三角形压轴题（解析版）-2022-2023学年人教版八年级数学上册重难点题型必刷题

专题02《三角形》压轴题真题分类-高分必刷题（解析版）

专题简介：本份资料包含《三角形》这一章中求角度的的四种类型的常考压轴题，所选题目源自各名校期

中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：与内角外角平分线有关的压轴题、与8字模型有关的压

轴题、与燕尾模型有关的压轴题、与动角有关的压轴题。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用

或者学生考前刷题时使用。

题型一：与内角外角平分线有关的压轴题

1.（上海）（1）在锐角AABC中，AC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为尸，ZBPC=110°,

求NA的度数.

（2）如图，AF和CE分别平分Z&4D和ZBCD,当点O在直线AC上时，且8、P、D三点共线，ZAPC=100°,

贝/=.

（3）在（2）的基础上，当点O在直线AC外时，如下图：ZADC=130°,ZAPC=100°,求DB的度数.

【详解】（1）如图AC边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为尸

ZBDA=ZCEA=90°,X.-ZBPC=110°,：./EPD=/BPC=110。，1•在四边形AEPD中，内角和为360。

ZA=360°-l10o-90°-90o=70°.

(2)AF和CE分别平分和ZBC£>,二NBAP=NFAC,NBCE=ZACE,

X-.-ZAPC=100°,ZFAC+ZACE=180°-100°=80°,ZBAC+ZBCA=160°ZB==20°.

B,

E.

ADc

(3)法一：如图：连接AC

ZAZ>C=130°,ZAPC=100°,二NDAC+Nr)C4=180°—130°=50°,NPAC+NPC4=180°—100°=80°,

：./2+/4=30。，又,「AF和CE分别平分ZR4D和/BCD,；.Zl+Z3=Z2+Z4-30°,ZBAC+ZBCA=11O°,

ZB=180°-110°=70°-

2.NMOQ=90。，点A,8分别在射线OM、。。上运动(不与点。重合).

⑴如图1,A/平分NBAO,BI平分NABO,若NBAO=40。，求N43的度数.

(2)如图2,A/平分NB4O,8C平分NA8M,BC的反向延长线交A/于点D

①若NBAO=40°,则NADB=°；

②点A、8在运动的过程中，NADB是否发生变化，若不变，试求NAO8的度数；若变化，请说明变化规

律.

【详解】,NAOB=90°,,•・NBAO=40。，NABO=90°-NOAB=50°,,「4/平分NBA。,

8/平分NAB。，ZIBA=^ABO=25°,ZIAB=gNOAB=20°,：.ZA/B=180°-(ZIBA+N£42)=135°.

(2)①ZMBA=ZAOB+Z840=90*40。=130。,「A/平分NBAO,BC平分NABM,.'.ZCBA=^ZMBA

=65。，NBA/=JN840=20。，・：NC84=NO+N84。，；.N0=45。，故答案为：45.

②不变，理由：ZD=ZCBA-ZBAD=ZMBA-ZBAO=(ZMBA-ZBAO)=|ZAOB=x90°

=45。，.,.点A、2在运动的过程中，ZADB=45°.

3.(江苏)直线MN与直线尸。垂直相交于点。，点A在直线尸。上运动，点8在直线MN上运动.

(1)如图1,已知AE、3E1分别是/BAO和NABO角的平分线，点A3在运动的过程中，ZAEB的大小是

否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出NA£B的大小.

(2)如图2,已知A3不平行CD,AD.8C分别是ZB4P和的角平分线，又。区CE分别是NZDC

和/BCD的角平分线，点A3在运动的过程中，NCED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出NCED的度数.

