量X与丫不独立，该推断犯错误的概率不超

过0.05

C.若随机变量X~N（l,b2）,且P（X<0）=0.2,则P（l<X<2）=0.2

D.数据3,1,1,2,2,9,3,3,11,12的第75百分位数是9

10.瑞士数学家欧拉在解决柯尼斯堡七桥问题时提出了欧拉回路的定义，即：在一个图中，

经过图中每一条边且每条边仅经过一次，并最终回到起始顶点的闭合路径.通俗的讲，在图

中任选一个点作为起点，笔尖不离开图形可以完全不重复的走完图形所有边回到起点.下列

11.已知无穷数列｛4｝,｛"｝,若对V〃eN*,都有同一“,1,则称｛《｝与也卜伴随”，则下

列选项正确的是（）

A・若s（，+g则⑷与⑻“伴随”

B.若4=”（〃+1），｛凡｝的前“项和为则｛4｝与｛S“卜伴随”

C.若｛4｝的前5项为2,3,5,8,13,圾｝与｛吗,“伴随”,设集合尸=｛X仆=%力=1,2,3,4,5｝,

则尸中元素个数为4或5

D.若｛%｝是公差为d的等差数列，且｛q｝所有的“伴随”数列也｝都是递增数列，则d>2

三、填空题

12.抛物线V=8x上与焦点的距离等于6的点的横坐标为.

试卷第2页，共4页

13.从5名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人,

共有种安排方法(用数字作答)

14.已知函数=2sin,x+；］coss-13〉0)的最小正周期为兀J(x)在上

的图象与直线>=，交于点A&与直线产血交于点C。，且|的=2|CZ)|,贝IJ

a=

四、解答题

15.在VABC中，内角A,5,C所对的边分别为a"G2ccos3+bcos(兀-A)=acos3.

(1)求3；

(2)若.>%,6=拽9$皿8,阮•通=一6,求

3

16.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A2CD是边长为2的正方形，M,N分别为BC,PD

中点.

(1)求证：MN//平面R4B；

(2)若PA=PB=B平面RLB_L平面ABC。，求平面AMN与平面夹角的余弦值.

17.为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组

成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人多赛，每局比赛获胜得1分，否则得0

分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人“力每局比赛获

13

胜的概率分别为

⑴设前两轮比赛中甲队得3分为事件4前两轮比赛中机器人。得2分为事件B,求P(B\A)；

⑵受机器人电池蓄航能力影向，本次比赛最多进行10轮，规定当一队得分比另一队得分多

2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了X轮，求X的数学期望.

18.已知椭圆E:=+==l(a>6>0)的离心率为正，石=居分别为椭圆E的左、右焦点,

ab2

AB分别为椭圆E的上、下顶点，且|A5|=2.

⑴求椭圆E的方程；

(2)已知过K的直线/与椭圆E交于M,N两点，且直线/不过椭圆四个顶点.

(i)设的面积分别为席邑，若5点邑，求|A"怕勺最大值；

(ii)若M在x轴上方，AK为/M4N的角平分线，求直线/的方程.

19.已知函数"%)=In——+ax,aER.

⑴当a=l时，求函数/(x)在(1,7。))处的切线方程；

⑵讨论函数的单调性；

⑶若方程ei+也"=(a+1)2有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.

试卷第4页，共4页

《山东省泰安市2025届高三下学期一轮检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABBDCBDCABDACD

题号11

答案BCD

1.A

【分析】求出gA,根据交集定义即可得

【详解】由题意得，a4={0,4,5},所以44）门3={5},

故选：A

2.B

【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案;

【详解】因为。一i）（2+〃i）=2-2i+〃i-〃i2=2+〃+（〃—2）i,

16?+2=0

所以74解得I.

故选：B.

3.B

【分析】由线面垂直的判定定理，及充分必要性的定义判断.

【详解】由线面垂直的判定定理可得，直线。要垂直于平面a内相交的两条直线才能得到

所以是的必要不充分条件.