(3)如图3,延长胡至G,已知NA4O、NQ4G的角平分线与NBOQ的角平分线及反向延长线相交于

E、F,在‘ABF中，如果有一个角是另一个角的3倍，则/ABO的度数为(直接写答案)

【详解】解：(1)NAEB的大小不变，•.・直线MN与直线PQ垂直相交于O,N408=90。，

ZOAB+AOBA=90°,-：AE,BE分别是N用40和NABO角的平分线，,NOAB,

zABE=|zABO,ZBAE+ZABE=^-(ZOAB+ZABO)=45。，ZAEB=135°；

(2)NCEO的大小不变.延长AD、BC交于点H•.・直线MN与直线尸。垂直相交于NAOB=90。，

ZOAB+ZOBA^90°,ZPAB+AMBA=270°,­：AD,8C分别是NB4P和N的角平分线，

；.NBAD=gNBAP,AABC^AABM,；./BAD+NABC=g(ZPAB+AABM}=135°,/.ZF=45°,

ZFDC+ZFCD=135°,:.ZCDA+ZDCB=225。,「DE、CE分别是NADC和NBCD的角平分线，

ZCDE+NDC£=112.5°,二ZCED=67.5°；

(3)「NBA。与NB。。的角平分线相交于E,NEAO=3NA4。，NEOQJNBOQ,

：.ZE=ZEOQ-AEAO=g(ZBOQ-ZBAO)^AABO,-：AE,AF分别是NBAO和NOAG的角平分线,

ZEAF=90°.在AAEB中，•.・有一个角是另一个角的3倍，故有：

①NEAF=3NE,NE=30°,NABO=60°；(2)ZEAF-3ZF,NE=60°,ZABO-1200(舍弃)；

(3)ZF=3ZE,ZE=22.5°,ZABO=45°；④NE=3N凡NE=67.5°,N480=135°(舍弃).

NAB。为60。或45。.

4.已知AABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点8在x轴负半轴上移动，点C

为y轴右侧一动点.

(1)若点A(0,a)和点B(b,0)坐标恰好满足：(a-2)2+|«+Z>+l|=0,直接写出a、b的值.

(2)如图①，当点C在第四象限时，若AM、A。将NBAC三等分，BM、8。将/ABC三等分，在A、

B、C的运动过程中，试求出NC和的大小.

探究：

(1)如图②，当点C在第四象限时，若AM平分/CAO,BM平分/CBO,在A、B、C的运动过程中,

NC和是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.

(2)如图③，当点C在第一象限时，且在(1)中的条件不变的前提下，/C和又有何数量关系？

证明你的结论.

【解答】解:(1)*/(a-2)2+\a+b+\\=G,又；(a-2)2^0,|a+b+l|20,

$-2=0解得卜=2

Ia+b+l=0Ib=_3

(2)如图①中，

ZOAB+ZOBA=90°,平分/BAO,MB平分NABO,/.ZMAB+ZMBA=^ZBAO+^ZABO=

22

AX90°=45°,/.ZM=180°-CZMAB+ZMBA)=135°.'JAM,AO将/BAC三等分，BM、

2

8。将/ABC三等分，?.ZCAB+ZCBA=3(ZMAB+ZMBA)=135°,AZC=180°-(ZCAB+Z

CBA)=45°.

探究：(1)如图②中，结论：2/M-/C=90°.

J)

4:

理由：•..AA/平分/CAO,BM平分NCBO,.•.可以假设NCAM=NK40=尤，ZCBM=ZMBO=y,

VZAOB=ZM+ZMAO+ZMBO,ZAOB=ZC+ZCAO+ZCBO,：.9Q°=x+y+ZM®,90°=2x+2y+

NC②，.•.①X2-②可得：2/M-NC=90。.

(2)如图③中，结论：2NM-/C=90°.

③

理由：平分NC4。，平分/CB。，.•.可以假设/C4M=无，ZCBM=ZMBO=y,

VZAOB+ZOBM=ZM+ZMAO,ZAOB+ZOBC=ZC+ZCAO,.".90°+y=x+ZM®,

90°+2y=2x+ZC@,.♦.①X2-②可得：2ZM-ZC=90°.

题型二：与8字模型有关的压轴题

5.（江苏）图1,线段AB、C。相交于点。，连接A。、CB,我们把形如图1的图形称之为"8字形如图

2,在图1的条件下，ZDAB和NBCD的平分线AP和“相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试

解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出NA、ZB、NC、之间的数量关系：;

（2）仔细观察，在图2中"8字形"的个数：个；

（3）图2中，当/。=50度，N8=40度时，求NP的度数.

（4）图2中N。和N2为任意角时，其他条件不变，试问N尸与ND、N2之间存在着怎样的数量关系.（直

接写出结果，不必证明）.

D

D

A

cB沪----B

图1图2

【详解】解：(1)「ZA+ND+ZAOD=AC+ZB+N500=180。，ZAOD=NBOC,ZA+ZO=NC+ZB,

故答案为：ZA+ZZ)=ZC+ZB；

(2)①线段AB、CO相交于点O,形成"8字形"；②线段AN、CM相交于点0,形成"8字形"；

③线段AB、CP相交于点N,形成"8字形"；④线段A3、CM相交于点。，形成"8字形"；

⑤线段AP、CD相交于点形成"8字形"；⑥线段AN、CO相交于点。，形成"8字形"；

故"8字形"共有6个，

(3)ZDAP+ZD=ZP+ZDCP,(1)ZPCB+ZB=ZPAB^Z.P,②

ZDAB和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,；.ZDAP=NPAB,ZDCP=NPCB,

①+②得：ZDAP+ZD+NPCB+NB=ZP+ZDCP+APAB+AP,即2ZP=ND+ZB,

又£>=50度,NB=40度，...2N尸=50°+40°,.IN尸=45°；

(4)关系：2NP=ZD+NB.NO+N1=NP+N3①，NB+N4=NP+N2②，

①+②得：ZD+Z1+Z4+ZB=ZP+Z3+Z2+ZP,NZMB和N£>CB的平分线A尸和CP相交于点P,

/.Z1=Z2,Z3=Z4,2ZP=Z£>+ZB.

6.（四川）（1）如图1的图形我们把它称为"8字形"，请说理证明NA+NB=NC+NZ）.

（2）（可直接使用问题（1）中的结论）如图2,BP、OP分别平分N48C、NADC；

①若NA=36。，NC=28。，求NP的度数；

②NA和NC为任意角时，其他条件不变，猜想NP与NA、NC之间数量关系，并给出证明.

（3）在图3中，点E为CQ延长线上一点,BQ、DP分别是NABC,ZADE的四等分线,且NCBQ=:ZABC,

NEDP,NADE,的延长线与。尸交于点P,请直接写出NP与NA、NC的关系，无需证明.

4

【详解】解：(1)...NA+NB+N402=180°,NC+N£>+/COD=180°,ZAOB=ZCOD,

NA+N8=NC+ND;

(2)①设NABP=NCBP=尤，ZADP^ACDP^y,则有尤+/A=y+NP,x+zP=y+zC,

；.NP-NA=NC-NP,：.NP=g(ZA+zC)=；(28°+36°)=32°；

②设NABP=NCBP=x,ZADP=^CDP=y,则有X+NA=y+zP,X+NP=y+zC,

；.NP-NA=NC-NP,；.NP=g(NA+NC)；

(3)延长AB交PD于点M,

,/ZCBQ=；NABC,ZEDP—；NADE,设NCBQ=x,ZEDP=y,则NABC=4x,ZADE=^y,

由(1)可知：NA+4x=NC+180。-4y①，,/ZAMP-Z.A+ZADP-Z.A+3y,ZAMD-Z.P+ZMBP-Z.P+3x,

，NA+3y+NP+3尤=180°②，，联立①②得：ZA+3ZC+4ZP=180°.

(1)如图1的图形我们把它称为"8字形"，则NA、NB、NC、ND之间的数量关系为;

(2)如图2,AP,CP分别平分NBA。、ZBCD.若N8=36。，N。=44。，则NP的度数=°；

(3)如图3,NBAD和N8C。的三等分线AP和CP相交于点P,Z2=|zBAD,Z4=^ZBCD,试探究N2、

ND、NP三者之间存在的数量关系，并说明理由.