故选：B

4.D

__1

【分析】由4+石=2乙两边平方可得。2再结合向量夹角的计算可得.

【详解】a+b-2c=Q所以M+B=2T，两边平方可得二+2日.石+B?=47,

又同=网=1,同=¥，所以1+2〃心+1=3=>〃.石=’,

2

a--\a+b

一/一一、a-ca2+a-b2

所以c°s〈“，c）=丽=

后一否

2

故选：D

答案第1页，共15页

5.C

【分析】由二项式系数性质求出”，由二项展开式通项公式可求得常数项.

【详解】由题意2"=64,解得"=6.

展开式通项为7+1=C；(-2x)r=C；(-2)r.J"3,

由得｝-3=0,解得厂=2,.•.常数项为7；=Cn-2)'x°=60.

故选：C.

6.B

【分析】先求得tana,然后根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.

【详解】依题意，tanR_：］=：ana_l=3,

I4)1+tancr

解得tana二-2,

小cos2a-si•n2a

cos2a=cos2cr-si.n2a=--------——

cosa+sina

_1-tan2_1-4_3

1+tan2a1+45

故选：B

7.D

【分析】构造函数/(x)=2，+log52x,可得雪=2"og5“，“4))=24"+log5(86),则

由题意可得，＜“43，再利用的单调性即可得解.

【详解】由题意可得〃力＞。，

46

则16"+210gzs(72)=2的+log5(7fe)＜2+log5(8fe),

a

4

即©+log5a＜2*+log5(8Z?)'

令/(x)=2、+log52x,y=〃x)在R上单调递增，

则佃=2擀+啕0,/(初=2%log5(8b),即/图＜〃4b),

故］＜4b,即。＜8b.

故选：D.

8.C

【分析】设数列公差为d,结合等差数列通项公式分析可知直线过定点。(1,-2),再根

答案第2页，共15页

据圆的性质可知当CQ，AB时，弦长|A3|最小，此时/ACB最小，进而运算求解.

【详解】

由题意可知：圆C：r+(y+3)2=8的圆心为C(0,-3),半径厂=2&，

因为孙成等差数列，所以设加=〃-d"=〃+d,

则mx+冲+1=0可化为(zi-d)x+孙+〃+d=0,

即(l-x)d+(x+y+l)〃=0,

令|flx—+xy=+0l=oTfx-=l2'可知直,线过定点小/，一与、，

且俨+(-2+3)2<8,所以。。，-2)在圆C内部,

当CDLAB时，弦长|4则最短，此时-1CB最小，

又|CD|=》(1-0卜+(-3+2)=&,所以|A同=2^r2-|CD|2==2底,

所以c°s43"<」x8一(2对」,

2r22x82

97r

又/ACBW(O,TI),所以ZAC2=3，

故选:C

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做

到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确

的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的

相关结论求解

9.ABD

【分析】根据二项分布的方差公式、百分位数、正态分布、独立性检验等知识对选项进行分

析，从而确定正确选项.

答案第3页，共15页

【详解】对于A,若随机变量X~《6,|J,则。(X)=6xg[l-gJ=g,故A正确；

对于B,因为4.974>3.841,所以能根据/=4.974作出判断，认为变量X与V不独立，该

推断犯错误的概率不超过0.05,故B正确；

对于C,对称轴为x=l,则P(X<l)=0.5,因为P(X<0)=0.2,

所以尸(0<Xvl)=0.5-0.2=0.3,所以P(1<X<2)=尸(0<X<l)=0.3,故C错误；

对于D,数据从小到大排列为1,1,2,2,3,3,3,9,11,12,

所以75%xl0=7.5,所以第75百分位数为9,故D正确.

故选：ABD.

10.ACD

【分析】标注每一个点，根据题意作出一笔能完成的路径判断即可.

【详解】解决这类题有一结论，过一点的线有奇数条的点至多有两个，其余均为偶数条的点

构成的图形可一笔完成；

对于A,均为偶数条线的点，具体方法为：

132-334->5—6-778->9—10—8—6—432—1071,故A符合；

对于B,无论从那个点为起点，均不能一笔完成，解决这类题有一结论，过一点的线有奇数

条的点至多有两个，其余均为偶数条的点构成的图形可一笔完成，B选项有4个过一点的线

有奇数条的点，故B错误；

对于C,均为偶数条线的点，具体方法为：1-233->4-3->2—1—4-1,故C正确；

3

对于D,均为偶数条线的点，具体方法为：

l-»2f1->2-3->6->5-6->7->8-7->8->5->6->5->4—3-4->1,故D正确.

答案第4页，共15页

2V36

1V4/\578

故选：ACD.

11.BCD

【分析】赋值法可判断A；利用定义可得同-5/=工-1<1,可判断B；对于C,计算4的

n

范围，考虑相等的情况可判断C；由已知可得。“-结合单调性可得

an+d—1>an+l,计算即可.

【详解】对于A,当”=1时，％-引=/1-cos37r=2,故｛%｝与低｝不是“伴随”，故A

错误；

1111111111

对于B,因为4=(-------77，所以S“=------+-------+…+-----------=1---------,

+nn+1"1223nn+ln+1

所以同-川=：-^-1+/7=/-1<1'所以｛%｝与⑸卜伴随“，故B正确；

对于C：因为｛%｝与也｝“伴随”，故|%-。归1,^an-l<bn<an+l,

因为｛%｝的前5项为2,3,5,8,13,

所以1(仿43,2<b2<4,4<b3<6,7W%<9,12<Z?5<14,

故可能4和外相等，4和0相等，但不能同时成立，4也&与4，4不相等，

故尸中元素的个数为4或5,故C正确；

对于D,｛凡｝是公差为，的等差数列，所以%=%+("-1纭，

因为｛4｝与也,｝“伴随”，故|4一包归1,故么V4+1,

又因为数列论,｝都是递增数列，所以b,l+1>b„,

所以2+1=4+d-l,bn<an+l,所以a“+d-1>a“+1,

解得d>2,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：解题的关键是正确理解数列的新定义，利用新定义计算求解即可.

12.4

答案第5页，共15页

【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.

【详解】依题意，2P=8n，=2,

根据抛物线的定义可知x+2=6nx=4.

故答案为：4

13.180

【分析】先从5人中选4人，将4人分成三组，再进行全排，即可求解.

【详解】第一步，从5人中选4人，共有C=5种取法，第二步，将4人分成三组，共有C：=6

种分法，

再进行全排有A；=6种排法，

由分步计算原理知，共有CO；=5x6x6=180种安排方法,

故答案为：180.

【分析】先确定函数“X）的解析式，再数形结合，利用函数图象的性质列式求值即可.

A/3

【详解】因为/'（尤）=2sin|s+'kosaw-=2sin6yx--+cos«x-

V2

=sina>xcoscox+y/3cos2a>x-^~=—sin2a）x+cosIcox=sin12cox+—

222I3

2兀

又函数最小正周期为兀，且切>0,所以「=兀=切=1.

2G

所以/（xNsinQx+g]

当尤I*时，2元+5€（0,兀），所以sin]2x+：je（O,l].

做函数"尤）=sin（2x+W）,的草图如下:

答案第6页，共15页

所以sin2(合+"+5=V6sin^2^+2j+1,

=cos2/=y/6cos4z=cos2t=V6(^2cos22,-1)=2A/6COS22t-cos2t-«t=0，

解得cos2/=，^或cos2/=(舍去).

34

所以〃=sin2[5+2，+三=cos4/=Zcos?21-1=2xg-l=；.

故答案为：g

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于设|CZ)|=2f,根据题意列出+

+，，maj坐标，根据纵坐标的关系列式，求出cos2r的值，再求B点纵坐标.