⑷如图4,CP、AG分别平分N8CE、ZFAD,AG反向延长线交CP于点P,请猜想NP、NB、NO之间

的数量关系，直接写出结论，不需要说明理由.

【解答】解：(1)丫ZA+ZB+ZAOB=180°,ZC+ZD+NDOC=180°,而NAOB=Z.DOC,：.ZA+ZB=ZD+ZC；

故答案为：zA+ZB=NQ+NC

(2)NZMB和NBC。的平分线AP和CP相交于点P,N1=N2,N3=N4,/Z1+Z3+ZP,

N2+NP=N4+ZD,：.ZB-NP=ZP-ND,即N(N£>+N2).：N2=36°,Z£)=44°,/.ZP=40"；

故答案为：40。

(3)2N8+NZ)=3NP,理由如下：Z2=-ZBAD,Z4=-ZBCD:.zBAD=3Z2,ZBCD=3Z4,

33

Z1=2Z2,Z3=2Z4,由(1)中结论得：Z1+ZB=Z3+ZP®,Z4+ZD=Z2+ZP0,

①+②X2,得：ZB+2ND=3NP.

(4)22P=NB"D.理由：•；CP、AG分别平分NBCE、NFAD,：.ZECP=NPCB,ZFAG^GAD,

-：ZPAB=Z.FAG,ZGAD=NPAB,'：ZP+NPAB=Z.B+ZPCB,：.ZP+ZGAD=NB+NPCB,

'：ZP+ZB4D=ZD+ZPCD,：.ZP+(180°-ZGA£»=ZD+(180°-ZECP),：.2ZP=ZB+ZD.

6.如图①，已知线段A8,CD相交于点O,连接AC,BD,我们把形如图①的图形称之为"8字形如

图②，NC4B和NBOC的平分线AP和。尸相交于点尸，并且与CD,AB分别相交于M,N.试解答下列

问题：

图①图②图③

⑴在图①中，写出一个关于NA、NB、ZC,N。的关系的等式.

（2）在图②中，若N8=96。，ZC=100°,求NP的度数；

⑶在图②中，若设NC=a,ZB=p,zCAP=|zCAB,NCDP"aCDB,试问NP与NC,NB之间

存在着怎样的数量关系（用a,4表示NP）,并说明理由；

（4汝口图③，则NA+zB+zC+zO+NE+NF的度数为.

【解答】解：（1）解：结论：ZA+zC=ZB+ZD.理由：如图中，

NA+NC+NAOC=N5+NO+N£>08=180°,「NAOC=N003,NA+NC=NB+NZ).

故答案为：ZA+ZC=NB+ZD-,

(2)解：NC4B和N2£>C的平分线AP和。尸相交于点P,：.NCAP=Z.BAP,ZBDP=ZCDP,

■：ZCAP+ZC=ZCDP+ZP,ZBAP+ZP=NBDP+ZB,NC-NP=NP-N8,即NP=J(ZC+ZB),

---ZC=100°,ZB=96°,Zp=y(100°+96°)=98°；

1119

(3)解：结论：ZP=-(4+2a).理由：/ZCAP=-ACAB,ZCDP=-ACDB,：.^BAP=-ABAC,

ZBDP=|zBDC,-：ZCAP+NC=ZCDP+ZP,ZBAP+NP=ZBDP+NB,

1122

ZC-ZP=-4BDC-—4BAC,ZP-ZB=—NBDC--iBAC,/.2(ZC-ZP)=ZP-ZB,

3333

/.Z尸二g(ZB+2ZC),,「ZC=a,ZB=0,Z尸二;(尸+2仪)；

(4)解：,/ZB+NA=Z1,ZC+ZD=Z2,

/.NA+ZB+ZC+ZD=Z1+Z2,/Z1+Z2+ZF+ZE=360°,:ZA+ZB+NC+ZD+ZE+Z尸=360°.