71

15.(D-

(2)a=4,c=3

【分析】(1)由题意及正弦定理可得.,.sinAcosB+sinBcosA=2sinCcos3,根据两角和的正弦

可得.•.siMA+6uZsinCcosB,根据诱导公式和内角和定理计算即可；

(2)由(1)的结论结合余弦定理列方程组求解即可；

【详解】(1)由题意得2ccosB—ZJCOSA=OCOSB即acos3+focosA=2ccosB,

答案第7页，共15页

/.sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB.sin(A+i5)=2sinCcosB,

sinC=2sinCcosB,

,.•CG(0,7i),sinC^0,/.cosB=—,

,/BG(0,K):.B=—；

⑵由⑴可得/季s日季)3

\BCAB=-BCBA=-6BC-BA=accosB=—ac=6,

2

1cpn+C2-b2(a+c)2-13J_

..etc—129cosB—i=

laclac2

..a+c=7，

a+c=7a=3a=4

由…得c=4或

c=3

a>b=y/13,(2=4,c=3

16.(1)证明见解析

⑵』

29

【分析】(1)根据题意，取上4的中点4连接3ENE,即可证明四边形3MNE为平行四边

形，由线面平行的判定定理即可证明；

(2)根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及平面夹角的公式代入

计算，即可得到结果.

【详解】(1)取以中点E,连接BE,NE

EN分别为PAPO中点,

:.EN//AD且

2

又正方形中，〃为BC中点,

.-.BMHAD.BM=-BC=-AD,

22

答案第8页，共15页

:.BMIIEN豆BM=EN,

.,・四边形BAWE为平行四边形,

:.BE//MN,

MN平面尸AB,BEu平面RR,

:.MN//平面7^45；

MC

（2）取A3中点为O，CD中点为p,连接尸0,0尸，

•.•ARAB中，PA=PB,

:.PO±AB,

■：平面PABJ_平面ABCD,POu平面PAB,平面PABn平面ABCD=AB,

;.PO_L平面ABC。，

又四边形ABC。为正方形，

:.OF±AB,

以OB,OF,OP所在直线分别为X,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

PA=PB=45,AB=2,

W=（2,1,0）,DM=（2,-1,0）,W=|^-|,0,1^|,

设平面AMN的法向量为1=（占,加4）,

伍・丽7=0[2为+%=0

则\_____.即<3八，取石=2,则％=-4,4=3,

%MN=0—3X1+4=0

■■4=（2,-4,3）,

设平面£>MN的法向量为后=（超，%，22），

答案第9页，共15页

n2-DM=0

取々=2,则%=4,Z2=3,

n2-MN=

.二（2,4,3）,

,_»I々•43

设平面AMN与平面DMN的夹角为。，则cos。=cos（点n2）=一=—-.

1川同％29

17.(1)|

⑵黑

【分析】（1）根据独立事件互斥事件的概率公式可得P（A）,P（A3）,然后利用条件概率公式

求解即可;