8.（江苏）如图1的图形我们把它称为"8字形"，显然有NA+/3=NC+/D；

阅读下面的内容，并解决后面的问题：

图4图5

（1）如图2,AP,CP分别平分㈤D、ZBCD,若NABC=36。，ZADC=16°,求ZP的度数；

（2）①在图3中，直线AP平分的外角CP平分/BCD的外角/BCE,猜想N尸与々、/£）的

关系，并说明理由.

②在图4中，直线AP平分ZB4D的外角NE4D,CP平分N3CD的外角ZBCE,猜想/尸与々、/£）的

关系，直接写出结论，无需说明理由.

③在图5中，4尸平分NB4D,C尸平分/BCD的外角4CE,猜想NP与4、/£）的关系，直接写出结论,

无需说明理由.

【解答】解：（1）•.・AP、CP分别平分NBA。、ZBCD,：.Z1=Z2,N3=N4,N2+N3=N1+N4,

由（1）的结论得：ZP+Z3=Z1+ZABC®,ZP+Z2=Z4+ZADC（2）,①+②，得

2ZP+Z2+Z3=Z1+Z4+ZABC+Z.ADC,：.2ZP=NABC+Z.ADC,

：.ZP=^（NABC+NAOC）=[（36°+16°）=26。.

(2)ZP=-(ZB+ZD),理由如下：

2

①：AP平分NBAD的外角NRID,CP平分NBCD的外角/BCE,;N1=N2,Z3=Z4.

由(1)的结论得：NMD+NP=NPCD+ND③,ZPAB+AP=Z4+ZB(4),

,/ZPAB=Z.1,Z1=Z2,ZB4B=Z2,/.ZB4D=ZB4B+ZBAD=A2+180°—2Z2=180°—Z2,

/.Z2+ZP=Z3+Z5⑤，③+⑤得N2+ZP+ZB4D+NP=Z3+ZB+NPCD+ND,

Z2+Z尸+180°—N2+ZP=Z3+Z3+180°—N3+ZD,即2ZP+180°=ZB+N0+180°,「.ZP=-(ZB+ZD).

2

@ZP=180°-1(ZB+ZD),理由如下：

如图4,•；AP平分N84。的外角NFAD,CP平分NBCD的外角NBCE,：.Z1=Z2,Z3=N4,Z840=180。

-2Z1,Z8C£)=180°-2N3,由题干可知：ZBAD+ZB=NBCD+ND,：.(180°-2Z1)+ZB=(180°-2Z3)

+ZD,在四边形APCB中，ZBAP+NP+Z3+Z8=360。，即(180°-Z2)+ZP+Z3+Z8=360°,⑥

在四边形APCD中，N2+N尸+NPCD+N£)=360°,即N2+NP+(180。-N3)+Z0=360°,⑦

⑥+⑦得：2ZP+ZB+ND+Z2-Z2+Z3-Z3=360°,/.2ZP+ZB+Z£)=360°,.1ZP=180°-1(ZB+ZD)；

理由如下：如图5,TAP平分NBAD,CP平分NBCD的外角NBCE,

Z1=Z2,Z3=N4,由题干结论得：ZBAD+ZB=NBCD+ND,即2N2+ZB=(180°-2Z3)+Z。⑧,

Z2+ZP=ZPCD+ZD,即N2+ZP=(180°-Z3)+ZD@,⑨x2-⑧得：2N尸-NB=180°+ZD,

ZP=90°+-(ZB+ZD).

题型三：与燕尾模型有关的压轴题

9.利用"模型"解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果.

几何模型：如图(1),我们称它为"A"型图案，易证明：NEDF=NA+NB+NC.

运用以上模型结论解决问题：

(1)如图(2),"五角星"形，求NA/+NA2+NA3+N4+N4=?

分析：图中是"A"型图，于是NA2n45=N4+NA3+N4,所以NA/+NA2+NA?+N4+N4=

(2)如图(3),"七角星”形,求NA/+NA2+NA3+NA4+NA?+N4+N人7的度数.

由三角形外角的性质可得，Z1=ZA/+ZA4,---ZA2DA5=Z.1+ZA.3,ZA2D45=ZA1+Z.4+NA?,

---ZA2DA5+ZA2+ZA5=180°,ZA/+NA2+ZA?+N4+NAS=180°,故答案为：180°；

(2)如图(5),

由(1)得，Z1=ZA1+Z.A4+Z.As,N2=NA2+NA?+NAs,Z1+Z2+ZA7=180°,

ZAi+Z,A2+ZA3+NA/+NA5+ZAe+Z47=180°.

10.(山西晋中)请阅读下列材料，并完成相应的任务:

有趣的“飞镖图"

如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为"飞镖图".当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四

边形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一

个角"凹"进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和.

（即如图1,zADB=AA+ZB+ZC）理由如下：

方法一：如图2,连接AB,贝I」在AABC中，ZC+ZCAB+ZCBA=180°,即N1+Z2+Z3+Z4+ZC=180°,

文：在AABD中，Z1+Z2+ZADB=1SO°,ZADB=N3+Z4+ZC,即NADB=NCAD+^CBD+aC.

方法二：如图3,连接CD并延长至F,N1和N3分别是△AC。和"CZ）的一个外角，.....

大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？

任务：

⑴填空："方法一”主要依据的一个数学定理是—；

（2）探索：根据"方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；

⑶应用：如图4,AE是NCAD的平分线，BF是NCBD的平分线，AE与BF交于G,若N402=150。,

ZAGB=110°,请你直接写出NC的大小.

【详解】解：（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180。）

（2）证明：连接CD并延长至F,

-：Z1和N2分别是△ACD和小BCD的一个外角，，Z1=Z2+ZA,Z3=Z4+ZB,

Z1+Z3=Z2+ZA+Z4+ZB,即NADB=Z.A+ZB+NACB；

(3)解：由(2)得：ZADB=NCAD+ZCBD+ZC,ZAGB=NCAE+ZCBF+NC,'：ZADB=150°,ZAGB=1W°,

ZCAD+ZCBD+NC=150°,ZCAE+ZCBF+NC=110°,/.ZCAE+ZCBF=110°-ZC,

ZCAD+ZCBD=150°-ZC,：AE是NCAD的平分线，BF是NCBD的平分线，

ZCAD=2ZCAE,ZCBD=2ZCBF,ZCAD+ZCBD=2(ZCAE+NCBF),150°-ZC=2(110°-ZC),

解得：ZC=70°.

IL（江苏）模型规律：如图1,延长CO交于点则/3OC=Z1+/B=NA+NC+/B.因为凹四边

形ABOC形似箭头，其四角具有"/30。=/4+/3+/。”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角

形”.

模型应用

(1)直接应用：

①如图2,ZA=60°,ZB=20°,ZC=30°,贝|N3OC=

②如图3,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=°；

(2)拓展应用:

①如图4,乙钻0、4复0的2等分线（即角平分线）2。［、（30］交于点。］,已知NBOC=120。，ZBAC=50°,

则4QC=。；

②如图5,BO、CO分别为/ABO、NACO的10等分线0=1,2,3,…,8,9）.它们的交点从上到下依次为Q、

。2、。3、…、0§,已知/3OC=120°,ZA4C=50°,则/8。7。=°;

③如图6,ZABO.Zfl4c的角平分线比＞、AD交于点。，已知ZBOC=120。,/。=44。，贝I」

ZADB=°；

④如图7,ZBAC,/BOC的角平分线A。、OD交于点。，贝恰8、NC、/£＞之同的数量关系为.