（2）根据独立事件的概率公式和期望公可得E（X）=lx；+2x

然后利用错位相减数列求和公式求解即可

【详解】（1）设前两轮比赛中。得i分为事件G，b得j分为事件i,j=0,1,2,

由题意A=G3+C2A，AS=C2DX,

・・・各轮比赛，各局比赛结果互不影响，G2与。2口互斥,

.-.P(A)=P(C1Z)2)+P(C2D1)=P(C1)P(A)+P(C2)P(D1),

p(AB)=p(c2)p(n1)=lxl|=A,

2

•・•尸(iM

5

(2)由题意，X=l,2,……,10,

设第％轮两队比分为1:1为事件回收=1,2,……,9,

V各局比赛互不影响，

答案第10页，共15页

・・•尸（耳）=91i-

由题意，上=1时，P（X=1）=P（瓦）=：,

%22时，事件“乂=%”=耳£2--纭-1瓦，左=2,3,--,9,

・•,各轮比赛互不影响，

■.P（X=k）=P（El）P（E2）...P（Et_l）P（E；）

1111门Y,cCC

=—X—x-"x—x7；=7；,k=2,3,---,9,

2222（2）

p（x=io）=P（E1）P（E2）--P（E9）=

.•.E（X）=1X1+2XJ+…+9x出+10x出,

设S=lxg+2xg）

・小=lx出+…+8xq）+9x出

S=2-llx

1023

:.E（X）=2-

312

18.(l)—+y2=1

(2)(i)"+百;(ii)3x+y+3=0

3

【分析】(1)根据题目所给的条件，求出。力,c即可;

答案第11页，共15页

(2)⑴设/(%,%),由已知可得1为归闻，根据点M在椭圆上，可得IAM|2=-犬-2%+3,

可求得最大值；(ii)设/直线4V的倾斜角为a,直线AM的倾斜角为

P，由题意可得七N•心材=1，设直线/的方程为：尤=〃沙-1,机片1,联立方程组，由根与系

数的关系可得二"9=皇一，求解即可.

m23+2m+2

〃2=/+c2

【详解】（1）由题意知£=乎

a2[b=l

b=\

二椭圆方程为J+V=l,

（2）（i）设Af5,为）,

则E=S痢&=gx|耳耳冈yo|=gx2x|%|=|yo|,

S2=QX|A3|X闻=QX2X闯=闻,

\'Si^S2,|y0|<|x0|,/.Jox0,

又・・・加（x（），%）在椭圆上，...3-+为2=1,

2

2

••%o—2—2y0,y0<2—2y0,即

〈I3F=片+（%—1）2=2_2y；+$—2%+1,

33

2

222A/607+2>/6（V6+1）

IAMImax=---1------1-3=-------=--------

3333

3忘+若

.\|AMI

max3

(ii)设NMAF\=NNAF\=。，直线AN的倾斜角为a,直线AM的倾斜角为夕,

VA（0,l）,F（-l,0），二直线AFX的倾斜角为],

.a=-^+0,（3=-^―0,.a+（3=-^,

又k小=tma,kAM=tan^=tanR-6zI,

答案第12页，共15页

..左4V•=1,

由题意/的斜率不为0,设直线/的方程为：x=

x=my-1

由f2J得（m2+2）丁-2my—1=0,

——+y=1、

I2,

设M（玉,y）N（%2，%），

A=8m2+8>0

厂.2m「,,y

贝叫%+又心“忆3=1，

m+2

-1

Im+2

.%T%T=]

x2石’

即(％—1)(%—1)=%马=(碎T)(阳2T)，

整理得(后T)%%=(加一1)(%+%)，

-(m+1)2m1

二.—\——-=—；——，：.m=~-,

m+2nv+23

二./的方程为3x+y+3=0.

19.(l)2x-y+l=0

⑵答案见解析

(3)〃>1或Ovavl

【分析】(1)根据导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可；

(2)对函数求导，需要对参数〃进行分类讨论，确定导函数正负，进一步确定原函数的增

减；

(3)由题意得xe，i-alnx-x=0有两个不同实根，令g(x)=(e*T-l)x-alnx,对。进行分类

讨论，确定函数g(x)的零点个数，从而求得〃的取值范围.

【详解】(1)由题意的定义域为(。,+e)

当a=l时，/(x)=lne2x-lnx+x=3x-lnx,

，广("=3—,•.J”)=2,又⑴=3,

\/(x)在(1J⑴)处的切线方程为k3=2(尤-1),即2x-y+l=0

答案第13页，共15页

(2),.，/(x)=lne2^—lnx+ox=(d!+2)x—Inx,

，/、1(a+2)x—1

f(x)=a+2————1——

xx

当a+240,即QV—2时，/f(x)<0,

\/(X)在(O,+♦)上单调递减，

当a+2>0