【详解】解：（1）①NBOCUNA+NB+NCuGoo+ztr+BO-uno。；

②NA+ZB+ZC+ZD+N£+ZF=ZBOC+NDOE=2xl30°=260°；

(2)①NBOiC=ABOC-ZOBOi-zLOCO尸NBOC-1-(ZABO+AACO)=ZBOC-](ZBOC-AA)

=ZBOC-^(120°-50°)=120°-35°=85°；

33

@ZBOC=^BOC—(ZBOC-ZA)=120°—(120°-50°)=120o-21°=99°；

~71010

3

(3)ZADB=180°-(ZABO+ZBAD)=180°-—(N8OC-NC)=180°-1(120--44°)=142°；

102

④NBOO=：NBOC=NB+NBAC,ZBOC=ZB+ZC+ZBAC,联立得：NB-NC+2ND=0.

12.(福建)如图1所示的图形，像我们常见的符号一一箭号.我们不妨把这样图形叫做"箭头四角形

探究：

（1）观察"箭头四角形"，试探究N9C与44、DB、NC之间的关系，并说明理由；

应用：

（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

①如图2,把一块三角尺屹放置在AABC上，使三角尺的两条直角边XV、XZ恰好经过点8、C,若

ZA=60°,则ZABX+NACX=。；

②如图3,ZABE,NACE的2等分线（即角平分线）BF、CT相交于点尸，若N£WC=60。，

/BEC=130。，求ZBbC的度数；

拓展：

（3）如图4,BOt,C。，分别是NAB。、NACO的2020等分线（/=1,2,3,,2018,2019）,它们的交点从上

到下依次为。i、。2、。3、…、O20i9.已知4OC=m°,NBAC=n。,则/反儿居二度.

【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E

NBDE=NBAD+NB,NCDE=NCAD+NC,又：NBDC=NBDE+NCDE/BAC=NBAD+NCAD,

：.ZBDC=ABAC+ZB^Z.C

(2)①由(1)可知ZBXC=ZA+ZABX+ZACX,vZA=60°,ZBXC=90°,

ZABX+ZACX=ZBXC-ZA=90°-60°=30°；

②由(1)ZBEC=ZBAC+ZABE+ZACE,-：ZBAC=60°,/BEC=130°,

.-.ZABE+ZACE=ZBEC-ABAC=130°-60°=70°,BF平分ZABE,CF平分NACE,

ABF=|ABE,ACF=|ACE,NBFC=ABAC+ZABF+ZACF=ABAC+1(ZABE+NACE)=95°

(3)由(1)ZBOC=ZBAC+ZABO+ZACO,:/BOC=m°,/BAC="。,

,ZABO+ZACO^ZBOC-ZBAC^rrP-rf,-：BO,,CO,分别是ZAB。、ZACO的2020等分线

加°—n°50——50H°

(i=1,2,3,,2018,2019),，ZABO+ZACO=--------x1000=---------------,

I0001o00ro02020101

50,71°+5bz°

^BOiW0C=ZBAC+ZAB。,0m+ZACO1000=———。

题型四：与动角有关的压轴题

13.(江苏泰州)直线AB、CD相交于点。，ZAOC^a,点尸在直线AB上且在点。的右侧，点E在直线

C。上(点E与点。不重合)，连接ER直线EM、FN交于点G.

(1)如图1,若点E在射线0c上，a=60。，EM、尸N分别平分NC所和NAFE,求NEGF的度数；

(2)如图2,点E在射线0c上，ZMEF=mZCEF,ZNFE=(1-2m)ZAFE,若NEGP的度数与NAFE

的度数无关，求相的值及NEG尸的度数(用含有a的代数式表示)；

(3)如图3,若将(2)中的"点E在射线OC上"改为"点E在射线。。上"，其他条件不变，直接写出NEGF

的度数(用含有。的代数式表示)

图1

【详解】(1)「EM、MV分别平分NCE尸和NAFE,ZMEF=gNCEF,ZEFG=^NAFE,

•••ZEGF=NMEF-ZEFG,：.ZEGF=[ZCEF-gZAFE=[(ZCEF-ZAFE)=；NCOF,

而NAOC=a=60°,，ZCOF=180°-60°=120°,ZEGF=60°；

(2)•••ZCEF-ZAFE=NCOF=180°-a,：.ZC£F=180°-ct+ZAFE,-：ZMEF=mNCEF,

ZMEF—m(180°-oc+ZAFE),ZEGF=/MEF-ZNFE,

ZEGF=m(180°-a+ZAFE)-(1-2m)ZAFE=m(180°-a)+(3m-1)ZAFE,

：NEGF的度数与NAFE的度数无关，,3m-1=0,即〃?=§,二N(180。-a)=60。-ga；

(3)「NBOC—Z.CEF+NA尸E=180°-a,ZCEF=180°-«-ZAFE,ZMEF=CEF—m(180°

-a-NAFE),而NNFE=(1-2m)ZAFE,

/.ZEGF—180°-ZMEF-ZNFE=180°-m(180°-a-ZAFE)-(1-2m)ZAFE=180°-m(180°-a)

+(3m-1)NAFE,「NEG尸的度数与NAbE的度数无关，「.3加-1=0,即加=；,

/.ZEGF=180°--(180°-a)=120°+-a.

33

14.如图1,含30。角的直角三角板。EF（NEDF=30。）与含45。角的直角三角板的斜边在同一直线上，。为2C

的中点，将直角三角板DEF绕点。按逆时针方向旋转/研0°＜。＜180。），在旋转过程中：

(1)如图2,当N(z=_________。时，DEHAB-,当4z=_______。时，DELAB-,

(2)如图③，当直角三角板DE尸的边。尸、DE分别交54、C4的延长线于点M、N时；

①/I与N2度数的和是否变化？若不变，求出/I与N2度数的和；若变化，请说明理由；

②若使得4=2N2,求出Nl、N2的度数，并直接写出此时/。的度数；

③若使得421/2,求Nc的度数范围.

【详解】解：(1)N8=45。，.,.当NEDC=NB=45。时，DE//AB,而/应加=30。，

.•.30°+a=45°,解得<z=15。；当DE7/AC时，DELAB,此时NC+NEDC=180。，

.•.30°+a+45°=180°,解得&=105。；

(2)①N1与N2度数的和不变.连接MN,如图3,在AAWN中，ZANM+ZAMN+ZMAN=180°,

：.ZANM+ZAMN=90°,在AMZVD中，ZDNM+ZDMN+ZMDN=1SO°,

即Z2+ZANM+ZAMN+Zl+ZMDN=180°,/.Zl+Z2=180°-90o-30o=60°；

21+/2=60°"1=40。

②根据题意得《”c八，解得Lc”。；.^C+ZMDC=Z1+ZMAC,即45。+a=40。+90。，

[Nl=2ZZ[ZZ=ZU

:.a=S5°；

③Zl>-Z2,Nl+N2=60。，Zl>-(60°-Zl),/.Z1>24O,ZC+ZMZX?=Z1+ZM4C,

33

即45。+2=4+90。，/.Zl=cr-45°,.\^-45o>24°,解得aN69。，Na的度数范围为69。4&<90。.

D

图3

15.（河南郑州）如图，在△ABC中，ZACB=90°,。是A3边上的中点，三角板OMN的直角顶点与。重

台，NMON=90。，直角三角形板MON绕点。旋转使边。M交AC于点。，边ON交BC于点、E(D、E不

与A、B重合)，连接。E.

(1)如图①，当CA=CB=4时，

①请直接写出OE的取值范围：

②判断△OOE的形状并说明理由；

③判断四边形0DC2的面积在旋转的过程中是否变化，若不变，求出该四边形的面积；若变化，请说明

变化的范围；

(2)如图②，判断并说明线段AD,。"和BE的数量关系.

解：①・.•CA=CB=4,AB=V42+42=472-当。时，DE有最小值，；NA=45。，ZADO=9Q°,

：.44。。=90。-45。=45。，ZA=ZAOD=45°,AD=OD,」。是A8边上的中点，

OA=-AB^2y/2,:.OD=AD=2,：.CD=AC-AD=4-2=2